Chapitre 2 : TRIGONOMETRIE

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1 Chapitre 2 : TRIGNMETRIE Comment déterminer des distances par triangulation? Quelle est l origine du radian? Comment définir le sinus et le cosinus d un angle? Comment modéliser une tension électrique? Capacités connaissances -Placer, sur le cercle trigonométrique, le point M image d un nombre réel x donné. -Déterminer graphiquement, à l aide du cercle trigonométrique, le cosinus et le sinus d un nombre réel pris parmi les valeurs particulières. -Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée du cosinus et du sinus d un nombre réel donné. -Réciproquement, déterminer, pour tout nombre réel k compris entre -1 et 1, le nombre réel x tel que cos x = k ou sin x = k. -Passer de la mesure en degré d un angle géométrique à sa mesure en radian et réciproquement. -Construire point par point, à partir de l'enroulement de R sur le cercle trigonométrique, la représentation graphique de la fonction sin x. -Établir des liens entre le vecteur de Fresnel d une tension ou d une intensité sinusoïdale de la forme a sin( t + ) et la courbe représentative de la fonction qui à t associe a sin( t + ). -Cercle trigonométrique. -Image d un nombre réel x donné sur le cercle trigonométrique. -Cosinus et sinus d un nombre réel. -Propriétés :sin²x + cos²x =1 -Les mesures en degré et en radian d un angle sont proportionnelles ( radians valent 180 degrés). -Courbe représentative de la fonction sin x -Représentation de Fresnel d une grandeur sinusoïdale.

2 I) Comment déterminer des distances par triangulation? 1) vec un triangle rectangle n désire déterminer la distance Calais-Douvres B ainsi que la distance Cap gris Nez-Douvres C. n connaît la distance Calais- Cap gris Nez BC=20 km ainsi que la valeur de l angle CB = Le triangle (BC) est rectangle en C Donner les relations trigonométriques dans (BC) B En déduire les distances B et C C 2) Dans un triangle quelconque a) Problème : n désire déterminer la distance entre la Terre et la Lune. 2 observateurs se situant en et en B mesure la valeur de l angle entre la verticale ( le zenith ) et la planète. Les valeurs sont B = 5000 km, ( B)= =0.5 et (B) = Les relations utilisées en 1) sont-elles utilisables? Pourquoi? b) Recherche d une relation dans le triangle (B) n considère un triangle quelconque (BC) Déterminer les valeurs suivantes c a b c B C b C a B Dans le triangle (BC),exprimer B en fonction de (C) et de a Dans le triangle (B),exprimer B en fonction de () et de c En déduire une relation entre (C), (), a et c vec la même démarche, proposer une relation entre (C), (B), b et c Dans un triangle (BC) on a la relation Vérification c) Retour au problème Etablir une relation dans le triangle (B) et calculer la distance B La distance Terre-Lune est de

3 II) Quelle est l origine du radian? 1) Le cercle trigonométrique et le radian Les grecs ont beaucoup étudiés les angles pour l astronomie.le point de départ de leurs études est : n a représenté un cercle trigonométrique à l échelle 4/1.vec votre règle, placer le point R tel que la longueur de l arc (R) = 1 soit sur le dessin n définit le radian comme P Mesurer la longueur de l arc (P) = n définit 2) Relation entre le radian et le degré Compléter le tableau Longueur De l arc R Cercle entier Demicercle Tiers de cercle Quart de cercle Sixième de cercle Mesure de (R) En radians Mesure de (R) En degré Conversion entre le radian et le degré Exercice : Exprimer /8 en degré - /4 en degré 120 en radian

4 III) Comment définir le sinus et le cosinus d un angle? 1) Définition Soit le point M du cercle trigonométrique tel que (M) = /3 Déterminer les coordonnées de M la calculatrice, calculer cos /3 = et sin /3 = Comparer les valeurs P Dans un repère orthonormé associé au cercle trigonométrique, soit un point M sur le cercle trigonométrique défini par sa valeur d angle a Le cosinus de a est Le sinus de a est 2) Propriétés a) Quel que soit la position du point M, entre quelles valeurs l abscisse et l ordonnée de M restent-elles comprises? b) 3) Valeurs particulières Valeur de l angle a Cos a Sin a Calculs éventuels

5 4) Recherche d angle a) Résolution de l équation cos x = k sur [ - ] n cherche à résoudre l équation cos x = -0,6 sur [ - ]. Déterminer graphiquement la solution de l équation en utilisant le cercle trigonométrique n trouve x = l aide de la calculatrice, résoudre l équation Pour retrouver la valeur d un angle à partir de son cosinus, P b) Résolution de l équation sin x = k sur [ - ] n cherche à résoudre l équation sin x = 0,7 sur [ - ]. Déterminer graphiquement la solution de l équation en utilisant le cercle trigonométrique n trouve x = l aide de la calculatrice, résoudre l équation Pour retrouver la valeur d un angle à partir de son sinus, IV) Comment modéliser une tension électrique? 1) Représentation de la fonction sinus n désire construire la représentation graphique de la fonction sinus sur l intervalle [0 ; 2 ] n obtient une Calculer sin( et sin( n a La fonction sinus est

6 n peut utiliser la fonction sinus pour modéliser les tensions électriques. Pour cela on définit la fonction U telle que U(t) = xsin ( Bt+C).Reste à définir physiquement, B et C 2) Modélisation d une tension a) Que représente? Soient 2 fonctions f et U où U correspond à une tension électrique Trouver la relation entre f et U Donner le maximum de U quoi correspond elle physiquement? Donc U(t) = b) Que représente B? n représente les fonctions suivantes : f(t) = sin(t) g(t) = sin(2t) h(t) = sin(4t) Déterminer les périodes de chaque fonction Valeur de B Période en fonction de En déduire une relation entre B, T et. B est appelé Donc U(t) = c) Que représente C? n représente sur GéoGébra 2 fonctions : sin(t) et sin(t+ /2) Qu observez vous? C est appelé d) Conclusion Toute tension sinusoïdale peut être modélisée par la fonction U(t) =