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1 Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie. L espace est rapporté à un repère orthonormé. Les points,, et ont pour coordonnées respectives,, et. On note la droite ayant pour représentation paramétrique : Où. Et la droite ayant pour représentation paramétrique : { Où. On note le plan d équation :. { Question 1 : a. Les droites et sont parallèles. b. Les droites et sont coplanaires. c. Le point appartient à la droite. d. Les droites et sont orthogonales. Question 2 : a. Le plan contient la droite et est parallèle à la droite. b. Le plan contient la droite et est parallèle à la droite. c. Le plan contient la droite et est orthogonal à la droite. d. Le plan contient les droites et.

2 Question 3 : a. Les points, et sont alignés. b. Le triangle est rectangle en. c. Le triangle est équilatéral. d. Le point est le milieu du segment. Question 4 : On note le plan contenant la droite et le point. Un vecteur normal à ce plan est : a. b. c. d. EXERCICE 2 : 5 Points L entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu elle conditionne en petits pots de grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination «compote allégée». La législation impose alors que la teneur en sucre, c est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre et. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L entreprise possède deux chaînes de fabrication et. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A La chaîne de production semble plus fiable que la chaîne de production. Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, des petits pots proviennent de la chaîne et de la chaîne. La chaîne produit de compotes non conformes et la chaîne en produit. On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements : «Le petit pot provient de la chaîne» «Le petit pot est conforme» 1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 2. Calculer la probabilité de l évènement : «Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production.»

3 3. Déterminer la probabilité de l événement. 4. Déterminer, à près, la probabilité de l évènement sachant que l évènement est réalisé. Partie B 1. On note la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne, associe sa teneur en sucre. On suppose que suit la loi normale d espérance et d écart-type. Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous : Donner une valeur approchée à près de la probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne soit conforme. 2. On note la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne, associe sa teneur en sucre. On suppose que suit la loi normale d espérance et d écart-type. On suppose de plus que la probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne soit conforme est égale à. 2.a. Quelle loi la variable aléatoire suit-elle? 2.b. Déterminer, en fonction de l intervalle auquel appartient lorsque appartient à l intervalle. 2.c. En déduire une valeur approchée à près de. On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire suit la loi normale d espérance et d écart-type.

4 EXERCICE 3 : 6 Points Etant donné un nombre réel, on considère la fonction définie sur par : Le plan est muni d un repère orthonormé. Partie A Dans cette partie, on choisit. On a donc, pour tout réel, La représentation graphique de la fonction dans le repère est donnée ci-dessous. 1. Déterminer les limites de en et en et interpréter graphiquement les résultats obtenus. 2. Démontrer que, pour tout réel,

5 3. On appelle la fonction dérivée de sur. Calculer, pour tout réel,. En déduire les variations de la fonction sur. 4. On définit le nombre : Montrer que ( ). Donner une interprétation graphique de. Partie B Dans cette partie, on choisit et on souhaite tracer la courbe représentant la fonction. Pour tout réel, on appelle le point de d abscisse et le point de d abscisse. On note le milieu du segment. 1. Montrer que, pour tout réel,. 2. En déduire que le point appartient à la droite d équation. 3. Tracer la courbe sur le graphe donné ci-dessus. 4. En déduire l aire, en unités d aire, du domaine délimité par les courbes et, l axe des ordonnées et la droite d équation. Partie C Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1. Quelle que soit la valeur du nombre, la représentation graphique de la fonction est strictement comprise entre les droites d équations et. 2. Quelle que soit la valeur du réel, la fonction est strictement croissante. 3. Pour tout réel, ( ).

6 EXERCICE 4 : 5 Points Pour les élèves n ayant pas suivi l enseignement de spécialité. On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par : { Partie A 1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite, du rang au rang. Parmi les algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. 2. Pour on obtient l affichage suivant : Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite? 3.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel,. 3.b. Démontrer que, pour tout entier naturel, est elle monotone?. La suite

7 3.c. Démontrer que la suite est convergente. Partie B On considère la suite définie pour tout entier naturel par : 1. Démontrer que est une suite arithmétique de raison. 2. En déduire l expression de, puis celle de en fonction de. 3. Déterminer la limite de la suite. D après le cours, on sait pas composition que : EXERCICE 4 : 5 Points Pour les élèves ayant suivi l enseignement de spécialité On considère la suite définie par, et, pour tout supérieur ou égal à : 1. Calculer et. 2. Pour tout entier naturel, on souhaite calculer à l aide de l algorithme suivant : Variables :, et sont des nombres réels et sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à Initialisation : prend la valeur prend la valeur Traitement : Saisir Pour variant de à faire prend la valeur

8 prend la valeur prend la valeur Fin Pour Sortie : Afficher 2.a. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter. On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant : 2.b. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite? 3. Pour tout entier naturel, on note la matrice colonne ( ). On note la matrice carrée d ordre telle que, pour tout entier naturel, Déterminer et prouver que, pour tout entier naturel, 4. Soient ( ) ( ) ( ) Calculer. 5. A l aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l on admet. Pour tout entier naturel non nul, ( )

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