Modélisation d un Code de Calcul à Sorties Fonctionnelles
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- Baptiste Gervais
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1 Modélisation d un Code de Calcul à Sorties Fonctionnelles Benjamin Auder CEA - UPMC 2 juin 2010 Thèse depuis 02/2008 Directeur de thèse : Gérard Biau (UPMC) Encadrant : Bertrand Iooss (EDF, ex CEA) Suivi labo. CEA : Michel Marquès Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
2 Contexte industriel Cadre : durée de vie des cuves. Diverses séquences d accidents envisagées. But : estimer leurs probabilités. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
3 Contexte industriel Cadre : durée de vie des cuves. Diverses séquences d accidents envisagées. But : estimer leurs probabilités. Méthodologie Modélisation Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
4 Contexte industriel Cadre : durée de vie des cuves. Diverses séquences d accidents envisagées. But : estimer leurs probabilités. Méthodologie Modélisation Simulation Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
5 Contexte industriel Cadre : durée de vie des cuves. Diverses séquences d accidents envisagées. But : estimer leurs probabilités. Méthodologie Modélisation Simulation Calculs. Analyse de sensibilité, propagation d incertitudes..etc. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
6 Contexte industriel Cadre : durée de vie des cuves. Diverses séquences d accidents envisagées. But : estimer leurs probabilités. Méthodologie Modélisation Simulation Calculs. Analyse de sensibilité, propagation d incertitudes..etc. Améliorer la phase simulation, pour effectuer des calculs plus fiables Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
7 Au CEA - DER/SESI/LSMR... Code thermo-hydraulique CATHARE coûteux en temps Fig.: Transitoires de température. Fig.: Zone modélisée Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
8 Au CEA - DER/SESI/LSMR... Code thermo-hydraulique CATHARE coûteux en temps boîte noire ; Fig.: Transitoires de température. Fig.: Zone modélisée Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
9 Au CEA - DER/SESI/LSMR... Code thermo-hydraulique CATHARE coûteux en temps boîte noire ; paramètres d entrée incertains. Fig.: Transitoires de température. Fig.: Zone modélisée Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
10 Au CEA - DER/SESI/LSMR... Code thermo-hydraulique CATHARE coûteux en temps boîte noire ; paramètres d entrée incertains. Fig.: Transitoires de température. Fig.: Zone modélisée Accélérer l exécution du code CATHARE Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
11 Solution? Fig.: Point de départ : phénomène physique. marges d incertitudes sur le phénomène Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
12 Solution? Fig.: Code de calcul = simulation du phénomène. marges d incertitudes sur le phénomène nécessitent beaucoup de résultats de code Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
13 Solution : métamodèle Fig.: Métamodèle = accélération des simulations. marges d incertitudes sur le phénomène nécessitent beaucoup de résultats de code obtenus avec un métamodèle (= modèle du code). Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
14 Solution : métamodèle Fig.: Métamodèle = accélération des simulations. marges d incertitudes sur le phénomène nécessitent beaucoup de résultats de code obtenus avec un métamodèle (= modèle du code). Construire un modèle du code CATHARE Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
15 Reformulation finale n couples (x i, y i ) connus : Entrées x i R p = état initial du système physique ; Sorties y i C([a, b], R) = évolution des paramètres. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
16 Reformulation finale n couples (x i, y i ) connus : Entrées x i R p = état initial du système physique ; Sorties y i C([a, b], R) = évolution des paramètres. Objectif = prédiction de données fonctionnelles : y new ϕ(x new ). Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
17 Reformulation finale n couples (x i, y i ) connus : Entrées x i R p = état initial du système physique ; Sorties y i C([a, b], R) = évolution des paramètres. Objectif = prédiction de données fonctionnelles : y new ϕ(x new ). Apprentissage statistique régression R p C([a, b], R) Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
18 Comment se ramener au cas simple y i R d? Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
19 Comment se ramener au cas simple y i R d? 1 réduction de la dimension : r : C([a, b], R) R d (représentation) ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
20 Comment se ramener au cas simple y i R d? 1 réduction de la dimension : r : C([a, b], R) R d (représentation) ; 2 apprentissage statistique classique : f : R p (entrées) R d (sorties réduites) ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
21 Comment se ramener au cas simple y i R d? 1 réduction de la dimension : r : C([a, b], R) R d (représentation) ; 2 apprentissage statistique classique : f : R p (entrées) R d (sorties réduites) ; 3 paramétrage de l espace des sorties : R : R d C([a, b], R) (reconstruction). Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
22 Comment se ramener au cas simple y i R d? 1 réduction de la dimension : r : C([a, b], R) R d (représentation) ; 2 apprentissage statistique classique : f : R p (entrées) R d (sorties réduites) ; 3 paramétrage de l espace des sorties : R : R d C([a, b], R) (reconstruction). Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
23 État de l art Méthodes classiques Régression linéaire fonctionnelle : Faraway, 1997 ; Ramsay & Silverman, 2005,... Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
24 État de l art Méthodes classiques Régression linéaire fonctionnelle : Faraway, 1997 ; Ramsay & Silverman, 2005,... Décomposition sur une base orthonormée puis apprentissage des coefficients d-dimensionnels : Chiou et al., 2004 ; Govaerts & Noël, 2005 ; Bayarri et al., 2007 ; Marrel, 2008 ; Monestiez & Nerini, 2009 Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
25 État de l art Méthodes classiques Régression linéaire fonctionnelle : Faraway, 1997 ; Ramsay & Silverman, 2005,... Décomposition sur une base orthonormée puis apprentissage des coefficients d-dimensionnels : Chiou et al., 2004 ; Govaerts & Noël, 2005 ; Bayarri et al., 2007 ; Marrel, 2008 ; Monestiez & Nerini, 2009 But : minimiser la dimension de représentation d, pour simplifier le modèle ; éviter le surapprentissage, en conservant de bonnes performances. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
26 1 Exemple introductif 2 Réduction de la dimension des sorties 3 Classification des (entrées-)sorties 4 Applications Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
27 1 Exemple introductif 2 Réduction de la dimension des sorties 3 Classification des (entrées-)sorties 4 Applications Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
28 Données brutes rien de très clair... a priori 6 dimensions Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
29 Données brutes rien de très clair... a priori 6 dimensions représentation en dimension réduite? Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
30 1 ere approche : ACP Fig.: Décomposition ACP à une composante : insuffisant Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
31 1 ere approche : ACP Fig.: Décomposition ACP à une composante : insuffisant Fig.: Décomposition ACP à deux composantes : OK Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
32 1 ere approche : ACP Fig.: Décomposition ACP à une composante : insuffisant Fig.: Décomposition ACP à deux composantes : OK Donc deux dimensions? Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
33 Révélation réordonnancement une structure émerge Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
34 Révélation réordonnancement une structure émerge fonction génératrice : t (e t, e t2, t, e cos t, e sin t, 1 tan t+0.1 ), aux points t = 1/40, 2/40,..., 1. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
35 En une dimension Fig.: Réduction de dimension non linéaire : une composante suffit. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
36 En une dimension Fig.: Réduction de dimension non linéaire : une composante suffit. Hypothèse Les courbes en sortie ont une structure de variété...éventuellement non linéaire décomposition sur une base = sous-optimal. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
37 1 Exemple introductif 2 Réduction de la dimension des sorties 3 Classification des (entrées-)sorties 4 Applications Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
38 Dimension réduite pas à pas But : transformer y i en z i R d avec d petit. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
39 Dimension réduite pas à pas But : transformer y i en z i R d avec d petit. Local PCA Manifold Learning (Zhan et al., 2008) ; Clé : Traversal Sequence of Local Neighborhoods 1 Suite C 1,..., C m {1,..., n} recouvrant {1,..., n}, avec des intersections j<i C i C j non vides i > 1 ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
40 Dimension réduite pas à pas But : transformer y i en z i R d avec d petit. Local PCA Manifold Learning (Zhan et al., 2008) ; Clé : Traversal Sequence of Local Neighborhoods 1 Suite C 1,..., C m {1,..., n} recouvrant {1,..., n}, avec des intersections j<i C i C j non vides i > 1 ; 2 ACP locale sur chaque C j coordonnées z i locales ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
41 Dimension réduite pas à pas But : transformer y i en z i R d avec d petit. Local PCA Manifold Learning (Zhan et al., 2008) ; Clé : Traversal Sequence of Local Neighborhoods 1 Suite C 1,..., C m {1,..., n} recouvrant {1,..., n}, avec des intersections j<i C i C j non vides i > 1 ; 2 ACP locale sur chaque C j coordonnées z i locales ; 3 Transformations affines coordonnées z i globales ; principe : optimiser la matrice de transformation sur l intersection, puis appliquer sur la cellule suivante. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
42 Estimation des coordonnées globales (étapes 2 3) Fig.: données Fig.: coord. locales Fig.: coord. globales 1 ACP sur C 1 coord. locales c 1 ; on pose c 1 = c 1 (coord. globales) ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
43 Estimation des coordonnées globales (étapes 2 3) Fig.: données Fig.: coord. locales Fig.: coord. globales 1 ACP sur C 1 coord. locales c 1 ; on pose c 1 = c 1 (coord. globales) ; 2 c 1 contient les coord. globales de C 1 C 2, notées c 12 ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
44 Estimation des coordonnées globales (étapes 2 3) Fig.: données Fig.: coord. locales Fig.: coord. globales 1 ACP sur C 1 coord. locales c 1 ; on pose c 1 = c 1 (coord. globales) ; 2 c 1 contient les coord. globales de C 1 C 2, notées c 12 ; 3 ACP sur C 2 coord. locales c 2 ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
45 Estimation des coordonnées globales (étapes 2 3) Fig.: données Fig.: coord. locales Fig.: coord. globales 1 ACP sur C 1 coord. locales c 1 ; on pose c 1 = c 1 (coord. globales) ; 2 c 1 contient les coord. globales de C 1 C 2, notées c 12 ; 3 ACP sur C 2 coord. locales c 2 ; 4 recherche d une transformation affine A telle que A c 12 c 12 ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
46 Estimation des coordonnées globales (étapes 2 3) Fig.: données Fig.: coord. locales Fig.: coord. globales 1 ACP sur C 1 coord. locales c 1 ; on pose c 1 = c 1 (coord. globales) ; 2 c 1 contient les coord. globales de C 1 C 2, notées c 12 ; 3 ACP sur C 2 coord. locales c 2 ; 4 recherche d une transformation affine A telle que A c 12 c 12 ; 5 application de A sur les points de C 2 \ C 1 c 2 ; retour en 2. avec c 2... etc. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
47 Exemples Fig.: Swissroll, 400 points 3D Fig.: Représentation LpcaML Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
48 Exemples Fig.: Swissroll, 400 points 3D Fig.: Représentation LpcaML Fig.: Gaussienne, 1000 points 3D Fig.: Représentation LpcaML Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
49 1 Exemple introductif 2 Réduction de la dimension des sorties 3 Classification des (entrées-)sorties 4 Applications Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
50 Motivations Fig.: 100 transitoires de température Différents types de comportements physiques. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
51 Motivations Fig.: 100 transitoires de température Différents types de comportements physiques. Regroupement des courbes aux caractéristiques similaires meilleure modélisation dans chaque cluster. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
52 (Entrées-)Sorties dans un graphe Fig.: Représentation des (entrées-)sorties dans un graphe ; sommets = données, arêtes = distances. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
53 (Entrées-)Sorties dans un graphe Fig.: En bleu : deux clusters (visuels) ; sommets = données, arêtes = distances. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
54 (Entrées-)Sorties dans un graphe Fig.: En vert : points isolés ; sommets = données, arêtes = distances. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
55 (Entrées-)Sorties dans un graphe Méthode Fig.: En vert : points isolés ; sommets = données, arêtes = distances. 1 Calcul des distances commute-time. 2 Clustering hiérarchique basé sur ces distances. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
56 Résumé du modèle Fig.: 100 transitoires de température en sortie (cathare) 1 Classification non supervisée des n courbes y i en K clusters C j Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
57 Résumé du modèle Fig.: g. à d. : sorties fonctionnelles, scatterplot entrées Classification non supervisée des n courbes y i en K clusters C j + classification supervisée des entrées x i. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
58 Résumé du modèle Fig.: g. à d. : sorties fonc., entrées 1-4, représentation 2D des sorties 1 Classification non supervisée des n courbes y i en K clusters C j + classification supervisée des entrées x i. 2 Pour chaque cluster C j, 1 réduction de la dimension : r(y i ) = z i représente y i dans R d ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
59 Résumé du modèle Fig.: g. à d. : sorties fonc., entrées 1-4, rep. 2D des sorties 1 Classification non supervisée des n courbes y i en K clusters C j + classification supervisée des entrées x i. 2 Pour chaque cluster C j, 1 réduction de la dimension : r(y i ) = z i représente y i dans R d ; 2 apprentissage d une fonction de régression : f (x i ) z i ; Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
60 Résumé du modèle Fig.: g. à d. : sorties fonc., entrées 1-4, rep. 2D des sorties 1 Classification non supervisée des n courbes y i en K clusters C j + classification supervisée des entrées x i. 2 Pour chaque cluster C j, 1 réduction de la dimension : r(y i ) = z i représente y i dans R d ; 2 apprentissage d une fonction de régression : f (x i ) z i ; 3 apprentissage d une fonction de reconstruction : R(z i ) y i. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
61 1 Exemple introductif 2 Réduction de la dimension des sorties 3 Classification des (entrées-)sorties 4 Applications Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
62 Étape de validation Données : entraînement = {(x i, y i ), i = 1,..., n} ; test = {(x i, y i ), i = 1,..., m} ; Prédictions du modèle : ŷ i = M(x i ), i = 1,..., m. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
63 Étape de validation Données : entraînement = {(x i, y i ), i = 1,..., n} ; test = {(x i, y i ), i = 1,..., m} ; Prédictions du modèle : ŷ i = M(x i ), i = 1,..., m. Mesure absolue puis relative de l erreur ponctuelle MSE[ j ] = 1 m m i=1 (ŷ i (j) y i (j)) 2, j = 1,..., D (discrétisation). Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
64 Étape de validation Données : entraînement = {(x i, y i ), i = 1,..., n} ; test = {(x i, y i ), i = 1,..., m} ; Prédictions du modèle : ŷ i = M(x i ), i = 1,..., m. Mesure absolue puis relative de l erreur ponctuelle MSE[ j ] = 1 m m i=1 (ŷ i (j) y i (j)) 2, j = 1,..., D (discrétisation). m.mse[ j ] Q 2 [ j ] = 1 m i=1 (ȳ(j) y (comparaison à la moyenne). i (j))2 < Q 2 1 : 0 (très) mauvais modèle ; 1 modèle parfait. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
65 Test I - température facile 100 simulations, 4 dimensions en entrée, 168 points de discrétisation. Fig.: Les 100 sorties du code Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
66 Test I - température facile 100 simulations, 4 dimensions en entrée, 168 points de discrétisation. validation croisée leave-one-out : MSE à g., Q 2 à d. ; d = 4 Fig.: Les 100 sorties du code Fig.: Noir : ACP fonctionnelle ; bleu : LPcaML ; vert : Nadaraya-Watson. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
67 Courbes prédites Fig.: Courbes d origine Fig.: ACPF Fig.: LPcaML Fig.: knn (N-W) Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
68 5 courbes représentatives Fig.: Courbes d origine Fig.: ACPF Fig.: LPcaML Fig.: knn (N-W) Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
69 Test II - température difficile 600 simulations, 11 dimensions en entrée, 1039 points de discrétisation. Fig.: Les 600 sorties du code Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
70 Test II - température difficile 600 simulations, 11 dimensions en entrée, 1039 points de discrétisation. validation croisée leave-one-out : MSE à g., Q 2 à d. ; d = 7 Fig.: Les 600 sorties du code Fig.: Noir : ACP fonctionnelle ; bleu : LPcaML ; vert : Nadaraya-Watson. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
71 Courbes prédites Fig.: Courbes d origine Fig.: ACPF Fig.: LPcaML Fig.: knn (N-W) Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
72 10 courbes représentatives Fig.: Courbes d origine Fig.: ACPF Fig.: LPcaML Fig.: knn (N-W) Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
73 Conclusion et perspectives Modèle assez satisfaisant par rapport aux objectifs industriels. aide au projet DDVCV (Durée De Vie des CuVes). Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
74 Conclusion et perspectives Modèle assez satisfaisant par rapport aux objectifs industriels. aide au projet DDVCV (Durée De Vie des CuVes). Réduction de dimension Linéaire et non-linéaire : complémentaires. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
75 Conclusion et perspectives Modèle assez satisfaisant par rapport aux objectifs industriels. aide au projet DDVCV (Durée De Vie des CuVes). Réduction de dimension Linéaire et non-linéaire : complémentaires. Cadre fonctionnel non linéaire : preuves de convergence?......encore quelques paramètres à optimiser automatiquement. Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
76 Conclusion et perspectives Modèle assez satisfaisant par rapport aux objectifs industriels. aide au projet DDVCV (Durée De Vie des CuVes). Réduction de dimension Linéaire et non-linéaire : complémentaires. Cadre fonctionnel non linéaire : preuves de convergence?......encore quelques paramètres à optimiser automatiquement. Recherches futures : courbes, surfaces principales fonctionnelles. Exemple de surface principale en 2D : Benjamin Auder (CEA - UPMC) Construction d un Métamodèle fonctionnel 2 juin / 28
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