LOIS A DENSITE (Partie 1)

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1 LOIS A DENSITE (Prtie ) I. Loi de probbilité à densité ) Rppel Eemple : Soit l'epérience létoire : "On lnce un dé à si fces et on regrde le résultt." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {; ; 3; 4; 5; 6} s'ppelle l'univers des possibles. On considère l'événement A : "On obtient un résultt pir." On donc : A = {; 4; 6}. On considère l'événement élémentire E : "On obtient un 5". On donc : E = {5}. On considère le jeu suivnt : - Si le résultt est pir, on ggne. - Si le résultt est, on ggne 5. - Si le résultt est 3 ou 5, on perd. On défini insi une vrible létoire X sur Ω = {; ; 3; 4; 5; 6} qui peut prendre les vleurs, 5 ou -. On donc : X() = 5, X() =, X(3) = -, X(4) =, X(5) = -, X(6) = Pour une vrible létoire discrète, l loi de probbilité peut être résumée dns un tbleu : i - 5 P( X = i ) 3 L vrible létoire ne prend qu'un nombre fini de vleurs, elle est dite discrète. Il eiste des vribles létoires qui prennent n'importe quelle vleur dns un intervlle de!. ) Vrible létoire continue Eemple : Une entreprise fbrique des disques durs. On définit une vrible létoire qui, à chque disque dur, ssocie s durée de vie en heures. Cette durée n'est ps nécessirement un nombre entier et peut prendre toutes les vleurs de l'intervlle ;+. Une telle vrible létoire est dite continue. 6

2 3) Fonction à densité Dns le cs d'une vrible létoire continue qui prend pour vleurs les réels d'un intervlle I, s loi de probbilité n'est ps ssociée à l probbilité de chcune de ses vleurs (comme dns le cs discret) mis à l probbilité de tout intervlle inclus dns I. On insi recours à une fonction définie sur un intervlle I de R et ppelée fonction de densité. Eemple : Dns l'eemple précédent, on peut pr eemple être mené à clculer P(5 X ) correspondnt à l probbilité que l durée de vie d'un disque dur soit comprise entre 5 heures et heures. Pour cel, on utilise l fonction de densité f définissnt l loi de probbilité. L probbilité P(5 X ) est l'ire comprise entre l'e des bscisses, l courbe représenttive de l fonction de densité et les droites d'équtions = 5 et =. Ainsi : P(5 X ) = f (t)dt. 5 Définition : On ppelle fonction de densité (ou densité) toute fonction f définie, continue et positive sur un intervlle I de R telle que l'intégrle de f sur I soit égle à. Si X est une vrible létoire continue sur ;b, l probbilité de l'événement { X ;b }, où ;b b, soit : P( X ;b ) = f (t)dt ;b est un intervlle de I, est égle à l'ire sous l courbe f sur.

3 3 Remrques : - Dns le cs d'une vrible létoire discrète, l somme des probbilités des évènements { X = i } est égle à. - Dns le cs de vribles létoires continues, on : P( X ) = P( X < ) cr P( X = ) = f ()d =. 4) Espérnce Définition : Soit X une vrible létoire continue de fonction de densité f sur un intervlle ;b. L'espérnce mthémtique de X est le réel E( X ) = t f (t)dt. b Méthode : Utiliser une loi de densité Une entreprise produit des dlles en plâtre suivnt une vrible létoire continue X, en tonnes, qui prend ses vleurs dns l'intervlle [ ; ] vec une densité de probbilité f définie pr : f () =,5,75 ) Démontrer que f est une densité de probbilité sur [ ; ]. b) Clculer l probbilité de l'événement E "L production quotidienne est supérieure ou égle à tonnes". c) Clculer l'espérnce mthémtique de X. ) - f est continue sur l'intervlle [ ; ] comme fonction trinôme. - f () = f () = donc, d'près l règle des signes d'un trinôme, f () sur [ ; ]. - f (t)dt =,75t,5t 3 =,75,5 3 = b) P(E) = P( X )

4 4 = f (t) dt =,75t,5t 3 =,75,5 3,75 +,5 3 =,648 =,35 c) E( X ) = t f (t) dt = t f (t) dt =,5t,75t 3 dt =,5t 3,875t 4 =,5,875 4 = 3 II. Loi uniforme ) Eemple Suite à un problème de réseu, un client contcte le service près-vente de son opérteur. Un conseiller l informe qu'un technicien le contcter pour une intervention à distnce entre 4h et 5h. Schnt que ce technicien ppelle de mnière létoire sur le créneu donné, on souhite clculer l probbilité que le client ptiente entre 5 et 4 minutes. On désigne pr T l vrible létoire continue qui donne le temps d ttente en minutes On donc : P(5 T 4) = = = 6 6 L probbilité P(5 T 4) est l'ire sous l courbe représenttive de l fonction de densité et les droites d'équtions = 5 et = 4. L fonction de densité est l fonction f définie pr f () =. 6 Yvn Monk Acdémie de Strsbourg et- tiques.fr

5 5 On retrouve insi : P(5 T 4) = = 5 6 = 5. ) Définition et propriété Définition : Soit et b deu réels tels que < b. L loi uniforme sur ;b, notée U ( ;b ), est l loi ynt pour densité de probbilité l fonction constnte f définie sur ;b pr : f () = b Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi uniforme U ( ;b ). Alors, pour tout de ;b, on : P( X ) = b. Démonstrtion : P( X ) = b dt = b t = b 3) Espérnce mthémtique Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi uniforme U ( ;b ). Alors : E( X ) = + b. Démonstrtion : b t E( X ) = b dt = b t b

6 6 = b b = b b ( b + ) ( b ) = b Eemple : = + b. Dns l eemple précédent, T suit une loi uniforme U ;6 Ainsi : E(T ) = + 6 = 3. Sur un grnd nombre d ppels u service, un client peut espérer ttendre 3 min. III. Loi eponentielle ) Définition et propriétés Définition : Soit λ un réel strictement positif. L loi eponentielle de prmètre λ est l loi ynt pour densité de probbilité l fonction f définie sur ;+ pr : f () = λe λ. Contetes d'utilistion : Durée de vie de composnts électroniques, tremblement de terre, désintégrtion d'un noyu rdioctif, Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi eponentielle de prmètre λ. Alors, pour tout de ;+, on : P( X ) = e λ. Démonstrtion : P( X ) = λe λt dt = e λt = e λ + e λ = e λ

7 7 Eemple : X une vrible létoire qui suit une loi eponentielle de prmètre,. P( X 3) = P( X 3) P( X < ) = e, 3 e, = e, e,3,64 ) Espérnce mthémtique Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi eponentielle de prmètre λ. Alors : E( X ) = λ. Démonstrtion (eigible BAC) : f désigne l densité de l loi eponentielle de prmètre λ. L fonction g :t! t f (t) est continue sur tout intervlle ;, vec >, donc elle dmet des primitives sur cet intervlle. Comme, pour tout réel t positif, on : (te λt )' = e λt λte λt soit : tλe λt = e λt (te λt )' Ainsi : g(t)dt = tλe λt dt = e λt dt (te λt )'dt = e λt λ te λt Donc E( X ) = lim + = λ e λ λ e λ g(t)dt = lim + λ e λ λ e λ = λ Eemple : Une vrible létoire X suit une loi eponentielle de prmètre λ =,4. Alors : E( X ) =,4 = 5. 3) Durée de vie sns vieillissement Propriété : Soit X une vrible létoire qui suit une loi eponentielle de prmètre λ. Alors, pour tout réel t et h positifs, on : P X t ( X t + h) = P( X h). Démonstrtion : P X t ( X t + h) = P ({ X t + h } { X t} ) P( X t) = P ( X t + h ) P( X t) = P X < t + h P( X < t)

8 8 Donc : P X t ( X t + h) = λ t+h e e λt = e λ t+h e λt = e λh = e λh = P( X < h) = P( X h) Remrque : Cette propriété porte le nom de "durée de vie sns vieillissement" cr elle montre que l durée de vie sur une période h ne dépend ps de l'âge t à prtir duquel on considère cet événement. Méthode : Utiliser l durée de vie sns vieillissement L durée de vie, eprimée en heures, d'un petit composnt électronique d'une crte d'nniversire musicle est une vrible létoire qui suit une loi eponentielle de prmètre λ =,35. Schnt qu'un composnt testé fonctionné plus de heures, clculer l probbilité qu'il tombe en pnne vnt 3 heures. = P X ( X > 3) = P X ( X > +) P X X 3 Donc d'près l loi de durée de vie sns vieillissement, on : P X X 3 = P( X > ) = P( X ) = e,35,3 Hors du cdre de l clsse, ucune reproduction, même prtielle, utres que celles prévues à l'rticle L - 5 du code de l propriété intellectuelle, ne peut être fite de ce site sns l'utoristion epresse de l'uteur. et- tiques.fr/inde.php/mentions- legles

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