I ] LES FONCTIONS DE REFERENCE :

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1 Chapitre 3 FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE LIMITES I ] LES FONCTIONS DE REFERENCE : Fonction en escalier Y Une fonction en escalier est constante par intervalles ici, f est définie sur : ]- ;a [ U [ a ; 0 [ U [ 0 ;b [ U [ b;c [ a b c O Fonction affine par morceau y Sur chacun des intervalles [a;b], [b;c] et [c;d], f est de la forme f() = m + p. a b c d Fonctions puissances, a n, n entier Fig Fig 2 La fonction f est de la forme f() = n Si n est entier positif, f est définie sur R Si n est pair, f est paire (fig ). Si n est impair, f est impaire (fig 3). Si n est entier négatif, f est définie sur R * Fig 3 Fig 4 fig : a ² fig 2 : a 3 fig 3 : a fig 4 : a ² - -

2 Fonctions logarithmes Courbe associée La fonction logarithme népérien On appelle logarithme népérien la primitive de la fonction f : a sur ] 0 ;+ [ et qui s annule pour =. On a ( ln ) = et ( ln u ) = u' u Si a > 0 et b > 0, ln ab = ln a + ln b Si a > 0 et b > 0, ln b a = ln a - ln b Si et a > 0, ln a = ln a ln = 0 et ln e = lim ln = - lim ln = + fi 0 + fi + lim ln = 0 lim ln = 0 fi 0 + fi + La fonction logarithme décimal (de base 0 ) Courbe associée La fonction logarithme décimal est la fonction notée log définie sur ]0 ;+ [ par : log = ln ln 0 La fonction log a les mêmes propriétés que la fonction ln. y = ln y = log log 0 = et de façon plus générale :, log 0 r = r log = r = 0 r Rq : il eiste la fonction logarithme de base a, on a alors log a = lna ln - 2 -

3 Fonctions eponentielle, puissance Courbe associée La fonction eponentielle On appelle fonction eponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Elle se note ep ou e ( e ) = e et (e u ) =u e u y = e y = ep 0 = ep = e +* ep ( ln ) = ln ( ep ) = Pour a et b, on a : e a + b = e a. e b a e a b = eb ( e e a ) b = ( e b ) a = e a b lim e = 0 lim e = + fi - fi + y = ln lim e = 0 lim e = + fi - fi + lim n e = 0 lim e = + fi - fi + n Fonctions puissances Fonctions n avec n entier naturel non nul La fonction f : a n avec n N * est définie sur. Elle est paire si n est paire Elle est impaire si n est impaire On l étudie sur [ 0 ; + [ f ( ) = n n Comme f ( ) 0, f est croissante sur [ 0 ; + [ n : n est pair Symétrie par rapport à (O y) f () f () Courbes associées n : n est impair Symétrie par rapport à O f () f () Eemples : f () = ² f ( ) = 3 On distingue deu cas en fonction de la parité de n

4 Fonctions puissances Courbes associées Fonctions a avec a réel et > 0 f ( ) = a a - On distinguera deu cas en fonction du signe de a a avec a > f () + f () a avec a < f () - f () L étude de f pour < 0 (lorsqu elle est possible) se déduit en fonction de la parité de f. E : ½ = E : - = Fonctions circulaires La fonction cosinus f : a cos est : - définie sur R - périodique de période 2? Sa dérivée est f () = - sin La fonction sinus f : a sin est : - définie sur R - périodique de période 2? Sa dérivée est f () = cos La fonction tangente f: a tg = sin( ) cos( ) Π - n est pas définie pour = +k? 2 - est périodique de période? f () = + tan ² = cos² - 4 -

5 On admettra le théorème suivant : LES FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES Soit f une fonction continue sur un intervalle I, alors f(i) est un intervalle. Si de plus f est strictement monotone sur I, deu réels distincts quelconques de I ont des images distinctes. Donc quel que soit le réel b appartenant à f(i), il eiste un réel a unique tel que f(a) = b. On dit que la fonction f, continue et strictement monotone sur I réalise une bijection de l intervalle I sur l intervalle f(i). Dans ces conditions, il eiste une fonction définie sur f(i), à valeurs dans I, elle est appelée fonction réciproque de f, on la note f. y = f () f(i) = f (y) y I Rq : une fonction continue sur un intervalle est une fonction dont on peut tracer la courbe «sans lever le crayon». Eemple : f() = ln f - () = e Eemple 2 : f() = ² f - () = - 5 -

6 La fonction arc sinus : Π Π Sur [ ; ] la fonction sinus est continue, strictement croissante et prend ses valeurs 2 2 continues sur [- ;]. Elle admet donc une fonction réciproque, continue, strictement Π Π croissante, définie sur [- ;] prenant ses valeurs dans l intervalle [ ; ]. 2 2 C est la fonction arc sinus notée a Arcsin y = Arcsin à = sin y avec y [ 2 Π ; 2 Π ] On montre que la fonction arcsin est dérivable sur R et on a : ( arcsin ) = ² b) La fonction arc cosinus : Sur [0; Π ] la fonction cosinus est continue, strictement décroissante et prend ses valeurs continues sur [- ;]. Elle admet donc une fonction réciproque, continue, strictement décroissante, définie sur [- ;] prenant ses valeurs dans l intervalle [0; Π ]. C est la fonction arc cosinus notée a Arccos y = Arccos = cos y avec y [0;Π ] On montre que la fonction arccos est dérivable sur R et on a : ( arccos ) = ² Rq : vous avez déjà utilisé ces fonctions sur vos calculatrices pour trouver un angle en degré par eemple : Arcos 0 «cos 0» =

7 c) La fonction arc tangente : Π Π Sur ] ; [ la fonction tangente est continue, strictement croissante et prend ses 2 2 valeurs continues sur R. Elle admet donc une fonction réciproque, continue, strictement Π Π croissante, définie sur R prenant ses valeurs dans l intervalle ] ; [. 2 2 C est la fonction arc tangente notée a Arctan y = arctan à = tan y avec y ] 2 Π ; 2 Π [ On montre que la fonction Arctan est dérivable sur R et on a : ( Arctan ) = + ² Ces trois fonctions, notamment leurs dérivées peuvent être utilisées pour le calcul d une intégrale D autres fonctions utilisées lors de résultat de calcul intégral, par eemple, ce sont les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, définies par : ch t = 2 ( e t + e t ) et sh t = 2 ( e t e t ) Ces deu fonctions possèdent également des fonctions réciproques, Argch t et Argsht - 7 -

8 II ]ETUDE DE FONCTION : ) Plan d étude de fonction :. Ensemble de définition. 2. Parité, périodicité, ensemble d étude. 3. Limites et asymptotes (voir 2 ) 4. Etude des variations : - Calcul de f () - Signe de f () - Tableau de variations. - Etremums. 5. Etude de la concavité. 6. Compléments d informations (Centre de symétrie, tangente, intersections avec les aes, position relative, etc.) 7. Tracé de la courbe. 2 ) Limite d une fonction : a) Limite d une fonction f en 0, en a On dit que la fonction f tend vers 0 quand tend vers 0, lorsque f prend des valeurs aussi proches de 0 que l on veut dès que est assez proche de 0. On écrit : lim f() = 0 ou lim f() = L lim f(a +h) = L avec = a + h 0 a h 0 D une manière générale : La fonction f a pour limite L en 0 signifie que : lim ( f() L ) = 0 lim f() = L a a ou encore f () = L +? () avec lim? () = 0 a - 8 -

9 b) Cas d une limite infinie : On dit que la fonction f tend vers quand tend vers a (ou ), lorsque f prend des valeurs aussi grandes que l on veut dès que est assez proche de a. On écrit : lim f() = + a Eemples : lim a >a a = + lim = - a a <a On écrit souvent a + ou a c) Opérations algébriques sur les limites : Soient f et g deu fonctions admettant L et L comme limite en a, nous admettrons les résultats suivants : f +g a pour limite L + L f a pour limite L f g a pour limite L L f g a pour limite L L' k f a pour limite k L f a pour limite L d) Propriétés : Soient deu fonctions f et g définies sur R ou ]a ;+ [ ou ] - ;b[, on démontre et on admettra les résultats suivants : Si pour assez grand : f() g() et lim g() = + alors lim f() = f() g() et lim g() = - alors lim f() = f() L g() et lim g() = 0 alors lim f() = L + + Ces résultats sont valables si tend vers a ou vers

10 e) Polynôme et fonction rationnelle en +/- : On admettra le théorème suivant : Q( ) Lorsque tend vers + ou -, un polynôme P() définit par P() = R( ) admet comme limite le quotient des limites des termes de plus haut degré. f ) Limite d une fonction composée : On admettra le théorème suivant : Si f et g sont deu fonctions ayant respectivement L et L comme limite en a, alors la fonction composée g o f a pour limite L en a. g ) Fonctions équivalentes : Les fonctions f et g sont dites équivalentes au voisinage de a s il eiste un intervalle I contenant a et une fonction e définis sur I tels que pour tout de I : f () = g () [ + e ()] avec lim e () = 0, on écrit f~g a Eemples de fonctions équivalentes au voisinage de 0 : sin ~ ln (+) ~ e ~ cos ~ Propriété : si f ~ f et si g ~ g alors f.g ~ f.g et g f ² 2 Le chapitre 5 permettra d éclaircir ces équivalences. f ~ g h ) Formes indéterminées : On appelle Forme Indéterminée (FI) tout calcul de limite correspondant à une opération «impossible». Les FI sont de la forme : «+ -», «0.»,, «0 0» Pour lever l indétermination et calculer les limites des FI, on est amené à effectuer des opérations diverses : Factorisation (polynômes, fonctions rationnelles). Epression conjuguée (racines par eemples). Etc. voir eercices

11 i ) Comportement asymptotique d une fonction : Si lim f () = + (ou - ) a alors la droite d équation = a est droite asymptote verticale à la courbe. Le signe de la limite détermine la position de la courbe. Eemple : f()= + 3 =-3 Si lim f () = L La droite d équation y = L est droite asymptote horizontale à la courbe. Le signe de f() L détermine la position de la courbe. Eemple : f()= 2 + y=2 Si lim f () = + (ou - ) +/- Courbes asymptotes : si f() = g () +? () avec? () 0 en +/- alors les courbes f et g sont des courbes asymptotes. Le signe de? () détermine la position relative des deu courbes. Eemple : f()= ² g()=²

12 Méthode pratique pour déterminer d éventuelles asymptotes : Calculer les limites de f() à droite et à gauche des points où f n est pas définie, par eemple en a. Si les limites sont infinies, il y a une asymptote verticale d équation = a. Calculer les limites de f() en +/-. Si la limite est finie et vaut par eemple b il y a une asymptote horizontale en en +/-, d équation y = b. f ( ) Calculer la limite de en. Si cette limite est finie et vaut par eemple a, calculer la limite de f() a en. Si cette limite est finie et vaut par eemple b, alors y = a + b est asymptote oblique en. 3 ) Eemple d étude de fonction complète : Etude de la fonction f : f : a f () = ² Ensemble de définition Df = / { 3 } (car = 3 annule le dénominateur) Parité f ( - ) = ² f ( - ) f () donc f n est pas paire dans (O ;i ; j ). f ( - ) - f () donc f n est pas impaire dans (O ; i ; j ). f n est ni paire ni impaire, ni périodique, on l étudie donc sur ] - ; + [ Limites au bornes : Limites de f en + et en. lim f () = lim + + fi fi ² + = Cherchons si il eiste une asymptote oblique. Calculons la limite en + et/ou en de f ( ) : lim f ( ) ² = lim ² 3 = lim + fi + fi + fi ² ² = - 2 -

13 Cherchons la limite en + et/ou en de f (). : lim f () = lim + + fi fi = 2 La droite D d équation y = 2 est asymptote oblique à la courbe en + / - Limites de f en = 3 Pour = 3, f n est pas définie ( «0 2»), on cherche donc une limite à gauche de 3 et une limite à droite de 3. Méthode : Limite à gauche : on pose = 3 h (avec h > 0) et on fait tendre h vers 0. Limite à droite : on pose = 3+h (avec h > 0) et on fait tendre h vers 0. Limite de f en 3 à gauche : On pose = 3 h. f () = f ( 3 h ) = ( 3 h ) ² + 5 ( 3 h ) + 8 = 9 6 h + h ² h + 8 ( 3 h ) 3 h = h ² - h h Si h tend vers 0 ( h > 0 ) le quotient tend vers. lim f () = 0 32 = - 3 Limite de f en 3 à droite : On pose = 3 + h. f () = f ( 3 + h ) = ( 3 + h ) ² + 5 ( 3 + h ) + 8 = h + h ² h + 8 ( 3 + h ) 3 h = h ² + h + 32 h tend vers 32 tend vers 0 - tend vers 32 tend vers 0 + Si h tend vers 0 ( h > 0 ) le quotient tend vers +. lim f () = fi 3 + La limite de f en 3 à gauche est -, la limite de f en 3 à droite est +, la droite d équation = 3 est asymptote verticale à la courbe

14 Etude des variations de f : f () est de la forme v u avec u () = ² 5+8 et v() = 3 on a donc u () = 2 5 et v () = f () = u' v uv' (Donné dans le formulaire) v ² = (2 5)( 3) (² 5 + 8). ( 3 )² = ² ( 3)² Le signe de f () dépend du signe de ² (car (-3)² > 0). Le discriminent vaut (-6)² = = 8 Les deu racines sont = 3 2 et 2 = ² est positif à l etérieur de l intervalle des racines. On a par factorisation des racines ² =.[ (3 2 )][-(3 + 2 )] Le tableau de variations est le suivant : f () f () +2 2 Concavité : Si f () 0 sur un intervalle I, alors f est convee. Si f () 0 sur un intervalle I, alors f est concave. Si f ( 0 ) = 0 et f change de signe en 0 alors le point d abscisse 0 est un point d infleion. Point d infleion (la tangente «traverse la courbe» CONCAVE CONVEXE - 4 -

15 Calcul de f ( ) Détermination de son signe f () = f () = ² ( 3)² (2 6)( 3)² ( ² 6 + 7).2..( 3) (( 3)²)² 2( 3)( 3)² ( ² 6 + 7).2..( 3) ( 3) = 4 2( 3)² ( ² 6 + 7).2 ( 3) = 3 2( ² 6 + 9) 2² ( 3) = 3 2² ² = 3 ( 3) 4 Finalement f () = 3 ( 3) f ne s annule jamais donc (C) ne possède pas de point d infleion. Si 3, f () <0 donc f est concave sur ]- ;3] Si 3, f () >0 donc f est convee sur [3 ;+ [ Centre de symétrie : Pour vérifier qu un point I ( a ; b ) est centre de symétrie : On effectue le changement de repère = X + a et y = Y + b. On vérifie que f ( X ) = f ( X ) ( f est impaire dans le repère centré en I). Montrons que I ( 3 ; ) est centre de symétrie de f. On pose = X + 3 et y = Y + ² y = devient Y + = 3 X ² + X + 2 Soit Y = + = X ( X + 3)² 5( X + 3) + 8 ( X + 3) 3 X ² + 2 X Dans le repère centré en I, f ( X ) = f ( X ) = X ² + 2 X X ² + 2 = f ( X ) donc f est impaire dans ce repère. X Finalement, I ( 3 ; ) est centre de symétrie de la courbe de f - 5 -

16 Intersections avec les aes du repère : ( C ) (O) ² f() = 0 =0 3 ²-5+8 = 0 =(-5)²-4..8 = -7 < 0 donc pas de solution réelle S = donc ( C ) ne coupe pas l ae des abscisses. ( C ) (Oy) 8 f(0) = 3 8 S = { ( 0; ) } 3 ( C ) passe par ( 0; 8 ) 3 Tracés D y = 2 I = 3-6 -

17 TD APPLICATION DU COURS Limites Eercice limites de fonction en un point Calculer (si elle eiste) la limite de f ( ) pour 0 a) f() = d) f() = ² 2 b) f() = cos. tan ² e) f() = + + ² c) f() = f) f() = + 2 si -2 - puis si -2 + ² conclure sur lim f ( ) 2 Eercice 2 limites de fonctions de références Calculer les limites suivantes : + a) lim ln + ln c) lim 4 + b) lim 2 e e d) lim 7 + Eercice 3 Calculer les limites de fonctions rationnelles suivantes a) lim ² 2 b) lim ²+ c) lim 2 ² + d) lim Eercice 4 Limites et fonctions équivalentes En utilisant les équivalences de fonctions de référence, a) Calculer lim f() = 0 cost b) Calculer lim t² t 0 cost c) Calculer lim sin t t 0 sin (2+ ) - 7 -

18 Eercice limites et logarithmes + 2 Soit f ( ) = ln (. Calculer lim f () + ) 2. Conclure quant à la nature de l asymptote à la courbe représentative de f en +. On donnera l équation cartésienne de cette asymptote. 3. Calculer lim f () - 2 TD 2 APPLICATION DU COURS Fonctions et asymptotes 4. Conclure quant à la nature de l asymptote à la courbe représentative de f en +. On donnera l équation cartésienne de cette asymptote. Eercice 2 limites et eponentielles Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = + e et C sa représentation graphique dans un repère orthonormal d unité cm.. Etudier les variations de f. 2. Démontrer que C admet une asymptote oblique D dont on donnera une équation. Déterminer la position relative de C et D. 3. Montrer que C admet une tangente T parallèle à la droite d équation y = + 3. Donner une équation de T. Construire C, D et T

19 TD 3 A REALISER EN AUTONOMIE Etude de fonction complète + 2 Soit la fonction f définie par f ( ) = 3 + ln ( ). Réalisez l étude complète de cette fonction en suivant le plan d étude donné dans ce chapitre

20 RESULTATS ELEMENTS DE REPONSE DES TD Eercice TD a) 2 b) c) 2 d) e) Pas de limite si 0 2 f) Si - 2, f() + et si - 2 +, f() - donc f n admet pas de limite en 0 Eercice 2 a) 0 b) + c) 0 d) + si + et 0 si Eercice 3 a) 0 + en + b) 0 + en + c) + en + d) + Eercice 4 a) 2 b) 2 c) 0 Eercice TD 2. La limite cherchée vaut 0 2. y = 0 est asymptote horizontale à la courbe en La limite cherchée vaut - 4. = 2 est asymptote verticale à la courbe. Eercice 2. f ( ) = e e 0 si / TD 3 Df = ] - ;-2[ U ] 2;+ [ f n est ni paire, ni impaire, ni périodique f ( ) = ² ( + 2) [ ( 3)][ ( + 3)] = = ( + 2) y = 3 est asymptote oblique à ( C ) en + = - 2 est asymptote verticale à ( C ) I (-;4) est centre de symétrie à ( C ) Pour ( C ) ( O ), 0,2 ou 2,39. Pour ( C ) ( Oy ), S = f ( ) 0 sur D f, donc f n admet pas de point d infleion

21 DEVOIR A LA MAISON 2 PROBLEME z désigne le nombre complee conjugué de z. On appelle Z le nombre complee défini par la relation suivante : Z = z²-2 z +.. On pose z = + i y, où et y sont des nombres réels. Calculez en fonction de et de y la partie réelle X et la partie imaginaire Y de Z (On a donc Z = X + i Y). 2. Déterminez puis représentez dans le plan complee rapporté à un repère orthonormal l ensemble (R) des points tel que Z soit un réel. 3. Déterminez puis représentez dans le plan complee rapporté à un repère orthonormal l ensemble (N) des points tel que Z = Soient A, B et C les images respectives des nombres complees dont les affies sont :; -+2i ;-- 2i. Placez A, B et C dans le repère et montrez que ABC est rectangle et isocèle. PROBLEME 2 Soit la fonction f définie par f ( ) =. Déterminez D f. 3 3² 2 ² Montrez que f () peut s écrire sous la forme f () = a + b + c ² 4 3. A l aide des résultats du 2 / montrez que f n est pas périodique. On pourra montrer que si T 0 eiste alors l équation f(+t)=f() est sans solution réelle. 4. Montrez que f est impaire dans le repère (A ; i ; j) avec A (0 ;-3). 5. Etudiez les limites de f au bornes de D f. A l aide de ces résultats et du 2 ), déduire les asymptotes à (C) courbe représentative de f dans un repère orthonormé. 6. Calculez f () puis dressez le tableau de variations de f. 7. Précisez la position de ( C ) par rapport à son asymptote oblique 8. Déterminez une équation de ( T ) tangente à la courbe au point d abscisse Déterminez la concavité et les éventuels points d infleion de f. 0. Donnez les coordonnées des points d intersection de ( C ) avec les aes du repère.. Tracez ( C ), ( T ) et ses asymptotes