Thermodynamique SEIGNE JR, Clemenceau. Nantes. Thermodynamique. SEIGNE JR, Clemenceau. Nantes. Grandeur extensive. Évolution d une grandeur extensive

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1 November 5, 2018

2 Principes de la Écoulements - Débit.

3 1 2 3

4 s s s globales s intégrales X Σ = X Σ1 Σ 2 = X Σ1 +X Σ2 = X 1 +X 2 Masse m ; quantité de matière n ; charge q ; volume V ; surface S ; force F ; énergie E ; enthalpie H, entropie S...

5 s locales s dérivées s intensives X Σ = X Σ1 Σ 2 X Σ1 +X Σ2 X 1 +X 2 Masse volumique µ = dm dv concentration c = dn dv e mol = de dn h = dh dm ; charge volumique ρ = dq dv ; ; pression p = df ds ; énergie massique e = de dm ; entropie massique s = ds dm... ; énergie molaire ; enthalpie massique Si le système est homogène : concentration c = n V, pression p = F S, enthalpie massique h = H par exemple. m

6 Différentielle Soit F une fonction de plusieurs variables F(x,y,z). L expression de la différentielle df de la fonction F qui représente la variation de F entre sa valeur pour les paramètres x, y et z et sa valeur pour x +dx, y +dy et z +dz s écrit : df = F(x +dx,y +dy,z +dz) F(x,y,z) = F x dx + F y,z y dy + F x,z z dz x,y

7 Capacité thermique L énergie interne U possède un jeu de variables naturelles (T,V,n) : du = U T dt + U V,n V dv + U T,n n dn T,V Capacité thermique à volume contant C V = U T V,n C V est une (rapport d un extensif sur un intensif), la capacité thermique molaire c v = C V est une n intensive.

8 Identité thermodynamique Pour un système à quantité de matière n fixée, l énergie interne U peut être présentée comme U = U(S,V) : du = U S ds + U V V dv S Identité thermodynamique du = TdS pdv Cette relation permet de donner des définitions thermodynamiques à la pression et à la température : T = U S et p = U V V S

9 Expression globale du bilan X d un système défini par une frontière constituée par une surface fermée. Cette surface définit un intérieur et un extérieur. extérieur X cr intérieur X tr X = X tr +X cr

10 Un exemple La population N d un pays est un exemple très parlant pour illustrer le bilan entre deux états, entre deux dates. N = N 2 N 1 = N(t 2 ) N(t 1 ) = N tr +N cr N tr = N immigration tr N cr = N naissance cr Variation de N = transfert + création +Némigration tr +N décès cr N immigration tr N naissance cr > 0 et Némigration tr < 0 > 0 et N décès cr < 0

11 Si l énergie d un système varie, cela est uniquement la conséquence de transferts. En matière d énergie, on réfute la présence de termes de création ou de disparition dans un bilan. E = E tr = W +Q E cr = 0 Les physiciens classent en deux catégories, même si la frontière n est sans doute pas aussi nette qu on pourrait le penser, les transferts d énergie : le travail W et le transfert thermique Q souvent appelé chaleur.

12 W pression = Q = Phase condensée incompressible p ext dv = 0 car dv = 0 C dt où C est la capacité thermique de la phase condensée étudiée avec C = mc si c est la capacité thermique massique. Avec une capacité thermique indépensante de la température, on a : W pression = 0 Q = mc(t 2 T 1 )

13 W pression = p ext dv Gaz parfait-isochore Si la transformation est mécaniquement réversible, alors p = p ext et W pression = pdv Q = C V oup dt où C V oup = mc V oup si c V oup est la capacité thermique massique à volume constant ou à pression constante. Transformation isochore W pression = 0 Q = mc V (T 2 T 1 )

14 W pression = 2 1 Gaz parfait - Monobare p ext dv = p ext (V 2 V 1 ) 1 et 2 sont des états d équilibre : p 1 = p 2 = p ext d où en supposant E c = E pot = 0, U = (p 2 V 2 p 1 V 1 )+Q ce qui conduit à H = Q sans travaux autres que ceux des forces de pression. Q = 2 1 C p dt où C p = mc p si c p est la capacité thermique massique à volume constant ou à pression constante. Transformation monobare H = Q Q = mc p (T 2 T 1 ) Expressions valables dans le cas où W autre que pression = 0.

15 Adiabatique : Q = 0 U = W +Q = W Adiabatique-Isotherme Isotherme : T = Constante Adiabatique Si W > 0, le système reçoit de l énergie sous forme de travail et sa température augmente. Elle diminue si W < 0. Pour un gaz parfait, l énergie interne ne dépend que de la température : U = 0 = W +Q Isotherme - gaz parfait Si W > 0, le système reçoit du travail, alors Q = W < 0. Il doit perdre de l énergie sous forme de transfert thermique pour maintenir sa température. Et réciproquement si W < 0.

16 L entropie d un système varie par transferts et création. Le second principe réfute l existence de terme de disparition d entropie. L entropie créée ne peut être que positive ou nulle. S = S tr +S cr δq S cr 0 et S tr = T source extérieure S cr < 0 interdit! S cr = 0 pour une transformation réversible. S il y a des termes d irréversibilité, S cr > 0. Le terme de création d entropie ne se calcule pas directement. Il s obtient par S cr = S S tr

17 Entropie transférée L entropie transférée dépend de la nature de la transformation subie entre les états 1 et 2, elle dépend du chemin suivi pour aller de 1 à 2. Par exemple, la transformation concerne une phase condensée de capacité thermique mc. En contact avec un thermostat extérieur à la température T 0, on a : S tr = 2 1 δq T2 mcdt = = mc(t 2 T 1 ) T 0 T 1 T 0 T 0 Pour un gaz parfait, sur une évolution isochore : S tr = T 2 T 1 mc V dt T 0 = mc V(T 2 T 1 ) T 0 Pour un gaz parfait, sur une évolution monobare : S tr = T 2 T 1 mc pdt T 0 = mcp(t 2 T 1 ) T 0

18 Température variable Imaginons, par exemple, le fluide machine frigorifique comme système d étude. Dans son cycle, il effectue un transfert thermique que l on suppose réversible avec un dispositif de capacité thermique C disp. Soit δq fluide = δq dispositif = C disp dt. La réversibilité assure T fluide = T dispositif = T. Du point de vue du fluide, l entropie transférée est : S tr = 2 1 δq fluide T = T2 C disp dt T 1 T S tr = C disp ln T 2 T 1

19 Variation d entropie - Phase condensée L entropie est une fonction d état. Ses variations ne dépendent pas de la nature de la transformation mais uniquement de l état initial et de l état final. On les calcule à partir identité thermoynamique comme du = TdS pdv. Phase condensée incompressible : du = mcdt avec dv = 0 S = 2 1 mc dt T = mc ln T 2 T 1

20 Variation d entropie - Gaz parfait On part du = TdS pdv. On isole ds = du T + p dv. On T utilise la loi des gaz parfaits pv = nrt et le fait que, pour un gaz parfait du = nc V,mol dt où c V,mol est la capacité thermique molaire à volume constant. On a donc : ds = nc V,mol dt T +nrdv V ( Gaz parfait : S = n c V,mol ln T 2 +R ln V ) 2 T 1 V 1

21 transférée et débit Le bilan global donne : X = X tr +X cr On peut écrire ce bilan en travaillant par unité de temps pour obtenir : dx dt = δx tr dt + δx cr dt Le terme de transfert correspond à un débit de la quantité X par unité de temps qui franchit la surface de définition du système. Dans un tel cas, la surface de travail est fermée. Mais dans la plupart des applications courantes de la notion de débit, on raisonne sur le transfert à travers une surface ouverte comme pour déterminer le débit rivière qui s exprime en m 3 s 1.

22 Débit volumique air sol eau section S sol sol D vol = section v d S en m 3 s 1

23 Débit général X extensif s écoule à la vitesse v. On définit la intensive volumique associée à X par x vol = dx. On note dv j = xvol v le vecteur densité de courant de transfert de la X. Le débit de X à travers une surface S ouverte ou fermée est le flux de j à travers S : D X = j d S = x vol v d S S Si la surface S est une surface fermée D X = j d S = x vol v d S S S S Dans le cas surface fermée, d S = ds n ext. La normale est orientée vers l extérieur de cette surface.

24 Exemples de débit x vol = µ = dm en kg m 3 dv Débit massique : D m = j d S = µ v d S en kg s 1 S S x vol = ρ = dq en C m 3 dv D q = j d S = ρ v d S en C s 1 S S Le débit de charge est l intensité I d un courant : I = j d S en C s 1 = A S

25 On considère une surface fermée S qui enferme le volume V contenant une masse m = µdv. Cette masse varie en V/S raison de transfert et de termes de création (physique nucléaire, chimie) : dm dt = V/S µ t dv = δm tr dt + δm cr dt Les phénomènes de création (ou de disparition) de masse se produisent à l intérieur de S, ils sont souvent décrits par un taux volumique de création par unité de temps tel que : δm cr = σ m dv. dt V/S Le terme de transfert S µ v ds n ext est compté positif sortant. Il correspond à une diminution de la masse m : δm tr dt = D m = S µ v d S

26 Le bilan global s écrit : V/S µ t dv = S µ v d S + V/S σ m dv On transforme l intégrale de surface en une intégrale de volume par le théorème de Green-Ostrogradski : µ v d S = divµ v dv V/S S V/S ( divµ v + µ ) t σ m dv = 0 Relation vraie V, par conséquent l élément intégré est donc nul.

27 traduisant le bilan avec terme de création. divµ v + µ t = σ m Un principe fondamental de la physique : il n y a pas de terme de création pour la charge. On parle alors d équation locale de conservation de la charge : div j + ρ t = 0 avec j = ρ v la densité volumique de courant en A m 2, l intensité est i = j d S

28 Bilan énergétique locale Soit u e = de dv une énergie volumique, v e la vitesse de cette énergie et donc j = u e v e. Si l énergie volumique s exprime simplement avec la masse volumique µ et la capacité thermique massique c en fonction de la température u e = µct à une constante près, l équation locale traduisant, sans terme de création, le bilan énergétique est : div j +µc T t = 0 où j est une densité de courant de transfert d énergie en W m 2, c est-à -dire une puissance surfacique. La puissance est P = j d S en W.

29 Densité volumique de courant à flux conservatif En l absence de terme de création, le bilan local est : div j + x vol = 0. En régime indépendant du temps ou dans le t cadre de l ARQS x vol 0. On a donc : t div j = 0 et donc div jdv = j d S = 0 V/S La densité de courant est à flux conservatif. S Le flux sortant global de j est donc nul. Cela signifie que le flux sortant réellement est égal au flux entrant réellement dans la surface fermée utilisée.

30 S j d S = 0 S fermée d S 2 j2 i 2 i 1 d S1 j1 j3 d S 3 i 3 Il y a autant de charges qui entrent dans S pendant une durée donnée que de charges qui en sortent. : div j = 0 ou j d S = 0 i 1 +i 2 +i 3 = 0 avec i k = jk d S k S k S

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