Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 22 avril 2014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. obligatoire SÉRIE S

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1 Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi avril 014 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 4 HEURES Les calculatrices sont AUTRISÉES obligatoire Coefficient : 7 Le candidat doit traiter trois exercices plus un exercice suivant sa spécialité. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. Sur l en-tête de votre copie, précisez clairement et distinctement : le nom de l épreuve : épreuve de mathématiques. votre spécialité : mathématique, physique ou SVT. tournez la page s.v.p.

2 Exercice 1 (4 points) Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Partie A Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 0 % chez le fournisseur B. 10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 0 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. n prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : évènement A : «la boîte provient du fournisseur A» ; évènement B : «la boîte provient du fournisseur B» ; évènement S : «la boîte présente des traces de pesticides». 1) Traduire l énoncé sous forme d un arbre pondéré. ) a) Quelle est la probabilité de l évènement B S? b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0, 88. ) n constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B? Partie B Le gérant d un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. n suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. n considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides. 1) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. ) Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. ) Calculer la probabilité qu au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides. Exercice (4 points) Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. Une absence de réponse n est pas pénalisée. 1) Proposition 1 : «Toute suite positive croissante tend vers+» ) g est la fonction définie sur ] 1 ;+ [ par : g(x)=x ln(x+1) a) Proposition : «Sur ] 1 ;+ [, l équation g(x)=x a une unique solution : e» b) Proposition : «Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentation de la fonction g au point d abscisse 1 est : 1+ln 4» Paul Milan tournez la page s.v.p.

3 ) La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise, est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètreλ, oùλest un réel strictement positif. n sait que P(X )=0, 15. Proposition 4 : «La valeur approchée à 10 deλest : 0,081» Exercice (5 points) Candidats n ayant pas suivi la spécialité Le plan complexe est muni d un repère orthonormé (, u, v ). Pour tout entier naturel n, on note A n le point d affixe z n défini par : z 0 = 1 et z n+1 = i z n. n définit la suite (r n ) par r n = z n pour tout entier naturel n. 1) Donner la forme exponentielle du nombre complexe i. ) a) Montrer que la suite (r n ) est géométrique de raison. b) En déduire l expression de r n en fonction de n. c) Que dire de la longueur A n lorsque n tend vers+? ) n considère l algorithme suivant : Variables : n entier naturel R réel et P réel positif Entrées et initialisation Lire P 1 R 0 n Traitement tant que R>P faire fin n+1 n R R Sorties : Afficher n a) Quelle est la valeur affichée par l algorithme pour P=0, 5? b) Pour P=0, 01 on obtient n=. Quel est le rôle de cet algorithme? 4) a) Démontrer que le triangle A n A n+1 est rectangle en A n+1. b) n admet que z n = r n e i nπ 6. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A n est un point de l axe des ordonnées. c) Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points A 6, A 7, A 8 et A 9. Les traits de construction seront apparents. Paul Milan tournez la page s.v.p.

4 Exercice 4 (7 points) Partie A f est une fonction définie et dérivable surr. f est la fonction dérivée de la fonction f. Dans le plan muni d un repère orthogonal, on nomme la courbe représentative de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f. Le point A de coordonnées (0 ; ) appartient à la courbe. Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe C. 1) Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative de la fonction f. Sur l une d entre elles, la courbe C de la fonction dérivée f est tracée convenablement. Laquelle? Expliquer le choix effectué. Situation 1 Situation (C est une droite) C 1 C Situation C 1 4 ) Déterminer l équation réduite de la droite tangente à la courbe en A. ) n sait que pour tout réel x, f (x)=e x + ax+b où a et b sont deux nombres réels. a) Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l énoncé. b) Prouver que a =. 4) Étudier les variations de la fonction f surr. 5) Déterminer la limite de la fonction f en+. Paul Milan 4 tournez la page s.v.p.

5 Partie B Soit g la fonction définie surrpar : g(x)= f (x) (x+). 1) a) Montrer que la fonction g admet 0 comme minimum surr. b) En déduire la position de la courbe par rapport à la droite. La figure ci-dessous représente le logo d une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s est servi de la courbe et de la droite, comme l indique la figure ci-dessous. Afin d estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l aire de la partie colorée en gris. figure figure G F j D ı E Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où : D est le point de coordonnées ( ; 0), E est le point de coordonnées ( ; 0), F est le point d abscisse de la courbe, G est le point d abscisse de la courbe. La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite, la courbe, la droite d équation x= et la droite d équation x=. ) Calculer, en unités d aire, l aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 du résultat). Paul Milan 5 tournez la page s.v.p.

6 bac blanc de mathématiques Annexe exercie À compléter et à rendre avec la copie Nom : Prénom : A A A 4 A 1 A 5 A 0 Paul Milan 6 fin

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