Thermodynamique. DM n 4

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1 Thermodynamique MP DM n 4 Problème I : Pompe à chaleur géothermique (CCP MP 2014) Ce problème traite de l étude d une pompe à chaleur (PAC) géothermique. Après quelques rappels et généralités, nous aborderons l étude spécifique d une PAC géothermique. Le fluide caloporteur utilisé dans la PAC est le 1,1,1,2-tétrafluoroéthane, de nom commercial R-134a. Il sera désigné plus simplement fluide dans la suite. Lorsqu il est à l état gazeux le fluide est supposé suivre la loi des gaz parfaits. On donne la valeur numérique de la constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J K 1 mol 1. Lorsqu il est à l état fluide, le fluide est supposé être indilatable et incompressible. On note : M = 102, 0 g mol 1 la masse molaire du fluide, c V la capacité thermique massique à volume constant à l état gazeux, c P la capacité thermique massique à pression constante à l état gazeux, γ = c P = 1, 18 le rapport des capacités thermiques massiques précédentes, c V l V (T ) l enthalpie massique de vaporisation du fluide à la température T, h V (T ) l enthalpie massique de la vapeur saturante à la température T, h L (T ) l enthalpie massique du liquide saturant à la température T, T crit = 373 K la température du point critique du fluide. Les données numériques utiles sont rassemblées dans le tableau ci-dessous : A - Rappels et généralités T (K) P sat (bar) h V (T ) (kj.kg 1 ) h L (T ) (kj.kg 1 ) ,2 421,9 270, ,88 405,6 220,1 1. Dessiner l allure du diagramme de Clapeyron d un fluide. On rappelle que le diagramme de Clapeyron porte en abscisse le volume massique v et en ordonnée la pression P pour les différents états de la matière d un corps. On se restreindra ici aux états liquide et gaz. Placer les domaines (liquide, gaz, mélange liquide-gaz). Définir et placer sur ce diagramme la courbe de rosée, la courbe d ébullition, le point critique. Dessiner l allure de trois isothermes de températures respectives T a, T crit et T b avec T a < T ctit < T b, où on rappelle que T crit représente la température du point critique du fluide. 2. Rappeler la relation entre l V (T ), h V (T ) et h L (T ). 3. Établir la relation entre c P, R, M et γ. 4. Rappeler l expression de l enthalpie massique d un gaz parfait à l équilibre thermodynamique à la température T en fonction de M, γ, R et T. On considère une PAC fonctionnant entre deux thermostats idéaux, c est-à-dire dont la température demeure constante au cours du fonctionnement de la PAC. Soient T c et T f < T c les valeurs des températures de ces deux thermostats. On note w, q c et q f les transferts d énergie, par unité de masse, algébriquement échangés par le fluide au cours d un cycle de fonctionnement, respectivement sous forme de travail, transfert thermique avec la source chaude (T c ) et transfert thermique avec la source froide (T f ). 5. Rappeler les signes de w, q c et q f. Rappeler la définition du coefficient de performance de la PAC, aussi appelé efficacité, notée e, en fonction de w et q c. Ce coefficient est-il inférieur ou supérieur à 1? T c 6. Montrer que la valeur de e est majorée par e C =, appelée efficacité de Carnot de la PAC. T c T f Dans quel cas a-t-on e = e C? 1

2 B - Étude d une PAC On considère une PAC destinée à chauffer l intérieur d une maison en hiver. Le fluide de la PAC subit le cycle thermodynamique suivant : Étape 1 2 : à partir d un état de vapeur saturante 1 à la température T f = 288 K et la pression P f, le fluide subit une compression adiabatique supposée réversible qui l amène à l état 2, vapeur sèche à la pression P c et à la température T 2. Étape 2 3 : le fluide est mis en contact avec un premier thermostat à la température T c = 323 K, ce qui a pour effet de le refroidir de façon isobare à l état de vapeur saturante à la température T c puis de le liquéfier entièrement. On note 3 l état final de cette transformation, où le fluide est à l état de liquide saturant. Étape 3 4 : le fluide passe dans un robinet à laminage, ce qui lui fait subir une détente de Joule- Kelvin (isenthalpique). À l état final, noté 4, le fluide diphasé est à la pression P f et possède un titre massique en vapeur noté x. Étape 4 1 : le fluide dans l état 4 est mis en contact avec le second thermostat à la température T f, ce qui a pour effet de le ramener à l état 1. Pour une PAC traditionnelle, dite air-air, le rôle du thermostat à la température T f est joué par l air extérieur à la maison. Dans une PAC géothermique, ce même thermostat est constitué par un fluide frigorigène, en général de l eau glycolée, c est-à-dire un mélange d eau et d éthane-1,2-diol. L eau glycolée est en contact thermique, via un échangeur thermique, avec l eau d une nappe souterraine : on parle de PAC sur aquifère. Allure du cycle 7. Dessiner le cycle thermodynamique décrit par le fluide de la PAC dans le diagramme de Clapeyron. On tracera un nouveau diagramme, figurant les isothermes T c et T f, ainsi que les points représentatifs des états 1, 2, 3 et Préciser lors de quelle(s) étape(s) le transfert thermique q c est réalisé. Même question pour q f. 9. Préciser, lors de l étape 2 3, ce qui joue concrètement le rôle du thermostat. Intérêt d une PAC sur aquifère 10. Par quoi est représenté le travail w sur le diagramme de Clapeyron? 11. Montrer qu en augmentant T f, T c étant fixée par ailleurs, on augmente l efficacité de la PAC. On demande de raisonner de façon qualitative sur l efficacité de la PAC, donc sur les échanges d énergie, et non sur l efficacité de Carnot de la PAC. Justifier l avantage d une PAC sur aquifère par rapport à une PAC air-air. Détermination de q c 12. Déterminer la température au point 2, T 2, en fonction de T f, γ, P f et P c. Calculer numériquement T Déterminer q c en fonction de R, γ et M, de la différence de température T c T 2 et de l V (T c ). Calculer numériquement q c. 14. Comparer numériquement les deux termes intervenant dans l expression de q c. Commenter. Détermination des paramètres manquants 15. À l aide des données regroupées dans le tableau en début d énoncé, déterminer littéralement, puis numériquement le titre en vapeur à l état 4, noté x. 16. Déterminer q f en fonction de x et l V (T f ). Calculer numériquement q f. 17. Exprimer littéralement puis calculer numériquement w. 2

3 Efficacité de la PAC 18. Exprimer littéralement puis calculer numériquement l efficacité e de la PAC. 19. Exprimer littéralement puis calculer numériquement l efficacité de Carnot e C. A-t-on e = e C? Expliquer lors de quelle(s) étape(s) il y a irréversibilité, ainsi que l origine physique précise de celle-ci. Problème II : Transformations réversibles et irréversibles (CCP MP 2004) 1 Questions de cours 1. Donner la définition d un système fermé. 2. Pour un système thermodynamique fermé, énoncer le second principe de la thermodynamique. On rappellera notamment le bilan entropique liant la variation d entropie S du système fermé à l entropie crée S c et à l entropie échangée S e 3. Bilans informatiques particuliers (a) Donner la définition d un système isolé (b) Que devient le bilan entropique du 2) dans le cas d un système isolé? 4. Donner deux exemples de causes d irréversibilité. 5. Dans les questions suivantes, on notera n la quantité de matière de gaz parfait, R la constante des gaz parfaits, C p la capacité thermique à pression constante des n moles de gaz, C v la capacité thermique à volume constant des n moles de gaz, et γ le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants. On supposera que C v et C p sont indépendants de la température T. On s attachera à soigner les explications. (a) Exprimer la variation d énergie interne d un gaz parfait en fonction de la variation de température. (b) Exprimer la variation d entropie d un gaz parfait en fonction des variations de température et de volume (c) Dans le cas d un gaz parfait, donner la relation entre C p, C v, R et n. Quel est le nom donnée à cette relation? (d) Exprimer C p et C v en fonction de n,r et γ 2 Compression d un gaz parfait Un cylindre circulaire d axe vertical et de section S est fermé par un piston de masse M. Pour traiter l aspect thermodynamique de ce problème, on négligera les frottements du piston sur le cylindre. (NB : ces frottements existent néanmoins et permettent d atteindre l état d équilibre mécanique). On introduit dans le cylindre à température ambiante T une quantité d azote n telle que le plan inférieur du piston soit, à l équilibre, à une distance a 1 du fond (fig 1) On notera P 0 la pression atmosphérique et on assimilera l azote à un gaz parfait diatomique. 3

4 6. En étudiant l équilibre du piston, donner l expression de la pression P 1 à l intérieur du cylindre en fonction de P 0, M, S, et l accélération de la pesanteur g. On ajoute dorénavant une surcharge de masse m sur le piston (fig 2) 7. On suppose dans cette question que le nouvel équilibre mécanique est atteint avant que tout échange de chaleur n ait eu lieu avec l exterieur. (a) Exprimer la pression P 2 dans le cylindre en fonction de P 0, M, m, S et g. (b) Déterminer le travail des forces de pression atmosphérique exercées sur le piston et transmises intégralement au gaz en fonction de P 0 et de la variation de volume du gaz dans le cylindre. (c) Déterminer le travail de pesanteur de l ensemble piston + surcharge en fonction de M, m, S, g et de la variation de volume du gaz dans le cylindre. (d) En appelant T 2 la température juste après l équilibre mécanique et avant tout échange thermique, appliquer le premier principe de la thermodynamique au système fermé du gaz parfait et exprimer la nouvelle hauteur du piston a 2 en fonction de a 1, C v, T 2, T,P 2 et S. (e) En déduire alors a 2 en fonction de a 1, γ, P 1 et P On suppose maintenant que l équilibre thermique s est établi avec l extérieur. Exprimer la pression P 3 à l intérieur du cylindre en fonction de P 0, M, m, S et g. Exprimer ensuite la nouvelle position d équilibre du piston a 3 en fonction de a 1, P 1 et P 3, puis en fonction de a 1, P 0, M, m, S et g. 9. Quelle est la relation entre la quantité de chaleur Q et le travail W mis en jeu lors de l ensemble de la transformation subie par le gaz? Donner l expression du travail W. En déduire l expression de la quantité de chaleur Q en fonction de P 3, a 3, a 1 et S, puis en fonction de n, R, T, P 0, M, m, S et g, toujours sur l ensemble de la transformation. 10. On souhaite ici calculer les variations d entropie sur l ensemble de la transformation. (a) L atmosphère extérieure ayant en permanence une température égale à T, quel nom peut-on lui donner? En déduire l expression de l entropie reçue par l extérieur. Exprimer la variation d entropie de l extérieur S ext en fonction de n, R, M, m, g, P 0 et S, sachant que pour un thermostat l entropie créée est nulle. (b) Quelle est l entropie reçue par le gaz parfait dans le cylindre? En utilisant la question 5-b, exprimer la variation d entropie totale du gaz parfait dans le cylindre S gaz en fonction de R, M, m, g, P 0 et S. (c) En déduire a variation d entropie de l univers S = S gaz + S ext En posant x(m) = mg Mg+P 0 S, montrer que S = nr(x ln(1 + x)). (d) La transformation est-elle réversible? Justifier la réponse 4

5 11. On veut rendre cette fois-ci la transformation quasi-statique, en rajoutant la surcharge de masse m progressivement : on dépose successivement p masses identiques µ très petites, en attendant à chaque fois que les équilibres thermique et mécanique s établissent avant d ajouter la petite masse suivante. On passe ainsi par une suite d états d équilibre thermodynamique. Lorsqu on dépose la j eme masse µ, j-1 masses µ sont déja sur le piston. On posera x j (µ) = et on notera que si p est grand x j (µ) << 1 µg (M+(j 1)µ)g+P 0 S, (a) Exprimer la variation d entropie de l univers S j correspondant à l ajout de la j eme petite masse µ, alors que j-1 sont déja posées. Faire un développement limité au second ordre de S j sur la variable x j (µ). (b) Exprimer sous la forme d une somme la variation d entropie de l univers correspondant à l ajout de toutes les petites masses. En remarquant que x j (µ) x(µ), montrer que l on peut majorer la variation totale d entropie de l univers par nr 2 x(m)x(µ). (c) Que devient la variation d entropie lorsque p tend vers l infini? A-t-on rendu la transformation réversible en travaillant de façon quasi statique? 3 Irréversibilité de la détente de Joue-Gay Lussac 12. Détente de Joule-Gay Lussac On considère un récipient ayant des parois rigides et adiabatiques. Il est composé de deux compartiments de volume V 1 et V 2 séparés par une cloison. On introduit n moles de gaz parfait à la température T dans un des deux compartiments. Le deuxième compartiment est vide (fig 3). Lorsqu on enlève la cloison séparant les deux compartiments, le gaz se répand dans tout le volume. On supposera que le travail fourni pour enlever la cloison est négligeable. (a) Quel est le travail reçu par le gaz parfait au cours de la détente? (b) Montrer que l énergie interne du gaz est constante au cours de la détente. (c) En déduire que la température du gaz ne change pas au cours de la détente. (d) En utilisant la question 5-b), calculer la variation d entropie du gaz au cours de la détente en fonction de n, R, V 1 et V 2. (e) Que vaut l entropie reçue par le gaz? Que vaut l entropie créée par le gaz S c? La transformation subie par le gaz est-elle réversible? 13. On opère cette fois-ci de façon quasi statique à l aide d un récipient comportant p+l compartiments, p étant très grand devant l. Le premier compartiment contenant initialement le gaz a toujours le même volume V 1. Le reste du récipient de volume V 2 est subdivisé en p petits compartiments de volume δv séparés par des cloisons (fig4) 5

6 On souhaite procéder en augmentant le volume occupé par le gaz par petites quantités δv. On enlève pour cela une à une les cloisons séparant les compartiments. On attend à chaque fois le retour à l équilibre avant d enlever une nouvelle cloison : le gaz est alors à chaque instant dans un état infiniment proche d un état d équilibre thermodynamique. (a) Exprimer la variation d entropie S j correspondant à la suppression de la cloison j en fonction de n,r, δv et le volume v j occupé par le gaz avant d enlever la cloison j. (b) Exprimer la variation d entropie du gaz correspondant à la suppression de toutes les cloisons en fonction de n, R, V 1 et V 2. (c) Comparer les résultats des questions 13-b) et 12-d) En procédant de la façon quasi-statique, a-t-on rendu la transformation réversible? Expliquer. Donnée : ln(1 + x) x x2 2 pour x 1 Problème III : Sismographe (Oral CCP) 1. Quel référentiel est le plus adapté à l étude du stylet traceur? 2. Déterminer l equation différentielle qui régit le mouvement du point M 3. Quelle est l expression de z eq la position a l equilibre? 4. On pose z = z z eq, comment est transformee l equation differentielle du mouvement? 5. On suppose que l excitation Z(t) est sinusoïdale d amplitude Z 0. Déterminer l expression de la fonction de transfert H(ω) = z 0 Z 0. Où z 0 est l amplitude de la réponse z(t). 6. Quelle opération de filtration le sismographe effectue-t-il? 6