Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis à une force d entraînement constante

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1 T S 4 2 h Devoir surveillé n Mercredi 29 novembre 2006 Exercice Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si est un nombre complexe, désigne le conjugué de et désigne le module de. Si = i, alors 4 est un nombre réel. 2 Si + = 0, alors = 0. 3 Si + = 0, alors = i ou = i. 4 Si = et si + ' =, alors ' = 0. Exercice 2 Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horiontale. Il est soumis à une force d entraînement constante F de valeur 50 N. Les forces de frotte-ment sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m.s. La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes. On prendra t dans l intervalle [ 0 ; + [. Les lois de Newton conduisent à l équation différentielle du mouvement (E) 25 x '+ 200 x " = 50, où x ' est la dérivée de x par rapport au temps t, x " est la dérivée seconde de x par rapport au temps t. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t ; on rappelle que v(t) = x '(t). Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x ' est solution de l équation différentielle (F) v '= 8 v + 4. Résoudre l équation différentielle (F). 2 On suppose que, à l instant t = 0, on a : x(0) = 0 et x '(0) = 0. a) Calculer, pour tout nombre réel t positif, x ' (t). b) Démontrer que la fonction x définie sur ( 0 ; + [ par x(t) = 2t e t/8 est solution du problème. 3 Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près. 4 Calculer V = lim t + v(t). Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V? (hors barême)

2 Exercice 3 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = un repère orthogonal (O; i ; j ). Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe Γ? 2 Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, e x e x. 3 a) Déterminer la limite de f en +. b) Etudier les variations de f sur [ 0, + [. 4 On considère les fonctions g et h définies sur [ 0 ; + [ par g(x) = e x et h(x) = e x +e x et on désigne par Γ sa courbe représentative dans Sur le graphique ci-dessous sont tracées, dans le repère (O; i ; j ), les courbes représentatives de g et h, notées respectivement Γ et Γ 2. a) Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, h(x) f (x) g(x). b) Que peut-on en déduire pour les courbes Γ, Γ, et Γ 2? Tracer Γ sur l annexe, en précisant sa tangente au point d abscisse 0. 2 e x. Exercice 4 Soit E l ensemble des fonctions solutions de l équation différentielle y = y. Soit E 2 l ensemble des fonctions solutions de l équation différentielle y" = y. Le but de l exercice est de démontrer qu il existe une unique fonction f qui appartient à E 2 et qui vérifie f(0) = et f '(0) = 0. Vérifier que les fonctions définies sur IR par x e x et x e x sont des éléments de E 2. 2 Soit f une fonction dérivable sur IR, on pose u = f + f '. a) Démontrer que f appartient à E 2 si et seulement si u appartient à E. b) Démonstration de cours. On rappelle que la fonction x e x est une solution de E. Démontrer l unicité de la fonction u élément de E qui vérifie u(0) =. 3 Soit f un élément de E 2. On pose, pour tout réel x, g(x) = f(x) e x. a) Démontrer que si f vérifie f(0) = et f '(0) = 0, alors g '(x) = e 2x. b) Démontrer qu il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression. (hors barême)

3 Exercice Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si est un nombre complexe, désigne le conjugué de et désigne le module de. Si = i, alors 4 est un nombre réel. 4 = 2 4 ( + i) 4 = 6 (( + i)2 ) 2 = 6 ( 2 i + i2 ) 2 = 6 ( 2 i)2 = 4 6 = 4 Variante arg () = arg( + i) = π 4 modulo 2 π et arg 4 = 4 arg = 4 π 4 = π modulo 2 π donc 4 IR 2 Si + = 0, alors = 0. si = i alors = i et + = 0. Pourtant 0 3 Si + = 0, alors = i ou = i. Si + = 0 alors 2 + = 0 alors 2 + = 0 alors 2 = alors = i ou = i. 4 Si = et si + ' =, alors ' = 0. = i et ' = i. On a = et + ' = i + i = et ' = Exercice 2 Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horiontale. Il est soumis à une force d entraînement constante F de valeur 50 N. Les forces de frotte-ment sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m.s. La position du chariot est repérée par la distance x, en mètres, du point H à l origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes. On prendra t dans l intervalle [ 0 ; + [. Les lois de Newton conduisent à l équation différentielle du mouvement (E) 25 x '+ 200 x " = 50, où x ' est la dérivée de x par rapport au temps t, x " est la dérivée seconde de x par rapport au temps t. On note v(t) la vitesse du chariot au temps t ; on rappelle que v(t) = x '(t). Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x ' est solution de l équation différentielle (F) v '= 8 v + 4. x solution de (E) 25 x ' x " = v v ' = 50 v v ' = 2 v ' = v Résoudre l équation différentielle (F). les solutions sont de la forme C e t/8 /4 /8 = C e t/ On suppose que, à l instant t = 0, on a : x(0) = 0 et x '(0) = 0. a) Calculer, pour tout nombre réel t positif, x ' (t) x '(t) = C e t/8 + 2 x '(0) = 0 C e = 0 C = 2. Donc pour tout réel t, x '(t) = 2 e t/8 + 2 b) Démontrer que la fonction x définie sur ( 0 ; + [ par x(t) = 2t e t/8 est solution du problème. x '(t) = e t/8 = x '(t) = 2 2 e t/8. x ' est donc la solution de (F) qui vérifie x '(0) = 0 c'est donc un solution de (E) qui vérifient x '(0) = 0. De plus x(0) = e 0 = 0. x est bien solution du problème. 3 Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près. x(30) = e 30/8 47 m 4 Calculer V= lim v(t). Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale à 90% de sa valeur limite V t + lim t + e t/8 = lim x ex = 0 donc lim t + ( 2 e t/8 + 2) = 2 v(t),8 2 e t/8 + 2,8 0,2 2 e t/8 e t/8 0, t ln (0,) t 8 ln (0,) 8 A partir de 8 secondes environ.

4 Exercice 3 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = e x +e x et on désigne par Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; i ; j ). Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe Γ? f( x) = e x + e x = f(x). f est paire donc sa représentation graphique est symétrie par rapport à (Oy) 2 Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, e x e x. e x e x x x 0 2 x x 0. 3 a) Déterminer la limite de f en +. lim x + ex = + et lim x + e x = 0 donc lim x + ex + e x = + et lim f(x) = 0. x + b) Etudier les variations de f sur [ 0, + [. f est dérivable sur IR et f '(x) = (ex + e x ) ' e x e x (e x + e x ) 2 = (e x +e x ) 2 On a vu que pour tout réel x positif e x e x donc f '(x) 0. f est donc croissante sur [ 0 ; + [ 4 On considère les fonctions g et h définies sur [ 0 ; + [ par g(x) = e x et h(x) = 2 e x. Sur l annexe sont tracées, dans le repère (O; i ; j ) les courbes représentatives de g et h, notées respectivement Γ et Γ2. a) Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, h(x) f (x) g(x). pour tout réel x positif ou nul on a : 0 e x e x donc 0 > e x e x + e x e x + e x donc e x e x + e x 2 e x donc g(x) f(x) h(x) b) Que peut-on en déduire pour les courbes Γ, Γ, et Γ 2? Tracer Γ sur l annexe, en précisant sa tangente au point d abscisse 0. Γ est donc entre Γ et Γ 2 e 0 e 0 f '(0) = (e 0 + e 0 ) 2 = 0. la tangente est donc horiontale

5 Exercice 4 Soit E l ensemble des fonctions solutions de l équation différentielle y = y. Soit E 2 l ensemble des fonctions solutions de l équation différentielle y" = y. Le but de l exercice est de démontrer qu il existe une unique fonction f qui appartient à E 2 et qui vérifie f(0) = et f '(0) = 0. Vérifier que les fonctions définies sur IR par x e x et x e x sont des éléments de E 2. f(x) = e x, f '(x) = e x et f "(x) = e x On a bien f " = f f(x) = e x, f '(x) = e x et f "(x) = ( e x ) On a bien f " = f 2 Soit f une fonction dérivable sur IR, on pose u = f + f '. a) Démontrer que f appartient à E 2 si et seulement si u appartient à E. u E u ' = u (f ' + f) ' = f ' + f f " + f ' = f ' + f f " = f f E 2 b) Démonstration de cours. On rappelle que la fonction x e x est une solution de E. Démontrer l unicité de la fonction u élément de E qui vérifie u(0) =. Soit u une solution de E On note g la fonction définie sur IR par g(x) = u(x) e x. g '(x) = u '(x) e x + u(x) ( e x ) = u(x) e x u(x) e x = 0. la fonction g est donc constante sur IR et donc pour tout réel x on a ; g(x) = g(0) = u(0) e 0 =. On a bien pour tout réel x g(x) = u(x). 3 Soit f un élément de E 2. On pose, pour tout réel x, g(x) = f(x) e x. a) Démontrer que si f vérifie f(0) = et f '(0) = 0, alors g ' (x) = e 2x. On a g(0) = f(0) e 0 = Pour tout réel x on a : g '(x) = f '(x) e x + f(x) e x f appartient à E 2 donc f ' + f appartient à E On note h = f ' + f h apparient à E et h(0) = f '(0) + f(0) =. h est donc la fonction exponentielle. Pour tout réel x, f '(x) + f(x) = e x et g '(x) = e x e x donc g '(x) = e 2x b) Démontrer qu il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression. g(x) = e2x 2 + k g(0) = e0 2 + k = k = 2 k = 2 g(x) = e2x 2 + 2

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