I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

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1 Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages Ordre Successifs O tiet compte avec remise de l'ordre Successifs sas O tiet compte remise de l'ordre simultaés L'ordre 'iterviet pas Répititio d'élémets Déombremet U élémet peut être p tiré plusieurs fois U élémet 'est tiré A p ( )( p ) qu'ue seule fois U élémet 'est tiré p p A qu'ue seule fois C p! I- Vocabulaire : Soit l'uivers d'ue exprériece aléatoire O écrit,,, où chaque i est ue des issues de cette expériece aléatoire U évéemet est u sous-esemble de Ue probabilité P défiie sur P () est ue applicatio de P () das [0, ] vérifiat les deux axiomes suivats : - P() = ; - Pour tous évéemets A et B icompatibles A B O, o a : P A B = P(A) + P(B) Remarques : O ote A l'évéemet cotraire de A et o a: A A O et A A O dit que (A, A ) est u système complet O dit que ( E, E,E ) est u système si et seulemet si : E E E E E E et E E E Propriétés : Soit A et B deux évéemets P A P(A) et PO 0 P(A\B) = P(A) - P A B P A B = P(A) + P(B) - P A B 4 Si ( E, E,E ) est u système complet alors pour tout évéemet B P(B) = PB E PB E PB E Lorsque P i, o dit que P est la probabilité uiforme ou l'équiprobabilité Card(A) Card(A) et das ce cas là : P(A) = Card( )

2 Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F Exercice : U sac cotiet jetos idiscerables au toucher : jetos oirs marqués A, B et C et 0 jetos blacs umérotés de à 0 O cosidère les évéemets suivats : R :" obteir les jetos oirs parmi les jetos extraits " S : " obteir le jetos marqué C parmi les jetos extraits " T : " obteir au mois u jeto oir parmi les jetos extraits " Calculer la probabilité de chacu des évéemets R, S et T Solutio : U tirage correspod au choix de jetos parmi les jetos se trouvat das le sac Doc : Card() = C 8 P(R) = C C 0 4 C 4 49 ; P(S) = C P(S) = - P S = Exercice : Ue ure cotiet boules idiscerables au toucher : m boules blaches et boules oires ( m et sot des etiers aturels o uls ) O tire successivemet et sas remise boules de l'ure Détermier les couples (m, ) pour que la probabilité p d'obteir boules de couleurs 6 différetes soit égales à O pred désormais : m = 8 et = 4 O tire successivemet et avec remise boules de l'ure a) Calculer la probabilité p' d'obteir exactemet ue boule blache b) Calculer la probabilité p" d'obteir au mois ue boule blache et au mois ue boule oire Solutio : Le ombre de tirage possible est A Soit p la probabilité d'obteir deux boules de couleurs différetes est : m m m p = 66 m m Doc tous les couples (m, ) vérifiet : m 6 m 66 D'où m et sot les solutios de l'équatio : x² - x + = 0 O obtiet que : (m, ) = (4, 8) ou (m, ) = (8, 4) a) La probabilité d'obteir exactemet ue boule blache lorsqu'o effectue trois tirages successivemet avec remise est : m 84 p' = 9 b) l'évéemet " obteir au mois ue boule blache et au mois ue oire " est la réuio des évéemets icompatibles " obteir exactemet ue boule blache " et " obteir exactemet deux boules blaches " La probabilité cherchée est doc : p" = p'

3 Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F II- Evéemets idépedats III- Exemple : O lace deux fois de suite ue pièce de moaie o truquée P PP P F PF F er lacer P F e lacer La probabilité d'obteir deux fois pile est doc égale à 4 Si o ote les évéemets suivats : A : " le résultat du premier lacer est pile " B : " le résultat du secod lacer est pile " La probabilité d'obteir deux fois pile est la probabilité de l'évéemet P A B, or P(A) = et P(B) = 4 O remarque doc sur exemple que : P A B P(A)P(B) FP FF A B II- Défiitio : O dit que les évéemets A et B sot idépedats si et seulemet si P A B P(A)P(B) Activité : A et B sot deux évéemets idépedats Motrer que A et B aisi que A et B sot idépedats A et B sot-ils idépedats? Exercice : U jeto est marqué du chiffre sur ue face et du chiffre sur l'autre face U dé cubique est marqué du chiffre sur trois faces, du chiffre sur deux faces et du chiffre sur ue face O lace simultaémet le jeto et le dé et o lit les chiffres qui apparaisset sur chaque face supérieure ( a pour le jeto et b pour le dé ) Calculer la probabilité de chacu des six évéemets élémetaires Trouver la probabilité des évéemets A : " a = b" et B : " a < b " Solutio : Pour le jeto : P() = P() = Pour le dé : P() =, P() = et P() = 6 Les résultats du dé et du jeto sot supposés idépedats P( (,) ) = P( (,) ) = = 4

4 Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F P( (,) ) = P( (,) ) = 6 P( (,) ) = P( (,) ) = P(A) = P( (,) ) + P( (,) ) = et P(B) = III- Probabilité coditioelle Activité : O dispose de trois boîtes B, B et B d'appareces idetiques Elles cotieet respectivemet u, deux et trois papiers ; das chaque boîte u seul papier est marqué Ue partie cosiste, pour u joueur, à désiger au hasard ue boîte et à tirer égalemet au hasard u papier de cette boîte Si le papier est marqué le joueur reçoit u cadeau Quelle est la probabilité de tirer le papier marqué sachat qu'il proviee de B? Sachat qu'il proviee de B? Sachat qu'il proviee de B? Détermier la probabilité que le joueur reçoit u cadeau Désigos par A : " le papier tiré est marqué ", par B i : " la boîte désigée est B i " et par E i : " tirer le papier marqué sachat qu'il proviet de B i " avec i,, B A B / / / B A B / / B A B Il e résulte que : (E ) P, P E et P O a : P(A) = P(A B ) PA B PA Doc P(A) = B et : P A B, P A B E 6, P B A 9 Défiitio : O appelle probabilité coditioelle de B sachat A, où A est u évéemet de probabilité o ulle, la probabilité que l'évéemet B soit réalisé sachat que A est réalisé P(A B) O ote : P(A B ) = P(A) Exercice : O dispose d'u dé cubique et homogèe dot les face sot umérotées : -, -, -, 4

5 Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F 0, et O jette ce dé deux fois de suite et o ote à chaque fois le uméro de la face supérieure Détermier la probabilité de chacu des évéemets A et B suivats : A :"les deux uméros sot différets" B :" la somme des deux uméros obteus est égale à 0" Soit C l'évéemet défii par "les deux uméros obteus sot différets sachat que leur somme est ulle" Calculer P(C) Corrigé: Il suffit de dresser u tableau P(A) = P(A) ; P(B) = 8 6 P(C) PA B P(A B) P(B) Exercice : O dispose d'ue ure U coteat boules rouges et boules oires O extrait simultaémet dexu boules de cette ure ; o cosidère que tous les tirages sot équiprobables a) Quelle est la probabilité p que les deux boules tirées soiet rouges? b) Quelle est la probabilité p que les deux boules tirées soiet oires? c) Quelle est la probabilité p que les deux boules tirées soiet de même couleur? d) Quelle est la probabilité p 4 que les deux boules tirées soiet de couleur différetes? O dispose aussi d'ue deuxième ure U coteat 4 boules rouges et 6 boules oires O tire maiteat deux boules simultaémet de l'ure U et ue boule de l'ure U ; o suppose que tous les tirages sot équiprobables O cosidère les évéemets suivats : R : " les trois boules tirées sot rouges " D : " les trois boules tirées e sot pas de la même couleur " B : " la boule tirée das U est rouge " a) Calculer P(R) b) Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur? B D c) Calculer la probabilité coditioelle P Solutio : a) p ; b) p ; c) 4 4 a) P(R) = ; b) P(N) = c) P(D) = PD D p 8 p p ; d) p4 p D P(R) P(N) 8 p B D = p, P et P B 4 doc P Exercice : O dispose de deux ures A et B A cotiet boules blaches et boules oires B cotiet boules blaches et 6 boules oires O choisit l'ue des deux ures et o extrait ue boule au hasard O cosidère les évéemets suivats : A : " l'ure choisie est A " et N : " la boule tirée est oire "

6 Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F Calculer P(A), P Calculer P N A A, P N A et P N A E écrivat N = N A N A, calculer P(N) puis P 4 O a costaté que la boule tirée est oire a) Quelle est la probabilité pour qu'elle soit tirée de A? b) Quelle est la probabilité pour qu'elle soit tirée de B? Solutio : P(A) = P A = 8 6 ; P A P N A P(A)PN A N et P N A P(N) = PN A PN A P(A)PN A PA P N A P N P(N) 6 P(A N) P A N P(N) 4 a) ; b) P A N PA N 6 N Coséqueces : Soit u évéemet de probabilité o ulle Pricipe de probabilité composée : PA B P(A)PB A Pricipe de probabilité totale : P(B) = PB A PB A P(A)P(B A) PA P B A Si ( E, E, E) est u système complet alors B E P B E P B P(B)P B E P(B) = P = P(B)PB E P(B)PB E E Exercice 4: Ue ure A cotiet boules rouges et boules oires, ue ure B cotiet boules rouges et boules oires O tire au hasard ue boule de l'ure A : - si elle oire, o la place das l'ure B - sio, o l'écarte du jeu O tire au hasard esuite ue boule de l'ure B O cosidère les évéemets suivats : R :" la boule tirée de A est rouge " ; N :" la boule tirée de A est oire " R :" la boule tirée de b est rouge " ; N :" la boule tirée de B est oire " a) Calculer P( R ) et P( N ) b) Calculer les probabilités des évéemets R R et R N E déduire que : P( R ) = 0 c) Calculer P( N ) O répète fois l'épreuve précédete e supposat que les différetes épreuves sot idépedates Quel est le ombre miimum d'épreuves doit-o effectuer pour que la probabilité p d'obteir au mois ue fois ue boule rouge de l'ure B soit supérieure à 0,99? 6

7 Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F Solutio: a) P R ; PN b) PR R ; PR N P R PR N PR R PNP R N PRP R R 0 c) P N PR 0 p ; p 0 Log(0,0) 0,99 0,0, d'où = 6 0 Log 0 Exercice : O cosidère trois ures U, U et U telles que : U cotiet boules rouges et 6 boules blaches U cotiet boules rouges, 4 boules oires et boules blaches U cotiet ue boule rouge et 4 boules blaches O lace ue fois u dé cubique régulier dot les faces sot umérotées de à 6 Si le résultat est, o tire ue boule de U Si le résultat est, ou, o tire ue boule de U Si le résultat est 4 ou 6, o tire ue boule de U a) Calculer P( U ), P( U ) et P( U ) les probabilités de choisir respectivemet les ures U, U et U b) Calculer la probabilité des évéemets suivats : A i : " la boule tirée est rouge et proviet de U i ", où i,, a) Calculer la probabilité de l'évéemet B : " la boule tirée est rouge " b) Sachat que la boule tirée est rouge, calculer la probabilité pour qu'elle proviee de i,, U, où i Solutio : a) PU, PU et PU b) PA, PA et PA a) P(B) = P(A) P(A) P(A) 40 P b) P A P U B, P A 0 U B B P(B) P(B) et P P A 8 P(B) U Exercice 6 : Ue ure cotiet pièces équilibrées Deux de ces pièces sot ormales : elles possèdet ue face «FACE» et ue face «PILE» La troisième est truquée : elle possède deux faces «FACE» O extrait ue pièce de l ure au hasard, puis o effectue des lacers successifs et idépedats de cette pièce O cosidère les évéemets suivats : A : «la pièce extraite est ormale», A : «la pièce extraite est truquée»

8 Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F P : «o obtiet PILE au premier lacer», F : «o obtiet FACE aux premiers lacers» a) Calculer PP A et PP A b) E déduire P(P) Motrer que PF a) Sachat qu o a obteu FACE fois au cours des premiers lacers, quelle est la probabilité d avoir extrait la pièce truqué? b) Quelle est la limite de cette probabilité quad ted vers +? Solutio : a) PP A et PP A 0 0 b) P(P) = PP A PP A PF PF A PF A a) PA F P F A P F ; b) lim P A F 8

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