1 cos t x t 2 x 1 cos t. dt ; l intégrale de droite a une limite en plus l infini car, d une part elle est de mme nature que x 1 cos t

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1 96esim.e 96 ESIM : Foncion coninue don la série de FOURIER diverge en Mr VIDIANI version mardi aoû : 8h3 nom : spé M carno DIJON Le plan du problème e son obje consruire une foncion coninue paire π périodique don la série de FOURIER diverge en un poin es bien donné. Cinq erreurs ou imprécisions d énoncé : I-5 fau-il se conener de donner l eisence de K, ou comme le suggère l énoncé, le calculer eacemen? Dans II. l énoncé devrai demander de calculer l inégrale, non seulemen en foncion de s n ET de. En II.4 l indice mue n es mal choisi, car il peu prer à confusion avec le n fié de II.5. En II 5.b l énoncé oublie de préciser que r e s son eniers, on le résula es fau par eemple pour r= e s=. ; Dans le second problème en 4.b P n es la parie régulière e non le développemen limié lui mme. PREMIER PROBLÈME Parie I ϕ es définie : La foncion sous le signe somme es en effe coninue sur R e prolongeable par coninuié en par la valeur : elle s donc localemen inégrable e bornée : ϕ es donc bien définie sur R. Quand au fai qu elle a une limie finie en +, cela peu se démonrer de rois manières : On inègre par paries, pour faire apparaîre une inégrale absolumen convergene : du = d u = cos choi de la consane pour coninuié en v = dv = d ce qui donne ϕ = [ ] cos = cos d ; l inégrale de droie a une limie en plus l infini car, d une par elle es de mme naure que cos d e comme cos d don l inégrale de RIEMANN avec α = > converge, par dominaion l inégrale + d converge? L inégrale + d converge d après le crière d ABEL inégral, puisque décroi e end vers zéro e que Y d = cos X cos Y es bornée indépendammen de X e Y réels. X Par référence à une série alernée : Comme α n = n+π nπ d es décroissan e end vers zéro, e que n+π nπ d end vers zéro, on en dédui que l inégrale + d converge. cee méhode fi l obje de la quesion. α n décroî : En effe α n = n+π nπ variable = nπ + u donne α n = n π d n+π nπ d n+π du nπ nπ = n e le changemen de du qui décroî bien en foncion de n. u nπ+u encadremen à faire : C es du cours sur les séries alernées : α + α + α +... ; les accolades en dessous }} 3.a }} prouven l inégalié de droie ; les accolades en dessus de α α +... prouven celle de gauche. encadrer ϕ : On a d après CHASLES ϕ = nπ d+ nπ d comme la dernière inégrale es 3.b+3.c posiive à cause de la parié de n, e inférieure à α n on a : n α k ϕ n+ α k α, ce qui es l encadremen demandé. Quan à l encadremen de 3.cil résule de ce que l imparié de ϕ perme de se ramener à R+, e que n de la quesion précédene eise comme parie enière de π. ψ es C : On peu écrire ψ = ; es la seule racine du dénominaeur dans l inervalle proposé : 4 + k+ + k k+! pour non nul on peu écrire : ψ = k+! = + k = + Comme la foncion k k= k+! k= k+! de droie prend la mme valeur en que ψ elle lui es égale parou, son numéraeur es C comme somme d une série enière de rayon infini, le dénominaeur, aussi, e comme il es prolongé par en, il ne s annule pas e ainsi ψ rappor de deu foncions de classe infinie dans l inervalle proposé es aussi de classe infinie.

2 96esim.e 96 ESIM : deu problèmes FOURIER+Équaion différenielle Mr VIDIANI Eisence de K : L énoncé es ambigu, car comme il es rédigé, on pourrai croire que l on demande sa 5 valeur eace, e non seulemen son eisence ; or les deu démonsraions ne son pas de la mme longueur, e cela pénalise les candidas scrupuleu, qui on compris l énoncé dans le sens précis de sa rédacion liérale! Première démonsraion : eisence seule de K : ψ éan coninue sur le compac [ π, π ] y es bornée, d après le héorème des BORNES, par un nombre S ; Or le membre de gauche de l inégalié proposée es inférieur à la valeur absolue de l inégrale [ n + ] ψ S Donc on peu prendre K = πs. Seconde démonsraion : calcul de K : Pour se rassurer on peu éudier graphiquemen ψ au moyen de Maple, dans l inervallle [, π ] par plo/ /, =..Pi/,.4.., scaling = UNCONSTRAINED, ile = ESIM 996 f = / / ; qui donne un maimum pour la valeur absolue en π. On éudie les variaions de ψ impaire, dans l inervalle [, π ]. ψ = + cos = cos qui es du signe de N = cos cos = cos +cos ; Pour avoir son signe on éudie ses variaions N = cos e N = cos cos cos cos 4 cos ; Pour avoir le signe de N on pose C = cos e N es ainsi du signe de A = C 4 C 3 C C C 5 = CC 3 C + C C 4 = CC 3 + C C 4 = C [ C C + C + C C C + ] = CC C + C + C 3 C = CC C C 3 + C + ; or une éude rapide de BC = C 3 + C + C + donne B C = 3C + C + rinôme du second degré, qui es posiif pour C enre e, car du signe opposé à son coefficien dominan -3 enre ses deu racines qui son +ε 7 3 e on a ainsi les ableau de variaions : C B C + BC 4 π donc N es négaif e e ainsi S = ψ π = π N N ψ e K = Sπ = π. Parie II Calcul de s n + : s n + = +cos +...+cosn = +cos +...+cosn = Re+ei +...+e in [ ] [ = e e i Re in+ e i e i n+ n+ ] = On facorise hau e bas l eponenielle de la moiié de l argumen = Re e i [ n+ ] n+ = Re e in = cos n n n+ cos = = n+ ; On consae, par équivalen que cee formule se prolonge pour = modulo π. [ s n + ] = n + Inégrale à calculer : D après le calcul précéden [ ] n+ u du = u s n u + du = + s n s n soi [ ] n+ u du = s n +. L énoncé aurai du préciser en foncion de s n e de u. [ ] n+ u u du = [ n + ] u ψ u + u ] u u Calculer A : D après II. on a : s n = 3 u du = [ ] n + u ψ u + u du = [ n + du + ϕ [ n + ]. Comme s n es π périodique e impaire, pour la recherche de A, on peu se limier à π e d après I.3.c on a s n K + α + π = A V es paire : V eise, car la série associée es NORMALEMENT convergene d après la majoraion précédene 4 car v n n A n. E comme chaque v n es pair comme produi de foncions impaires e π périodiques, V l es aussi. Comme les v n son coninues e que la convergence de la série de V es normale donc uniforme, V es aussi coninue. +

3 96esim.e 96 ESIM : Foncion coninue don la série de FOURIER diverge en Mr VIDIANI 3 Inégaliés à démonrer : Pour la première on ajoue m + au rois membre de m k ce qui 5.a donne m = m + m m + k m +. Pour la seconde on ajoue m + au rois membre de k m ce qui donne m + + m + + k m + + m = 3 m. Inégalié à démonrer : L énoncé compore une erreur, il devrai préciser que r e s son ENTIERS 5.b! On a 3 < 8 = 3 donc 3 r < 3+r = r ++ r +.r+ r+ s cqfd. Calculer a p v m : La difficulé de cee quesion le jour du concours, ien à la difficulé d ordonner une 5.c discussion rapide e précise. Il y fau du emps e une bonne mairise du calcul. On linéarise comme indiqué v m : v m = s m m + = cos m + + k + cos m + k ]. v m = m m k k m + = [ cos m + + k + cos m + k ] k m [ k Première méhode : D après les quesions précédenes, les nombres m + k e m + +k son dics lorque k e m varien : a p c m sim n alors ap v m = es le coefficien en cosp de v m donc : sim = n alors a p v m = D o : a p v m = δ m,n n + p m + p le δ m,n es le dela de KRONECKER. Seconde méhode : Puis v m cosp = [ m k cos m + +k cosp+cos m + k cosp ] = m 4k[ cos m + + k + p cos m + + k p + cos m + k + p + cos m + k p. E il ne rese plus qu à inégrer, en enan compe de ce que π π cossd = si s n es pas nul e π on. Compe enu des encadremens de 5.a : m m + k < m + On a : m + < m + + k 3 m + m + n m + k + p < m + + n + m + k + p n es jamais nul m n + < m + k p < m + n m + k p ne peu re que si m=n on < ou > m + + n < m + + k + p < 3 m + n + m + + k + p n es jamais nul m + n + < m + + k p < 3 m + n m + + k p jamais nul car > si m < d après 5.b on Le seul k donnan un erme non nul dans la somme des inégrales qui inerviennen dans le calcul es k = n + p. Par conséquen on rouve aussi : a p v m = δ m,n n + p le δ m,n es le dela de KRONECKER. 5.d : a p V = Calculer a p V : On a le droi de permuer inégrale e sommaion de la série de V, puisqu il y a convergence UNIFORME de la série V, puisque convergence NORMALE. On a immédiaemen d après le calcul précéden n n + p Équivalen de somme parielle de la série harmonique : C es du cours : par le héorème de RIEMANN 6.a n de comparaison de série e d inégrale on a = lnn + C + o. C=.57.. éanla conane d EULER, k par Maple on a auan de décimales qu on le désire. 3

4 4 4 96esim.e 96 ESIM : deu problèmes FOURIER+Équaion différenielle Mr VIDIANI 6.b Conclure pour la convergence de la série de FOURIER en : D après les résulas précédens : n + p= n a p V = ln n = n ln. Par conséquen n + n n + p = en commençan la sommaion par la fin n n p= n Conséquence : On reconnai dans cee parenhèse la somme parielle harmonique H n n + p= n a p V n= ln Conclure pour la série de FOURIER de V : La série de FOURIER de V au poin =, ne saisfai pas à la condiion de CAUCHY, donc diverge. Le problème a monré, qu re coninue e π périodique, ne suffisai pas pour que la série de FOURIER d une foncion converge. Demander au élèves l énoncé du héorème de DIRICHLET!. DEUXIÈME PROBLÈME Naure de l inégrale proposée : Si α <, la foncion f sous le signe somme n es pas définie en + : das.a ous les cas on peu écrire f = α e, l eponenielle éan prépondérane par rappor à oue puissance, la limie de f en + es : la foncion f éan localemen inégrable e bornée sur ], ], l inégrale proposée converge. Naure de le la seconde inégrale : Cee fois comme e > α+, f es minorée au voiage de.b -, par don l inégrale de RIEMANN du ype d avec m > diverge, l inégrale proposée diverge m donc pour ou valeur de α. Suppor des poins d infleion : Comme la quesion es posée, on ne cherche pas à démonrer qu une.a soluion es C, on le suppose on il suffirai sauf en d uiliser le ransfer par y = y. On dérivan les deu membres de E par rappor à e remplaçan y par e y par sa valeur irée de E, on a pour les poins d infleion : y + y + y = soi + y = soi + y = ou encore + y = ; c es une courbe du second degré, donc une conique, du genre HYPERBOLE, car les ermes de plus hau degré y = y représenen deu droies réelles dices. Pour préciser ses caracérisiques on peu écrire y + y = ou encore + a y + b + y a + ay b ab = ; on déermine a e b réels pour que y a + ay b soi a= e -a-b= ou encore a = = b ; Les poins d infleion des soluions C de E son donc sur l hyperbole + y + = 4 don les asympoes son en évidence. Résoudre E : Sur les inervalles o ne s annule pas E s écri y = y, donc y vérifie les hypohèses de.b CAUCHY LIPCHITZ, il eise une soluion e une seule pour dans ces inervalles respecivemen, passan par un poin donné. E es une équaion différenielle du premier ordre LINÉAIRE, avec second membre : l équaion z sans second membre s écri pour n non nul : s = soi ln z = + ln C k, o C k es une consane arbiraire sur chaque inervalle I k. e ainsi z = C k e : Pour résoudre E on uilise la méhode mnémoechnique die de Variaion de la consane : on pose y = ue, y = u e +...des ermes qui se réduisen dans le repor dans E, e ainsi u e = soi u = e e comme on ne cherche qu une soluion pariculière on peu prendre u = d e sur R+, l inégrale converge en, d après.a e u = d e sur R. on a mis la borne - pour ne pas avoir de problème de divergence en. La soluion générale de E sur I k es y = e Ck + u Trouver f ayan une limie nulle en : Comme e es infini en +, e que u + = inégrale convergene 3.a en +, il fau prendre C =, e cee valeur convien car alors : f = e d e = e d e e une u = du = d [ inégraion par paries donne dv = d e v = e e f = e ] e e e d = e e d ; Comme il y a une indéerminaion, du ype quand end vers + on inègre la nouvelle inégrale J par paries en remarquan que J = e d = e d e ainsi :

5 96esim.e 96 ESIM : Foncion coninue don la série de FOURIER diverge en Mr VIDIANI 5 u = du = d dv = d e v = e soi J = e e d e comme J < e car es croissane ; On a bien f end vers quand end vers +. f = e d e. Trouver g : Cee fois C e end vers zéro quel que soi C, pour endan vers - ; On a y = C e +h 3.b d après la noaion 4.b, il fau oujours lire l énoncé en enier. Tou revien à démonrer que h end vers zéro en -. Plusieurs essais malheureu, prouven qu il fau scinder par CHASLES l inégrale comme pour CÉSARO!. Or on inégre une fois par paries l inégrale y figuran, par la mme méhode qu en 3.a mais cee fois avec la borne -. h = e e + e e d. h = e e + e e d e d ; Or e d < + e e son produi par e end vers. De mme e d < e = e e de mme son produi par e end vers. g = C e + h pour < avec C arbiraire le graphe en maple des soluions de E semble monrer que non! la limie n es pas! Trouver P n : On inégre par paries l inégrale K n = n e d = n+ e d figuran dans J n, ce qui 4.a u = n+ du = n + n donne : dv = e par suie K n = n+ e n+kn+ ce qui donne en muliplian d v = e les deu membres par n n! J n = n n! n+ e + Jn+ e en décrémenan d un indice : J n = n n! n e + Jn ; on ajoue oue ces relaions décrémenées, don la dernière es J = e + j e on rédui les n ermes J k qui apparaissen dans deu membre différens : On en dédui que P n = k k! k Développemen limiés à droie des soluions de E : On a vu qu il n y en avai qu une f = e J 4.b voir 3.a ; Donc f = e Jn + P n fourni bien le développemen limié de f, à l ordre n ; le fai que l aure erme es un o n se démonrerai en inégran par paries eacemen comme dans 3.a. Eisence de soluions développables en séries enières au voiage de : La recherche d une 5 série formelle y = a + a +... soluion de E condui par idenificaion des coefficiens des deu membres : a +a +..+na n n +...+a +a +..+a n n +... = ce qui donne a = a =...a n+ = na n =... = n n! ; Le crière de D ALEMBERT donnerai que le rayon de convergence de cee série serai nul! Eisence de soluions de E définies sur R? Comme on doi avoir un raccord de coninuié en d après 5 3, la seule possibilié es qu une elle foncion ai comme resricion f sur I e g comme resricion sur I. Une elle foncion es déja coninue e soluion de l équaion sur R ; elle es de plus dérivable en, d après le résula admis car h h P n ; e ainsi C e + h es bien dérivable en -. e h es dérivable en +, les deu dérivées à droie e à gauche de éan égales. e -. En E es bien vérifiée. es de dérivée nulle en - car e Toues les foncions C + h pour > e h pour posiif son des soluions de E sur R. end vers, quand end vers Vidiani M Carno 5