Analyse II : Intégration et approximation CM6 : ni cours ni TD la semaine prochaine. Partiel 1 : 23 mars. ici. venez nombreux
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- Nicolas Larochelle
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1 Analyse II : Inégraion e approimaion MAT9L / séquence 4 / prinemps 6 CM6 : cours de Francis Clarke. Inégrales impropres (suie e fin). Les foncions arcsin e arccos 3. Changemens de variable adapés 4. Euler 5. KH4 + préparaion pariel On consrui un verre à champagne (une flue) infini par la roaion du graphe de la foncion f() / ( ) auour de l ae des. y / On s inéresse à son volume (solide de révoluion) e son aire (surface de révoluion) 3 ni cours ni TD la semaine prochaine Aire b a f() + f () d Volume b a f() d. Pariel : 3 mars Pour l aire de la rompee (f /) on rouve: ici venez nombreu des inégrales impropres de ype A +( / ) d + 4 d 3 Pour son volume: V d 4
2 le volume V lim b d b lim b d b (si cee limie eise) lim b b. Rq : Dans l eemple ci-dessus, l aire vau + infini e le volume es fini. Il es naurel de demander si le conraire peu arriver. Eer : Monrer que non ; c-à-d, si l aire es finie, alors le volume l es aussi. 5 7 l aire A d d d lim b b (on n a pas de primiive) (si cee inégrale a un sens) d lim ln b + b Inégrales impropres de ype On voi par comparaison que l aire vau +! 6 8
3 On a éudié ci-dessus des inégrales où l inervalle sous-jacen es non borné. La foncion f éai, elle, rès correce (coninue). Il eise une aure sore d inégrale impropre, où l inervalle es borné mais la foncion (ou en éan coninue dans l inérieur de l inervalle ouver) es non bornée en un des deu poins du bord. Eemple: / d f() / Eemple: Es-ce que l inégrale impropre converge? / d En clair, on demande si la limie suivane eise ou pas: lim d Peu-on associer une valeur à cee inégrale? On va voir que oui... 9 Pour fier les idées, raions le cas où f es coninue sur l inervalle [ a +,b] pour ou >, mais non bornée sur [ a, b ] (donc la difficulé es au poin a). Par eemple, f pourrai admere une asympoe vericale en a. d La difficulé (l impropreé?) a lieu en L inégrale b a+ f() d éan bien définie pour ou >, on peu considérer la limie lorsque. Quand cee limie eise (dans R), on di que l inégrale impropre Pour > on calcule ln d ln ln ln. b a f() d eise, ou converge ; sa valeur es par définiion celle de la limie. Quand la limie vau + ou, on di que l inégrale diverge vers cee limie. On en dédui que l inégrale impropre diverge vers +. d
4 Donc, par eemple, De façon plus générale, on prouve que l inégrale impropre p d diverge vers + quand p, e converge vers /( p) lorsque <p<. (L inégrale n es pas impropre lorsque p.) 3 (p >) p d converge 7 d diverge d diverge d converge (p <) p 5 L inégrale impropre p d Eemple: diverge vers + quand p, e converge vers /( p) lorsque <p<. Vrai? / d / Reour à un eemple choquan Calculer On avai, avec une désinvolure flagrane, calculé: d () 3 3( ) 3 d 4 Oui, car La comparaison nous aide à nous rappeler de ces convergences... / d /. Pouran, la foncion / 4 es posiive! Commen son inégrale peu-elle êre négaive? 4 6
5 En réalié, le calcul ci-dessus es absurde parce que la foncion n es pas coninue sur l inervalle en quesion (en fai, elle eplose...) d 4 Eemple Eudier la convergence de l inégrale impropre / an θ dθ f() Ceci n es pas une 4 inégrale impropre elle que nous discuons Par conre, la présence des inégrales impropres donne encore une raison de jusifier l eisence e le calcul des inégrales que nous renconrons Eemple. (a) Pourquoi l inégrale I : (b) Éudier I. e d e es-elle impropre? y e. (a) Parce que la foncion f() : e verical en (c-à-d, lim f() +). (b) On rouve adme un asympoe e d e e +C, d où, pour > 3 3 pei, on a (par le héorème fondamenal) I : e d e e e e. y an Puisque lim I e, on en dédui que l inégrale impropre I converge, sa valeur éan e. 8
6 Eemple Eudier la convergence de l inégrale impropre / an θ dθ sin foncion α (α ) e a (a ) cos an primiive α+ α + ln e a a sin ln cos a (a > ) arcsin a a + (a ) a arcan a L aspec impropre provien du poin θ /, où an n es pas définie, puisque cos(/). Pour θ < /, on a cos θ >. On peu donc écrire an θ dθ ln(cos θ) ln cos( ) + ln(cos ) ln cos( ) +ln ln cos( ) Lorsque, le erme cos( ) end vers (par la coninuié de la foncion cos). On voi alors que l inégrale end vers (ou diverge vers) +. Sur [-"/,"/], la foncion es croissane. On choisi ce inervalle, en ce qui concerne les valeurs de la réciproque. Conrairemen au cas arcan, il faudra aussi conraindre le domaine de la réciproque à l inervalle [-,]. 3 y sin Les aures foncions rigonomériques réciprocques : arcsin, arccos Pour chaque [, ] il eise un seul [ /, /] el que sin. Définiion : arcsin cee valeur de 4
7 Par le héorème général, on sai que arcsin es dérivable sur, On a arcsin(sin ) pour ( /, /). arcsin (sin ) cos arcsin () cos sin (car cos ) De façon similaire, on défini arccos. Mais conrairemen au cas de sinus, l inervalle sous-jacen [-!/,!/] ne convien pas. 5 7 Résumé: la foncion arcsin sin arcsin arcsin () Remarque: la dérivée devien infini au bord du domaine 6 Sur [-"/,"/], la foncion es croissane. On limie la définiion de la réciproque à ce inervalle. 8
8 cos Résumé: les foncions rigonomériques réciproques arcan() arcsin arcan () + Sur [,"], la foncion es décroissane. On choisi ce inervalle pour les valeurs de la réciproque. A nouveau, comme pour arcsin, le domaine de la réciproque sera [-,]. arcsin () arccos () arccos 9 3 Résumé: la foncion arccos Applicaion au primiives d arcsin + C du +u arcan u + C arccos d arcsin + C arccos () arccos + C arccos + arcsin K Remarque: la dérivée devien infini au bord du domaine 3 arccos + arcsin Il n y a aucune aure formule raisonnablemen simple lian les foncions rigonomériques réciproques (si on en applique une, on se rompe). Il es fau, par eemple, que arcan arcsin / arccos. 3
9 De façon plus générale d + a a arcan a d a arcsin a + C (a ) + C (a >) ableau minimal de primiives à connaîre foncion primiive foncion primiive Eemple d sin α (α ) α+ α + / ln e e cos sin sin cos an ln cos + a (a ) a arcan a a (a > ) arcsin a Un changemen de variable rouvé par Monsieur Euler Il perme d inégrer (en principe) oue foncion de la forme d arcan an(/), e < + d, sin, cos + + f(sin, cos ) où f es une fracion raionnelle en deu variables Par eemple f(u, v) u +6uv + u 3 + u v 4 + v / cos(/) + cos() cos
10 arcan an(/) d + d d sin d /4 3 + d + d /4 +3 d 4 ln 3 + ln ln 3 an + 4 ln an +3 sin +C + cos (3 + )( + 3) On n uiliserai PAS le changemen de variable de Euler pour cos 3 sin d Avec le changemen de variable, on obiendrai 8 ( ) 3 ( + ) 3 d (fracion raionnelle impropre) Il vau mieu faire une réécriure: cos 3 sin d cos ( sin )sin d cos (sin sin 4 ) d 3 sin 3 5 sin 5 + C Remarque. On peu simplifier le erme an(/): an(/) sin(/) cos(/) sin(/) cos(/) sin +cos sin + cos cos (/) Une aure classe de foncions don l inégraion se fai (en principe) par les fracions raionnelles: a+ b f, n c+ d (f éan oujours une fracion raionnelle en deu variables) 38 4
11 f, n a + b c + d ( ) (f e an oujours une fracion raionnelle en deu variables) D où On pose n / + ( ) ln / ( ) / + + / ( + ) d ln + + +C E a + b c + d e l on ourne la manivelle... a la fin, il re sule une fracion raionnelle en! + d cee foncion, en remplac an par + 4 Eemple + d ( ) + ( ) / +, + /( ) d 43 d + / ( ) ( ) / + + Leonhard Euler d / ( + )
12 Caherine la Grande Frédéric le Grand Mauperuis Volaire Euler d Alember Bernoulli (Jean) Lagrange Leibniz Laplace Newon Huygens Gauss Ferma Cauchy Descares Weiersrass Galilée Riemann 45 mahémaiques pures : héorie des nombres, algèbre, séries, calcul différeniel e inégral, géomérie, opologie, variables complees, probabiliés, combinaoire... mahémaiques appliquées : science navale, mécanique, opique, hydrodynamique, élasicié, champs élecrique, analyse numérique, acousique, musique, asronomie... 8 publicaions (+ correspondance) Omnia Opéra : 8 volumes enre 75 e 8, Euler (mahs + phys mah + ingénierie méca) 3 aveugle dès 77 une publicaion par semaine en 775 Travau 47 Né à Bâle (Suisse) en 77 prodige mémoire eidéique calcul menal universié à 4 ans Johann Bernoulli héologie mahs Publicaions : quelques poins fors Inroducio 587 pages 748 Calcul différeniel e inégral Leres à une princesse d Allemagne 768 besseller Algèbre (russe, allemand, français, lain, anglais..) 77 Académie de Sain-Péersbourg (9 à 34) Académie de Berlin (34 à 59) Frédéric le Grand, Mauperuis, Volaire Caherine I Académie de Sain-Péersbourg (59 à 76) Caherine la Grande, école russe 46 48
13 KH On sépare : dy/y 6d /y 3 +C. On rouve C y()( 3 ). 3(a) On pose u sinθ... (b) La décomposiion + u ( u )u u + u + 3/ u + / + u donne J ln u u 3 ln u + ln u + +C. On remplace u par sinθ ; puisque < sinθ <, on rouve la réponse KH 4 corrigé + Le pariel de 5 e son corrigé + feuille de di primiives... I ln(sinθ) sinθ 3 ln( sinθ)+ ln( + sinθ)+c 4. Le dénominaeur de la foncion inégrée ne s annule jamais ; la foncion es alors coninue sur la droie, donc inégrable sur ou inervalle, en pariculier sur [, ]. On rouve la primiive arcan( + ) e ensuie la valeur arcan arcan / On observe que la foncion inégrée es coninue sur, car c es une fracion raion- 5 Mah Analyse II (séq 4) prinemps 6 Cours de Francis Clarke Khôlle 4 (5 min). Parmi les suivanes, indiquer la dae de naissance de Leonhard Euler : 583, 789, 77, 636, 85, 948. Trouver la soluion y() de l équaion différenielle y 6y qui saisfai y(). + sinθ 3. On s inéresse à l inégrale indéfinie I : cosθ sin θ dθ,où< θ <. + u (a) Mere en œuvre un changemen de variable qui ransforme I en J : ( u )u du. (b) Calculer J, e déerminer I par conséquen. 4. Epliquer pourquoi l inégrale d 5. Éudier l inégrale impropre. 6. Simplifier l epression sin(arcan) d es bien définie, e calculer sa valeur KH 4 corrigé (suie e fin) 5. On observe que la foncion inégrée es coninue sur [,[, car c es une fracion raionnelle don le dénominaeur ne s annule pas dans l inervalle concerné. On rouve T d où J T : d ln( ) d ln( )+C, T ln(t ) ln3. Puisque lim T J T +, on en dédui que l inégrale impropre J ne converge pas, mais diverge vers θ sin(arcan) sin(arcan) cos(arcan)
14 ancien pariel : p. Le pariel de 5 e son corrigé suiven... + sinθ 3. (5 ps) On s inéresse à l inégrale indéfinie I : cosθ sin θ dθ,où< θ <. + u (a) Mere en œuvre un changemen de variable qui ransforme I en J : ( u )u du. (b) Calculer J, e déerminer I par conséquen. 4. (5 ps) Soi f la foncion définie par f () 6. (a) Prouver que f es coninue dans l inervalle ouver ],4[. (b) Déerminer f ()d. (c) Epliquer pourquoi l inégrale L suivane es die impropre : L (d) Monrer que L converge e rouver sa valeur. 3 d Mah Analyse II Cours de Francis Clarke Pariel du avril 5 L uilisaion de documens de oue naure, de calcularices, de éléphones ou aures appareils élecroniques n es pas auorisée. Le oal des poins es de 4 (la noe éan plafonnée à ). ancien pariel corrigé : p. Analyse II Cours de Francis Clarke Pariel du avril 5 : correcion rapide. (8 ps) (a) Trouver la soluion y() de l équaion différenielle y 6y qui saisfai y(). e (b) Calculer d en uilisan un changemen de variable. (c) Calculer lnd en uilisan l inégraion par paries. (d) Simplifier l epression sin arcan. 3 ancien pariel : p. (a) On sépare : dy/y 6d /y 3 +C. On rouve C y()( 3 ). (b) On pose e u e u, d où e d udu d udu/(+u ). On rouve e d u du + u du e arcan e +C. du u arcanu +C + u. (6 ps) On défini une foncion f () par f () (a) Pourquoi la foncion f es-elle définie e coninue parou sur la droie? (b) Déerminer f ()d. (c) On prend u () e v()ln, d où u 3 /3 e u v uv uv ln ln d ln 9 3 +C. (c) Prouver que l inégrale impropre f ()d diverge vers +. d (d) Sans calculer sa valeur, prouver que l inégrale impropre ( ) converge. 54 (d) Soi θ arcan(/3). Alors sinθ / + 9 e cosθ 3/ + 9 (cosθ > puisque / < θ < /). Donc sin( arcan(/3)) sin(θ)sinθ cosθ 6/( + 9). 56
15 (a) f es le quoien de deu foncions coninues, e le dénominaeur n es jamais nul (le rinôme éan irréducible). (b) T c) d f ()d ancien pariel corrigé : p. d u 4 ( + 4) + 4 u du (où u + 4) + 4 udu u du u + 4 ln(u + 4) 4 u arcan + 4 ln( ) arcan +C. + 4 T ln( ) arcan T + 4 ln(t + 8T + ) arcan ln9 + arcan(5/), +C (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) e d cos 3 θ sinθ dθ d + sin dv v + v d anθ + cosθ dθ d d + 3 d (4 ) 3/ ln( + )d feuille de di primiives... qui end vers + lorsque T + (sachan que la foncion arcan es bornée). (d) Pour, on a ( ) ( ) 3. Puisque d converge, il sui par comparaison que l inégrale en quesion converge 3 aussi. 57 Indicaions : (a) commencer par un changemen de variable naurel (c) poser an, ou mieu arcan (e) facoriser le dénominaeur (h) le changemen de variable y 6 se suggère ou naurellemen (i) il es enan de poser sinθ, ou θ arcsin(/) (a) à (j) : vérifier la réponse 59 3(a) On pose u sinθ... (b) La décomposiion + u ( u )u u + u + 3/ u + / + u donne ancien pariel corrigé : p. 3 J ln u u 3 ln u + ln u + +C. On remplace u par sinθ ; puisque < sinθ <, on rouve la réponse I ln(sinθ) sinθ 3 ln( sinθ)+ ln( + sinθ)+c 4(a) La foncion 6 adme ses racines en e 6 ; elle es sricemen posiive dans ],4[, donc la foncion 6 es coninue (composée de foncions coninues), ainsi que sa réciproque f. (b) Puisque 6 9 ( 3), on pose u 3 e l inégrale devien du u 3 arcsin +C arcsin +C. 9 u 3 3 (c) La foncion f inégrée es coninue sur ],3] mais adme un asympoe verical en. (d) Par (b) on rouve, pour ε > pei, 3 d ε 3 arcsin arcsin, ε 6 3 Fin du siième cours ce qui end vers arcsin( )/ quand ε. Donc L converge, e sa valeur es /. 58 6
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