5. Calcul des Aciers Transversaux

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1 5. Calcul de Acier Tranveraux 5.1 Ea de conraine dan une poure en flexion imple Rappel de RdM : Eudion une poure en flexion imple, oumie à une charge uniformémen réparie. Pour un poin donné de la poure, e pour une facee en ce poin, l'éa de conraine e repréené par un couple (σ, ) de conraine normale σ e de ciaillemen (ou conraine angene). Ce éa de conraine adme de direcion pariculière de conraine qu'on appelle conraine principale. Le direcion de conraine principale de racion e de compreion permeen de racer le rajecoire de conraine ou ioaique. Ce on le ligne uivan lequelle 'exercen le plu fore conraine de racion e de compreion. Y V Effor ranchan M Momen fléchian p On comprend aini qu'il e néceaire d'armer le béon uivan le direcion de conraine principale de racion. Dan la praique la poure e armée par un réeau d'armaure longiudinale qui reprend le conraine normale e un réeau d'armaure ranverale qui reprend la racion induie par le conraine de ciaillemen. σ Conraine normale Conraine angene Fig.5.1 Charge, olliciaion e conraine Direcion principale de conraine de : - Compreion - Tracion Chap.5 Acier ranveraux 1

2 Fig.5.2. Rappel de RdM. Analye de conraine auour de 3 poin de la poure Cercle de Mohr de l éa de conraine auour du poin éudié Poiion du poin éudié Facee horizonale Facee vericale 2 σ 1 1 Poin 1 iué dan la zone comprimée 1 Direcion de racion principale Facee horizonale 2 Poin 2 iué dan la zone endue 2 2 Facee vericale σ 2 Direcion de racion principale Facee horizonale 3 = 45 Poin 3 iué ur l axe neure 3 Facee vericale 2 = 9 3 Direcion de racion principale Convenion de igne > σ > Propriéé: Si la facee ourne de, le poin repréenaif ur le cercle de Mohr ourne de 2 Chap.5 Acier ranveraux 2

3 Le diagramme de conraine normale e angene de figure précédene on modifié dan le ca d'une poure en béon armé. On néglige en effe la réiance en racion du béon. y d z h A b y M u N N bc z A σ(x,y) Axe neure Effor réulan de conraine normale Conraine normale Fiuraion due aux conraine normale y y Axe neure V u (x,y) Effor ranchan Conraine de ciaillemen Fiuraion d effor ranchan Fig.5.3 Solliciaion, conraine, fiuraion Cee fiure e l'amorce d'une rupure qui éparerai la poure en deux parie. Il e donc néceaire de coudre la fiure par pluieur cour d armaure. 5.2 Calcul de conraine angene D aprè le cour de RdM : (x,y) = V u (x).s(y)/[b(y).i gz ] avec (x,y) La conraine angene régnan à l abcie x de la poure e à l ordonnée y de la ecion V u (x) L effor ranchan à l ELU à l abcie x de la poure S(y) Le momen aique de la ecion au deu de y e par rappor à Gz b(y) La largeur à l ordonnée y de la ecion d abcie x Le momen quadraique (di d inerie) de la ecion homogène réduie I gz Remarque. Dan une ecion d'abcie x, (x,y) varie comme S(y): Dan un premier emp S(y) varie de à max, pui S(y) e conan puique le béon endu e négligé enfin S(y) e nul puique le momen aique du béon comprimé e égal e oppoé à celui de acier endu. Chap.5 Acier ranveraux 3

4 Calcul de la conraine angene maxi. u max (x) = V u (x).s G /[b.i gz ] S G = b.y g 2 /2 = na(d-y g ) σ S = n.m(d-y g )/I gz avec n coefficien d équivalence acier béon (voir chapire ur l ELS) M = z.n = z.a.σ S D où z = M/ A.σ S = M/ [A.n.M(d-y g )/I gz ] = I gz /S G Soi u max (x) = V u (x)/[b.z] Par ailleur le règlemen défini une conraine angene convenionnelle. u (x) = V u (x)/[b.d] avec d =,9h en général Le règlemen donne une valeur limie à u. Il fau donc vérifier que : u max = V u maxi /[b.d] < u limie Avec u limie défini dan le ableau ci-join : u limie [MPa] Fiuraion peu préjudiciable Fiuraion préjudiciable ou rè préjudiciable Cadre droi Min [,2.f cj /γ b ; 5] Min [,15.f cj /γ b ; 4] Cadre à 45 Min [,27.f cj /γ b ; 7] Min [,27.f cj /γ b ; 7] Cadre à 22,5 Min [,235.f cj /γ b ; 6] Min [,21.f cj /γ b ; 5,5] On remarque que le cadre incliné on plu efficace (Voir le paragraphe 1). Exemple : Valeur de u limie à l ELU normal i f c28 = 3 MPa Fiuraion peu préjudiciable Fi. préjudiciable ou rè préjudiciable Cadre droi 4 MPa 3 MPa 5.3 Calcul de armaure ranverale Nou venon de voir la néceié de coudre le fiure par de armaure. Ce que précie l'aricle A 5.1,22.du BAEL 91 : "Toue âme de poure compore une armaure ranverale compoée d'acier parallèle au plan moyen de l'âme e ancré efficacemen dan le deux membrure. Ce acier fon avec l'axe longiudinal de la poure un angle compri enre 45 e 9, leur inclinaion éan de même en que celle de la conraine principale de racion au niveau du cenre de gravié de la ecion de la poure uppoée non fiurée." V u /in V u z d h z z/an b Fig.5.5 Couure d une fiure d effor ranchan Chap.5 Acier ranveraux 4

5 Soi m le nombre de cour de ecion A ravaillan à σ pour équilibrer un effor global Vu(x)/in m = z.(1+ 1/an )/ e m.a. σ = V u (x)/in d où A z. σ V (x) = u [1].(co + in) D'aure par pour que la couure oi efficace, il fau limier upérieuremen l'epacemen de armaure. Voyon le dipoiion réglemenaire e la forme de l'équaion [1] dan l'aricle A 5.1,23. Reprenon l'expreion [1] en conidéran que: f e σ = e γ V u u = d où bd A f z.. γ..b.d u = oi e.(co + in) b A. γ. u = z.fe.(co + in) d Le règlemen conidère à jue ire que z =,9.d. D aure par le béon équilibre une parie de l'effor ranchan du fai que a réiance à la racion n e pa nulle un erme,3.f j.k e inrodui dan la formule réglemenaire. Cee porion d'effor ranchan équilibrée par le maériau béon e d'auan plu grande que celui-ci e comprimé. Elle n'e effecive que 'il n'y a pa de reprie de béonnage non raiée. La formule réglemenaire e en fai: A b. γ.[,3.f.k],9.f.(co + in) e u j = avec f j 3,3 MPa e k = ou 1 en flexion imple A m 2 Secion globale d un cour d armaure ranverale b m Largeur de la poure u MPa Conraine angene convenionnelle f j MPa Conraine de rupure en racion du béon f e MPa Limie élaique de l acier γ / Coefficien de écurié pariel ur l acier (1,15 à l ELU normal) k / - k = 1 il n y pa de reprie de béonnage ou i celle-ci e raiée - k = il y a une reprie de béonnage non raiée - k peu êre > 1 ou < dan le ca de flexion compoée (voir A 5.1,23) La valeur de e limiée réglemenairemen: Min [,9.d ; 4cm] (A 5.1,23) Un pourcenage minimum e exigé pour le poure : la ecion d acier par unié de longueur A / doi êre elle que : avec A en m 2, en m, b en m e f e en MPa A /,4.b / f e Cee condiion de pourcenage minimal ne concerne pa le dalle. Voir pour cela le chapire raian de dalle. Il exie de dérogaion aui pour le poure econdaire de plancher. Voir le paragraphe B.6.7,1. Chap.5 Acier ranveraux 5

6 5.4 Déerminaion praique de armaure ranverale : Géomérie b h d Maériaux : acier f e béon f j armaure longiudinale Φ L, nombre Effor ranchan V u Choix du diamère de acier ranveraux dan la praique prendre Φ = Φ L /3 Il fau la courbe enveloppe de effor ranchan à l ELU Le BAEL indique pour le diamère de acier ranveraux (A7.2.2) Φ <Min[h/35 ; Φ L mini ; b/1] Le diamère couran on en bâimen 6, 8, 1 évenuellemen 12 ou 14 Calcul de A A e la ecion droie oale d un cour d armaure ranverale. Exemple pour un cadre e épingle HA6 : 3 brin HA6 =,848 cm 2 Vérificaion de la conraine de ciaillemen max = V u /bd < u limie = Min[deux valeur] Voir valeur de u limie =Min[deux valeur] foncion de f j e de l orienaion de cadre A5.1,21 Calcul de l écaremen maxi S max = Min[,9d ;,4m ; A.f e /(,4b)] A.1,22,9.f e.a.(co + in) Vu b. γ.[,3.f j.k] b.d En flexion imple k = i reprie de béonnage non raiée e k=1 inon. Si cadre vericaux e reprie de béonnage non raiée S =,9.f e.a.d/[γ.v u ] - Calculer le premier epacemen S pour V u à x = e placer le premier cadre à S /2 - Si S < 6 ou 7cm augmener A e i S > S max diminuer A - Répéer enuie l epacemen n foi (avec «n» nombre de mère dan la 1/2 porée par ex.) - Coninuer par l une de deux méhode uivane - Méhode analyique - calculer l effor ranchan pour cee nouvelle abcie x = /2 + n. - Calculer le nouvel epacemen pour ce nouveau V u - Répéer l opéraion juqu à aeindre V u = ou max Méhode de Caquo - Applicable eulemen pour le poure uniformémen chargée, de ecion ranverale conane - Aprè avoir répéer n foi, e raccorder à la uie de valeur uivane an dépaer S max [cm] Chap.5 Acier ranveraux 6

7 5.5 Applicaion : Suie de la poure éudiée aux chapire 1 e 4 Déerminer le ferraillage ranveral de la poure éudiée aux chapire 1 e 4. P = 1,35G+1,5Q =, 221 MN/m Vu (x) =,221. -,663 MN Soluion. Géomérie : b =,2m h =,5m d =,9h =,45m Maériaux : f e = 5MPa f c28 = 25 MPa f 28 =,6+,6x25 = 2,1MPa armaure longiudinale 4HA14 Fiuraion peu préjudiciable Choix du diamère de acier ranveraux Φ = Φ L /3 = 14/3 on choii un cadre verical HA6 Pour un cadre il y a 2 brin pour coudre la fiure d effor ranchan A = 2HA6 =,57 cm 2 Vérificaion de la conraine de ciaillemen. Cadre vericaux, fiuraion peu préjudiciable max = V u /bd u limie = Min[,2f c28 /γ b ;5MPa],663/(,2x,45) Min[,2x25/1,5 ;5MPa],731 MPa 3,33MPa OK Calcul de l écaremen maxi S max = Min[,9d ;,4m ; A.f e /(,4b)] S max = Min [,9x,45;,4;, x5/(,4x,2) =,35m,9.f e.a.(co + in) Vu b. γ.[,3.f j.k] b.d k = car on conidère une reprie de béonnage enre reombée de poure e dalle. Cadre vericaux, d où S =,9.f e.a.d/[γ.v u ] S,9x5x, x,45/(1,15.v u ) =,1/V u Vu S,1/V u S reenu nombre [m] [MN] [m],663,151,15,15/2+3x,15 =,52,548,183,18 3,52+3x,18 = 1,6,429,234,23 3 1,6+3x,23 = 1,75,276,36 > max,35 / Chap.5 Acier ranveraux 7

8 Le premier cadre e placé à /2 pour coudre la première fiure. Pour implifier le calcul e la mie en œuvre, on garde n foi le même epacemen (en général 3 ou 4 foi). Mai pour la méhode de Caquo n e le nombre enier de mère dan la demi porée. Répariion de armaure ranverale : Le calcul conduien à la répariion héorique uivane de cour ucceif d'armaure ranverale. L'inervalle "x", auquel on parvien ici, vau 4 cm. On peu le parager en 2 x 2 cm e laier la répariion aini. Cependan, il e plu judicieux de revoir l'enemble de la répariion e de parager l'inervalle x de chaque coé de manière à l'inégrer à la uie de epacemen. 5.6 Méhode de Caquo Reprendre l exercice précéden, mai déerminer le epacemen de cadre par la méhode de Caquo. Soluion. Cee méhode ne perme que d obenir rapidemen la répariion de epacemen le long de la poure aprè avoir calculé. Dan nore ca la méhode de Caquo applique car la poure e uniformémen chargée e de ecion conane. On a calculé = 15cm. Le aure epacemen on d aprè la érie de Caquo 16, 2, 25 e 35 (car max = 35cm). Ce epacemen eron répéé n foi, avec n nombre de mère dan la demi porée. Ici n = 3. D où le plan de ferraillage uivan. Dan la parie cenrale, on ne peu mere n x 35cm, donc on répari par exemple le cadre comme indiqué. On remarque que cee méhode implifiée conomme dan nore ca deux cadre de plu que la méhode analyique. 9 Chap.5 Acier ranveraux 8

9 5.7 Si aucune reprie de béonnage Reprendre l exercice précéden, mai en conidéran qu il n a pa de reprie de béonnage Soluion. Dan ce ca k = 1. 4,9.f e.a.(co + in),9x5x,57.1 D où oi = 1,4m >,35 m Vu,663 b. γ.[,3.f j.k],2.1,15.[,3x2,1x1] b.d,2x,45 L epacemen calculé e imporan du fai de la capacié du béon à réier à la racion. Le cadre eron donc epacé de 35cm au maximum avec de premier cadre à 35/2 = 17cm du nu de l appui. Soi le chéma de ferraillage uivan compe enu de dimenion de la poure Chap.5 Acier ranveraux 9

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