Chapitre VII : Intégration et primitives

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1 Cité Scolire Gmett Chpitre VII : Intégrtion et primitives Année scolire -3 I NOTION D INTEGRALE SUR UN INTERVALLE : Définition : Le pln étnt mni d n repère orthogonl O;i, j, on définit les points I, J et K pr OI i, OJ j et OIJK rectngle. L ire d rectngle OIJK définit lors l nité d ire (..). ) Définition de l intégrle dns le cs d ne fonction contine positive sr n segment [ ; ] Définition : Soit f ne fonction contine et positive sr n intervlle [ ; ]. Soit (C) s core représenttive dns n repère orthogonl O;i, j. On ppelle intégrle de à de l fonction f, et on note f ()d,le réel mesrnt l'ire, en nités d'ire, de l prtie d pln limitée pr l core (C), l'e des scisses et les droites d'éqtions = et =, M ; P tels qe et f(). c'est-à-dire l ire d domine D = Illstrtion : nité d'ire (C) f ()d O et sont les ornes de l intégrle et est ne vrile mette : elle n intervient ps dns le résltt, on retrove ssi t : Eemples : f ()d f (t)dt. Rpportons le pln à n repère orthonormé d nité cm. Ainsi.. = cm². Cs d ne fonction constnte positive : k f() = k. D est n rectngle. D f ()d k.. (voir fonction en esclier en e) O

2 Cs d ne fonction ffine : f() = m + p. D est n trpèze. petite se grnde se f ()d hter.. (m p m p) ( ) m p m p D 3 Qdrtre de l hperole : voir DM : por tot réel, dt ln. t ) Dérivilité d ne fonction d ire : Théorème (dmis) : soit f ne fonction contine sr n intervlle I et I. Alors l fonction F définie pr F() f (t)dt est dérivle sr [,], et por dérivée f.

3 II PRIMITIVES D UNE FONCTION CONTINUE : )Définition : Définition : Soit f ne fonction définie sr n intervlle I. On ppelle primitive de f sr I tote fonction F dérivle sr I telle qe por tot dns I, F () = f(). Eemple : On considère l fonction inverse f : f () 3 sr. 3 On sit qe l fonction F définie pr F() por dérivée f () Mis si on vit choisi por F : F() 3, on rit encore ne primitive de f. L connissnce d ne primitive d ne fonction f permet d en trover ne infinité. 3 sr ; F est ne primitive de f. Théorème : Soit f ne fonction contine définie sr n intervlle I et F ne primitive de f sr I. Alors f dmet ne infinité de primitives et tote tre primitive de f sr I est définie pr G() = F() + C où C est ne constnte réelle. Preve : D près l remrqe précédente, G insi définie est ssi ne primitive. Réciproqement, si G est ne primitive de f sr I, lors G = f = F, donc G F =. Donc G F est ne fonction constnte sr I Représenttion des primitives dns n repère orthonorml O;i, j, les représenttions grphiqes C F et C G se correspondent pr ne trnsltion de vecter Cj. Conséqence : est n réel donné dns I et est n réel qelconqe. Alors il eiste ne niqe primitive G de f sr I telle qe G( ) =. (direct, C = F( ))

4 III CALCULS DE PRIMITIVES : ) Primitives des fonctions selles Les opértions sr les fonctions dérivles et l définition d ne primitive condisent imméditement résltts sivnts. - Si F et G sont des primitives de f et g sr n intervlle I, lors F + G est ne primitive de f + g sr I. - Si F est ne primitive de f sr I et k n réel, lors kf est ne primitive de kf sr I. Voici le tle donnnt les primitives de qelqes fonctions selles : Fonction f Primitive F Intervlle I f() = k (constnte) F() = k + C C f() = F() = f() = + F() C n * f () n et n f () f () f () f() = e f() = cos f() = sin f () tn cos f () cos( ) f () sin( ) n F() C n si n > ; o ;+ si n F() C ; F() C ; o ;+ F() = ln + C F() e C F() = sin + C F() = - cos + C F() = tn + C F() sin( ) C F() cos( ) C ; k ; k k Eemples : trover ne primitive ) g est définie sr I ; pr 5 g() 4 ) f est définie sr J ; pr 3 f () sin 3 3cos 4 tn. Une primitive F de f sr J est définie pr : 3 F() cos 3 sin 3 tn 6. 3

5 ) Primitives de fonctions composées selles Dns chqe cs, est ne fonction dérivle sr n intervlle I. fonction f primitive F conditions n ' n et n n sr I si n - ' > sr I ' sr I ' ln ln dns les de cs si > sr I ln( ) si < sr I 'e sin n e cos cos sin Eemples : ) Trover ne primitive F de l fonction f définie sr ; pr 5 f () e. F est de l forme ep(). ) Trover ne primitive G de l fonction définie sr I ; pr g(). 4 Soit () = ' 4, > sr I et () = ; donc g(). On en dédit ne primitive G de g définie pr G() ln 4 (voir sr ; ) IV INTEGRALE D UNE FONCTION CONTINUE :. ) Clcl de l intégrle d ne fonction positive sr [,] : Théorème : f est ne fonction contine et positive sr n intervlle [,] ; F est ne primitive de f sr [,]. Alors f (t)dt F() F(). Preve : on v qe l fonction G : Por =, on donc f (t)dt, où I f (t)dt G() G() G(). Soit F ne primitive de f sr I, il eiste n réel k tel G = F + k. On donc f (t)dt G() G() F() k F() k F() F(). est l primitive de f sr I qi s nnle en.

6 ) Générlistion de l notion d intégrle : Théorème : f est ne fonction contine sr n intervlle I ; F est ne primitive de f sr I et et de réels qelconqes de I. Alors f (t)dt F() F(). Remrqes : on écrit sovent F() F() sos l forme F(t). Le choi d ne primitive n infle ps le résltt de l intégrle. Eemples : d. n n d. n n cos tdt sin t. 3) Propriétés : Propriétés : f (t)dt et f tdt f (t)dt Reltion de Chsles : Théorème (dmis) : f est ne fonction contine sr n intervlle I. Qels qe soient les réels, et c dns I, c c f (t)dt f (t)dt f (t)dt Illstrtion : lorsqe f est positive et c, il s git de l dditivité des ires. Mis vec les intégrles, cette reltion est vrie qels qe soient les réels, et c. c Conséqence prtiqe : Si f est pire sr [ ; ], lors En effet, f (t)dt f (t)dt. f (t)dt f (t)dt f (t)dt. Et comme f est pire, pr smétrie pr rpport à l e des f (t)dt f (t)dt. D où le résltt. ordonnées, les domines ssociés ont l même ire : Si f est impire sr [ ; ], lors f (t)dt

7 En effet, f (t)dt f (t)dt f (t)dt. Et comme f est impire, pr smétrie pr rpport à l origine, les domines ssociés ont l même ire mis sont sités de prt et d tre de l e des scisses : f (t)dt f (t)dt. D où le résltt. Linérité Théorème (dmis) : f et g sont de fonctions contines sr n intervlle I, k est n réel. Qels qe soient les réels et dns I : kf (t)dt k f (t)dt et f g (t)dt f (t)dt g(t)dt. Intégrles et inéglités Théorème : f et g sont de fonctions contines sr n intervlle [ ; ] ( ). - si por tot de [ ; ], f(), lors f ()d ; - si por tot de [ ; ], f() g(), lors f ()d g()d. Preve : L première inéglité réslte d fit qe por f positive, l intégrle est ne ire. Por l seconde, f g g f ; on ppliqe lors ce qi précède et l linérité. Clcls d ires plnes Propriété : f et g sont de fonctions contines sr [ ; ], vec f() g() sr [ ; ]. L ire (en..) d domine : Eemple : Vler moenne M ; / et f () g() est égle à Définition : Soit f ne fonction contine sr n intervlle [ ; ] ( < ) Soit (C) s core représenttive dns n repère orthogonl O;i, j. (g f )()d. On ppelle vler moenne de f sr [ ; ] le nomre réel tel qe : f (t)dt Remrqe Por ne fonction positive, est le nomre réel por leqel l'ire d rectngle de dimensions et ( ) est égle à l'ire de l prtie de pln limitée pr (C) et l e des scisses. On f (t)dt. µ (C)