VIII. Calcul intégral

Transcription

1 8 Clcl itégrl.doc /6 V. Clcl itégrl Prtie A Primitives / Défiitio Défiitio : Primitive d e foctio. Soit f e foctio défiie sr itervlle. F est e primitive de f sr si : F est dérivle sr et por tot de, F '( ) f ( ) =. Eemple : Soit f ( ) =. F ( ) = est e primitive de f cr F '( ) = f ( ) Mis G ( ) = + est ssi e primitive de f cr G '( ) f ( ) Pls géérlemet H ( ) = + k est e primitive de f. =. / Eistece de primitives, esemle des primitives d e foctio. Théorème. (dmis) : Tote foctio cotie sr itervlle dmet des primitives sr. Théorème. Soit f e foctio défiie et cotie sr et F e primitive de f sr ; lors : Por tot réel k, l foctio G ( ) défiie pr ( ) ( ) G = F + k est e primitive de f sr. Théorème. Réciproqe : Si G est e primitive de f sr, il eiste k R tel qe G ( ) = F ( ) + k Atres formltios de ces de théorèmes : Si F est e primitive de f sr, lors l esemle de totes les primitives de f sr est l esemle des foctios de l forme G ( ) = F ( ) + k, où k est omre réel. De primitives d e même foctio diffèret d e costte. Eemple : Détermier totes les primitives de l foctio f ( ) =. Comie y -t-il de primitives de l foctio f dot l imge de est 5. Soltio : Les primitives de f sot de l forme F ( ) = + k. F = k = 5. Doc ( ) Doc l sele primitive de l foctio f dot l imge de est 5 est l foctio ( ) F = + 5. D:\rchives\pierre\cors\termil\Tes\8 clcl itégrl\8 Clcl itégrl.doc /6

2 Théorème 4. Uicité : 8 Clcl itégrl.doc /6 Soit f e foctio défiie et cotie sr itervlle. Soit primitive G de f telle qe G ( ) = y. Eercice(s) N 67 ; 69 ; 7 ; 8 ; 84 p 95 / Primitives des foctios de référece. et y R. l eiste lors e iqe Elles s otieet pr lectre iverse d tle des dérivées. Ds le tle sivt, F est e primitive de f. f ( ) F ( ) Remrqe : Z + + = doc e primitive de 4 / Primitives et opértios e l e est = Théorème 5. Soit f et g de foctios yt por primitive respective F et G et k omre réel. Alors : F + G est e primitive de f + g. kf est e primitive de kf. Démostrtio : ( F + G)' = F ' + G ' = f + g ( kf )' = k F ' = k f. D tre prt, e tilist l dérivtio de composée de foctios, o otiet : f ( ) '; Z { } ' ' Si est à vlers positives ' Si est à vlers positives e ' F ( ) + + l e Eercice(s) N 7 ; 7 ; 7 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 85 ; 86 p 95 Eercice(s) N p Activité p 88 Prtie B Clcl itégrl / tégrle d e foctio positive sr itervlle Défiitio : Uité d ire. Soit ( O; i; j) et C ( ;). repère orthogol d pl, et les poits A ( ; ), B ( ;) L ire d rectgleoacb défiit e ité d ire, otée.. D:\rchives\pierre\cors\termil\Tes\8 clcl itégrl\8 Clcl itégrl.doc /6

3 Défiitio : tégrle Soit f e foctio cotie, positive, sr [ ; ] (vec < ). L ire d domie défii pr : ) L e des scisses ) Les droites d éqtios = et = ) L core représettive de l foctio f 8 Clcl itégrl.doc /6 eprimée e ité d ire, est otée ( ) f etre et. et ppelée itégrle de f d = Eemple : Clcler = ( + ) d et ( ) E d Soltio : + Figre = = (il s git de l ire d trpèze OABC ). Les résltts sot otes e ité d ire (.). Figre = + + = / Lie vec les primitives Eemple 4: Retor sr le clcl de de /Défiitio :Eemple :. Posos f ( ) = +. Détermier e primitive F de f. Clcler F ( ) F ( ) O costte qe f ( ) d = F ( ) F ( ).. O dédit de cette remrqe l propriété sivte (vlle y compris si > o si l foctio f est ps positive) : Théorème 6. Soit f e foctio cotie sr itervlle, et e réels de, et F e primitive de f sr. O : f ( ) d = F ( ) F ( ) qe l o ote f ( ) d = F ( ) F ( ) = F ( ) Eemple 5: Clcler = d. Soltio : Soit f ( ) = ; ( ) Eercice(s) : N 8 ; 9 p 8 N 6 ; 8 ; p 9 / Vler moyee d e foctio trodctio = Activité p 8. F = est e primitive de f d où 7 = = = D:\rchives\pierre\cors\termil\Tes\8 clcl itégrl\8 Clcl itégrl.doc /6

4 Défiitio 4: Soit f e foctio défiie sr itervlle, dmettt des primitives sr.l vler moyee de f sr l itervlle [ ; ] cote ds est le omre réel ( ) M = f d. 8 Clcl itégrl.doc 4/6 Eemple 6: Détermier l vler moyee de l foctio ( ) f = + sr l itervlle [;] Eercice(s) : N ; p 9 Prtie C Propriétés des itégrles Théorème 7. Por tote foctio f dmettt des primitives sr itervlle et por tot, o ( ) f d = Démostrtio : Soit F e primitive de f. ( ) = ( ) = ( ) ( ) = f d F F F Théorème 8. Si f est positive sr itervlle [ ; ] (o doc < ), lors f ( ) d Démostrtio : Si f est positive, f ( ) d est l ire d domie doc ( ) f d Théorème 9. ( ) = ( ) f d f d Démostrtio : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) = ( ) f d F F F F F f d Théorème. Reltio de Chsles : por tos réels, et c, ( ) + ( ) = ( ) c c f d f d f d Démostrtio : Ds le cs où f est positive et < < c, c ( ) = = + = ( ) + ( ) c f d A A A f d f d Théorème. Liérité de l itégrle ( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) f g d f d g d ( ) ( ) λ R o : λ f d = λ f d Démostrtio : Soit F e primitive de f et G e primitive de g. D:\rchives\pierre\cors\termil\Tes\8 clcl itégrl\8 Clcl itégrl.doc 4/6

5 F + G est e primitive de f + g doc ( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) f g d F G F G f d g d λ F est e primitive de f λ doc λ ( ) = λ ( ) = λ ( ) = λ ( ) f d F F f d Théorème. Si f ( ) g ( ) sr [ ; ], lors ( ) ( ) Démostrtio :Ds le cs où f et g sot positives sr [ ; ] O ( ) = = ( ) f d A A g d Eercice(s) : N 47 ; 48 ; 5 ; 6 p f d g d 8 Clcl itégrl.doc 5/6 Prtie D Clcl de vlers pprochée d itégrle : méthode des rectgles Eemple 7: Soit à clcler e vler pprochée de Remrqe : Ll foctio ( ) d. f = est e foctio croisste sr [;]. ère étpe : vec sel itervlle : d ème étpe : vec itervlles d soit 4 De même, 8 d 5 Filemet : 8 d 8 ème étpe : e 4 itervlles. 4 d 4 4 d d 8 J O J 4 d O d ( ) De sorte qe : d D:\rchives\pierre\cors\termil\Tes\8 clcl itégrl\8 Clcl itégrl.doc 5/6

6 k O = et 4 k = 4 4 k = k = 4 O filemet : 4 k k d 4 k = 4. 4 k = 4 8 Clcl itégrl.doc 6/6 Pls géérlemet : e itervlles. k k d k = k = 4 4 Eercice(s) : N 6 p 8 D:\rchives\pierre\cors\termil\Tes\8 clcl itégrl\8 Clcl itégrl.doc 6/6