Solution : Partie 1 :

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1 THEME : APPLICATIONS LINEAIRES APPLICATIONS AFFINES SUJETS DE BREVETS - Serie 4 CORRECTION Brevet 5 : Problème Centres Etrangers - 07 Partie 1 : 1. On considère le tableau de proportionnalité ci-contre : x a a) Calculer b. b) On appelle a le coefficient de proportionnalité. Calculer a. 2. On considère la fonction linéaire f définie par : f : x 3, 5x. Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite d représentant la fonction f. On prendra un repère orthonormé ; l origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1 cm représentera 10 unités. Partie 2 : Dans le repère précédent, placer les points A( ; 70 ) et B( 60 ; 90 ). 2. Déterminer la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite (AB). a) Résoudre le système y = 0, 5x + 60 b) Que représente le couple (x; y), solution de ce système, pour les droites d et (AB)? Partie 3 : On dispose d un ressort de 60 mm. Quand on lui suspend une masse de g, il s allonge de 10 mm. 1. On admet que l allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée. Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est 100 mm. 2. Soit x la masse suspendue en grammes. Exprimer l allongement du ressort en fonction de x. 3. Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de x. 4. Sachant que la masse volumique de l or est 19, 5g/cm 3, calculer la masse d un cube en or de 2 cm d arête. 5. On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort. Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires.

2 Solution : Partie 1 : 1. a) Calcul de b : x a Plusieurs méthodes sont possibles : Méthode 1 : ( produit en croix ) Ce tableau est un tableau de proportionnalité donc : b = b = 105 Méthode 2 : Pour «passer» de la première colonne, à la deuxième, nous devons multiplier par 1,5 ( nombre obtenu en faisant le rapport de 30 par ). Nous «passerons» de 70 au nombre b cherché en multipliant par le même nombre 1,5. 1,5 b = 70 1,5 = 105 1,5 Méthode 3 : ( méthode du coefficient de proportionnalité ) Ce tableau est un tableau de proportionnalité donc ( égalité de rapports ) ( ce nombre s appelle le coefficient de proportionnalité ) Ce qui conduit à la méthode 1 : b = b = 105 b) Calcul du coefficient de proportionnalité a : b = Le rapport de proportionnalité est défini par le rapport précédent, soit ou 3,5 2 x 3,5 a = 3,5 2) Tracé de la représentation graphique de la fonction f définie par f : x 3, 5x : f est une application linéaire. Sa représentation graphique est une droite d passant par l origine. Nous devons déterminer les coordonnées d un autre point. Comme sur l axe des abscisses, 1 cm représente 10 unités, il est préférable de donner a x des valeurs multiples de 10. D après la question précédente ( qui est une table des valeurs de la fonction f le coefficient de

3 proportionnalité étant égal à 3,5 ), nous pouvons affirmer que d passe par les points de coordonnées ( : 70 ) et ( 30 ; 105 ) Pour tracer, nous choisirons le point A de coordonnées ( ; 70 ) ( données sans erreur ) Vous pourrez vérifier que la droite tracée passe également par le point de coordonnées ( 30 ; 105 ), ce qui permettra de s assurer que 105 est le bon résultat! Partie 2 : 2. Expression de la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite (AB) : g est une application affine, g est donc une application du type : x ax + b A( ; 70 ) est un point de la représentation graphique de g donc l image de par g est g() = 70 donc a + b = 70 ( ou a + b = 70 ) B( 60 ; 90 ) est un point de la représentation graphique de g donc l image de 60 par g est g(60) = 90 donc a 60 + b = 90 ( ou 60 a + b = 90 ) D où le système : a b a b 90

4 En utilisant la méthode par addition et en soustrayant les membres des deux équations, nous obtenons : a b a b 90 a 60 a + b b = a = - 1 a = 0, Remplaçons a par cette valeur dans la première équation. Nous avons : 0,5 + b = b = 70 b = = 60 L application g dont la représentation graphique est la droite (AB) est définie par g(x) = 0,5 x + 60 a) Résolution du système y = 0, 5x + 60 Nous pouvons réécrire le système comme suit : - 3, 5x y 0-0, 5x + y 60 puis utiliser une méthode par addition. Nous allons, pour changer ( et par souci de rapidité ), utiliser une méthode par comparaison. y = 3,5 x et y = 0,5 x + 60 Donc 3,5 x = 0,5 x ,5 x 0,5 x = 60 3x = x = 3 Remplaçons x par dans la première équation. Nous avons : y = 3,5 = 70 La solution du système est ( ; 70 ) b) Interprétation géométrique de la solution de ce système, pour les droites d et (AB)? Un point M de coordonnées ( x ; y ) appartient à a représentation graphique de la fonction f définie par x 3,5 x si y = 3,5 x Un point M de coordonnées ( x ; y ) appartient à a représentation graphique de la fonction g définie par x 0,5 x + 60 si y = 0,5 x + 60 Les coordonnées du pont d intersection des deux droites d et (AB) vérifient donc simultanément les deux équations y = 3,5 x et y = 0,5 x + 60, c'est-à-dire le système : y = 0, 5x + 60 La solution de ce système correspond aux coordonnées du point d intersection des deux droites d et (AB). Ce point d intersection est le point A de coordonnées ( ; 70 ) Ce résultat peut d ailleurs être vérifié sur le graphique.

5 Partie 3 : 1. Longueur totale du ressort pour une masse de 80 g : Le ressort s allonge de 10 mm pour une masse de g. Comme l allongement est supposé proportionnel à la masse, nous avons ( tableau de proportionnalité ) : Masse ( en g ) 80 Allongement ( en mm ) 10? x 0,5 10 Le coefficient de proportionnalité est soit 0,5. Pour 80 grammes, l allongement du ressort sera de 0,5 80, soit 40 mm Comme le ressort mesure, au départ 60 mm, la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est : , soit 100 mm ( 10 cm ) Pour une masse de 80 g, la longueur totale du ressort est 100 mm. 2. Allongement du ressort en fonction de x : Masse ( en g ) x Allongement ( en mm ) 10 0,5 x = 0,5 x x 0,5 L allongement du ressort est 0,5 x. 3. Longueur totale du ressort en fonction de x : La longueur totale ( en mm ) du ressort est 0,5 x Masse d un cube en or de 2 cm d arête : Le volume d un cube de 2 cm d arête est V = 2 3 = 8 ( cm 3 ) La masse volumique de l or est 19, 5g/cm 3, donc la masse de 8 cm 3 d or est : 19,5 8 = 156 g La masse d un cube en or de 2 cm d arête est 156 g. 5. Longueur totale du ressort ( calcul ) : La longueur totale du ressort, pour une masse x, est 0,5 x + 60 Donc pour ce cube de 156 grammes, la longueur totale du ressort est : 0, = 138 ( mm ) La longueur totale du ressort, pour ce cube en or, est 138 mm. Longueur totale du ressort ( lecture graphique ) : Avec du papier millimétré, la lecture est plus aisée ( graduation tous les millimètres ) Nous retrouvons un allongement de 138 mm pour une masse de 156 grammes.