MIffHEMIffIQUES. lère épreuve (option générale) École Supérieure de Commerce de Lyon. 1. a. Pour tous entiers i et j entre 0 et 3, calculer P; ( j).

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Paul Garon
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1 Chambre de Commerce et d'lndustrie de Lyon École Supérieure de Commerce de Lyon CONCOURS D'ENTRÉE 994 MIffHEMIffIQUES lère épreuve (option générale) Lundi 9 mai 994 de I heures à 2 heures Sont autorisées : - règles graduées, - caiculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables et alphanumériques, à fonctionnement autonome, sans imprimante, sans document d'accompagnement et de format maximum 2 cm de long x 5 cm de large. PROBLEME lr IXl désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On note E le sous-espace vectoriel de lr IX] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à ' on note,'l] tabasecanonique de:,fi - (, X, x2' x). On définit les polynômes suivants : Po(x) = - + (x- ) (x-2) (x-) Pr(X) = zx(x-2) (X-) Pz(x) = -+x(x- )(x-) Ps(X) = 6 X(X-)(X-2). a. Pour tous entiers i et j entre 0 et, calculer P; ( j). b. Démontrer que ta lamille? = (Po(X), Pr (X), Pz (X), Ps (X)) est une base de E' c. Donner la matrice de passage Ae,'B a (. On note M cette matrice. d. Calculer,- par la méthode du pivot de Gauss : le détail des calculs devra figurer sur la copie.

de format maximum 2 cm de long x 5 cm de large. PROBLEME lr IXl désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

2 2. On définit le polynôme : P(x) = x(x-)(x-2)(x-). On note (p I'application de lrix] dans lui-même qui, àtout polynôme T(X), associe le restefl] de la division suivant les puissances décroissantes de T(X) par P(X). a. Démontrer que <p est linéaire. b. Démontrer que, pour tout polynôme T(X) : -//^\\ T(X) = T(0) Po(X) + T() Pr (x) + T(2) Pz(X) + T() Ps(X). c. En utilisant la formule vue en b., déterminer les composantes des polynômes, X, X2, X dans la base?. Quel résultat retrouve-t-on ainsi?. Soit S(X) un polynôme de lr [X]. On désigne par V l'application qui, à tout polynôme Q(X) de E, associe O(X)S(X). a. Démontrer que ÿ est un endomorphisme de E. b. calcuter V (po (x)),v (p, txl), V (p, (x)),v (p. txl). Est-ce que V est diagonalisable? c. On se place ici dans le cas particulier: S(X) = 2X + X2 -X +. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de V.

$Démontrer que, pour tout polynôme T(X) : -//^\\ T(X) = T(0) Po(X) + T() Pr (x) + T(2) Pz(X) + T() Ps(X). c. En utilisant la formule vue en b.$

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