Devoir commun de Mathématiques

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1 Devoir commun de Mathématiques Durée heures 5 avril 7 Exercice points Le but de l exercice est d établir, dans un cas particulier, le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On prendra comme prérequis la définition suivante : Définition H est une primitive de h sur sur un intervalle I si, et seulement si, H est dérivable sur I et si pour tout x I on a H (x) = h(x) On considère la fonction f, définie sur R par f (t) = ln(t + ).. a. Expliquer pourquoi f est continue sur [ ; + [. b. Montrer que f est croissante sur [ ; + [.. Restitution organisée de connaissances f (x + h) f (x ) x x + h Pour tout réel a de [ ; + [, on note A (a) l aire de la portion de plan limité par l axe des abscisses, l axe des ordonnées, la courbe représentant f dans un repère orthogonal et la droite d équations x = a. Soit x un réel strictement positif. a. Soit h un réel strictement positif. En utilisant des rectangles convenablement choisis, établir l encadrement : f (x ) A (x + h) A (x ) h f (x + h). b. Quel encadrement peut-on obtenir de la même façon pour h < et tel que x + h? c. Démontrer que la fonction A est dérivable en x. Quel est le nombre dérivé de A en x? d. Quel lien a-t-on établi entre les fonctions A et f sur ] ; + [?

2 Exercice points Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euros est demandée. Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant boules vertes et boules jaunes. Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu. Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m. Si le joueur obtient boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit : sur de la roue le gain est de, 8 sur de la roue le gain est de, sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m. On appelle V l évènement «le joueur a obtenu boules vertes». On appelle J l évènement «le joueur a obtenu boules jaunes». On appelle R l évènement «le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien».. Faire un arbre que l on complètera au cours de l exercice.. Quelques calculs. a. Calculer les probabilités P(V) et P(J) des évènements respectifs V et J. b. On note P V (R) la probabilité pour le joueur d être remboursé sachant qu il a obtenu deux boules vertes. Déterminer P V (R) puis P(R V). c. Calculer P(R). d. Calculer la probabilité de gagner les, puis la probabilité de gagner les de la roue.. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c est- à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m. a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que p(x = m) =,6. c. Démontrer que l espérance mathématique de la variable aléatoire X est 5m E(X ) =. 8 d. L organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l organisateur puisse espérer ne pas perdre d argent? Exercice Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité. Résoudre dans C l équation : z z + 5 =.. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O, u, v considère les points A, B, C, P d affixes respectives : z A = + 6i, ), d unité graphique cm on z B = 6i ; z C = i, z P = + i et le vecteur w d affixe z w = + 5 i.

3 a. Déterminer l affixe z Q du point Q, image du point B dans la translation t de vecteur w. b. Déterminer l affixe z R du point R, image du point P par l homothétie h de centre C et de rapport. c. Déterminer l affixe z S du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d angle π. Placer les points P, Q, R et S.. a. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme. b. Calculer z R z Q z P z Q. En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS. c. Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C. On calculera l affixe de son centre Ω et son rayon ρ.. La droite (AP) est-elle tangente au cercle C? Exercice points Pour chaque affirmation dire si elle est vraie ou fausse. Les justifications devront énoncer clairement la définition ou le théorème utilisé et s appuieront sur des lectures graphiques. On donne les courbes ( ) ( ) C f et Cg représentatives de deux fonctions dérivables f et g où g est la fonction dérivée de f.. f est une primitive de g.. Toute primitive de f est croissante sur [ ; 6].. La courbe représentant g passe par le point de coordonnées (;).. La fonction g s annule trois fois sur [ ;6]. 5. L aire de la surface plane limitée par la courbe ( ) C g, l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la droite d équation x = vaut une unité d aire g (x)dx est un nombre négatif. C f C g

4 Exercice 5 Partie A On considère la fonction f définies sur [;+ [ par : 5 points f (x) = ln(x + ) x. Étudier la limite en + de cette fonction.. Calculer f (x), puis étudier le signe de f (x) sur [;+ [.. En déduire le tableau complet des variations de la fonction f.. a. Démontrer que l équation f (x) = admet une solution α unique. b. Donner, à l aide de la calculatrice, une approximation à de α. 5. En déduire le signe de f sur [;+ [. Partie B On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : u n+ = ln(u n + ) On a représenté ci-dessous les deux courbes d équations y = ln(x + ) et y = x. Pour quelle(s) valeur(s) de u la suite (u n ) est-elle définie?. Sur le graphique fourni, représenter les trois premiers termes de la suite (u n ) dans le cas où u = 5, puis u =. Conjecturer, dans chacun de ces deux cas précédents, le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (u n ).. On suppose que u > α a. Démontrer que pour tout n N, u n > α. b. Montrer que, pour tout n, u n+ u n = f (u n ) et en déduire que la suite (u n ) est décroissante. c. Montrer que la suite (u n ) converge. d. Justifier que la limite l de la suite vérifie ln(l + ) = l, en déduire l.

5 ANNEXE à rendre avec la copie