Le risque de crédit. DeriveXperts. 23 juillet 2010

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1 23 juillet 2010

2 Définitions Exemples - Interactions Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion

3 Définitions Exemples - Interactions Définition - Risque de crédit Définition, ou de contrepartie, est le risque de perte sur une créance ou plus généralement celui d un tiers qui ne paie pas sa dette à temps. Il est naturellement fonction de trois paramètres : le montant de la créance, la probabilité de défaut et la proportion de la créance qui ne sera pas recouvrée en cas de défaut. Autrement dit, c est le risque associé à un éventuel défaut de paiement.

4 Définitions Exemples - Interactions Définition - Défaut de paiement Définition Le défaut de paiement est, pour un émetteur de dette, le fait de ne pas respecter ses engagements légaux définis dans le contrat lié à une émission particulière. Le défaut peut être de deux natures : volontaire ou involontaire (incapacité de payer la dette). Il existe plusieurs types de défaut qu on appelle évènements de crédit.

5 Définition - Evènement de crédit Définitions Exemples - Interactions Définition Un évènement de crédit est un type d évènement de défaut utilisé dans la définition des instruments dérivés de crédit.

6 Définitions Exemples - Interactions Types d évènement de crédit Les différents évènements de crédit sont : bankruptcy (faillite) failure to pay (l émetteur fait défaut sur une de ses obligations de paiement), obligation default (l émetteur fait défaut sur n importe laquelle de ses obligations de paiement), obligation acceleration (une obligation est déclarée immédiatement due et payable après le défaut), repudiation/moratorium (l émetteur/un gouvernement déclare un moratoire sur les obligations de paiement de l émetteur) restructuring (restructuration de la dette) Suite à un évènement de défaut de type bankruptcy, les actifs sont liquidés au profit des détenteurs de la dette.

7 Définition - Taux de recovery Définitions Exemples - Interactions Définition Pourcentage du nominal des dettes remboursé via la liquidation des actifs d un émetteur suivant la faillite (bankruptcy)

8 Définitions Exemples - Interactions Exemples Une entreprise a émis de la dette via des obligations à taux fixe, mais elle se retrouve dans l incapacité de payer l un des coupons à une date donnée, = failure to pay, obligation default Un Etat annonce qu il doit restructurer sa dette pour pouvoir rembourser (allongement de la maturité, remboursement partiel,...) = restructuring, Des particuliers ne sont plus en mesure de rembourser intégralement leurs emprunts immobiliers (subprimes,...) = failure to pay, repudiation.

9 Définitions Exemples - Interactions Interactions avec les produits structurés Les produits structurés ont un émetteur, L émetteur est le garant du paiement des flux du produit, Si l émetteur fait défaut, le produit est considéré comme de la dette (senior en général).

10 Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) Obligations Définition Une obligation est un instrument de dette sur laquelle l émetteur doit un certain montant au porteur et, selon les termes de l obligation, est obligé de rembourser des intérêts à intervalles réguliers (coupons) et/ou de rembourser le principal à une date future appelée maturité. Les achats/vente se font sur toutes sortes de marchés, OTC, organisés,...

11 Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) Credit Default Swap Définition Un Credit Default Swap (CDS) est un contrat de swap dans lequel l acheteur de protection paie des coupons au vendeur de protection et, en échange, reçoit un payoff si un instrument de crédit (typiquement une obligation) fait l objet d un défaut. La forme la plus classique d un CDS s appuie sur une obligation de référence. l acheteur de protection paie des coupons trimestriels (le spread). Si l entité émettrice de l obligation de référence fait défaut, le vendeur de protection paie le pair à l acheteur en échange de la livraison physique de l obligation de référence. Marché otc exclusivement, maturités 1-10 ans.

12 Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) First To Default CDS Définition Un First To Default CDS est un contrat dans lequel l acheteur paie un prix initial à 100% et le vendeur paie un coupon régulièrement. Si l une des entités d un panier d obligations de référence fait l objet d un défaut, l acheteur reçoit le taux de recovery de l entité de référence et le produit s arrête. Sinon, le produit continue jusqu à maturité, date à laquelle le vendeur rembourse le capital initial.

13 Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) CDO - Définition Définition Un CDO est un instrument qui effectue des paiements réguliers plus ou moins importants répartis en tranches. A chaque tranche correspond un risque de perte plus ou moins important (du plus risqué au moins risqué : Equity, Junior, Senior, qui peuvent être divisées en sous-tranches). Les paiements correspondant à chaque tranche sont ainsi proportionnels au risque associé.

14 Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) CDO - Fonctionnement Pratique (1) Les CDOs varient en termes de structure et de sous-jacents, mais le principe de départ est le même : un CDO est un type d Asset-Backed Security, un SPE (Special Purpose Entity) est construite pour acheter et garder les actifs sous-jacents et payer un ensemble de cash-flows aux investisseurs. à l émission, le SPE émet des obligations dans différentes tranches et achète le portefeuille d actifs sous-jacents grâce au paiement initial des investisseurs.

15 Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) CDO - Fonctionnement Pratique (2) Les paiements et conditions d un CDO suivent les critères suivants : Les pertes en capital sur les actifs sous-jacents (en cas de défaut) sont d abord portées par les tranches equities, puis les tranches juniors, puis les tranches seniors, Les paiements (coupons) sont définis tranche par tranche (proportionnellement au risque en capital), A maturité, le capital est remboursé moins les pertes sur défaut des actifs sous-jacents en suivant l ordre des tranches.

16 Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) Cash CDO vs Synthetic CDO Cash CDO : le SPE détient un portefeuille d instruments de crédit comme décrit précédemment, Synthetic CDO : le SPE prend une exposition à un portefeuille d instruments de fixed income via l utilisation de CDS, en tant que vendeur de protection. Les synthetic CDOs ne nécessitent pas nécessairement de paiement initial de la part des investisseurs (mais au fur et à mesure des pertes), Les synthetic CDOs sont plus faciles à créer et à gérer.

17 Obligations Credit Default Swap (CDS) First To Default Collateralized Debt Obligation (CDO) Synthetic CDO : Exemple 100 entités, 3 tranches (Equity, Junior, Senior), maturité 10 ans, Coupons : Tranche Equity : 10%, Tranche Junior : 6,5%, Tranche Senior : 4% Perte : Tranche Equity : perte en capital entre 0 et 100% linéaire avec le nombre de défauts entre 1 et 10, Tranche Junior : perte en capital entre 0 et 100% linéaire avec le nombre de défauts entre 11 et 30, Tranche Senior : perte en capital entre 0 et 100% linéaire avec le nombre de défauts entre 31 et 100,

18 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Introduction Le crédit n a pas les mêmes contraintes que d autres domaines de la finance : Le sous-jacent d un dérivé de crédit est souvent illiquide (obligation) et dépend d autres paramètres que le rique de crédit, Tout se passe par évènement, et non par diffusion d un cours, = Nécessité d un modèle de survenance d évènements. Ceci est équivalent à la faculté de définir une fonction de probabilité de défaut.

19 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion probabilité de défaut La probabilité de défaut (probabilité de survenance d un ou plusieurs évènement(s) de crédit) doit vérifier les conditions suivantes : plus la période est longue, plus la proba de défaut doit être importante, plus l émetteur est risqué, plus la proba de défaut doit être importante (introduction d un paramètre), le risque doit être dépendant de la maturité utilisée (paramètre dépendant du temps), le modèle doit pouvoir simuler une date de défaut (probabilité définie en fonction du temps de défaut), = Le modèle exponentiel dynamique semble adapté.

20 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Le modèle exponentiel dynamique Definition Le modèle exponentiel repose sur la distribution exponentielle. Il est souvent utilisé afin de modéliser le temps d attente avant un évènement spécifié (comme le défaut d une entité). Il est défini par sa fonction de probabilité : P[τ d (0, t)] = 1 exp R t 0 λsds où τ d est le temps auquel intervient le défaut. Intuitivement, λ s est la fréquence de survenance de l évènement. Cette fonction peut prendre différentes formes, et on supposera dans la suite qu elle est constante par morceaux.

21 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Calibration du modèle DE (1) La calibration se fait sur les CDS. λ s est constante par morceaux entre les maturités des différents CDS, le prix du CDS s écrit : CDS Theo Nominal t+mat = (1 recoveryrate) DF (t, s) P[τ d [s, s + ds]] s=t ( ) spread DF (t, t i ) (1 P[τ d [s, s + ds]]) t+mat t s>t i >t recoveryrate est le taux de recovery (constant) estimé (historiquement ou qualitativement), On suppose que l obligation vaut recoveryrate au moment du défaut. DF est le discount factor, mat est la maturité, spread est le spread de crédit.

22 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Calibration du modèle DE (2) CDS Theo Nominal t+mat t t+mat = (1 recoveryrate) DF (t, s) λ s exp λs ds s=t ( ) ) spread DF (t, t i ) (1 λ s exp λs ds s>t i >t L objectif est de calibrer les valeurs constantes par morceaux de la fonction λ s CDS par CDS dans l ordre croissant des maturités.

23 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Calibration du modèle DE - Première maturité Pour la première maturité, entre t et t + mat 1, la fonction λ s est constante λ s = λ 1, donc : CDS 1 Theo t+mat1 Nominal (λ 1) = (1 recoveryrate) DF (t, s) λ 1 exp λ 1 ds s=t ( ) t+mat1 ( ) spread DF (t, t i ) 1 λ 1 exp λ 1 ds t s>t i >t L objectif est de trouver le λ 1 tel que CDS1 Theo Nominal soit égal à zéro (i.e. la valeur de la protection soit égale aux coupons versés). Numériquement, il est nécessaire d utiliser (méthode de calcul d intégrale - ex : méthode des trapèzes - + méthode de recherche de solution dans une équation - ex : dichotomie ou Brent)

24 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Calibration du modèle DE - Seconde maturité λ 1 est fixé. Sur l intervalle [t, t + mat 2], λ s = λ 1 si t s t + mat 1, λ s = λ 2 si t + mat 1 < s < t + mat 2. Donc on peut écrire en séparant le calcul des intégrales par maturité : CDSTheo 2 Nominal (λ 1) = (1 recoveryrate) t+mat 1 s=t DF (t, s) λ 1 exp λ 1 ds +(1 recoveryrate) t+mat 2 s=t+mat 1 DF (t, s) (λ 1 + λ 2) exp (λ 1 +λ2) ds t+mat 1 t ( s>ti >t i)) spread DF (t, t ( 1 λ ) 1 exp λ 1 ds ) ( 1 λ 2 exp λ 2) ds t+mat 2 t+mat 1 ( s>t i >t spread DF (t, t i) Puis on trouve λ 2 tel que CDS2 Theo Nominal soit égal à zéro.

25 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Bootstrapping Le même raisonnement récursif est fait sur toutes les maturités suivantes disponibles de CDS sur l entité, On obtient λ s sur l ensemble des maturités, On extrapole λ s aux dates supérieures en prolongeant le dernier morceau constant. = on dispose d une probabilité de défaut bien définie pour tous les intervalles de temps, et qui vérifie exactement le prix des CDS.

26 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Utilisation - Simulation Un des intérêts est la possibilité de simuler aléatoirement un temps de défaut : 1. simulation d une variable aléatoire uniforme u (algorithme de Mersenne-Twister), 2. Inversion de la fonction de probabilité τ d = P 1 [u] par un algorithme d inversion (Dichotomie, Brent,...), 3. τ d est un temps de défaut simulé. = Ceci permet de simuler différents types de payoff.

27 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Utilisation - Calcul de prix Un prix sur un structuré de crédit peut se calculer en suivant la procédure suivante : 1. simulation de N E temps de défaut pour chacune des entités où N :nombre de simulations, E nombre d entités, 2. Calcul des coupons payés par le produit suivant les valeurs des temps de défaut sur les N simulations, 3. Actualisation des coupons sur les N simulations, 4. Prix = Moyenne des coupons actualisés sur les N simulations.

28 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Utilisation - Exemple Pour un First-To-Default sur deux émetteurs : 1. simulation de N 2 temps de défaut pour chacune des entités où N :nombre de simulations, 2. sur chaque simulation k si τ 1 d < T ou τd 2 < T, alors le payoff actualisé est P k = t i <min(τ 1 d,τ 2 d ) t i =t DF (t, t i ) C, si τ 1 d > T et τd 2 > T, alors le payoff actualisé est P k = t i <T t i =t DF (t, t i ) C + 100%, 3. Prix = 1 N N 0 P k.

29 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Modélisation de la corrélation Les produits pour lesquels plusieurs sous-jacents sont souvent dépendants de la corrélation entre les évènements (si A fait faillite, B a plus de chances de faire faillite...). Il est possible d introduire de la corrélation via des copules - Exemple, copule gaussienne : simulation de E variables aléatoires uniformes, où E : nombre d entités, transformation en v.a. gaussiennes via l inverse de la fonction de probabilité, corrélation des variables gaussiennes via une matrice de corrélation et l algorithme de Choleski, re-transformation en variables aléatoires uniformes, obtention des v.a. exponentielles dynamiques en inversant la fonction de probabilité, exponentielle dynamique. Ceci reste schématique.

30 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Conclusion (1) Possiblité de simuler des temps de défaut via un modèle calibré sur les CDS, Possibilité de valoriser un grand nombre de produits dérivés de crédit, Possibilité de corréler les évènements de défaut via des copules (gaussiennes, Clayton,...), Possibilité de modifier l évaluation des cash-flows en intégrant la probabilité de défaut.

31 Probabilité de défaut Le modèle exponentiel dynamique - Introduction et Calibration Utilisation du modèle DE Conclusion Conclusion (2) Modèles très incomplets, Données éparses et/ou incorrectes et/ou introuvables,... Manque de paramètres (fréquence de défaut stochastique,...) dans ce modèle, Peu évident à mettre en place.

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