Feuilles de TD du cours d Analyse S4

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1 Universié Paris I, Panhéon - Sorbonne Licence M.A.S.S Feuilles de TD du cours d Analyse S4 Jean-Marc Barde (Universié Paris, SAMM) Page oueb: hp://samm.univ-paris.fr/-jean-marc-barde- U.F.R. 27 e Equipe SAMM (Saisique, Analyse e Modélisaion Mulidisiplinaire) Universié Panhéon-Sorbonne, 9 rue de Tolbiac, 753 Paris.

2 2 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 Feuille n o : Rappels sur les inégrales de Riemann e inégrales généralisées () (**) Après avoir précisé leur domaine de définiion e de dérivabilié, calculer les dérivées des foncions suivanes: f (x) = 2x 2 +x+ f 2 (x) = x2 5 f 3 (x) = x 3 exp( 2sin(x 2 )) f 4 (x) = 2 cos(x) xln(x) (2) (*) Déerminer une primiive de chacune des foncions suivanes: f (x) = 2x 3 3x 2 f 2 (x) = cos(3x) 2ln(2x) f 3 (x) = xexp( 2x+) f 4 (x) = (3) (*) Calculer les inégrales définies suivanes: A = ( 2)d B = 2 2 d C = (2+6) /3 d D = ln( 2)d 3 3 (4) (*) Calculer les inégrales définies suivanes e leurs limies lorsque x end vers + : A = x /2 (2 ) /3 d B = x (2 ) 3/2 d C = 2 e 3 d D = x 5 (2 2 3) 2 d (5) (*) Calculer les inégrales définies suivanes e leurs limies lorsque x end vers : 2 x 3 x x A = ln( )d B = x d C = 2 2 /3 d D = 2 (6) (*) Éudier la convergence des inégrales suivanes: A = ( +3) α d pour α IR B = d C = (7) (**) Éudier la convergence des inégrales suivanes: 2 A = sin( 2 ln )d B = d C = an d 2 2 ( 2 ) 3 d 2 d D = 3x+4 ln 2 d (8) (**) Déerminer la naure (semi-convergene, absolumen convergene, divergene) des inégrales: A = cos( 2 )d B = sin(/ 3 cos(+) 2 cos(/) )d C = d D = d /3 (9) (**) Après avoir monré son exisence, calculer lim n + n () (***) Éudier la convergence des inégrales suivanes: A = D = + (ln) d B = sin ln(+) d E = + n k= exp( ln 2 )d C = cos( ) d I = n 2 k 2 +2n 2. ln (ln(2+)) 3d sin(πe / )d () (*) Eudier l exisence des inégrales suivanes e calculer les lorsqu elles exisen: 2 + A = 2 4 d B = d C = ln 2 ( 2 )d D = 2 (2) (**) On pose Γ() = x e x dx, pour n ZZ d (a) Déerminer l ensemble de définiion de Γ. (b) Calculer Γ() e Γ(2). Déerminer une relaion de récurence enre Γ(n+) e Γ(n) pour n IN. (c) Calculer Γ(n). (3) (***) Soi f : IR + IR +, une foncion décroissane. Monrer que si l inégrale f()d converge alors lim f(x) =. x + f 5 (x) = 2 x 2

3 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 3 Feuille n o 2: Inégrales muliples () (*) Calculer (2) (*) Calculer (3) (*) Calculer x 2 y 3 2ydxdy où = [,[ 2. ( x 2 +2y) 2 dxdy où = [,2] 2. xe xy dxdy où = [,[ 2. π/2 π/2 π/2 (4) (*) Calculer cos(x+y)dxdy. dxdy (5) (**) Calculer (+x 2y) où = {(x,y) [,[2, x 2y}. y (6) (**) Calculer 2x+y 2dxdy où = {(x,y) IR2, x y 2 }. xy (7) (**) Calculer a 2 +x 2 y 2dxdy où = {(x,y) [, [2, a 2 x 2 y 2 a 2 } avec a > fixé. (8) (**) Calculer cos(x+y)e x 2y dxdy où = {(x,y) [, [ 2, x 2y }. (9) (**) Calculer xydxdy où = {(x,y) IR 2, 4x 2 +y 2 }. () (**) Calculer xyzdxdydz où = {(x,y,z) [, [ 3, x + y + z } (on pourra poser u = x+y +z, uv = z +y e z = uvw). z 2 () (**) Calculer (y +2z)(x+y z) dxdydz où = {(x,y,z) [, [3, z <, x+y z 2}. (2) (**) Déerminer l ensemble des valeurs de α elles que I α = cas, calculer I α. Même quesion pour J α = (x+y) α dxdy. (x+2y) α dxdy exise, auquel (3) (**) Calculer le volume de l ensemble = {(x,y,z) IR 3, x 2 + 4y 2 a 2 e y 2 + z 2 4a 2 } avec a > (on pourra commencer par racer ). (4) (***) Pour (a,b) ], [ 2, calculer ln ( a cos) d (on pourra inroduire la foncion à deux variables (u,) (u cos) e uiliser le Théorème de b cos Fubini). (5) (**) Calculer le volume de la porion de l inérieur d un cône x 2 +y 2 z e z.

4 4 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 Feuille n o 3: Inégrales dépendan d un paramère () (*) Monrer que I n = π (sinx)n dx exise pour ou n IN. Explicier la limie l de (I n ) n. (2) (*) Monrer que J n = x(+x 2 ) n dx exise pour ou n IN. Explicier la limie l de (J n ) n. (3) (**) Monrer que K n = n x2 +n 2dx exise pour ou n IN. Explicier la limie l de (K n ) n. Comparer en calculan la valeur explicie de K n. (4) (***) Déerminer, si elle exise, lim n x 2 n 2 n dx. (5) (**) Déerminer, si elle exise, lim n cos(nx)e x dx. (6) (**) Soi f : IR IR une applicaion dérivable e bornée sur IR. Après avoir monré son exisence, calculer lim n e nx f(x)dx. (7) (***) Soi (a n ) n une suie de ], [ qui converge vers. Soi f : IR + IR coninue e bornée. Déerminer la limie de a nf(x) a dx (on pourra découper l inégrale sur [, a 2 n ] e [ a n, [). n +x2 (8) (***) Soi f une applicaion définie sur [, ], à valeurs sricemen posiives, e coninue. Pour α, on pose F(α) = fα ()d. Jusifier que F es dérivable sur R +, e calculer F (). En ( /α. déduire la valeur de lim f ()d) α α (9) (*) Soi F(x) = ln( x )d. Monrer que F es définie, coninue e de classe C sur des ensembles que l on précisera, e calculer F (x). () (**) Soi F(x) = e x+2 d. Monrer que F es définie, coninue e de classe C sur des ensembles que l on précisera, e calculer F (x). () (**) Le bu de l exercice es de calculer la valeur de l inégrale de Gauss I = e 2 d. On défini deux foncions f,g sur R par les formules f(x) = x d e g(x) = e (2 +)x 2 e d. Prouver que, pour ou x R, g(x)+f 2 (x) = π 4. En déduire la valeur de I. (2) (**) Soi f : IR + IR une foncion coninue. Pour x IR, on pose Lf(x) = f()e x d. (a) Monrer que si f()e x d converge, alors f()e y d converge pour y > x. En déduire la forme de l ensemble de définiion de Lf? (b) On suppose f bornée. Monrer que lim x + Lf(x) =. (3) (**) Donner le domaine de définiion, de coninuié e dérivabilié de f(x) = cos( x 2 2 )d. (4) (**) Soi f(x) = e x ln()d. Quel es l ensemble de définiion, de coninuié e de dérivabilié de f? Déerminer lim x + f(x). Sur quel ensemble la foncion f es-elle de classe C? (5) (***) Soi Γ(x) = x e d pour x >. (a) Enuilisanlechangemendevariable = x+u x,monrerqueγ(x+) = x ( x x e) f(x,u)du, où f es une foncion à préciser, nulle pour ou couple (x,u) el que u x. (b) Déerminer la limie de f à u fixé quand x. (c) Pour x, monrer que pour ou u, on a < f(x,u) ( + u)e u, puis que pour u i n] x,[, < f(x,u) e u2 /2. (d) En déduire que Γ(x + ) (x/e) x 2πx quand x, puis rerouver le célèbre équivalen n (n/e) n 2πn quand n. e x+u2 (6) (***) Soi F(x) = du. Monrer que F es définie e coninue sur IR. Quel es son +u2 ensemble de dérivabilié? Monrer que F es inégrable sur IR e monrer que F(x)dx = 2π.

5 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 5 Feuille n o 4: Equaions différenielles linéaires () (*) Déerminer les soluions maximales des équaions différenielles suivanes avec la condiion iniiale y() = : y +3y = 3; 2y +y = sin(2x); y +y = 2e x ; y 2y = x 2. (2) (**) Déerminer les soluions maximales des équaions différenielles suivanes avec la condiion iniiale y() = : xy +y = 2e x ; (+x)y 2y = x; y 2 y x = lnx; y 2x 2 y = e x. (3) (**) Déerminer une soluion maximale des équaions différenielles suivanes: y y = e x ; xy y = xln x = ; y sinx+ycosx = 2 x; x y +y = x. (4) (***) Soi f une foncion de classe C sur IR elle que lim x f (x) + f(x) =. Monrer que lim x f(x) = (on pourra résoudre f (x)+f(x) = g(x)...). (5) (*) Déerminer les soluions maximales générales des équaions différenielles suivanes: y 4y = y +9y = y 4y +4y = 2 3y (3) 2y y = x y y 2y = 2 e x y +4y = cos(2x) y (4) +y = e x y +y +y = e x/2 (6) (**) Déerminer les soluions maximales des équaions différenielles suivanes avec la condiion iniiale y() = y () = : y y +y = x y (3) 3y +4y = 2e x y (4) 8y = 2x y +4y = cos(x). (7) (***) Soi l équaion différenielle xy +2(x+)y +(x+2)y =. En posan z = xy, résoudre cee équaion différenielle sur IR. De même pour y +y an(x) ycos 2 (x) = en posan = sinx, puis x 2 y +y = en posan = lnx. (8) (**) Déerminer une soluion maximale de l équaion différenielle xy y 4x 3 y = après avoir vérifié que y(x) = e x2 es soluion. (9) (**) Déerminer une soluion maximale de l équaion différenielle ( + x 2 )y + xy y = en effecuan le changemen de variable x = sh. () (**) Déerminer une soluion maximale de l équaion différenielle x 2 y 2xy + 2y = après avoir remarqué que y(x) = x es soluion de l équaion homogène associée. () (**) Pour les deux équaions différenielles suivanes, chercher des soluions polynomiales de l équaion, puis en déduire les soluions maximales: (x 2 +x)y +(x )y y = x 2 y 3xy +4y = x 2. (2) (***) En uilisan le changemen de variable y = u(y) résoudre l équaion différenielle y = y y 2 avec y() = e y () = /3.

6 6 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 Feuille n o 5: Séries enières () (*-**) Déerminer le rayon de convergence des séries enières suivanes :. log(n+) n n! x n 2. n log(n)xn 3. n n3 2 n + x2n 4. n ln(n2 ) n x 3n 5. n n n x n 6. n (3+n)n +x n 7. n (cos2 n) lnn x n 8. n x[n/3], où [ ] parie enière 9. n exp( n2 )x n (2) (**) Calculer le rayon de convergence de la série enière n a nz n lorsque a n es donné par:. a n = ( 3) n2 2. a n = ln(+n!) 3. a n = nn (2n)! 4. a n = sin ( π +n! 4) (3) (*) Répondez aux quesions suivanes: (a) Donner un exemple de série enière de rayon de convergence 4. (b) Es-il possible de rouver des suies (a n ) e (b n ) elles que a n = o(b n ) e pouran n a nz n e n b nz n on le même rayon de convergence? (c) Quel es le lien (en jusifian) enre le rayon de convergence des séries enières n a nz n e n n2 a n z n? (4) (*) Pour les séries enières suivanes, donner le rayon de convergence e exprimer leur somme en ermes de foncions usuelles:. n n 2 2n+ xn 2. n ( )n (n+)x n (n+) 3. 2 n n! x n ( ) 4. n n n+ x2n. (5) (**) Soi R le rayon de convergence de n a nx n. Comparer R avec les rayons de convergence des séries suivanes: a n ln(n!)x n ; a n z 2n ; a n z n2. (6) (**) Soi (a n ) une suie de réels qui converge vers l. (a) Quel es le rayon de convergence de la série enière a n n n! x n? (b) On noe f la somme de la série enière précédene. Déerminer lim x + e x f(x). (7) (***) Donner un exemple de série enière elle que (a) en ou poin du cercle de convergence, la série numérique associée converge. (b) en ou poin du cercle de convergence, la série numérique associée diverge. (c) la série numérique associée adme p IN, nombre fixé, poins de divergence sur son cercle de convergence. (8) (*) Développer en série enière au voisinage de les foncions suivanes. On précisera le rayon de convergence de la série enière obenue.. ln( 2x) 2. a+x avec a 3. ( x 2 ) /2 xe x 4. +x 5. ln( 3x+2x 2 ) 6. ln(2 2x) x (9) (**) Soi f l applicaion définie sur ],[ par f() = cos(αarcsin), α R. (a) Former une équaion différenielle linéaire du second ordre vérifiée par f. (b) Chercher les soluions de l équaion différenielle obenue qui son développables en série enière. (c) En déduire que f es développable en série enière sur ],[, e donner son développemen. () (***) Pour x >, on pose f(x) = + n= ( ) n x+n. Monrer que f es développable en série enière au voisinage de (Indicaion: remarquer que x+n = x+n dx, puis permuer la série e l inégrale e développer en série enière x ). () (**) En uilisan un développemen en série enière, monrer que les foncions suivanes son de classe C :

7 Licence M.A.S.S. deuxième année: Analyse S4 7 (a) f(x) = sin 2 (x)/x si x, f() =. (b) g(x) = cos( x ) si x IR. (c) h(x) = sin 2 x x 2 si x ] π,[ ],π[, h() =. (2) (**) On considère la série enière f(x) = + ( ) n+ n= n x 2n+. (a) Quel es son rayon de convergence, que l on noera R? Y-a--il convergence aux bornes de l inervalle de définiion? (b) Sur quel inervalle la foncion f es-elle a priori coninue? Démonrer qu elle es en réalié coninue sur [ R, R[. (c) Exprimer, au moyen des foncions usuelles, la somme de la série dérivée sur ] R, R[. En déduire une expression de f sur ] R,R[. (d) Calculer + n= (3) (***) Monrer que ( ) n+ n. ln( ) ln d = n= n 3. (4) (*) On considère l équaion différenielle y + xy + y =. On cherche l unique soluion de cee équaion vérifian y() = y () =. (a) Supposons qu il exise une série enière f(x) = n a nx n de rayon de convergence sricemen posiif soluion de l équaion. Quelle relaion de récurrence doi vérifier la suie (a n )? (b) Calculer expliciemen a n pour chaque n. Quel es le rayon de convergence de la série enière obenue? (c) Exprimer cee série enière à l aide de foncions usuelles. (5) (**) Démonrer que Arcan x x dx = + ( ) n (2n+) 2.

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