x x 2 2. Déterminer une primitive pour chacune de fonctions suivantes sur ]0; + [ : c) f(x) = 2 2x 3 F(1) = 1 c) f(x) = par f(x) = 2 2x 1

Transcription

1 Eercice. Résoudre les équations suivantes : a) ln ) = ln5 6) b) ln 9) = 0 c) ln ) = 0 d) ln ) = ln 7). Résoudre les inéquations suivantes : a) ln ) < ln+) b) ln8 ) 0 c) ln ) > 0 d) ln 5) ln7 9) Eercice. Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes sur ]0; + [ : a) f) = ln b) f) = ln c) f) = ln d) f) = ln) e) f) = ln. Déterminer une primitive pour chacune de fonctions suivantes sur ]0; + [ : a) f) = b) f) = c) f) = d) f) = 5 e) f) = Eercice. Déterminer le domaine de définition puis la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : a) f) = ln+) b) f) = 5ln ) c) f) = ln 5+) d) f) = ln) e) f) = ln+. Déterminer le domaine de définition puis une primitive pour chacune de fonctions suivantes : a) f) = b) f) = + c) f) = d) f) = e) f) = Eercice. Déterminer la primitive F de f sur ]0;+ [ dans les cas suivants : a) f) = + F) = 0 b) f) = ] [. f est la fonction définie sur I = ;+ a. Déterminer une primitive de f par f) = b. En déduire une primitive de g sur I définie par g) = 5. f est la fonction définie sur I = ] ;+ [ par f) = + a. Déterminer une primitive de f b. En déduire une primitive de g sur I définie par g) = +. f est la fonction définie sur I = ] ;+ [ par f) = + a. Vérifier que f) = + b. En déduire la primitive F de f sur I telle que F0) = F) = c) f) = 5 + F) = Lycée Marie Curie Page

2 Eercice 5 Eprimer les nombres proposés en fonction de ln et ln a) ln 9 b) ln 8 c) ln 6 d) ln f) ln ) g) ln8 ln h) ln7 ln9 i)ln ) ) ) ln 8 e) ln j) ln ) 6 9 ) +ln7 9 Eercice 6 Eprimer les nombres proposés en fonction de ln et ln A = ln, B = ln 8+ln 6, C = ln 7+ln ), D = ln 6, E = ln, F = ln 9, G = ln 6 ln 6 Eercice 7 Écrire les epressions proposées sous la forme ln A a) ln5 ln b) ln8+ln5 c) ln5 d) ln+ ln5 e) ln ) 7 +ln ) 5 +ln ) 5 ) f) ln5 ln+ln 0 h) ln00 ln0,+ ) ln6 i) ln +ln Eercice 8 Résoudre chacune des équations suivantes : a) ln+ln ) = ln b) ln[ )] = ln c) ln )+ln+) = ln ) d) ln + 6) = ln ) Eercice 9 Déterminer l ensemble de définition pour chacune des deu fonctions proposées puis préciser un intervalle où les fonctions sont gales : ). f) = ln) ln+5) et g) = ln +5. f) = ln)+ln+) et g) = ln+)). f) = ln ) et g) = ln [ ) ]. f) = ln ) et g) = ln Eercice 0 n désigne un entier naturel. Résoudre les inéquations suivantes : a) 0,85 n < 0,5 b), n > 0 c) + 5 ) n 0 d) 00 5 ) n 0 00 Lycée Marie Curie Page

3 Eercice Étudier les limites en 0 et en + de chacune des fonctions suivantes définies sur ]0;+ [ a) f) = ln + ) ) ) b) f) = ln c) f) = ln + + ) +5 d) f) = ln ++ e) f) = ln + ) ln + ) f) f) = ln)ln Eercice Étudier la limite en + de chacune des fonctions suivantes définies sur ]0;+ [ a) f) = ln) +ln = b) f) = ln +ln+ + + Eercice Étudier la limite en 0 de chacune des fonctions suivantes définies sur ]0;+ [ a) f) = b) f) = +ln c) f) = ln) d) f) = ln ln Eercice Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f) = ln) ln. Montrer que f) = ln ln ). En déduire la limite de f en +. Déterminer de même la limite de g en + lorsque g) = ln) ln+5 Eercice 5 Soit f la fonction définie sur ];+ [ par f) = ++ln ) +. Déterminer la limite de f en. En déduire l équation d une asymptote à C f. Déterminer la limite de f en +. En déduire l équation d une asymptote à C f. Déterminer de même la limite de g en + lorsque g) = ln) ln+5. Que peut-on en déduire pour C f? Eercice 6 Soit f la fonction définie sur ] ;+ [ par f) = +ln+) ln+). Déterminer la limite de f en -. En déduire l équation d une asymptote à C f. Déterminer la limite de f en +. En déduire l équation d une asymptote à C f. Déterminer de même la limite de g en + lorsque g) = ln+) ln+). Que peut-on en déduire pour C f? Lycée Marie Curie Page

4 Eercice 7 Simplifier les epressions suivantes : a) ln e 5) b) ln e ) c) ln e e ) d) lne) ln+ln ) e f) ln e ) ) ln e Eercice 8 Résoudre les équations suivantes a) ln = b) ln = c) ln ) = d) ln 7) = f) ln) ln = 0 Eercice 9 Résoudre les inéquations suivantes a) ln ) < 0 b) +ln < 0 c) ln )+ 0 d) 0 5ln 5) < 0 Eercice 0 Résoudre les équations suivantes a) ln) +ln = 0 b) ln) ln+ = 0 c) 5ln) = 0ln Eercice. Résoudre l équation X X 5 = 0. En déduire la résolution de chacune des équations suivantes : a. ln) ln 5 = 0 b. ln[ ) )] = ln c. ln )+ln ) = ln Eercice. a. Résoudre l équation X 5X +6 = 0 b. En déduire la résolution de l équation ln) 5ln+6 = 0. a. Résoudre l équation X 5X +6 0 b. En déduire la résolution de l inéquation ln) 5ln+6 0 Eercice La fonction f est définie sur ]0;+ [. Déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe : a) f) = ln b) f) = ln+ c) f) = ln ) d) f) = ln+) Lycée Marie Curie Page

5 Eercice PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle [; 6] par f) = a+b 6 où a et b sont des nombres réels. On admet que f est dérivable sur l intervalle [; 6] et on note f la fonction dérivée de f sur cet intervalle. La courbe représentative de f, donnée en annee, coupe l ae des abscisses au points d abscisses et et admet une tangente horizontale au point A de coordonnées ; ).. a. Déterminer graphiquement les valeurs de f), f), f) et f ). b. En utilisant deu des quatre résultats de la question. a., déterminer les valeurs des réels a et b.. On admet que la fonction f est définie sur [; 6] par f) = a. Calculer f ) puis étudier les variations de la fonction f sur l intervalle [; 6]. b. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [; 6] en précisant uniquement les valeurs de f), f) et f). c. En déduire le signe de f) sur l intervalle [; 6].. On considère la fonction F définie sur l intervalle [; 6] par F) = ln. a. Montrer que F est la primitive de la fonction f sur [; 6] telle que F) = 0. En utilisant les résultats des questions précédentes, dresser le tableau de variations de la fonction F sur l intervalle [; 6], les valeurs seront arrondies au millième. PARTIE B Une entreprise fabrique des pièces pour assemblage de moteurs qu elle conditionne par centaines. Sa fabrication journalière varie entre 00 et 600 pièces. L objectif est d étudier le bénéfice quotidien réalisé par cette entreprise. Une étude a montré que le bénéfice marginal quotidien de cette entreprise est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, appelée fonction bénéfice marginal. Pour compris entre et 6, est eprimé en centaines de pièces fabriquées et vendues quotidiennement et f) est eprimé en milliers d euros. En économie, la fonction bénéfice marginal est considérée comme la dérivée d une fonction appelée fonction bénéfice. On sait de plus que le bénéfice de l entreprise est nul pour la fabrication et la vente quotidienne de 00 pièces.. Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l entreprise réalise un bénéfice maimal. En déduire le bénéficie maimal on donnera ce bénéfice maimal arrondi à l unité d euro).. Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l entreprise réalise un bénéfice supérieur à 000 û on donnera le résultat arrondi à l unité) y A Lycée Marie Curie Page 5

6 Eercice 5 Partie A On considère la fonction g définie sur [ ; + [ par g) = ln.. Étudier les variations de g sur [ ; + [.. Résoudre l équation g) = 0 dans [ ; + [.. En déduire que g) > 0 si et seulement si > e. Partie B On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par f) = ln )+.. Déterminer la limite de f en +.. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [ ; + [. a. Montrer que pour tout nombre réel de l intervalle [ ; + [, f ) = g). b. Étudier le signe de f ) sur [ ; + [ et en déduire le tableau de variations de f sur [ ; + [.. a. Montrer que, dans l intervalle [; ], l équation f) = 0 admet une solution unique notée α. b. Déterminer un encadrement d amplitude 0 de α. Eercice 6 Devoir maison à rendre le mercredi 0 janvier 0 à 0 h On admettra que les fonctions considérées dans cet eercice sont dérivables sur l intervalle ]0 ; + [. Soit la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par : f) = ln)ln. La figure ci-dessous donne la courbe représentative C f ) de la fonction f dans un repère orthonormal O, ı, j La courbe C f ) coupe l ae des abscisses en A; 0) et en B. La tangente en C à la courbe C f ) est parallèle à l ae des abscisses et la tangente en A à la courbe C f ) coupe l aedes ordonnées en D. C C f ) j 0 A B - O 0 - ı D ).. Déterminer l abscisse du point B la valeur eacte est demandée).. Calculer la limite de f en 0 et la limite de f en +.. On note f la fonction dérivée de f sur ]0 ; + [. a. Démontrer que pour tout réel de l intervalle ]0 ; + [, f ) = ln) b. Déterminer les coordonnées du point C et l ordonnée du point D les valeurs eactes sont demandées).. Soit la fonction g définie sur l intervalle ]0 ; + [ par g) = [f)+ln ]. Démontrer que g est une primitive de f sur l intervalle ]0 ; + [. Lycée Marie Curie Page 6