ARITHMETIQUE EXERCICES CORRIGES

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1 Exercice n 1. ARITHMETIQUE EXERCICES CORRIGES 5 1) Donner l écriture de a) A = 1 b) A = 1001 c) A = 1 ) Ecrire la suite des 10 premiers nombres entiers en base deux. En base quatre ) En base douze, on désigne par A le chiffre correspondant à 10, par B celui correspondant à 11. Ecrire la suite des cinq successeurs de BA 9. Exercice n. 1) Ecrire le nombre 5 en base deux. ) Soit A = 18. Ecrire A dans le système octal. Exercice n. Soit A = 501 en base 7. Ecrire A en base. Exercice n. A s écrit dans le système décimal et 7 dans un système de base a. Que vaut a? Exercice n 5. 1) Donnez tous les multiples de 7 (ou une expression ) ) Donnez tous les multiples de 1 ) Donnez tous les multiples de 0 ) Comment s écrivent les nombres pairs? les nombres impairs? 5) Trouver tous les diviseurs de 7. 6) Les nombres 1 et 18 sont-ils des diviseurs de 77? 7) Trouver un entier naturel qui soit diviseur de 8 sans être diviseur de 1. Exercice n 6. Combien y a-t-il de multiples de 17 entre et 500? Exercice n 7. 1) Déterminer le chiffre x pour que 5x soit divisible par 9. ) Déterminer le chiffre y pour que 5 y soit divisible par et. Exercice n 8. autres critères de divisibilité Partie A Montrer que est un multiple de 9 tandis que est un multiple de 11. Montrer que est un multiple de 9 tandis que + est un multiple de 11. D après vous une certaine propriété est elle vraie pour tout nombre de deux chiffres? Un nombre entier à deux chiffres cd est égal à c 10 + d. Soit a un entier à deux chiffres, et b l entier obtenu en intervertissant les chiffres de a. Montrer que a b est un multiple de 9, et que a + b est un multiple de 11. Partie B Soit n un entier à trois chiffres abc et m l entier à trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des unités. Montrer que n m est un multiple de 99. Exercice n 9. 1) Donnez les 0 premiers nombres premiers. ) 17 est il premier? 89 est il premier? 9 est il premier? Exercice n 10. Donner la décomposition en facteur premier de Exercice n 11. Décomposer 600 et 15 en produit de facteurs premiers, puis simplifier et 600 Page 1/1

2 Exercice n 1. L'entier 5... ( n 1) 1 n s'écrit n! et se lit «factorielle n». 1) Calculer 6! ) Quelle relation existe-t-il entre 7! et 6! ) En déduire une relation entre (n+1)! et n! ) À quelle puissance figure le nombre dans la décomposition en produits de facteurs premiers de (10!)? 5) Par combien de zéros se termine (10!)? et (100!)? Exercice n 1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b pour : a = 19 et b = 7 a = 86 et b = 9 a = 17 et b = 1 Exercice n 1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de 0 par 8. Peut-on en déduire, sans calculer de nouvelle division, le quotient et le reste de la 860 par 76? Exercice n 15. Nous étions vendredi 1 er septembre 006. Quel jour de la semaine serons nous le 1 er septembre 007? 1 er septembre 008? 1 er septembre 009? Exercice n personnes (élèves + professeurs) doivent être transportées dans des cars de 5 places. Combien faut-il de cars, et combien de personnes rempliront le car non plein? Exercice n 17. Déterminer l ensemble des diviseurs communs à 75 et 070 Exercice n 18. Si on divise 7 et 86 par un même nombre positif b on obtient 8 et 7 pour restes. Déterminer b. Exercice n 19. Déterminer le PGCD de 7 et et 8 et 7 1 et 6 Exercice n 0. 1) Deux nombres a et b sont premiers entre eux et leur somme est. Déterminer tous les couples (a, b) possibles. ) Déterminer tous les couples ( x ; y ) d'entiers naturels tels x + y = 96 et pgcd(x ; y) =. Exercice n 1. Deux voitures partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours d un même circuit. La voiture A fait le tour du circuit en 6 minutes et la voiture B en 0 minutes. 1) Y-a-t-il des moments (autres que le départ!) où les voitures se croisent sur la ligne de départ? ) Préciser le nombre de déplacement par laps de temps. Exercice n. Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de certaines pièces. 1) Le sol de la salle à manger est un rectangle de longueur,5 m et de largeur,75m. On veut carreler cette pièce avec des carreaux carrés de cm de côté. On commence la pose par un coin de la pièce comme le suggère la figure 1. Calculer le nombre de carreaux non découpés qui auront été posés. ) Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur,55 m et de largeur,85 m. On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans aucune découpe. a) Donner la liste des diviseurs de 55 puis la liste des diviseurs de 85. b) Donner la liste des diviseurs communs à 55 et 85. c) Quel est alors le plus grand côté possible des dalles carrées à utiliser pour carreler cette cuisine?. On dispose de dalles rectangulaires de longueur cm et de largeur 15 cm. a) Donner la liste des multiples de inférieurs à 00, puis la liste des multiples de 15 inférieurs à 00. b) Donner la liste des multiples communs à et 15, inférieurs à 00. c) Quelle serait la longueur du côté de la plus petite pièce carrée qui pourrait être carrelée avec un nombre entier de dalles de ce type, sans aucune découpe? Exercice n. On veut recouvrir une surface rectangulaire de,75 m sur,61 m avec des dalles carrées dont le côté mesure un nombre entier de centimètres. Quelle est la taille maximale de ces dalles? Exercice n. On dispose d'une feuille de papier. On découpe dans cette feuille le plus grand carré possible. Dans le morceau restant, on découpe encore le plus grand carré possible, et ainsi de suite... On continue à découper le plus grand carré possible jusqu'à ce que le morceau restant soit lui-même un carré. Quelle est la taille du dernier carré si les dimensions de la feuille initiale sont 19 cm sur 8 cm? Même question si les dimensions initiales sont deux entiers quelconques Page /1

3 Exercice n 5. Compléter les congruences suivantes : 7 mod ( 1) 7 mod ( 1) 15 mod ( 100) 715 mod ( 100) -5 mod ( 10) mod ( 10) Exercice n 6. 1) Compléter : 7 mod (10) 7 mod (10) 7 mod (10) 7 mod (10) ) En déduire 7 01 mod (10) puis 7 1 mod (10) ) Le premier janvier 000 était un samedi. Quel jour serons nous le 1 er janvier 100? ( 000, 00 sont bissextiles ) Exercice n 7. Trouver le reste de la division euclidienne par 17 du nombre Exercice n 8. Une application des congruences aux codages des billets de banque (Terminale L, juin 006) On admet qu on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu en divisant la somme de ses chiffres par 9. Par exemple : 875 = , le reste est donc = = 9+5, le reste est également 5. Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l alphabet habituel comportant 6 lettres. On obtient ainsi un nombre à 1 ou 1 chiffres et on cherche le reste de la ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8. Exemple : Code : s Rang dans l alphabet de la lettre s : 19. Nombre obtenu : Reste pour ce billet : 8 1) Le code u figure sur un billet de banque. a) Donner le nombre à 1 chiffres correspondant à ce code. b) Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 1 chiffres de ce nombre. c) Que peut-on dire de ce billet? ) Sur un billet authentique figure le code s x, x pour le dernier chiffre illisible. Montrer que x + est congru à 8 modulo 9. En déduire x. ) Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11 chiffres est 1610, mais la lettre qui les précède est effacée. On appelle n le rang dans l alphabet de la lettre effacée. a) Déterminer les valeurs possibles de n. b) Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée? Exercice n 9. Une application des congruences au calendrier (Terminale L, novembre 00 Une année bissextile compte 66 jours et une année non bissextile 65 jours. Une année est bissextile si son "numéro" est divisible par sauf s il s agit d un siècle. Les siècles, années dont le " numéro". se termine par deux zéros, ne sont, en général, pas bissextiles sauf si leur "numéro" est divisible par 00. Quelque exemples :1996 était bissextile, 1997 ne l était pas, 1900 non plus mais 00 le sera. 1) Trouver les deux entiers naturels a et b inférieurs ou égaux à 6 tels que 65 a (modulo 7) et 66 b (modulo 7). ) a) En supposant que le premier janvier d une année non bissextile soit un lundi, expliquer pourquoi le premier janvier de l année suivante sera un mardi. b) Si le 1 er janvier d une année bissextile est un lundi, quel jour de la semaine sera le 1 er janvier de l année suivante? N 57. ) Une période de quatre années consécutives compte N = jours. Sans calculer N, justifier que [ ] ) En supposant que le premier janvier d une année soit un lundi, quel jour de la semaine sera le premier janvier quatre ans plus tard? Expliquer la réponse. Plus généralement, pour une date donnée, (par exemple le 1er janvier), chaque période de années produit un décalage de cinq jours dans le cycle des jours de la semaine. 5. Compléter le tableau donné ci-dessous : Nombre de périodes de J = nombre de jours de décalage dans le Reste de la J par 7 quatre années cycle des jours de la semaine Page /1

4 6) a) Expliquer pourquoi l année 00 est bissextile. b) Sachant que le 9 février 00 était un dimanche, quel jour de la semaine sera le 9 février 008? Quel jour de la semaine sera le 9 février 01? Expliquer les réponses. c) Quelle sera la prochaine année où le 9 février sera un dimanche? Expliquer la réponse. Exercice n 0. codes barres (Terminale L, Nouvelle-Calédonie 00) Dans le système d identification des produits par codes à barres, un code est une succession de 1 chiffres. Il est précédé d une treizième chiffre appelé clé du code et qui sert à la vérification de la bonne saisie du code. Un code à barres est symbolisé par le tableau : R C 1 C C C C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C 10 C 11 C 1 R est la clé du code et C 1, C,, C 1 sont les chiffres du code. R, C 1, C,, C 1 sont donc des entiers compris entre 0 et 9. Les chiffres de rang impair (C 1, C,, C 11 ) sont dans les cases grisées, ceux de rang pair dans les cases blanches. La clé R est calculée de telle sorte que la relation suivante soit vérifiée : (somme des chiffres de rang impair)+(somme des chiffres de rang pair)+r 0 (modulo 10) 1) Sur l étiquette imprimée ci-contre on a R=, C 1 =1, C = 1 etc. Vérifier que le code de l étiquette ne contient pas d erreur. ) Calculer la clé correspondant au code suivant : R ) Montrer que les deux codes suivants correspondent à la même clé : R c 7 d R d 7 c ) Sur l étiquette ci-dessous, un des chiffres a été effacé et remplacé par la lettre a. Retrouver ce chiffre a ) Les deux premiers chiffres, b et c, de l étiquette ci-dessous ont été effacés. 1 b c Montrer que : c -b-1 (modulo 10) En déduire les valeurs possibles du couple (b ;c) Exercice n 1. Le numéro INSEE (Terminale L, Antilles 00) Le numéro INSEE est constitué de 15 chiffres. En lisant de gauche à droite: - le premier chiffre est 1 s il s agit d un homme et s il s agit d une femme ; - les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l année de naissance ; - les deux chiffres suivants désignent le mois de naissance ; - les deux chiffres suivants désignent le département de naissance ; - les trois chiffres suivants désignent la commune de naissance ; - les trois chiffres suivants désignent le numéro d inscription sur le registre d état-civil ; - les deux chiffres suivants désignent la clé K, calculée de la manière suivante : - soit A le nombre entier constitué par les 1 chiffres de gauche ; - soit r le reste de la division euclidienne de A par 97 ; - alors K = 97 - r. Les 1 premiers chiffres (sans la clé) du numéro INSEE de Sophie sont : On note A ce nombre et r le reste de la division euclidienne de A par 97. 1) Donner le mois de l année de naissance de Sophie. 6 6 ) a) Déterminer les deux entiers a et b tels que A= a 10 + b avec 0 b < 10 b) En utilisant le reste de 100 dans sa division euclidienne par 97, montrer que (modulo 97). c) En déduire le reste r de la division euclidienne de A par 97. ) Déterminer la clé K du numéro INSEE de Sophie. ) Sophie, à qui l on demande les treize premiers de son numéro INSEE, inverse les deux derniers chiffres et répond au lieu de On note B la réponse de Sophie. a) Calculer la différence B - A et en déduire que le reste de la division euclidienne de B par 97 est égal à 1. b) L erreur faite par Sophie peut-elle être détectée? Page /1

5 Exercice n. Critère de divisibilité (Terminale L, juin 00) Le but de l'exercice est de prouver pour les nombres à quatre chiffres, le critère de divisibilité : "Un nombre est divisible par si et seulement si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par " 1. Un exemple a) Pour un entier naturel n, que signifie la phrase "n est congru à 1 modulo "? Traduire à l'aide d'une congruence "n est divisible par ". b) Pour chacun des nombres suivants, donner l'entier positif le plus petit auquel il est congru modulo : 10, 100, 1 000, 10 p où p est un entier positif. c) Déterminer le plus petit entier positif auquel est congru le nombre 50 modulo. On remarquera que 50 = d) En utilisant la question b) trouver le reste de la 50 par.. Quelques généralisations On considère un entier N à quatre chiffres, quatre entiers a, b, c et d entre 0 et 9 tels que a 0 et N=1000a + 100b + 10c+d Le chiffre des unités est d, celui des dizaines c, des centaines b et des milliers a. a) Montrer que N a + b + c + d modulo. b) Justifier, pour les nombres à quatre chiffres, le critère de divisibilité par énoncé au début de l'exercice. c) Enoncer un critère analogue de divisibilité par 9 et le démontrer pour les nombres à quatre chiffres. Exercice n. Un autre critère de divisibilité (Terminale L, Liban 00) On note abcd =1000a+100b+10c+d l'écriture d'un nombre en base dix dont les chiffres sont a, b, c et d. 1) a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de 1000 par 11. b) Montrer que si un nombre entier n vérifie n 10 (mod 11) alors on peut aussi écrire n -1 (mod 11) c) En déduire que si ab cd est divisible par 11 alors a+b c+d est aussi divisible par 11. ) a) Les nombres du type abba sont-ils divisibles par 11? b) Pour quelle valeur de a, le nombre 1 a1 est- il divisible par 11? c) Pour quelle valeur de a, le nombre 9 a9 est- il divisible par 11? ) À quelles conditions les nombres du type aab sont-ils divisibles par 11? Exercice n. Sachant que n 5 [ ], prouver que n n est multiple de 5. Exercice n 5. (Antilles juin 00) 1) a) Montrer que 1999 est congru à modulo 7. b) Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 007 modulo 7. ) Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7. a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n modulo 7. b) En déduire que n +1 est divisible par 7. ) Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à modulo 7 alors n 1 est divisible par 7 ) On considère le nombre A = Sans calculer A, montrer que A est divisible par 7 Exercice n 6. (Terminale L Centres étrangers juin 00) Le but de cet exercice est de montrer que, pour tout entier naturel n non nul, le nombre A= n( n 1) est un multiple de 6 1) Dans chacun des cas suivants, calculer A et déterminer le reste dans la division euclidienne de A par 6. a) n=5; b) n=16; c) n=. ) On suppose maintenant que le reste de la division euclidienne de n par 6 est 5 ; on peut donc écrire n 5[mod 6]. a) Que peut-on en conclure pour (n-1) et (n+1)? b) Quel est le reste de la division euclidienne de ( n 1) par 6? c) Justifier alors que n( n 1) est un multiple de 6. Reste de la Reste de la Reste de la Reste de la ) Compléter le tableau suivant : ) Conclure n par 6 (n-1) par 6 Reste de la (n+1) par 6 (n 1) par 6 Division de n(n 1) par Page 5/1

6 Exercice n 1 1) a) A = = + + = b) CORRECTION A = = = c) A = 1 = = 5 ) En base deux : 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010 En base quatre : 0,1,,,10,11,1,1,0,1 ) Après BA9, on trouve BAA, BAB, BB0, BB1 et BB Exercice n 1) On divise 5 successivement par deux, jusqu à l obtention d un quotient nul. ) On divise 18 successivement par huit, jusqu à l obtention d un quotient nul. En recopiant la suite des restes, on obtient : ( 5) = ( ) 10 Exercice n On commence par convertir A = 501 de la base 7 à la base 10, ainsi convertit en base comme dans l exemple précédent Exercice n En recopiant la suite des restes, on obtient : 18 = 07 ( ) ( ) A = = 17, et on le 7 = a + 7 a = a+ 7) a 1 0 Si A s écrit 7 dans un système de base a, alors en le convertissant en base 10 : ( ) ( Si par ailleur A s écrit en base 10, on aura donc a+ 7 = a= 8 Exercice n 5 1) Les multiples de 7 sont tous les entiers de la forme 7n, où n ) Les multiples de 1 sont tous les entiers naturels! ) La liste des multiples de 0 est réduite à 0 (car pour tout entier n, n 0 = 0 ) ) Les entiers pairs sont multiples de, donc de la forme n, n. Les entiers impairs sont de la forme n + 1, n. 5) Les diviseurs de 7 sont : 1,,,,6,8,9,1,18,,6 et 7 6) Les nombres 1 et 18 sont des diviseurs de 77 car 77 = 1 1 et 77 = ) Par exemple ou 16 Exercice n 6 Les multiples de 17 sont tous les entiers de la forme 17n, où n. Les multiples de 17 entre et 500 sont donc les entiers tels que n 500 n. Puisque n, on a donc 59 n 17. Les multiples de compris entre et 500 sont donc les entiers de la forme 17n, avec 59 n 17. Il y en a donc = 89 Il y a donc 89 multiples de 17 entre 1000 et 500 Exercice n 7 1) 5x sera divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l est, c est-à-dire si et seulement 5+ + x + = 10+ x est divisible par 9. Mais puisque x est un chiffre compris entre 0 et 9, la seule 10 + x divisible par 9 est obtenue pour x = 8 ) 5 y sera divisible par et si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par et si et seulement le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par. La somme des chiffres vaut y+ = 1 + y, divisible par si y vaut 0,,6 ou 9. Mais si on veut que le nombre formé par ses deux derniers chiffres, à savoir y= 10y+ soit divisible par, seul y = 0 ou 6 conviennent. Page 6/1 10

7 Exercice n 8 autres critères de divisibilité Partie A = 18 est divisible par 9 et 86+68=15 est un multiple de 11 (car 15 = 1 11) - = 9 est divisible par 9 et +=55 est un multiple de 11 (car 55 = 5 11) Il semblerait que pour tout nombre cd, alors le nombre cd-dc soit divisible par 9, et que cd+dc soit divisible par 11 Si on note cd = c 10 + d un nombre à deux chiffres, alors cd dc ( c 10 d ) ( d 10 c) 10c d 10d c 9( c d ) De plus, cd dc ( c 10 d) ( d 10 c) 10c d 10d c 11( c d) = + + = + =, ce qui prouve que le nombre cd dc est divisible par 9 + = = = +, ce qui prouve que le nombre cd + dc est divisible par 11 Partie B Notons n= abc= a b 10 + c= 100a+ 10b+ c un nombre eniter à trois chiffres, et m= cba= c b 10 + a= 100c+ 10b+ a l entier à trois chiffres obtenus en permutant le chiffre des centaines et des unités. Alors n m = abc cba = 100a + 10b c ( 100c 10b a) 99( a c) = est divisible par 99. Exercice n 9 1) Les 0 premiers nombres premiers sont,,5,7,11,1,17,19,,9,1,7,1,,7,5,59,61,67 et 71 ) Pour tester la primalité d un nombre entier n, il faut tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n (arrondi à l entier inférieur). Ainsi : 17 n est pas premier car 17 = n est pas premier car 89 = est premier. Exercice n = = = = 11 Exercice n = et 15 = donc = = 5 7 = 5= 0 et n s'écrit n! et se lit «factorielle n». Exercice n 1 L'entier 5... ( n 1) 1) 6! = 6 5 1= 70 7! = = = 7 6! ) ( ) ) De manière générale ( n+ 1! ) = ( n+ 1 ) n! = 5 7 = 5 7 = 0 7 ) Pour obtenir la décomposition en facteurs premiers de 10!, il «suffit» de multiplier entre elles les décompositions en facteurs premiers des 10 entiers qui composent 10! Au niveau des puissances de ces nombres premiers, cela se traduit par une addition 1 Ainsi, dans la décomposition en produits de puissances de facteurs premiers de 1, ne figure pas. Dans celle de, y 1 1 figure. Dans celle de figure, dans celle de 6 figure, dans celle de 8 figure et enfin figure dans celle de 10. Au total, figure à la puissance =8 dans la décomposition en produits de facteurs premiers de 10! 5) Dans la «composition» de 10!, outre le nombre 10, le seul produit susceptible de fournir un zéro est le produit 5. On conclut que 10! se termine par deux zéros Dans la «composition» de 10!, outre les 10 nombres «dizaines» (de 10 à 100) qui fournissent donc 10 zéros, les seuls produits susceptibles de fournir un zéro chacun sont, au sein de chaque dizaine, le produit du nombre se terminant par par le nombre se terminant par 5, soit 10 zéros supplémentaires (du produit 5 au produit 9 95 ). Au total, ce sont 0 zéros qui termineront l écriture de 100! Exercice n 1 19 = a b q r a = + ( 16) b q r 17 = car il ne faut pas oublier que 0 r < b a b q r Exercice n 1 on calcule 0 = , puis en multipliant toute cette égalité par : ( ) a b q r 0 = = On en déduit donc que, dans la 860 par 76, le quotient vaut 11 et le reste. Page 7/1

8 Exercice n 15 Entre le 1 er septembre 006 et le 1 er septembre 007 s écouleront 65 jours (car 007 n est pas bissextile). Or 65 = , donc s écouleront 5 semaines et 1 jour, faisant tomber le 1 er septembre 007 un samedi. Entre le 1 er septembre 007 et le 1 er septembre 008 s écouleront 66 jours (car 008 est bissextile). Or 66 = 7 5 +, donc s écouleront 5 semaines et jours, faisant tomber le 1 er septembre 008 un lundi. Entre le 1 er septembre 008 et le 1 er septembre 009 s écouleront 65 jours (car 009 n est pas bissextile). Or 65 = , donc s écouleront 5 semaines et 1 jour, faisant tomber le 1 er septembre 009 un mardi. Exercice n 16 La division euclidienne de 15 par 5 fournit 15 = Le transport nécessitera donc 7 cars «pleins» et un 8 ème car occupé par 0 personnes Exercice n 17 Les diviseurs de 75 sont 1,,5,15,5,75,15 et 75 Les diviseurs de 070 sont 1,,,5,6,9,15,18,,0,5,6,69,90,115,18,0,1,690,5,105,070 L ensemble des diviseurs communs à 75 et 070 est donc 1,,5,15,18,1,690,070 Exercice n 18 On écrit les deux division euclidiennes 7 = b q1 + 8 et 86 = b q + 7, donc simultanément b q 1 = 7 8 = 65 et b q = 86 7 = 819. b est donc un diviseur commun à 65 et à 819. Un rapide examen de la liste des diviseurs des deux nombres permet de conclure que b = 9 Exercice n 19 On effectue les divisions euclidiennes successives 6711 = puis 7 = puis 988 = puis 75 = puis = puis 15 = 1 1+ puis 1 = + 0. Le dernier reste non nul étant, le PGCD de 6711 et 7 est. dernier reste non nul = De la même manière, 1 puis dernier reste non nul De la même manière, 7= + 1 puis 1 0 dernier reste non nul On dit que les nombres sont premiers entre eux. Enfin, puisque 1 = divise 1 donc le PGCD de 1 et 6 est 6. = +. Le dernier reste non nul étant, le PGCD de 1 et 8 est. = +. Le dernier reste non nul étant 1, le PGCD de 7 et est 1. Exercice n 0 1) Parmi les couples d entiers n ayant pas de diviseur commun (autre que 1) et dont la somme vaut, il y a a= 1; b= a= 5; b= 19 a= 7; b= 17 a= 11; b= 1 ) Si pgcd(x ; y) =, alors divise x et y, donc x = n et y = m où m et n sont des entiers premiers entre eux (sinon ne serait pas le pgcd de x et y. Puisque x + y = 96, on en déduit donc ( ) Il nous faut donc déterminer les couples d entiers ( ; ) n+ m = 96 n+ m= nm premiers entre eux tels que n+ m=. Ceci ayant été fait dans la question 1), on conclut que n= 1; m= ou n= 5; m= 19 ou n= 7; m= 17 ou n= 11; m= 1, donc en multipliant par : x= ; y = 9 ou x= 0; y = 76 ou x= 8; y = 68 ou x = ; y = 5 Exercice n 1 1) Les voitures se croiseront pour la première fois (depuis le départ) au bout d un temps égal à PPCM(0,6) Pour calculer PPCM(0,6), deux solutions sont envisageables : PGCD 0;6 PPCM 0;6 = 0 6, on en déduira - soit on calcule PGCD(0 ;6), qui vaut 6 et puisque ( ) ( ) 0 6 PPCM ( 0;6) = = soit on utilise la décomposition de 0 et 6 en produits de facteurs premiers, à savoir 0 = 5 1 et 6 =, et 1 on calcule, grâce aux maximum des puissances, PPCM (0;6) = 5 = 180 Les deux voitures se croiseront donc au bout de 180 minutes, ce qui représente 5 tours pour la voiture A et 6 tours pour la voiture B. ) Toutes les 180 minutes ( heures), la voiture A parcourt 5 tours, et la voiture B 6 tours. Page 8/1

9 Exercice n 1) Puisque 5 = et 75 = 11+ 1, il faut un peu plus de 1 carreaux en longueur et un peu plus de11 carreaux en largeur, donc un nombre de carreaux non coupés égal à 11 1 = 1 ) a) Les diviseurs de 55 sont 1,5,7,1,5,65,91 et 55. Les diviseurs de 85 sont 1,5,7,11,55,77 et 85 b) L ensemble des diviseurs communs à 55 et 85 est donc 1,5 et 7. c) On peut donc utiliser des dalles de côté 7 cm pour carreler la cuisine. Il en faudra 65 en longueur et 55 en largeur. ) a) La liste des multiples de inférieurs à 00 est,8,7,96,10,1,168,19,16,0,6,88,1,6,60 et 8. La liste des multiples de 15 inférieurs à 00 est : 15,0,5,60,75,90,105,10,15,150,165,180,195,10,5,0,55,70,85,00,15,0,5,60 et 75 b) La liste des multiples communs à et 15, inférieurs à 00 est donc 10,0 et 60. c) On pourrait donc carreler une pièce carrée de 60 cm (soit m60) de côté avec des carreaux de longueur cm et de largeur 15 cm. Exercice n Il faut déterminer PGCD(61;75). On effectue les divisions euclidiennes successives : 75 = = puis 11 = Le dernier reste non nul étant 19, le PGCD de 75 et 61 est 19. dernier reste non nul A l aide de dalles carrées de 19 cm de côté, on peut donc carreler une surface rectangulaire de,75 m sur,61 m (il faudra 19 dalles en longueur et 5 en largeur, soit un total de 75 dalles en tout. Exercice n La taille du dernier carré sera PGCD(8 ;19)=1 De manière générale, si on note x et y les dimensions de la feuille initiale, la taille du dernier carré sera PGCD(x ;y). Exercice n mod (1) car le reste de la 7 par 1 est 11. De même 15 5 mod ( 100) mod (100) -5 5 mod ( 10) mod (10) Exercice n 6 1) 7 7 mod (10), 7 9 mod (10), 7 mod (10) et 7 1 mod (10) ) Puisque , on a donc + = + ( 7 ) (10), donc mod(10) 0 7+ Puisque 0 7, , alors = 7 =. Puisque 7 7 = + = = ( ) 7 ( ) () mod (10), alors ( ) () 7 1 = 1 mod (10), donc mod(10) puis 7 1 = 1 mod ) Une année non bissextile contient 65 jours. Une année bissextile en contient 66. Entre 000 et 100, il y a 5 années bissextiles et 75 années non bissextiles, soit un total de 655 jours. Puisque 655 = , (mod7), d où un décalage de 6 jours par rapport au 1 er janvier 000. Le 1 er janvier 100 sera donc un vendredi. Exercice n 7 1) Puisque , on établit que 169 = = [ 17], donc 00 1 [ 17], c est-à-dire 0 169[ 17] + donc [ 17] 1[ 17] et par suite 00 1[ 17] En décomposant 59 comme , on a donc 69 ( ) [ ] [ ] [ 17] = + ( ) Or 00 = 00 = 00 00, donc. Le reste de la division euclidienne par 17 du nombre est donc égal à. Exercice n 8 Une application des congruences aux codages des billets de banque (Terminale L, juin 006) 1) a. Le nombre à 1 chiffres correspondant à ce code est b. La somme des 1 chiffes de ce nombre vaut =50. En divisant cette somme par 9, le quotient vaut 5 et le reste vaut 5 c. Ce billet est donc faux. ) Le rang dans l alphabet de la lettre s étant 19, la somme des chiffres vaut x = +x Or si ce billet est vrai, le reste de la cette somme par 9 vaut 8, donc cette somme est congrue à 8 modulo 9. Puisque l entier x est compris entre 0 et 9, seul x = permet d avoir une somme égale à, dont la division par 9 assure un reste égal à 8 ) a) n est compris entre 1 et 6 b) La somme des 11 chiffres valant =7, somme divisible par 9, seule une somme des chiffres du rang de la lettre égale à 8 conviendra. Il peut s agir de la 8 ème lettreh ou de la 6 ème lettre Z Page 9/1

10 Exercice n 9 Une application des congruences au calendrier (Terminale L, novembre 00 1) 65 1 (modulo 7) et 66 (modulo 7) car les restes dans les divisions de 65 et 66 par 7 sont respectivement égaux à 1 et. ) Entre le premier janvier d une année non bissextile et le premier janvier suivant s écoulent 65 jours, soit 5 semaines et 1 jour d après la congruence 65 1 (modulo 7). Il en résultera un décalage de 1 jour, et le premier janvier de l année suivante sera donc un mardi. b) Le même raisonnement conduit à un décalage de deux jours entre le premier janvier d une année bissextile et le premier janvier de l année suivante, qui sera donc un mercredi. ) Puisque 65 1 (modulo 7) et 66 (modulo 7), alors N = [ ] [ ] ) Le même raisonnement que dans la question ) conduit à un décalage de cinq jours jours entre le premier janvier d une année et le premier janvier quatre ans plus tard, qui sera donc un samedi 5) Compléter le tableau donné ci-dessous : Nombre de périodes de J = nombre de jours de décalage Reste de la division quatre années dans le cycle des jours de la semaine de J par ) a) L année 00 est bissextile car son millésime est divisible par ( = ) et non séculaire. b) En quatre ans, un décalage de 5 jours se produit, donc le 9 février 008 sera décalé de 5 jours par rapport au 9 février 00, donc sera un vendredi. En 01, deux périodes de ans s étant écoulées depuis 008, le décalage sera de trois jours et le 9 février 01 sera donc un mercredi. c) Pour que le 9 février soit un dimanche, il faut qu il n y ait pas de décalage par rapport à l année 008, soit au bout de 7 cycles de ans, c est-à-dire de 8 années. Ce sera donc en 06 Exercice n 0 codes barres (Terminale L, Nouvelle-Calédonie 00) 1) La somme des chiffres de rang impair est =8. La somme des chiffres de rang pair est = Ainsi (somme des chiffres de rang impair)+(somme des chiffres de rang pair)+r= (8)++=110 0 mod 10 ) La somme des chiffres de rang impair est =. La somme des chiffres de rang pair est =17 Ainsi (somme des chiffres de rang impair)+(somme des chiffres de rang pair)+r= ()+17+R=8+R 0 mod 10 si et seulement si R=7. La clé de ce code est donc égale à 7. ) Pour les deux codes, la somme (somme des chiffres de rang impair)+(somme des chiffres de rang pair)+r vaut ( )+(c+d++5++6)+R =8+c+d+R ) Pour ce code, la somme (somme des chiffres de rang impair)+(somme des chiffres de rang pair)+r vaut ( )+(9++a+0++1)+8=85+a. Pour que ce code soit congru à 0 modulo 10, il faut et il suffit que a=5 5) Pour ce code, la somme (somme des chiffres de rang impair)+(somme des chiffres de rang pair)+r vaut , et puisque la somme est congru à 0 modulo 10, (b )+(c )+1=b+c+101 Puisque [ ] alors b+ c [ 10] b c 1 0[ 10] c b 1[ 10] + +. Les couples (b ;c) solution de cette équation sont b= 0; c= 9 b= 1; c= 6 b= ; c= b= ; c= 0 b= ; c= 7 b= 5; c= b= 6; c= 1 b= 7; c= 8 b= 8; c= 5 b= 9; c= Exercice n 1 Le numéro INSEE (Terminale L, Antilles 00) 1) Sophie est né lors du mois 07, c est-à-dire en juillet 6 ) a) Si on note a = et b = 1808, alors A= a 10 + b 6 b) Puisque 10 = 100 [ 97], alors 10 = 10 = ( ) [ ] 6 7[ 97] [ 97] [ 7] 10[ 97] [ c) Puisque 10, ainsi que a = et b = , on a alors A ]. Le reste r de la division euclidienne de A par 97 vaut donc 8 ) La clé K du numéro INSEE de Sophie vaut donc K = 97 8 ) La différence vaut 6. Puisque B A 6 B A 6, on aura B A ]. Le reste de la division = = + [ ] [ ] [ ] [ euclidienne de B par 97 est égal à 1. b) La clé K du numéro B que Sophie a saisi vaut donc K = 97 1 = 76, ce qui permet à Sophie de détecter l erreur Page 10/1 [ ]

11 Exercice n Critère de divisibilité (Terminale L, juin 00) 1) Un exemple a) Pour un entier naturel n, la phrase "n est congru à 1 modulo " signifie que le reste de la division par de n vaut 1 n 0 "n est divisible par " se traduira par [ ] b) Chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p où p est un entier positif, est congru à 1 modulo c) Puisque 50 = , alors [ ] [ ] [ ] d) Ainsi, le reste de la 50 par vaut ) Quelques généralisations a) Puisque N=1000a + 100b + 10c+d, et puisque 10, 100 et sont congrus à 1 modulo, alors N a 1+ b 1+ c 1+ d 1 a+ b+ c+ d. [ ] b) Un nombre de quatre chiffres étant congru, modulo trois, à la somme de ses chiffres, il sera divisible par trois si et seulement si il est congru à 0 modulo, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est congrue à 0 modulo, donc si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par. c) De manière analogue, un nombre de quatre chiffres est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l est, car de la même manière que dans la question 1) b), chacun des entiers 10, 100, 1 000, 10 p où p est un entier positif, est N a 1+ b 1+ c 1+ d 1 a+ b+ c+ d 9. congru à 1 modulo 9, donc un nombre N=1000a + 100b + 10c+d vérifiera [ ] Exercice n Un autre critère de divisibilité (Terminale L, Liban 00) 1) a) Le reste de la division euclidienne de 100 par 11 est 1 car 100 = Le reste de la division euclidienne de 1000 par 11 est 10 car 1000 = b) Si un entier n vérifie n 10 (mod 11), alors puisque 0 11 (mod 11), en soustrayant les deux congruences, on obtient n (mod 11) c est-à-dire n -1 (mod 11) c) Le nombre abcd = a b c 10 + d 1 est divisible par 11 si et seulement si il est congru à zéro modulo 11. Or (mod 11), donc 10-1 (mod 11). De plus (mod 11), donc (mod 11). Finalement abcd = a b c 10 + d 1 a 1 + b 1+ c 1 d 1 11 abcd a + b c + d 11. ( ) ( ) + [ ], c est-à-dire [ ] Le nombre abcd sera divisible par 11 si et seulement si il est congru à 0 modulo 11, donc si et seulement si alors a+b c+d est aussi congru à 0 modulo 11, donc si et seulement si a+ b c+ d est divisible par 11. ) a) On calcule a b b a 0. Comme + + =, on conclut d après la question 1) c) qu un nombre + + = a b b a 0 0[ 11] de la forme abba est divisible par 11. b) Le nombre 11 est divisible par 11 si et seulement si a a+ 0[ 11] a 0[ 11] congruence ne peut être vérifiée que si et seulement si a = c) Le nombre 9 9 Page 11/ Comme 0 a 9, cette a est divisible par 11 si et seulement si a+ 0[ 11] 18 a 0[ 11] congruence ne peut être vérifiée que si et seulement si a = Comme 0 a 9, cette ) Un nombre du type aab est divisible par 11 si et seulement si b [ ] b [ congruence ne peut être vérifiée que si et seulement si b = 0 n 5 [ ] [ ] [ ] 5, c est-à- Exercice n Si, alors 18 5 dire n n 0[ 5], ce qui signifie que n n est divisible par 5. Exercice n 5 (Antilles juin 00) 1) a) Puisque , on en déduit que a a ]. Comme 0 b 9, cette n = 5. En soustrayant les congruences, n n [ ] = + [ ] b) Le nombre entier 5 est congru à 007 modulo 7 car 007 = ) a) Si 57, alors n 7 (car 5 = 7 + ), et par suite n [ ] n = [ ] donc [ ] 57 [ ] 07 [ ] 67 [ ] car = +. Finalement n 67 [ ] n 67 [ ] n [ 7] 7[ 7] 0[ 7] donc n + 1 est divisible par 7. n 7 [ ] = 167 [ ] 7 [ ] = 7 +, donc par suite n n n [ 7] 8[ 7] 1[ 7] +. Ainsi n 1 1 1[ 7] 0[ 7] donc n 1 est divisible par [ 7 ], alors n n n = b) Si alors ) Si, alors n car 16 8= ) On écrit A = ( ) + ( + ). Puisque 007 5[ 7 nombre A, est divisible par 7 = = car est divisible par 7 (question ). De plus ], donc est divisible par 7 (question b). Ainsi la somme , c est-à-dire le

12 Exercice n 6 (Terminale L Centres étrangers juin 00) 1) a) Si n=5 alors A = 5(5 1) = car 10 = 6 0 [ ] [ ] [ ] b) Si n=16 alors A = 16(16 1) = car 080 = c) Si n= alors A = ( 1) = car 76 = ) a) Si n 5[mod 6], alors n 1 [mod 6] et n [mod6] b) Puisque n 1= ( n 1)( n+1 ), 1 0 0[ 6] c) Si n 1 0[ 6], alors n( n 1) n 0 0[ ] donc ) Reste de la n par 6 Reste de la (n-1) par 6 n =, donc = 6 ( 1) Reste de la (n+1) par 6 n 1 est divisible par 6. n n est divisible par 6. Reste de la (n 1) par 6 Reste de la Division de n(n 1) par [ 6] [ 6] ) Ayant examiné tous les restes possibles de la n par 6, on a ainsi démontré que quel que soit l entier n, n( n 1) est divisible par 6. Page 1/1

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