Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

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1 Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique d une limite finie en un point, cette nouvelle notion est abordée tant d un point de vue graphique que théorique. 1/ Limite finie d une fonction en un nombre fini Soit x 0 et deux nombres réels (finis) et f fonction réelle définie au voisinage de x 0 Définition On dit que f admet comme limite lorsque x tend vers x 0 si : pour tout intervalle du type ] A ; B [ contenant : si x ] a ; b [ alors : f (x) ] A ; B [ il existe un intervalle ] a ; b [ contenant x 0 tel que Autrement dit : «Aussi étroit que l on choisisse l intervalle autour de, si les x sont assez proches de x 0 alors leurs images sont dans cet intervalle.» Notation

2 Propriété Si f admet une limite finie en x 0 alors cette limite est unique. Concernant la limite d une fonction en un nombre fini, on parle également de limite à gauche et de limite à droite en ce nombre. Limites également appelées, respectivement, limite par valeurs inférieures et limite par valeurs supérieures. Auquel cas : f admet une limite finie en x 0, si et seulement si les limites à droite et à gauche sont égales à un même nombre fini On a alors : * Dans la pratique : on calcule les limites de chaque côté en utilisant les définitions de f(x) qui y correspondent ; si ces deux limites sont un même nombre fini alors la limite existe et vaut ce nombre. Illustration graphique D après la définition : «Aussi étroit que l on choisisse l intervalle autour de, si les x sont assez proches de x 0 alors leurs images sont dans cet intervalle.»

3 Pour une abscisse assez proche de x 0, toute la courbe se retrouve donc dans la partie violette. Or comme l on peut rendre ces deux bandes aussi étroites que l on veut. La courbe tend donc à passer par le point M 0 de coordonnées : (x 0 ; ) Si de plus, f est définie en x 0 alors deux cas de figure peuvent se présenter : 2/ Cas n 1 : continuité en un point Si M 0 est un point de la courbe de f alors : f (x) = D'où La courbe peut alors être tracée «sans lever le crayon» sur un intervalle comprenant x 0. On dit dans ce cas que la fonction f est continue au point x 0. «Point» est à prendre ici au sens d un résultat valable ponctuellement par opposition à un résultat valable sur tout un intervalle. (cas que nous allons voir dans la suite)

4 La fonction f est donc continue en x 0 si et seulement si : Ou encore, si et seulement si : Autrement dit : si la limite existe et vaut f (x) 3/ Cas n 2 : discontinuité en un point Si M 0 n est pas un point de la courbe de f alors : f (x 0 ) f étant une fonction, sa courbe ne peut passer par deux points qui ont même abscisse mais une ordonnée différente, il y a alors un «saut» dans le tracé. La courbe de f ne peut être tracée sur un intervalle comprenant x 0 «sans lever le crayon». On dit que la fonction f n est pas continue en x 0 ou encore qu elle est discontinue en x0

5 Dans le cas de discontinuité illustré, et f (x 0 ), mais le cas de discontinuité la plus fréquemment rencontrée est le cas d une fonction définie de façon différente à gauche et à droite de x 0 Exemple : Soit f définie sur R par :

6 Donc, la limite en 0 n existe pas. Conséquence : f ne peut être continue en 2. Graphiquement : La courbe de f ne peut être tracée sur un intervalle comprenant 0, «sans lever le crayon». 4/ Prolongement par continuité Si mais que f n est pas définie en x 0, f ne peut être continue en x 0 Cependant, si on «bouche le trou» se trouvant sur la courbe, on peut alors la tracer sans lever le crayon. Auquel cas, il faut donc rajouter dans la définition de la fonction : f (x 0 ) On dit alors que l on fait un prolongement par continuité de f en x0 5/ Continuité sur un intervalle : définition Continuité sur un intervalle : (a et b pouvant être des bornes infinies) f est continue sur l intervalle ouvert ] a ; b [ si f est continue en x 0, quel que soit x 0 élément de ] a ; b [ * Si de plus : a est un nombre fini et alors f est continue sur [ a ; b [ * Et si de plus : b est un nombre fini et alors f est continue sur [ a ; b ]

7 Du point de vue graphique Si f est continue sur ] a ; b [ alors la courbe de f peut être tracée sur cet intervalle «sans lever le crayon». Dans l exemple déjà vu f est continue sur : ] ; 0 [ et sur : ] 0 ; [ Mais f n est pas continue en 0, elle n est donc pas continue pour tout réel. Par conséquent : f n est pas continue sur R. 5/ Continuité sur un intervalle : fonctions de référence Fonctions de référence : * Les fonctions affines, polynômes, trigonométriques et valeur absolue sont continues sur R. * Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies. * La fonction racine est continue sur ] 0 ; [ Et grâce aux propriétés qui suivent on peut s appuyer sur la continuité de ces fonctions pour en déduire la continuité d autres, en effet : Toute somme, différence ou produit de fonctions continues sur I est continue sur I. est continue sur I, si u et v sont continues sur I et si v ne s annule pas sur I. De plus, si besoin est, on peut ramener ces résultats à quelque chose de plus local, car : Si f est continue sur un intervalle I alors f est continue sur tout intervalle inclus dans I.

8 Remarques importantes : On ne parlera de continuité sur un ensemble que si cet ensemble est un intervalle. La continuité est une notion très importante en mathématiques : elle va nous être utile à plusieurs reprises dès cette année de terminale, où nous la croiserons dans des problèmes de recherche de limites de suites, des problèmes d existence de solutions d équations, d existence de fonction réciproque ou encore d existence de primitive d une fonction. Les propriétés liées à la continuité d une fonction sur un intervalle seront étudiées dans le module traitant du théorème des valeurs intermédiaires. Module où la notion d intervalle sera revue avec précision et où l on démontrera un résultat dont nous allons avoir besoin dès ce module-ci, à savoir : Si f est continue sur l intervalle I, alors l image de I par f est un intervalle. Ce résultat est en particulier indispensable pour parler de continuité d une fonction composée. 6/ Continuité d une fonction composée Continuité en un point Si g est continue en x 0 et si f est continue en g (x 0 ) alors est continue en x 0 Continuité sur un intervalle Si g est continue sur l et si f est continue sur g (l) alors est continue sur l.

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