Cours n 6 : Planètes et satellites

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1 Cours n 6 : Planètes et satellites Introduction Les hommes observaient déjà le ciel il y a des dizaines de milliers d années. Des phénomènes tels que le déplacement du soleil dans le ciel ou les changements d aspect de la lune leur étaient familiers. Peu à peu, ils commencèrent à utiliser ces phénomènes à leur avantage. Par exemple, le mouvement du soleil dans le ciel pouvait leur servir à mesurer le temps. Le cycle des phases de la lune leur permettait d établir un calendrier lunaire très utile pour fixer la date des fêtes religieuses. Les anciens avaient également compris que le mouvement de révolution de la terre autour du soleil était lié au cycle des saisons. C est en 1609 que Johannes Kepler décrivit en premier le mouvement des planètes en étudiant l orbite de Mars avec l énoncé de ses deux premières lois. La troisième loi fut énoncée en ) Mouvement des planètes 1.1) Choix du référentiel Pour pouvoir définir le mouvement des planètes, il est nécessaire de définir un référentiel d étude choisi comme étant galiléen ) Référentiel héliocentrique Etoile lointaine Référentiel héliocentrique Etoile lointaine Etoile lointaine Référentiel géocentrique Le référentiel héliocentrique est un repère imaginaire ayant pour centre le centre du soleil et dont les trois axes sont donnés par les centres de trois étoiles lointaines considérées comme fixes sur des durées de plusieurs années. C est un référentiel galiléen pour des durées de l ordre de la période de révolution des planètes dont on étudie le mouvement. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 1

2 Le référentiel héliocentrique est donc le soleil privé de sa rotation propre. Il convient pour l étude du mouvement des planètes autour du soleil ) Référentiel géocentrique Le référentiel géocentrique est un repère imaginaire ayant pour centre le centre de la terre. Ses trois axes sont donnés par des étoiles lointaines considérées comme fixes sur des durées de quelques années. C est un référentiel supposé galiléen sur des durées faibles devant un an. Il convient pour l étude du mouvement des satellites terrestres. 1.2) Description du mouvement : lois de Kepler Les lois de Kepler sont des lois empiriques qui décrivent le mouvement des centres des planètes du système solaire dans le référentiel héliocentrique ) Première loi de Kepler : loi des orbites (1609) Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit, dans le sens direct, une trajectoire elliptique dont le soleil est l un des foyers. Approximation des orbites circulaires En première approximation, on considérera que les orbites des planètes sont circulaires et le centre de ce cercle coïncide avec le centre du soleil. Effectivement, à l exception de Mercure, les ellipses que décrivent les centres de gravité des planètes ont une très faible excentricité orbitale, et leur trajectoire est quasi-circulaire ) Deuxième loi de Kepler : la loi des aires (1609) Soit la position du centre du soleil et la position d une planète quelconque. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 2

3 Le rayon vecteur On a : balaye des aires proportionnelles au temps mis pour les parcourir. La vitesse n est donc pas constante le long de la trajectoire : elle est maximale au périhélie (point le plus proche du soleil) et minimale à l aphélie (point le plus lointain du soleil). Cas des orbites circulaires En présence d une orbite circulaire, la 2 ème loi implique que l orbite est parcourue à vitesse constante. Le mouvement sera donc circulaire uniforme ) Troisième loi de Kepler : loi des périodes (1618) Le carré de la période de révolution de chaque planète (durée mise pour décrire sa trajectoire complète autour du soleil) est proportionnelle au cube du demi grand axe de la trajectoire elliptique de la planète. est une constante identique pour toutes les planètes.! La constante est propre à chaque corps autour duquel gravite une planète ou un objet. C est une constante relative. Cas des orbites circulaires La loi des orbites s écrit pour une orbite circulaire de rayon : 1.3) Etude du mouvement de la terre La terre a un mouvement complexe qui résulte de la composition des mouvements de rotation autour du soleil et de rotation autour de l axe de ses pôles ) Mouvement du centre de la terre autour du soleil La terre tourne autour du soleil selon un mouvement circulaire uniforme. La période de rotation de la terre autour du soleil est de 365,25 jours, soit environ une année. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 3

4 1.3.2) Rotation de la terre sur elle-même Dans le référentiel géocentrique, la terre a un mouvement de rotation autour de l axe de ses pôles. Cet axe est incliné d un angle de 23,27 par rapport au plan de l écliptique (plan qui contient les orbites des différentes planètes). Cette position est fixe à notre échelle, mais varie sur des durées de quelques dizaines de milliers d années mouvement de précession de période ans (mouvement analogue à celui d une toupie). Actuellement, l axe pointe à peu près vers l étoile polaire, mais cela n a pas toujours été le cas. Au temps d Homère, l étoile Kochab de la petite ourse était l étoile la plus proche du pôle nord céleste. A ce mouvement s ajoute un mouvement dit de nutation qui est un balancement périodique de l axe de rotation de la terre autour de sa position moyenne. Ce mouvement est dû à l action de l attraction conjuguée du soleil et de la lune. Il peut se traduire par une oscillation de l axe de rotation de la terre pouvant aller jusqu à 17,2 (secondes d arc) avec une période de 18,6 années. Sens de rotation de la terre La rotation de la terre autour de son axe se fait d ouest en est. Période de rotation La période de rotation correspond à la durée mise par un astre pour faire un tour sur lui-même. Il existe deux types de période : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 4

5 - Le jour solaire correspond a temps au bout duquel la planète retrouve la même orientation par rapport au soleil (pour la terre ) - Le jour sidéral est le temps entre deux passages consécutifs d une étoile éloignée dans le plan méridien d un lieu ( ). jour solaire vers l étoile lointaine jour sidéral vers le soleil vers le soleil vers l étoile lointaine La terre fait 360 en un jour sidéral 2) La gravitation universelle 2.1) Champ gravitationnel 2.1.1) Champ créé par une masse ponctuelle Le champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle placée en un point crée en un point de l espace tel que est : constante de gravitation universelle avec vecteur unitaire porté par la droite 2.1.2) Champ créé par un objet à répartition sphérique de masse Le champ créé par un objet à répartition sphérique de masse est égal à celui d une masse ponctuelle situé au centre de l objet sphérique et de masse égale à la masse globale de l objet sphérique. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 5

6 2.1.3) Le cas du champ gravitationnel terrestre La terre est supposée sphérique de centre, de masse, de rayon L expression du champ gravitationnel en un point tel que est : Champ créé à la surface de la terre A la surface de la terre et On a : ce qui correspond bien à la valeur connue de l accélération de la pesanteur. Champ créé à une altitude On a. donc correspond à l intensité du champ à l altitude. A partir de la relation précédente, on peut écrire : Pour des altitudes telles que, on a Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 6

7 Le champ de pesanteur peut être considéré comme uniforme pour des altitudes de zéro à quelques kilomètres ( ). 2.2) L interaction gravitationnelle 2.2.1) Masse placée dans un champ de gravitation Une masse ponctuelle placée dans un champ de gravitation subit une force dite «force de Newton» 2.2.2) Loi de la gravitation universelle Si l on considère deux objets à symétrie sphérique de taille négligeable devant la distance entre les deux objets. Les centres d inertie des objets sont situés en et. L objet crée en un champ de gravitation tel que : L objet subit l action : De même, crée en un champ de gravitation tel que : Loi de la gravitation Deux objets et de masses respectives et exercent l un sur l autre une force telle que : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 7

8 2.2.3) Aspects énergétiques La force de gravitation étant une force conservative, elle dérive d un potentiel tel que l on ait : Par convention, on choisit. L énergie mécanique s exprimera alors pour le corps de masse comme : 3) Satellites de la terre 3.1) Etude dynamique (cas de l orbite circulaire) Référentiel géocentrique supposé galiléen Système = satellite Bilan des forces sur : Terre 2 nde loi de Newton : Dans le repère de Frenet, on a : On en déduit donc que circulaire uniforme.. La vitesse est donc constante. Le mouvement est ainsi On retrouve donc la 2 ème loi de Kepler pour les orbites circulaires Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 8

9 D où l expression de la période de révolution du satellite : L énergie cinétique du satellite est : L énergie mécanique du satellite sera : Remarque : la vitesse du satellite ne dépend pas des caractéristiques du satellite mais de son altitude uniquement. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 9

10 3.2) Satellite géostationnaire Un satellite est dit géostationnaire s il reste en permanence à la verticale d un même point de la terre. Son orbite est située dans le plan équatorial, circulaire et parcourue dans le sens de rotation de la terre. La période de révolution du satellite est égale à la période de rotation de la terre, soit un jour sidéral. Les satellites géostationnaires sont tous sur l orbite géostationnaire située à une hauteur d environ. 4) Détermination de la masse d une planète et 3 ème loi de Kepler Pour un satellite gravitant autour d un corps de masse sur une orbite circulaire de rayon, on a : On retrouve la loi de Kepler pour les orbites circulaires : Le rapport ne dépend donc que de la masse de l attracteur. On peut ainsi déduire la masse d un astre si l on connait les caractéristiques de l orbite d un satellite de cet astre : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 10