Questions de cours - Chapitre

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1 Travail du cours : Commencez par apprendre votre cours, et cherchez à le mémoriser (définitions, propriétés). Ensuite, testez-vous sur les questions de la fiche sans avoir le cours sous les yeux. S il vous manque des réponses, ou si vos réponses sont incomplètes (ou si vous vous apercevez qu elles sont fausses après vérification), reprenez votre cours en ciblant les notions de la fiche. Fiche 1 : Vous devez savoir énoncer parfaitement les résultats concernant 1. La résolution de l équation homogène y + a(t)y = 0, où a : I K continue. 2. La résolution de l équation y + ay = b, où a, b K. 3. La résolution de l équation homogène ay + by + cy = 0, avec a, b, c C. 4. La résolution de l équation homogène ay + by + cy = 0, avec a, b, c R. Fiche 2 : Vrai ou Faux? 1. Toute équation différentielle du premier ordre admet une solution. 2. Les courbes intégrales de deux solutions distinctes d une même équation différentielle linéaire d ordre un du type y + a(t)y = b(t), (où a et b sont définie sur R et continues) ne peuvent être sécantes. 3. On considère l équation xy + y 2 = ln x. Pour résoudre cette équation sur R +, on ajoute une solution particulière à une solution quelconque de l équation homogène xy + y 2 = Pour résoudre xy 2y + y = 0, on commence par résoudre l équation caractéristique xr 2 2r + 1 = On peut appliquer le principe de superposition à toutes les équations différentielles d ordre un ou deux. 6. Pour chercher les solutions à valeurs réelles de l équation (E) y 3y +2y = xe x sin(2x), on peut s intéresser à l équation y 3y + 2y = xe (1+2i)x, en chercher une solution y 1 (à valeurs complexes) et on prendra la partie réelle de y 1 pour solution particulière de (E). 7. On peut trouver une solution particulière de l équation y 3y + 2y = xe (1+2i)x sous la forme x Q(x)e (1+2i)x, avec Q un polynôme de degré 1 car 1 + 2i n est pas racine de l équation r 2 3r + 2 = 0. Fiche 3 : 1. Exposer la méthode de variation de la constante pour résoudre une équation différentielle linéaire d ordre On considère une équation différentielle : (H) : y + a(t)y + b(t)y = 0, où a et b sont des fonctions continues sur R. Magali Hillairet 1 Lycée Franklin, Orléans

2 Magali Hillairet 2 Lycée Franklin, Orléans b. Faites une synthèse des méthodes permettant de résoudre cette équation. 3. On considère une équation différentielle : (E) : y + a(t)y + b(t)y = c(t), où a, b et c sont des fonctions continues sur R. b. Exposer la méthode de variation des constantes pour trouver une solution particulière de l équation (E). Fiche 4 : Exercice 1 Résoudre y xy = 3x où y : R R. Exercice 2 Résoudre y 1 + y = 0 où y : ] 1, 0[ R. x(x + 1) Exercice 3 Résoudre l équation y 2y + y = x d inconnue y : R R. Fiche 5 : Exercice 4 L équation y + 4y + 4y = 0 a pour ensemble de solutions sur C : 1. {x λe 2ix + µe 2ix, (λ, µ) C 2 }. 2. {x λ cos(2x) + µ sin(2x), (λ, µ) C 2 }. 3. {x (λx + µ)e 2x, (λ, µ) C 2 }. Exercice 5 L équation y 2y + 5y = 0 a pour ensemble de solutions, d inconnue y : R R : 1. {x e x (λe 2x + µe 2x ), (λ, µ) R 2 }. 2. {x e x (λe 2ix + µe 2ix ), (λ, µ) R 2 }. 3. {x e x (λ cos(2x) + µ sin(2x)), (λ, µ) R 2 }. Exercice 6 Soit l équation (E) : y + 3y 4y = (x 2 1)e 4x, d inconnue y : R R. Sous quelle forme peut-on chercher une solution particulière de (E)?

3 Magali Hillairet 3 Lycée Franklin, Orléans CORRIGÉS Fiche 1 : 1. La résolution de l équation homogène y + a(t)y = 0, où a : { I K continue. } I K L ensemble S 0 des solutions de (H) : y + a(t)y = 0 est t λe A(t), λ K où A est une primitive de a sur I. 2. La résolution de l équation y + ay = { b, où a, b K. } I K L ensemble des solutions de (E) est t b a +, λ K λe at 3. La résolution de l équation homogène ay + by + cy = 0, avec a, b, c C. Si (E c ) admet deux solutions distinctes r 1 et r 2 alors R C, (α, β) C 2 t αe r1t + βe r2t. Si (E c ) admet une unique solution r 0 alors R C, (α, β) C 2 t (α + βt)e r0t. 4. La résolution de l équation homogène ay + by + cy = 0, avec a, b, c R. Si (E c ) admet deux solutions réelles distinctes r 1 et r 2 alors R R, (α, β) R 2 t αe r1t + βe r2t. Si (E c ) admet une unique solution r 0 alors R R, (α, β) R 2 t (α + βt)e r0t. Si (E c ) admet deux solutions complexes conjuguées r + iω et r iω alors R R, (α, β) R 2 t (α cos(ωt) + β sin(ωt))e rt. Fiche 2 : a. FAUX. Nous avons montré que toute équation différentielle linéaire du premier ordre admet une solution. Il manque le mot linéaire... b. VRAI. On est dans le cadre équation différentielle linéaire du premier ordre normalisée : l énoncé proposé découle de l unicité au problème de Cauchy. c. FAUX. Là encore, il faut remarquer que l équation proposée n est pas linéaire. Le fait que la solution générale d une équation est la somme d une solution particulière avec la solution générale de l équation homogène est obtenu grâce à la linéarité de l équation. d. FAUX. Attention : ce n est pas une équation à coefficients constants... e. FAUX. Toujours la linéarité...si les équations considérées sont linéaires, alors c est vrai!

4 Magali Hillairet 4 Lycée Franklin, Orléans f. FAUX. Pour chercher les solutions à valeurs réelles de l équation (E) y 3y + 2y = xe x sin(2x), on peut s intéresser à l équation y 3y + 2y = xe (1+2i)x : c est VRAI car sin(2x) = Im(e 2ix ). On trouve une solution y 1 (à valeurs complexes) de cette équation et on prendra Im(y 1 ) pour solution de (E), car xe x sin(2x) = Im(xe (1+2i)x ). On peut aussi décider de considérer l équation y 3y + 2y = xe (1+2i)x et dans ce cas, on prendra Im(y 1 ) car xe x sin(2x) = Im( xe (1+2i)x ). g. VRAI. Fiche 3 : 1. Exposer la méthode de variation de la constante pour résoudre une équation différentielle linéaire d ordre 1. On considère y définie sur I par y(t) = λ(t)e A(t) où λ est ici une fonction supposée dérivable. On cherche alors une condition sur λ (en fait sur λ ) pour que y soit une solution de (E). on se souviendra que t e A(t) est une solution de l équation (H). Lorsque l on écrit, pour t I, y (t) + a(t)y(t) b(t) =... les termes en λ s éliminent et on obtient λ =... (mais il vaut mieux faire le calcul car celui-ci permet de vérifier que notre solution de (H) est la bonne!). On détermine λ (en primitivant) et on prend y 0 : t λ(t)e A(t) pour solution particulière (ne pas oublier de multiplier la fonction λ trouvée par e A(t) ). 2. On considère une équation différentielle : (H) : y + a(t)y + b(t)y = 0, où a et b sont des fonctions continues sur R. L équation est linéaire, homogène donc son ensemble de solutions est un R espace vectoriel de dimension 2. b. Faites une synthèse des méthodes permettant de résoudre cette équation. Si on connaît une base (y 1, y 2 ) de S 0, on connaît S 0 = Vect(y 1, y 2 ). Si on connaît une solution y 1 de (H) ne s annulant pas sur I : on applique la méthode de Lagrange pour en trouver une autre. C est le même principe que la variation de la constante, on cherche y 2 = λy 1 avec λ une fonction 2 fois dérivable. On cherche à se ramener à une équation plus simple, avec un changement de variables. On cherche à se ramener à une équation plus simple, avec un changement de fonction inconnue. 3. On considère une équation différentielle : (E) : y + a(t)y + b(t)y = c(t), où a, b et c sont des fonctions continues sur R. Si il existe f 0 solution de (E) alors l ensemble des solutions de (E) est {f 0 +f, f S 0 } où S 0 est l espace vectoriel (de dimension 2) des solutions de l équation homogène associée à (E). b. Exposer la méthode de variation des constantes pour trouver une solution particulière de l équation (E). Méthode de variation des constantes On connaît (y 1, y 2 ) une base de l ensemble S 0 des solutions de l équation homogène (H). On cherche alors une solution y de (E) sous la forme y = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 où λ 1 et λ 2 sont des fonctions deux fois dérivables. On calcule y = λ 1y 1 + λ 2y 2 + λ 1 y 1 + λ 2 y 2. Pour simplifier, on impose aussi que λ 1y 1 + λ 2y 2 = 0. On a ainsi y = λ 1 y 1 + λ 2 y 2. On calcule alors y = λ 1y 1 + λ 2y 2 + λ 1 y 1 + λ 2 y 2. { λ On obtient que y est solution de (E) si et seulement si λ 1 et λ 2 vérifient : 1 y 1 + λ 2y 2 = 0 λ 1y 1 + λ 2y 2 = c

5 Magali Hillairet 5 Lycée Franklin, Orléans On trouve λ 1 et λ 2, on primitive et on déduit une solution y de (E). Fiche 4 : Exercice 1 Résoudre y xy = 3x où y : R R. Ensemble des solutions sur R :{x 3 + λe x2 /2, λ R}. Exercice 2 Résoudre y + 1 x(x + 1) + 1 y = 0 où y : ] 1, 0[ R. Ensemble des solutions sur ] 1, 0[ :{x λx x, λ R}. Exercice 3 Résoudre l équation y 2y +y = x d inconnue y : R R. Ensemble des solutions :{x (λx+µ)e x +x+2, λ R}. Fiche 5 : Exercice 4 L équation y + 4y + 4y = 0 a pour ensemble de solutions sur C : 1. {x λe 2ix + µe 2ix, (λ, µ) C 2 }. 2. {x λ cos(2x) + µ sin(2x), (λ, µ) C 2 }. 3. {x (λx + µ)e 2x, (λ, µ) C 2 }. Réponse 3 : {x (λx + µ)e 2x, (λ, µ) C 2 }. Exercice 5 L équation y 2y + 5y = 0 a pour ensemble de solutions, d inconnue y : R R : 1. {x e x (λe 2x + µe 2x ), (λ, µ) R 2 }. 2. {x e x (λe 2ix + µe 2ix ), (λ, µ) R 2 }. 3. {x e x (λ cos(2x) + µ sin(2x)), (λ, µ) R 2 }. Réponse 3 : {x e x (λ cos(2x) + µ sin(2x)), (λ, µ) R 2 }. Exercice 6 Soit l équation (E) : y + 3y 4y = (x 2 1)e 4x, d inconnue y : R R. Sous quelle forme peut-on chercher une solution particulière de (E)? Sous la forme : y(x) = Q(x)e 4x avec Q fonction polynomiale de degré 3 car 4 est racine simple de l équation caractéristique.

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