Suites. q et k IN et n IN : u. Démonstration : A l aide du schéma ci-dessous on peut établir la formule explicite du terme général en fonction de n :

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1 Suites A) Suites géométriues Défiitio et formules Défiitio : forme récursive Ue suite est géométriue lorsue, à partir du terme iitial, l o passe d'u terme de la suite au terme suivat e multipliat toujours par le même ombre, appelé raiso : IN : : u = u avec u doé Théorème : forme explicite La formule explicite du terme gééral e foctio de est : IN : u = u et k IN et IN : u k = uk Démostratio : A l aide du schéma ci-dessous o peut établir la formule explicite du terme gééral e foctio de : IN : Recoaissace de la ature u = u et k IN et IN : u k = uk Propriété : Propriété : Ue suite ( u ) est géométriue de raiso si et seulemet si Si ue suite ( ) ( ) u est défiie pour tout etier par : u = b a alors : u est géométriue de raiso a et de terme iitial u = b 3 Représetatio graphiue u IN : = u La représetatio graphiue d ue suite géométriue de raiso de raiso est l ue des deux suivates : Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

2 4 Ses de variatio d ue suite Défiitio : Ue suite ( ) Ue suite ( ) Ue suite ( ) u est croissate si et seulemet si, pour tout etier o a : u u ou u u u est décroissate si et seulemet si, pour tout etier o a : u u ou u u u est costate si et seulemet si, pour tout etier o a : u = u ou u u = Propriétés : u, est ue suite géométriue de raiso et de terme iitial strictemet positif ( ) Si >, ( ) <, ( ) ou si =, ( ) Si < Si = u est strictemet croissate u est strictemet décroissate u est costate Démostratio : u ue suite est géométriue de raiso Soit ( ) Alors pour tout etier : u u = u u = u ( ) Or u et > > D où la variatio de la suite ( ) u déped du sige de la raiso O e déduit les coclusios de la propriété précédete 5 Somme des termes d ue suite géométriue Propriété : Soit u ombre différet de o a alors : = Démostratio : Posos S = Lycée Fraçais de DOHA Aée o a alors : = ( ) = S 3 D où : S = ( ) = S Or S S = ( ) S = D où S = = Propriété : Soit ( u ) est ue suite géométriue de raiso et k et m deux etiers aturels tels ue k m, o a alors : m u u u um = u u k u m k k um um = uk M Evao

3 B) Comportemet d ue suite à l ifii Suite Divergete Notatio : La suite ( u ) diverge vers ou admet comme limite si u fiit par deveir toujours plus grad ue importe uel réel M à partir d u rag suffisammet grad O ote : lim = u Notatio : La suite ( u ) diverge vers ou admet comme limite si u fiit par deveir toujours plus petit ue importe uel réel M à partir d u rag suffisammet grad O ote : lim u = Notatio : O dit ue la suite ( ) valeur réelle u diverge et 'admet pas de limite si elle e se stabilise autour d'aucue Suite Covergete Notatio : O dit ue la suite ( u ) coverge vers (par exemple) si u peut être redu aussi proche de u o veut à partir d u rag suffisammet grad O ote : lim u = Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

4 3 Limite d ue suite géométriue Propriétés : u, est ue suite géométriue de raiso et de terme iitial strictemet positif ( ) Si > alors u = Si < Si = lim O peut doc dire ue ( ) lim u = O peut doc dire ue ( ) car ( u ) est costate < alors lim u alors = u u est divergete u coverge vers Propriétés : ( u ) est ue suite géométriue de raiso et de terme iitial strictemet positif et S est la somme des premiers termes de cette suite, o a doc : S = u u u u = u Si > alors lim S = Si < < alors lim S = u Exercice : u est ue suite géométriue de raiso 4 et de premier terme u 5 ( ) ) Pour tout etier, exprimer u e foctio de ) Quelles sot les variatios et la limite de ( u )? 3) Calculer u u u u8 Exercice : Ae a acheté ue voiture d ue valeur de 8 Chaue aée, sa voiture perd 6% de sa valeur Pour tout etier, o ote u la valeur, e euro, de la voiture après aées de baisse ) Préciser la ature de la suite ( u ) aisi ue ses élémets caractéristiues ) E déduire l expressio de u e foctio de 3) Détermier le ses de variatio de cette suite aisi ue sa limite 4) Justifier ue la voiture a perdu 5% de sa valeur au bout de 4 as 5) O cherche à savoir à partir de combie d aée la valeur de revete de cette voiture deviedra iférieure à 5 a) Détermier ce résultat par lecture graphiue sur le graphiue ci-dessous = b) Détermier ce résultat à l aide de votre calculatrice Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

5 Exercice 3 : u est ue suite géométriue strictemet positive telle ue u 7 et u ( ) ) Pour tout etier, exprimer u e foctio de ) Quelles sot les variatios et la limite de ( u )? 3) Calculer u u u u8 4) Soit ( S ) la suite défiie pour tout etier par : S = u u u S est-elle covergete? La suite ( ) Exercice 4 : O a représeté uatre suites u, v, w et t ci-dessous Lesuelles peuvet-être géométriues? Préciser la raiso = 4 = Exercice 5 : u est la suite défiie pour tout etier par : u ( ) ) Préciser la ature de ( ) u ) Quelles sot les variatios et la limite de ( ) = 4 u? Exercice 6 : u est la suite défiie pour tout etier par : u = 4 ( ) ) Motrer ue ( ) ) Motrer ue la suite ( ) u est pas géométriue v défiie pour tout etier par : v = u u est ue suite géométriue et doer sa raiso v? 3) Quelles sot les variatios et la limite de ( ) 4) Soit ( ) S la suite défiie pour tout etier par : S = v v v S est-elle covergete? La suite ( ) Exercice 7 : Calculer les sommes proposées : ) S = 4 5 ) S = 5 35 Exercice 8 : Détermier les limites des suites défiies pour tout etier par : ) ) 3 3) u = 5 Lycée Fraçais de DOHA Aée u = 4 u =, 5 4) 5) u = 3 u =,5 6) u = M Evao

6 Exercice 9 : Bac ES Podichéry 3 Le er javier, u cliet a placé 3 à itérêts composés au taux auel de,5% O ote C le capital du cliet au er javier de l aée, où est u etier aturel ) Calculer C et C Arrodir les résultats au cetime d euro ) Exprimer C e foctio de C 3) E déduire ue, pour tout ombre etier aturel, o a : C = 3, 5 4) O doe l algorithme suivat : a) Pour la valeur S = 33 saisie, recopier et compléter autat ue écessaire le tableau suivat Les résultats serot arrodis à l uité b) E déduire l affichage obteu uad la valeur de S saisie est 33 c) Das le cotexte de cet exercice, expliuer commet iterpréter le ombre obteu e sortie de cet algorithme uad o saisit u ombre S supérieur à 33 5) Au er javier 3, le cliet avait besoi d ue somme de 5 a) Motrer ue le capital de so placemet est pas suffisat à cette date b) Détermier, à l aide de la calculatrice, à partir du er javier de uelle aée le cliet pourrait avoir so capital iitial multiplié par Exercice : Elise décide de vedre sa vieille voiture Elle la propose d abord au prix de Si elle e trouve pas d acheteur elle baissera so prix de 5% chaue mois ) Soit P le prix de la voiture mois après sa mise e vete si elle a pas trouvé d acheteur a) Pour tout etier, exprimer b) Quelle est la ature de la suite ( ) P e foctio de P P? c) Préciser le ses de variatio et la limite de ( ) d) Pour tout etier, exprimer P e foctio de e) Avec ce système uel sera le prix de la voiture d Elise si elle e trouve pas d acuéreur au bout de deux as? ) Elise décide u elle e baissera pas le prix de sa voiture e dessous de Ecrire u algorithme permettat de coaître le ombre de mois avat d atteidre ce prix P Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

7 Exercice : Bac ES Polyésie 3 La productio des perles de culture de Tahiti est ue activité écoomiue importate pour la Polyésie Fraçaise Les motats réalisés à l exportatio des produits perliers de 8 à sot doés das le tableau suivat, e milliers d euros : ) Motrer ue le taux d évolutio auel moye des motats à l exportatio des produits perliers de Polyésie etre 8 et est 8,6% arrodi au cetième O admet ue la productio cotiuera à baisser de 8% par a à partir de ) O cosidère l algorithme suivat : Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 Si o saisit P = 5 e etrée, u obtiet-o e sortie par cet algorithme? Iterpréter ce résultat das le cotexte de la productio de perles 3) Pour prévoir les motats réalisés à l exportatio des perles de Tahiti, o modélise la situatio par ue suite ( u ) O ote u le motat e, e milliers d euros, et u le motat e, e milliers d euros O a doc u = 63 8 et o suppose ue la valeur baisse tous les as de 8% u est ue suite géométriue dot o précisera la raiso a) Motrer ue ( ) b) Exprimer, pour tout etier aturel, u e foctio de c) Avec ce modèle, uel motat peut-o prévoir pour l exportatio des produits perliers de Polyésie Fraçaise e 6? O arrodira le résultat au millier d euros 4) Calculer le motat cumulé des produits perliers exportés ue l o peut prévoir avec ce modèle à partir de (comprise) jusu à (comprise) O doera ue valeur approchée au millier d euros C) Suite arithmético-géométriue Défiitio : Ue suite est dite arithmético-géométriue s il existe deux ombres réels a et b tels ue pour tout etier aturel : u = au b Remarue : ces suites état i géométriue ( u = au ) i arithmétiue ( u = u b) o e peut pas doer leur forme explicite, ous utiliseros doc ue suite auxiliaire afi de l obteir M Evao

8 Etude d ue suite arithmético-géométriue : Chloé dépose sur u compte d éparge rémuéré au taux mesuel de,% et choisit d y ajouter à la fi de chaue mois la somme de 5 O ote A le motat, e euros, du capital acuis au bout de mois ) Exprimer A e foctio de A Le coefficiet multiplicateur associé à u taux d itérêt de,% est, Doc pour tout etier, A =, A 5 ) Soit ( ) v la suite défiie pour tout etier, par v A 5 = Motrer ue ( v ) est géométriue (o précisera sa raiso et so premier terme) IN v = A 5 =, A 5 5 =,( A 5) =, v Doc ( ) v est ue suite géométriue de raiso, et de terme iitial v = A 5 = 6 3) Exprimer A e foctio de v est ue suite géométriue de raiso, et de terme iitial v 6, ( ) doc D où IN v = 6, IN A = 5 = 6, 5 v 4) Etudier la mootoie de la suite ( ) A IN A = 6, 5 Doc IN A A = ( v 5) ( v 5) Or ( ) = v 5 v = v v 5 > v est ue suite géométriue de raiso, > et de premier terme v = 6, elle est doc croissate d où : v v > Doc IN A A doc la suite ( ) > A 5) Etudier la limite de la suite ( ) > = A est strictemet croissate Comme, > o a lim, = doc lim A = lim6, 5 = 6) Combie de mois sot écessaires pour ue le motat du capital dispoible dépasse? O cherche à détermier le plus petit etier tel ue A > L algorithme suivat permet d obteir le rag à partir duuel les termes A sot supérieurs à : A 5 54,5 757,5 I 3 4 Coditio A < Vrai Vrai Vrai Vrai Faux L algorithme affichat I = 4, o peut e déduire ue le capital dispoible dépassera à partir du 4 ème mois Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

9 Exercice : u la suite défiie pour tout etier par : 4 u = u Soit ( ) Soit ( ) = = u v la suite défiie pour tout etier par : v ) Détermier u et u ) Détermier v, v et v 3) Motrer ue la suite ( v ) est géométriue et préciser sa raiso 4) Pour tout etier, exprimer v e foctio de 5) E déduire ue expressio de u e foctio de v 6) Etudier les variatios des suites ( ) 7) Détermier la limite de la suite ( ) 8) La suite ( ) u et ( ) v u est-elle covergete? Exercice 3 : Bac ES Amériue du Nord 4 Afi d etreteir ue forêt vieillissate, u orgaisme régioal d etretie des forêts décide d abattre chaue aée 5% des arbres existats et de replater 3 arbres Le ombre d arbres de cette forêt est modélisé par ue suite otée u où u désige le ombre d arbres au cours de l aée 3 E 3, la forêt compte 5 arbres ) Détermier le ombre d arbres de la forêt e 4 ) Motrer ue la suite u est défiie par u = 5 et pour tout etier aturel par la relatio : u =,95u 3 3) O cosidère la suite v défiie pour tout etier aturel par : v = 6 u a) Motrer ue v est géométriue de raiso,95 et détermier so premier terme b) Exprimer v e foctio de c) E déduire ue pour tout etier aturel, o a : u = ( 6, 95 ) d) Détermier la limite de la suite u Iterpréter 4) Résoudre, à l aide de la calculatrice, l iéuatio : u > 57 Iterpréter 5) O souhaite écrire u algorithme affichat pour u etier aturel doé, tous les termes de la suite du rag au rag a) Parmi les trois algorithmes ci-dessous, u seul coviet Préciser leuel b) Lorsue A = 57 l algorithme affiche 4 Iterpréter Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

10 Exercice 4 : Bac ES Liba 4 La médiathèue d ue petite ville a ouvert ses portes le javier 3 et a eregistré 5 iscriptios e 3 Elle estime ue, chaue aée, 8% des acies iscrits reouvellerot leur iscriptio l aée suivate et u il y aura 4 ouveaux adhérets O modélise cette situatio par ue suite umériue ( ) a O ote a = 5 le ombre d iscrits à la médiathèue e 3 et a représete le ombre d iscrits à la médiathèue pedat l aée 3 ) Justifier ue, pour tout etier aturel, o a la relatio : a =,8 a 4 ) O pose, pour tout etier aturel, o a : v a a) Démotrer ue ( ) = v est géométriue de premier terme v 5 et de raiso =,8 b) E déduire ue le terme gééral de la suite ( ) = a est : a = 5,8 c) Calculer la limite de la suite ( a ) d) Que peut-o e déduire pour le ombre d adhérets à la médiathèue si le schéma d iscriptio reste le même au cours des aées à veir? 3) O propose l algorithme suivat : a) Expliuer ce ue permet de calculer cet algorithme b) À l aide de la calculatrice, détermier le résultat obteu grâce à cet algorithme et iterpréter la répose das le cotexte de l exercice Exercice 5 : Bac ES Asie 3 Le gestioaire d ue salle de cocert costate ue, chaue aée, le ombre d aboés est costitué de 7% des aboés de l aée précédete, auxuels s ajoutet ouveaux aboés Le ombre d aboés e était de 6 ) O défiit la suite ( ) u par : u 6 et pour tout etier aturel : u =,7 u = O utilise u tableur pour calculer les termes de la suite ( ) u Proposer ue formule à écrire e B3 pour calculer u ; cette formule «tirée vers le bas» das la coloe devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite ( u ) ) O pose, pour tout etier aturel : v u 7 a) Démotrer ue la suite ( ) = v est géométriue de raiso,7 Préciser so premier terme b) Justifier ue pour tout etier aturel : u = 7, 7 Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

11 3) Soit u etier aturel Démotrer ue u > 697 est éuivalet à,7, 3 4) Pour résoudre cette iéuatio, o utilise l algorithme suivat : a) Quelle valeur de N obtiet-o e sortie? (O fera tourer l algorithme) b) Retrouvez ce résultat à l aide de votre calculatrice c) E utilisat l étude précédete de la suite ( u ), détermier à partir de uelle aée le ombre d aboés atteidra au mois 697 Exercice 6 : Bac ES Métropole 3 (Sujet aulé) U idustriel étudie l évolutio de la productio des jouets sur la machie VPOOO de so etreprise E, lorsu il l a achetée, elle pouvait produire jouets par a Du fait de l usure de la machie, la productio dimiue de % par a O modélise le ombre total de jouets fabriués au cours de l aée ( ) ue suite ( U ) O a doc U = par ) Motrer ue, pour tout etier aturel : U =, 98 ) Quel a été le ombre de jouets fabriués e 5? 3) Détermier à partir de uelle aée, le ombre de jouets fabriués sera strictemet iférieur à 4) Cet idustriel décide u il chagera la machie lorsu elle produira mois de 9 jouets par a Recopier et compléter les liges 8 et 9 de l algorithme ci-dessous afi u il permette de détermier le plus petit etier aturel tel ue : U < 9 5) Exprimer :,98,98,98 e foctio de 6) O pose : S = U U U U Motrer ue : S = 6 (,98 ) 7) E déduire le ombre total de jouets fabriués pedat les 5 premières aées de productio Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

12 Exercice 7 : Bac ES Doha 3 Les services de la mairie d ue ville ot étudié l évolutio de la populatio de cette ville Chaue aée,,5% de la populatio uitte la ville et persoes s y istallet E, la ville comptait 4 habitats O ote U le ombre d habitats de la ville e l aée O a doc U = 4 O admet ue la suite ( ) U =,875 U O cosidère la suite ( ) U est défiie pour tout etier aturel par : V défiie pour tout etier aturel par : V U 96 Les uestios umérotées de à 5 de cet exercice formet u uestioaire à choix multiples (QCM) Pour chacue des uestios, uatre affirmatios sot proposées : ue seule répose est exacte Ue répose exacte rapporte poit, ue répose fausse ou l absece de répose e rapporte i elève aucu poit Pour chaue uestio, le cadidat otera sur sa copie le uméro de la uestio suivi de la propositio ui lui semble correcte Aucue justificatio est demadée ) La valeur de U est : a) 6 b) 35 V est : ) La suite ( ) a) géométriue de raiso,5% b) géométriue de raiso,875 c) géométriue de raiso,875 d) arithmétiue de raiso 96 U a pour limite : a) b) 4) O cosidère l algorithme suivat : 3) La suite ( ) = c) 36 d) 46 c) d) 96 Cet algorithme permet d obteir : a) la valeur de U 4 b) toutes les valeurs de U à U c) le ombre de termes iférieurs à d) le plus petit rag pour leuel o a U 5) La valeur affichée est : a) 33 b) 34 c) 96 d) 997,8 Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

13 Exercice 8 : Bac ES Nouvelle Calédoie Partie A : Observatio d ue suite de ombres ) O doe ci-dessous la représetatio graphiue des 6 premiers termes d ue suite ( u ) das le pla mui d u repère orthogoal Cojecturer la mootoie et la limite de la suite ( u ) ) Les uatre premiers termes de la suite ( ) u ot été calculés avec u tableur : La suite ( u ) peut-elle être ue suite géométriue? Justifier votre répose Partie B : Étude de la suite u observée das la Partie A est défiie pour tout etier aturel par : La suite ( ) ) Soit ( ) u =,6u 8 et u 6 = v la suite défiie pour tout etier aturel par : v u a) Motrer ue ( ) v est ue suite géométriue O précisera le premier terme et la raiso b) Doer l expressio de v e foctio de c) E déduire ue pour tout etier aturel, o a : d) Calculer la somme : v v v4 3) Détermier la limite de la suite ( ) = u 6 = 4, v et e déduire celle de la suite ( ) u Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

14 Exercice 9 : Exercice avec prise d iitiative Das ue réserve africaie les observateurs e place ot costaté ue la populatio d aimaux d ue espèce doée est e baisse de % tous les as depuis plusieurs aées Actuellemet, e 4, cette populatio a été évaluée à 5 aimaux O fait l hypothèse ue cette tedace va se poursuivre das les aées à veir O s itéresse à l évolutio de la populatio d aimaux à partir de 4 La situatio peut être modélisée par ue suite ( ) u, le terme u doat ue estimatio du ombre d aimaux das la réserve l aée 4 Partie A : Prévisios uat à l évolutio de cette populatio O cosidère l algorithme suivat : ) O saisit la valeur 5 pour Q Pour cette valeur de Q, e suivat pas à pas l algorithme précédet, recopier le tableau suivat et le compléter e ajoutat autat de coloes ue écessaire ) Pour tout etier aturel, o ote u la populatio de ces aimaux e O a u 5 = a) Exprimer u e foctio de b) Quelle est la limite de ( u )? 4 c) Détermier la plus petite valeur de telle ue u et iterpréter ce résultat Partie B : Prévisios avec ue itroductio d aimaux das cette réserve Afi de compeser cette baisse de populatio, o décide d itroduire das cette réserve, tous les as dès 5, 8 aimaux prélevés das ue autre réserve ) Doer das u tableau, l évolutio de la populatio d aimaux de 4 à 8 ) Doer u modèle mathématiue ui permette le calcul de cette populatio pour toute aée 4 tat ue l évolutio reste la même 3) Peut-o prévoir, à l aide de ce modèle, ue stabilisatio de la populatio? Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

15 Exercice : Bac ES Métropole 5 Le foctioemet de certaies cetrales géothermiues repose sur l utilisatio de la chaleur du sous-sol Pour pouvoir exploiter cette chaleur aturelle, il est écessaire de creuse plusieurs puits suffisammet profods Lors de la costructio d ue telle cetrale, o modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite ( ) u défiie pour tout etier aturel o ul, par la relatio : u =,8 où u représete le coût e euros du forage de la ième dizaie de mètres O a aisi u = et u = 6, c est-à-dire ue le forage des dix premiers mètres coûte euros, et celui des dix mètres suivats coûte 6 euros Das tout l exercice, arrodir les résultats obteus au cetième ) Calculer u 3 puis le coût total de forage des 3 premiers mètres ) Pour tout etier aturel o ul : a) Exprimer u e foctio de u et préciser la ature de la suite ( u ) b) E déduire le pourcetage d augmetatio du coût du forage de la ième dizaie de mètres par rapport à celui de la ième dizaie de mètres 3) O cosidère l algorithme ci-dessous : La valeur de saisie est 5 a) Faire foctioer l algorithme précédet pour cette valeur de Résumer les résultats obteus à chaue étape das le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter e ajoutat autat de coloes ue écessaire) Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 b) Quelle est la valeur de S affichée e sortie? Iterpréter cette valeur das le cotexte de cet exercice 4) O ote S = u u u la somme des premiers termes de la suite ( u ), état u etier aturel o ul Le budget coseti pour le forage du premier puits est de 5 euros, O souhaite détermier la profodeur maximale du puits ue l o peut espérer avec ce budget a) Justifier ue : S = 5 5, 8 b) Calculer la profodeur maximale par la méthode de votre choix (utilisatio de la calculatrice ) c) Modifier l algorithme précédet afi u il permette de répodre au problème posé M Evao

16 Exercice : Bac ES Cetres étragers 5 Depuis le er javier 5, ue commue dispose de vélos e libre service La société Bicycl Aime est chargée de l exploitatio et de l etretie du parc de vélos La commue disposait de vélos au er javier 5 La société estime ue, chaue aée, 5% des vélos sot retirés de la circulatio à cause de dégradatios et ue 4 ouveaux vélos sot mis e service O modélise cette situatio par ue suite ( u ) où u représete le ombre de vélos de cette commue au er javier de l aée 5 ) Détermier le ombre de vélos au er javier 6 u est défiie par u et, pour tout etier aturel, par : ) Justifier ue la suite ( ) u =,85u 4 3) O doe l algorithme suivat : = a) Recopier et compléter le tableau suivat e arrodissat les résultats à l uité Quel ombre obtiet-o à l arrêt de l algorithme? b) Iterpréter la valeur du ombre U obteue à l issue de l exécutio de cet algorithme v défiie pour tout etier aturel par : v u 8 4) O cosidère la suite ( ) a) Motrer ue la suite ( ) = v est géométriue de raiso,85 et de premier terme v = 8 b) Pour tout etier aturel, exprimer v e foctio de c) E déduire ue, pour tout etier aturel, o a : u = 8,85 8 d) Calculer la limite de la suite ( ) u et iterpréter ce résultat 5) La société Bicycl Aime facture chaue aée à la commue 3 (par vélo e circulatio au er javier Détermier le coût total pour la période du er javier 5 au 3 décembre 9, chacu des termes utilisés de la suite ( ) u état exprimé avec u ombre etier Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

17 Exercice : Bac ES Podichéry 4 Ue associatio décide d ouvrir u cetre de soi pour les oiseaux sauvages victimes de la pollutio Leur but est de soiger puis relâcher ces oiseaux ue fois guéris Le cetre ouvre ses portes le er javier 3 avec 5 oiseaux Les spécialistes prévoiet ue 4% des oiseaux présets das le cetre au er javier d ue aée restet présets le er javier suivat et ue oiseaux ouveaux sot accueillis das le cetre chaue aée O s itéresse au ombre d oiseaux présets das le cetre au er javier des aées suivates La situatio peut être modélisée par ue suite ( ) u admettat pour premier terme u = 5, le terme u doat ue estimatio du ombre d oiseaux l aée 3 ) Calculer u et u Avec uelle précisio coviet-il de doer ces résultats? ) Les spécialistes détermiet le ombre d oiseaux présets das le cetre au er javier de chaue aée à l aide d u algorithme a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme 3 permet d estimer le ombre d oiseaux présets au er javier de l aée 3 Expliuer pouruoi les deux premiers algorithmes e doet pas le résultat attedu b) Doer, pour tout etier aturel, l expressio de u e foctio de u v défiie pour tout etier aturel par : v u 3) O cosidère la suite ( ) a) Motrer ue ( ) = v est ue suite géométriue de raiso,4 Préciser v b) Exprimer, pour tout etier aturel, v e foctio de c) E déduire ue pour tout etier aturel, o a : u = 85, 4 d) La capacité d accueil du cetre est de oiseaux Est-ce suffisat? Justifier Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

18 Iterrogatio de mathématiues Exercices préparés à la maiso Niveau : Thème : Suites Exercice : Bac ES Atilles Guyae 4 U opérateur de téléphoie mobile costate ue, chaue aée, il perd 8% de ses précédets aboés et ue, par ailleurs, il gage 3 millios de ouveaux aboés E 3 le ombre d aboés est de millios O s itéresse au ombre d aboés, e millios, pour l aée 3 E supposat ue cette évolutio se poursuit de la même faço, la situatio peut être modélisée par la suite ( u ) défiie pour tout etier aturel, par : Le terme u doe ue estimatio du ombre d aboés pour l aée Partie A : ) E utilisat cette modélisatio, l opérateur décide d arrodir les résultats à À uoi correspod ce choix d arrodi? Détermier le ombre d aboés e 4 et e 5 v par v u 37, 5 pour tout etier aturel ) O défiit la suite ( ) Démotrer ue ( ) = u = u =,9u v est ue suite géométriue de raiso,9 Préciser so premier terme 3) Exprimer v e foctio de E déduire ue, pour tout etier aturel, o a : u = 7,5,9 37, 5 3 4) Détermier le ombre d aboés e millios e Arrodir les résultats à 5) Détermier la limite de la suite ( u ) L opérateur peut-il espérer dépasser 3 millios d aboés? Partie B : Compte teu des ivestissemets, l opérateur cosidère u il réalisera des bééfices lorsue le ombre d aboés dépassera 5 millios ) Recopier et compléter l algorithme suivat afi de détermier le ombre d aées écessaires à partir de 3 pour ue l opérateur fasse des bééfices ) E uelle aée l opérateur fera-t-il des bééfices pour la première fois? Exercice : Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 O cosidère la suite ( ) S défiie pour tout etier par : S = 5 5,5 5,5 5, 5 ) Motrer ue pour tout etier : S 5 (,5,5,5, 5 ) ) E déduire ue pour tout etier : S = (,5 ) 3) E déduire la limite de ( ) = S lorsue ted vers l ifii M Evao

19 Exercice 3 : Bac ES Polyésie 5 Les techicies d u auarium souhaitet régler le distributeur automatiue d u produit visat à améliorer la ualité de l eau das u bassi La cocetratio recommadée du produit, exprimée e mg l (milligramme par litre), doit être comprise etre 4 mg l et 8 mg l Au début du test, la cocetratio du produit das ce bassi est de 6 mg l O estime ue la cocetratio du produit baisse d eviro % par semaie Afi de respecter les recommadatios portat sur la cocetratio du produit, les techicies evisaget de régler le distributeur automatiue de telle sorte u il déverse chaue semaie ue certaie uatité de produit Les techicies cherchet à détermier cette uatité de faço à ce ue : la cocetratio du produit soit coforme aux recommadatios sas itervetio de leur part, pedat ue durée de 6 semaies au mois ; la uatité de produit cosommée soit miimale Partie A : Das cette partie, o suppose ue la uatité de produit déversée chaue semaie par le distributeur automatiue est telle ue la cocetratio augmete de mg l O s itéresse à l évolutio de la cocetratio chaue semaie La situatio peut être modélisée par ue suite C, le terme e doat ue estimatio de la cocetratio du produit, e mg l, au début ( ) de la ième semaie O a C 6 = ) Justifier ue, pour tout etier aturel, o a : C =,9 C ) Soit la suite ( ) a) Motrer ue ( ) = C V défiie pour tout etier aturel par : V V est ue suite géométriue de raiso,9 et ue V 6 b) Exprimer V e foctio de c) E déduire ue pour tout etier aturel, o a : C =,9 6 C uad ted vers l ifii Justifier la répose Iterpréter le résultat au regard de la situatio étudiée 4) Au bout de combie de semaies la cocetratio deviet-elle iférieure à 4 mg l? Le réglage evisagé du distributeur répod-il aux attetes? 3) Détermier la limite de la suite ( ) Partie B : Das cette partie, o suppose ue la uatité de produit déversée chaue semaie par le distributeur automatiue est telle ue la cocetratio augmete de mg l Que peser de ce réglage au regard des deux coditios fixées par les techicies? = Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 M Evao

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