Choix de Portefeuille

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1 Année Chox de Portefeulle Chrstophe Boucher Chaptre 1. Théore de la décson en avenr ncertan Crtère d espérance d utlté L atttude vs-à-vs du rsque Chaptre 2. Rendements et crtères de chox entre actfs La mesure des rendements et leurs dstrbutons La domnance stochastque Les mesures de rsque Chaptre 3. La théore moderne du portefeulle Fondements théorques de l analyse espérance-varance Portefeulles effcents : caractérstques et proprétés Frontères effcentes avec 2 actfs et N actfs Chaptre 4. La théore post-moderne du portefeulle Crtques de l espérance d utlté Alternatves à l espérance d utlté Fnance comportementale et chox de portefeulle Les moments d ordre supéreurs à deux Chaptre 5. Introducton aux modèles d'évaluaton des actfs MEDAF APT 1

2 Chaptre 4. La théore post-moderne du portefeulle Nous avons décrt, dans la chaptre 1, le comportement d un ndvdu parfatement ratonnel lorsqu l est confronté à des chox rsqués. Cet ndvdu opère des chox qu en toutes crconstances respectent une axomatque complexe et réalse des antcpatons pertnentes sur la base de l ensemble de l nformaton dsponble. Les développements de la fnance comportementales vsent à questonner ces capactés surhumanes. La secton 1 présente les crtques des axomes de la théore de l EU à partr des résultats d un certan nombre d expérences. La secton 2 est consacrée aux modèles alternatfs à celu de l EU. Nous présenterons les deux prncpaux : le modèle de l espérance d utlté dépendante du rang et la théore des perspectves. La secton 3 présente les bases de la théore comportementale du portefeulle. La secton 4 renoue avec la théore de l EU mas pour présenter la geston de portefeulle dans le cadre des moments supéreurs à deux Les crtques de l espérance d utlté montrer de manère expérmentale que les axomes de ratonalté ne sont pas vérfés par les agents sans, cependant, que l on pusse nécessarement conclure qu ls sont rratonnels. Une expérence en économe consste à créer un envronnement contrôlé afn de reprodure artfcellement une stuaton reflétant les condtons de la théore économque. 2

3 4.1.1 Les crtques hstorques Deux crtques hstorques ont été formulées : Le paradoxe d Allas (1953) remet en cause la représentaton des préférences des agents par une foncton d utlté Le paradoxe d Ellsberg (1961) remet en cause la représentaton des croyances des agents par une mesure de probablté Le paradoxe d Allas Laquelle de ces deux loteres préférez-vous? 0, , A B 0,91 0 0,9 0 A est préféré à B en majorté! Mantenant laquelle de ces deux loteres préférez-vous? 0, C D 0, D est préféré à C en majorté! S A est préféré à B et D préféré à C, alors les chox sont ncohérents! 3

4 Consdérons à présent les deux loteres composées (loteres de loteres) suvantes : 0,1 D 0,1 C E F 0,9 0 0,9 0 E est une lotere composée de la lotere D et F est une lotere composée de la lotere C. S on rédute E et F, nous obtenons : , E 0,1 0, B 0,9 0 0, , F 0,1 0,9 0 0,1 A 0 0,91 0 Donc, s A est préféré à B, F dot être préféré à E et C dot être préféré à D. Ou s B est préféré à A, E dot être préféré à F et D dot être préféré à C. Mas on ne peut pas préférer A à B et en même temps D à C. Le paradoxe d Allas remet en cause l axome d ndépendance du modèle de l EU de VNM. 4

5 Le paradoxe d Ellsberg rsque ncerttude probabltés emprques probabltés théorques probabltés subjectves La théore des probabltés subjectves (Savage 1954) les décdeurs se comportent comme s : * des utltés étaent assocées aux résultats des décsons; * des probabltés étaent assocées aux états de la Nature; * les décsons étaent prses en utlsant des espérances d'utlté. Le paradoxe d Ellsberg remet en cause le modèle de l espérance d utlté subjectve et la représentaton de l nformaton sous forme de probablté. Une urne content 90 boules : - 30 sont rouges - 60 sont blanches ou nores Vous devez chosr entre les loteres E et F et les loteres G et H. On tre à l ssu des chox une boule au hasard qu détermne les gans monétares. Trage Décsons E rouge blanche nore F G H Lotere E : E(Gan) = x 100 Lotere F : E(Gan) = P(B) x 100 Lotere G : E(Gan) = x (1 - - P(B)) x 100 Lotere H : E(Gan) = P(B) x (1 - - P(B)) x 100 5

6 La majorté des partcpants chosssent E à F et H à G. E préféré à F mplque que P(B) < MAIS H préféré à G mplque que P(B) > Ces chox sont ncohérents car les probabltés des états sont ndépendantes des chox dans le calcul de l utlté espérée! averson à l ambguïté Les résultats expérmentaux L effet de rapport commun mpact psychologque démesuré du passage de la quas certtude à la certtude comparé au passage du probable au plus probable tendance à surpondérer les résultats qu sont certans par rapport aux résultats qu ne sont que probables. Premère expérence : Soent des loteres du type s* = (y, p ; c, 1-p) et r* = (A, p ; c, 1-p) où A = (x, λ ; 0, 1-λ) avec 0 < λ < 1 et c, x, y non négatfs et tels que x > y. On remarque que les deux loteres proposent c avec une probablté 1-p. c est donc une conséquence commune qu d'après l'axome d'ndépendance ne devrat pas affecter le chox. Or les études révèlent une tendance des ndvdus à chosr s* quand c = y et r* quand c = 0, ce qu révèle l'exstence d'un effet de certtude pusque c = y rend la conséquence certane. 6

7 Exemple : Quelle lotere préférez vous entre L 1 et L 2? L 1 = (10, 10% ; 10, 90%) L 2 = (L 3, 10% ; 10, 90%) L 3 = (30,60% ;0 ;40%) Nous pouvons réécrre les loteres comme sut : L 1 = (10,100%) L 2 = (30, 6% ; 10, 90% ; 0, 4%) Notons que E(L 2 )= 10,8 Une majorté chost L 1 Mantenant quelle lotere préférez vous entre L 4 et L 5? L 4 = (10, 10% ; 0, 90%) L 5 = (L 3, 10% ; 0, 90%) L 6 = (30,60% ;0 ;40%) Nous pouvons réécrre les loteres comme sut : L 4 = (10,10% ;0,90%) L 5 = (30, 6% ; 0, 94%) Notons que et E(L 4 )= 1 et E(L 5 )= 1,8 Une majorté chost L 5 Pourtant seul c a changé entre les deux chox : c = y = 10 c = 0 7

8 Seconde expérence : De même, soent des loteres du type s** = (y, p ; 0, 1-p) et r** = (x, λp ; 0, 1-λp) où x > y et 0 < λ < 1. Dans le modèle de l EU, les préférences ne devraent pas dépendre de la probablté p, mas en réalté, le chox tend à se renverser et à passer de s** à r** quand la probablté p dmnue, manfestaton de l'effet de certtude. Exemple : Vous préférez quelle lotere? Gagner 10 avec une probablté de 99% ou gagner 20 avec une probablté de 79%. (λ = 0,8 ; p = 0,99 ; y = 10 et x = 20) Cela dépend de la forme de votre foncton d utlté mas les ndvdus tendent à chosr la premère lotere. Sauf que s on propose : Gagner 10 avec une probablté de 10% ou gagner 20 avec une probablté de 8%. (λ = 0,8) Les ndvdus vont plutôt chosr la seconde lotere 8

9 L effet d évaluaton de l utlté ou le «paradoxe de Karmarkar» Une autre catégore de problèmes est apparue lors de l'estmaton des fonctons d'utlté. Karmarkar (1978) a montré que la révélaton d'une foncton d'utlté par la méthode de l'équvalent certan dépendat des probabltés utlsées. nterroger les ndvdus sur l'équvalent certan de dfférentes loteres bnares afn de défnr analytquement la foncton d'utlté. La constructon de la foncton d'utlté repose sur une équaton du type : U(x3) = p.u(x1) + (1-p).u(x2) En fxant x1 et p, on peut à partr de dfférentes valeurs de x2 explcter les équvalents certans x3. Cette méthode d'estmaton suppose que les préférences sont lnéares en probabltés, conformément à la théore de l'utlté espérée. Or, Karmarkar montre qu'un changement dans la valeur de probablté condut à un changement dans l'estmaton de la foncton, ce qu tend à montrer qu'l exste une déformaton des probabltés. Plus la probablté de la lotere bnare fxée au départ est élevée, plus les fonctons d utlté sont concaves, toutes choses étant égales par alleurs. 9

10 Les évènements rares Alors que le modèle de l EU prédt que les ndvdus vont chercher à se protéger contre des rsques de fable probablté générant des pertes élevées, la plupart des ndvdus préfèrent s'assurer contre des événements de probablté élevée générant des pertes de fable montant et qu'ls refusent même souvent de s'assurer contre les grosses pertes peu probables. prse de rsques mportante dans les pertes Il exste par alleurs le problème de la «lo des petts nombres». Les ndvdus ont beaucoup de mal à percevor la lo des grands nombres. [Kahneman et Tversky, 1982, p. 44] Exemple : Il y a deux hôptaux dans une même vlle. Dans le plus grand, envron 45 bébés nassent chaque jour, alors que, dans le plus pett, envron 15 bébés nassent chaque jour. Comme vous le savez, envron 50 % de tous les bébés sont des garçons. Cependant, le pourcentage exact sur une journée est varable : parfos, l est supéreur à 50 %, parfos nféreur. Sur une pérode d un an, chaque hôptal a enregstré les jours où plus de 60 % des bébés nés sont des garçons. Selon vous, quel hôptal a enregstré le plus de jours de ce type? Plus généralement, Kahneman et Tversky ont montré que les ndvdus ont tendance à nférer des généraltés d événements très peu fréquents, mas partculèrement «marquants». Ils ont qualfé ce phénomène de «lo des petts nombres» [Tversky et Kahneman, 1971]. 10

11 L effet de dotaton L une des «anomales» les plus mportantes pour les chox en certtude est l effet de dotaton qu tradut le fat que les gens exgent souvent plus pour céder un objet qu ls ne sont prêts à payer pour l acquérr. Cet effet a des mplcatons très mportantes pusqu l explque une dvergence possble entre le prx de vente et le prx d achat d un même ben. Knetsch [1989] a observé l effet de dotaton pour le chox entre deux bens, dans le cadre d une expérence très smple. Il consttue tros groupes en répartssant aléatorement les sujets partcpants. Les sujets du groupe 1 un mug avec opportunté d échanger contre une barre de chocolat susse. Les sujets du groupe 2 une barre de chocolat susse avec opportunté d échanger contre un mug. Les sujets du groupe 3 n ont pas de dotaton ntale, mas dovent smplement chosr entre le mug ou la barre de chocolat. 89 % des sujets du groupe 1 chosssent de conserver leur mug, 90 % des sujets du groupe 2 chosssent de conserver leur barre de chocolat 56 % des sujets du groupe 3 ont opté pour le mug. Les préférences révélées par les échanges sont c sensbles à la dotaton ntale. 11

12 L effet de contexte Problème 1: Malade tuer 600 personnes. Deux programmes ont été proposés pour combattre la malade. S le programme A est adopté, 200 personnes seront sauvées. S le programme B est adopté, l y a 1 chance sur 3 pour que les 600 personnes soent sauvées, et 2 chances sur 3 que personne ne sot sauvé. Lequel des deux programmes a votre faveur? Sur 152 personnes nterrogées, 72 % adoptent le plan A et 28% adoptent le plan B. La majorté des chox représente une averson envers le rsque. La perspectve de sauver 200 ves de manère certane est plus attractve qu une perspectve rsquée, de même valeur attendue, qu est d une chance sur tros de sauver 600 ves. 12

13 Problème 2 : S le programme C est adopté, 400 personnes mourront. S le programme D est adopté, l y a 1 chance sur 3 pour que personne ne meure, et 2 chances sur 3 pour que 600 personnes meurent. Lequel des deux programmes a votre faveur? Sur 155 personnes nterrogées, 22% chosssent le plan C et 78% chosssent le plan D. Le chox majortare, dans ce deuxème problème, est une prse de rsque. La mort certane de 400 personnes est mons acceptable que deux chances sur tros que 600 personnes meurent. La seule dfférence exstante est que les deux premers plans sont exprmés en termes de ves sauvées et les deux derners en termes de ves perdues. C'est ce que l'on appelle le cadrage (framng). Plus généralement, les chox mplquant des gans amènent souvent à évter le rsque, c est-àdre à adopter la soluton certane. 13

14 4.2 Alternatves à l espérance d utlté 2.1 La théore de l utlté dépendante du rang Les perspectves vont êtres pondérées en foncton de leur rang. Les probabltés pods. Consdérons une lotere (x 1, p 1 ; ; x n, p n ) qu procure un résultat x j avec une probablté p j, avec j = 1,.., n. Toute lotere ans formulée, peut être évaluée par : n = 1 u( x ) w( p ) La théore de l espérance d utlté consttue alors un cas partculer dans lequel w( p ) = p. 14

15 Exemple : Lotere A Lotere B Gan Pods Pods Pods d un Pods d un d un d un Probablté agent agent Gan Probablté agent agent pessmste optmste pessmste optmste 10 1/2 1/6 0 1/2 1/ /6 1/2 30 1/6 1/2 L ndvdu pessmste (optmste) sur-pondère le résultat le plus fable (élevé) et sous-pondère le résultat le plus élevé (fable). 15

16 Le rang de chaque résultat va donc détermner la foncton de transformaton des probabltés. Plus précsément, le modèle RDEU (Rank Dependent Expected Utlty) utlse la foncton de répartton des probabltés (les probabltés cumulatves) pour évaluer le rang des résultats de toute lotere. En notant X, la varable aléatore prenant les valeurs x et F X sa foncton de répartton, le rang de tout résultat x est défn par cette foncton de répartton de la lotere calculée en x j : F = P( X x ) = p p X j 1 j En reprenant les deux loteres A et B précédentes et une trosème lotere C, l est possble de calculer ces rangs à partr des probabltés cumulées. Lotere A Lotere B Lotere C Gan Prob. Rang Gan Prob. Rang Gan Prob. Rang /3 10 2/3 24 2/ Le pods accordé au résultat x est noté : π = w( F( x )) w( F( x )) pour

17 Les fonctons de pondératon 1) La plus smple est une foncton pussance du type w(p) = p γ. convexe ( γ > 1) ou concave ( γ > 1). On retrouve la théore de l EU lorsqueγ = 1. Cette foncton permet de représenter des ndvdus qu sur ou sous-pondèrent l ensemble de la dstrbuton des probabltés. 2) On peut également consdérer des ndvdus qu pondèrent dfféremment les fables et les fortes probabltés avec la foncton proposée par Kahneman et Tversky (1992) : δ p w( p) = δ ( p + (1 p) ) δ 1/ δ Cette foncton est symétrque dans le cas partculer de la théore de l espérance d utlté ( δ = 1) car dans ce cas w(p) = p. Elle présente la forme d un S-nversé pour 0<δ<1. Elle sur-pondère les fables probabltés et sous-pondère les fortes probabltés (et nversement s δ > 1). En reprenant les tros loteres précédentes, nous obtenons pour ces deux fonctons, les pods suvants : Lotere x p(x ) F X A B C /3 2/3 1 2/3 1 1 π w(p) = p γ δ p w( p) = δ δ 1/ δ ( p + (1 p) ) γ = 1 γ = 0,4 γ = 1,3 δ = 1 δ = 0,4 δ = 1,3 0,644 0,240 0,236 0,277 0,206 0,351 0,075 0,405 0,150 0,410 0,689 0,319 2/3 0,644 0,206 0,150 0,644 0,356 0,240 0,351 0,410 0,240 0,760 2/3 0,236 0,075 0,689 0,236 0,704 0,277 0,405 0,319 0,277 0,723 NB : 0,206 = (2/3) 0,4 () 0,4 car : π = w( F( x )) w( F( x )) pour

18 Remarques : - 10 (lotere A), 0 (lotere B) et 12 (lotere C) ont le même pods car leur probablté cumulée est la même (même probablté et valeur la plus fable) - un même résultat (10 dans les loteres A et B) avec des probabltés dentques aura des pods dfférents lorsque le rang est dfférent. - Les valeurs des paramètres des fonctons de pondératon permettent de représenter des atttudes face aux probabltés dfférentes. 18

19 Mesure d optmsme/pessmsme Dans le cas d une lotere à deux résultats Mesure de l optmsme/pessmsme= le coeffcent de pondératon des probabltés : (1 p) w( p) ρ( p) =. pw*(1 p) Avec w( p ) = le pods attrbué au pre résultat w*(1 p) = le pods attrbué au melleur résultat Pour un ndvdu optmste ρ ( p) < 1 et pour un pessmste ρ ( p) > 1. Ans dans notre exemple précédent (lotere C), seule la foncton pussance avec γ = 0,4 représente un ndvdu pessmste. résultat le plus défavorable surpondéré Les mesures d optmsme et de pessmsme en foncton des fonctons de pondératon et de leur paramètres (lotere C) w(p) = p γ δ p w( p) = δ δ 1/ δ ( p + (1 p) ) γ = 1 γ = 0,4 γ = 1,3 δ = 1 δ = 0,4 δ = 1,3 ρ ( p) = 1 ρ ( p) = 3,62 ρ ( p) = 0,62 ρ ( p) = 1 ρ ( p) = 0,81 ρ ( p) = 0,90 NB : 3,62 = (1 p) w( p) (2 / 3) 0,644 = pw*(1 p) (1/ 3) 0,356 Le modèle RDEU prendre en compte en plus de leur atttude face au rsque leur sentment (leur degré d optmsme/pessmsme). 19

20 L atttude pessmste provent d une croyance rratonnelle dans le fat que les évènements défavorables se produsent plus fréquemment sur-pondératon excessve de la vrasemblance de ces évènements. La prse en compte du sentment des nvestsseurs va permettre à certans agents de modfer la composton de leur portefeulle en foncton de l atttude de l ensemble des autres nvestsseurs. 20

21 4.2.2 La théore des perspectves Kahneman et Tversky (1979 ont proposé une théore postve qu modélserat le chox des ndvdus. La théore des perspectves repose sur deux concepts : - la foncton de pondératon, π ( p), qu transforme les probabltés p en pondératon subjectves. - La foncton de valeur, v( ), qu transforme les gans et les pertes en valeurs subjectves. La foncton de pondératon La foncton π est une foncton monotone de p mas ne correspond pas à une probablté. Elle a les proprétés suvantes : 1) π (0) = 0 et π (1) = 1 ; 2) pour de fables probabltés p, π ( p) > p mas π ( p) < p lorsque p se rapproche de 1.; D après la premère proprété, les agents ne déforment pas les certtudes. La proprété 2 sgnfe que les fables probabltés sont sur-pondérées et que les probabltés fortes ou modérées sont sous-pondérées. 21

22 Exemple de foncton π 100% w(p) 50% 0% 50% 100% p 22

23 Le foncton de valeur Les proprétés de la foncton v tradusent tros hypothèses : 1) v change d allure à partr du pont de référence 2) υ ''( x) < 0 pour x > 0. υ ''( x) > 0 pour x < 0. 3) la foncton v est plus pentue pour les pertes que pour les gans (averson aux pertes) : υ( x) < υ ( x) pour x > 0. L angle α est nféreur à l angle β. Exemple de foncton v Valeur Subjectve α A Perte relatve -x x Gan relatf B β 23

24 4.3. La théore comportementale du portefeulle La théore SP/A La théore comportementale du portefeulle prend en compte les sentments des nvestsseurs et les modélse par une déformaton des probabltés. Dans le sgle SP/A : - S représente la sécurté qu sgnfe que l nvestsseur souhate assurer une rchesse fnale mnmale. - P désgne le potentel qu sgnfe qu un nvestsseur souhate attendre des nveaux de rchesse élevés (désr d enrchssement) - A représente l aspraton qu sgnfe qu un nvestsseur va rechercher un nveau rasonnable d évoluton de la rchesse. Ces objectfs sont en parte conflctuels (analyse moyenne-varance) a) La crante La crante condut donc à maxmser la probablté que la rchesse dépasse un certan seul donné. Elle est notée : D( s) = P( W s) D est appelée foncton décumulatve car elle s écrt : D( s) = 1 F( s ) où F représente la foncton de répartton de la rchesse fnale. L attente d un nveau d aspraton va consster à maxmser la rchesse espérée : E[ W ] n = = 1 pw où les W représentent les nveaux de rchesse classés par ordre crossant : W1 W2... Wn. En posant D = D( W ) = P( W W ), l espérance de E[ W ] s écrt : n E[ W ] = DW + D ( W W ) = W + D ( W W ) = 2 = 2 n 24

25 Exemple : Sot tros états de la nature ( = 1,2,3) de même probablté d occurrence (). Les nveaux de rchesse attents sont donnés dans le tableau suvant : État de la nature Probablté Rchesse p W Foncton de répartton F Foncton décumulatve D /3 2/ E[ W ] = ( ) = 20 3 ou 2 1 E[ W ] = 10 + (20 10) + (30 20) =

26 Les sentments de crante et d espor vont se tradure par des transformatons des probabltés D. La recherche de sécurté consste à attrbuer des pods aux accrossements de rchesse a successfs défns par une foncton Φ de la forme Φ ( D ) = D avec a > 1 pour obtenr une foncton convexe : Φ ( D ) < D. Cette foncton vérfe également Φ (0) = 0 et Φ (1) = 1. Cela revent à attrbuer un p * n = Φ ( D ). n pods à l état égal à p = Φ( D ) Φ ( D + ) pour < n et * 1 Ans les états correspondant aux rchesses fables sont pondérées plus fortement, tradusant le beson de sécurté de l agent qu va prvléger l obtenton d une rchesse mnmale dans tous les états. 26

27 Exemple Reconsdérons notre exemple précédent avec a = 2. État de la nature Probablté p Rchesse W Foncton décumulatve Pods des probabltés décumulées D ( ) Pods des états * Φ D p / /3 4/ /9 1/9 * E [ W ] = = < E[ W ] = L agent anmer par la crante de perdre de l argent transforme les probabltés de façon à surpondérer les rchesses fables. 27

28 b) L espor La composante espor va condure l nvestsseur à surpondérer les évènements favorables. La foncton de transformaton des probabltés est de la forme : ψ ( D ) = 1 (1 D ) b Exemple : En reprenant les données des exemples précédents et en supposant b = 2 État de la nature Probablté p Rchesse W Foncton décumulatve Pods des probabltés décumulées D ( ) Pods des états * ψ D p / /3 8/ /9 5/9 28

29 c) Entre crante et espor Un nvestsseur peut être caractérsé par une transformaton des probabltés qu combne Φ et ψ sous la forme : θ = δφ ( D ) + (1 δψ ) ( D ) S δ est proche de 1, l nvestsseur est prncpalement anmé par la crante et réalse des nvestssements très défensfs (produts monétares) S δ est proche de 0, l est anmé par l espor et construt un portefeulle plus agressf (actons, actons émergentes vore optons). 29

30 4.3.2 Le problème d optmsaton Le problème résolu par l agent s écrt : max E ( W ) θ sous la contrante P( W A) α La foncton objectf dépend de la foncton θ caractérsée par les paramètres δ, a, b. La contrante correspond au nveau d aspraton A (un nveau de rchesse rasonnable et non mnmal) que l nvestsseur souhate dépasser avec une probablté 1 - α. Ce programme revent à maxmser l espérance de la rchesse fnale sous les probabltés déformées sur un sous-ensemble restrent de portefeulles respectant la contrante. Le résultat de l optmsaton est un portefeulle d une forme très partculère. Concrètement, Shefrn et Statman (2000) montrent que le portefeulle fnal content deux composantes (geston en couche) : - La premère est un actf permettant d assurer le nveau d aspraton A de l ndvdu avec la probablté de fallte qu ne dépasse pas α. - La deuxème composante est un actf ayant les caractérstques d une lotere. 30

31 4.4. Les moments d ordre supéreurs à deux Les hypothèses qu sous tendent l analyse moyenne varance (normalté des rendements, foncton d utlté quadratque) sont fragles. Smplcté La prse en compte des moments d ordre supéreur à deux permet de reposer la constructon de portefeulles sur des assses théorques plus soldes et d explquer des comportements effectvement observés sur le marché. temps de calcul (nombreux co-moments). Les portefeulles par analyse MV très proches de ceux obtenus avec HM Généralsaton de l analyse moyenne-varance Une foncton d utlté peut être approxmée par un développement lmté. Plus celu-c est d ordre élevé, melleure est l approxmaton. Le développement lmté de l utlté de la rchesse fnale aléatore W ɶ autour de sa moyenne E( W ɶ ) est : ( n) n u u( Wɶ ) = h n= 0 n! où ( n) u représente la dérvée énème de la foncton d utlté ; et : h = Wɶ E( Wɶ ). ( n) n u E u( Wɶ ) = E( h ) n= 0 n! n où E( h ) représente le moment centré d ordre n. L analyse moyenne-varance développement à l ordre 2. Quel est l ordre du développement lmté pertnent compte tenu des préférences de l nvestsseur et de l unvers des ttres dsponbles? moyenne-varance est une bonne approxmaton de la soluton générale. La dversfcaton permettant de rédure la varance a pour effet de rédure également le moment d ordre 4 (la kurtoss). L optmsaton à partr des tros premers moments réalse également les objectfs représentés par les moments suvant. 31

32 Quel est le sgne de la dérvée de la foncton d utlté devant chacun des moments? les agents valorsent les moments mpars et mnmsent les moments pars (non satété, averson au rsque, prudence, tempérance, anxété). Nous allons nous concentrer sur le moment d ordre supéreur à tros La skewness et la geston de portefeulle n 1 ( Rt µ ) n 1 t= 1 Sk = 3 σ( R) 3 Un nvestsseur qu dspose d une rchesse ntale W 0 nvestt la proporton x dans l actf rsqué de rendement rɶ et (1 x) dans l actf sans rsque de rendement r f. Nous notons : ( rɶ rf ) rɶ e = et W = W0 (1 + r ) (1 + r ) f f En fn de pérode, la rchesse devent : W = (1 x) W (1 + r ) + xw (1 + rɶ ) 1 0 f 0 W = (1 x) W (1 + r ) + xw (1 + rɶ )(1 + r ) 1 0 f 0 e f W = W (1 + xrɶ ) 1 e Le développement lmté à l ordre 3 de l espérance d utlté s écrt : ( n) n u E u( Wɶ ) = E( h ) n= 0 n! h = Wɶ E( Wɶ ) E u ( W (1 + xrɶ e) ) = u( W ) + WxE( rɶ e) u '( W ) + W x E( rɶ e ) u ''( W ) + W x E( rɶ e ) u '''( W ) 2 6 La condton d optmalté du premer ordre s obtent en dérvant l espérance d utlté par rapport à x et en l annulant : 1 WE rɶ u W W xe rɶ u W W x E rɶ u W ( e) '( ) + ( e ) ''( ) + ( e ) '''( ) = 0 32

33 Dans le cadre de l analyse moyenne-varance, le derner terme de la condton d optmalté serat gnoré. La proporton optmale serat donc : x MV u '( W ) = Wu W E( rɶ ) e 2 ''( ) E( rɶ e ) Le premer terme correspond à l nverse de l ndce d averson relatve pour le rsque. Le second terme donne le rendement excédentare par unté de rsque. Ans plus l agent est averse au rsque ou plus l actf est rsqué et mons la proporton nveste dans cet actf est forte. Dans le cadre de l analyse moyenne-varance-skewness, la proporton optmale sera : u '( W ) E( rɶ ) 1 WE( rɶ ) u '''( W ) u '''( W ) 1 E( rɶ ) x x x W x 3 3 e 2 e e 2 3M = 2 3M = 2 MV 2 3M Wu ''( W ) E( rɶ e ) 2 E( rɶ e ) u ''( W ) u ''( W ) 2 E( rɶ e ) Le premer terme correspond à la proporton optmale dans le cadre de l analyse moyennevarance. Les agents ont généralement une préférence pour la dssymétre postve (l ndce de prudence est postf). Dans le cadre moyenne-varance, la dversfcaton est toujours bénéfque pusque la varance du portefeulle décroît avec le nombre de ttres. Dans le cadre moyenne-varance-skewness, l analyse devent plus complexe car la dversfcaton a un double effet : - elle rédut la varance - elle élmne la dssymétre postve. La préférence pour la dssymétre peut ans explquer la sous-dversfcaton observée des portefeulles effectvemment détenus. 33

34 Exercce d applcaton : Consdérons la foncton d utlté suvante : u W W W 3 2 ( ) = 0, La rchesse ntale est de 100. Le rendement de l actf rsqué est de 4% et : E( rɶ ) = 0,03 e E rɶ 2 ( e ) 0,09 E rɶ = = 3 ( e ) 0,02 Calculez la proporton optmale nveste dans l actf rsque 1) dans le cadre de l analyse moyenne-varance 2) dans le cadre de l analyse moyenne-varance-skewness c est à dre en tenant compte de la dssymétre des rendements Correcton : W = 106 u W = W W + = u ''( W ) = 0,024W 4 = 1,504 u '''( W ) = 0,024 2 '( ) 0, , 792 x MV = u '( W ) E( rɶ ) 66,87% Wu W = e 2 ''( ) E( rɶ e ) ɶ x x W x x 3 = u '''( W ) 1 E( re ) 2 2 3M MV 2 3M 0, , M u ''( W ) 2 E( rɶ e ) = Lorsqu on résout cette équaton du second degré, nous obtenons : x 3M = 78,13% La prse en compte de la dssymétre condut à augmenter sensblement la part nveste dans l actf rsqué. 34

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