Accompagnement n 1 : Equations 2d degré, tableau de signes, équation de droite, nombre dérivé, tangente, dérivée

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1 Accompagnement n : Equations d degré, tableau de signes, équation de droite, nombre dérivé, tangente, dérivée ) Equations du d degré et tableau de signes f() = a + b + c (avec a ) Δ =... Si Δ... alors l équation f() = n a pas de solution et on a le tableau de signes suivant : signe de f() = a + b + c signe de... Si Δ... alors l équation f() = a une unique solution égale à... On a le tableau de signes suivant : signe de f() = a + b + c signe de... signe de... Si Δ... alors l équation f() = a deu solutions et égales à... et... On a le tableau de signes suivant: signe de f() = a + b + c signe signe signe de opposé à de Application : Eercice Dans chacun des cas, dresser le tableau de signes de la fonction f définie sur Y par : ) f() = ) f() = + 7 ) f() = 6 + 4,5 4) f() = 5 + 9

2 ) Equation de droite, nombre dérivé, tangente Soit d une droite d'équation y = a + b b est l ordonnée à l origine y a est le coefficient directeur ou pente a = variation verticale variation horizontale b Application : Eercice Dans chacun des cas suivants, déterminer graphiquement l'équation des droites D, D et D. Eercice La fonction f est connue par sa courbe c et quelques tangentes (voir figure ci-contre): y a) L'image de est égale à... b) Le coefficient directeur de la tangente à c au point d'abscisse 6 est égal à... c) f () =... d) f(4) =... e) f (8) =... f) f() =... g) f(8) =... h) f (4) =... i) Le nombre dérivé de la fonction f en est égal à c

3 Eercice 4 La courbe c ci-contre représente une fonction f définie sur Y. La droite Δ est tangente à la courbe c au point A d'abscisse. La droite d est tangente à la courbe c au point B d'abscisse. ) Déterminer graphiquement les valeurs des nombres suivants: a) f() b) f () c) f( ) Δ c d) f ( ) d ) Donner une équation de la droite d. ) Calculer une équation de la droite Δ. ) Dérivées Eercice 5 Calculer f () dans chacun des cas suivants : a) f() = b) f() = c) f() = ( 4)( + 7) d) f() = e) f() = f) f() = g) f() = + 5 +

4 Accompagnement n : Corrigé ) Equations du d degré et tableau de signes f() = a + b + c (avec a ) Δ = b 4ac Si Δ < alors l équation f() = n a pas de solution et on a le tableau de signes suivant : signe de f() = a + b + c signe de a Si Δ = alors l équation f() = a une unique solution égale à On a le tableau de signes suivant : b a signe de f() = a + b + c signe de a signe de a Si Δ > alors l équation f() = a deu solutions et égales à On a le tableau de signes suivant: b + b et a a signe de f() = a + b + c signe signe signe de opposé à de a a a Eercice ) f() = a = 4 b = 4 c = 8 Δ = ( 8) = = 44 Δ > donc l équation f() = a deu solutions égales à = = = et = = = signe de f() + + ) f() = + 7 a = b = c = 7 Δ = 4 ( ) 7 = + 4 = 4 Δ > donc l équation f() = a deu solutions égales à = = et 6 ( ) 4 8 = = 6 ( ) signe de f() +

5 ) f() = 6 + 4,5 a= b = 6 c = 4,5 Δ = ( 6) 4 4,5 = 6 6 = Δ = donc l équation f() = a une solution égale à ( 6) 6 = = 4 signe de f() + + 4) f() = a= b = 5 c = 9 Δ = ( 5) 4 9 = 5 8 = 8 Δ < donc l équation f() = n a pas de solution signe de f() + ) Equation de droite, nombre dérivé, tangente Eercice Graphique de gauche : D : y = 4 Graphique de droite : + 4 D : y = D : y = + D : y = c est à dire y = D : y = D : y = Eercice a) L image de est égale à b) Le coefficient directeur de la tangente à c au point d'abscisse 6 est égal à c) f () = 4 (coefficient directeur de la tangente au point d abscisse ) d) f(4) = e) f (8) = (coefficient directeur de la tangente au point d abscisse 8, laquelle est horizontale) f) f() = 5 g) f(8) = h) f (4) = i) Le nombre dérivé de la fonction f en est égal à (coefficient directeur de la tangente au point d abscisse ) Eercice 4 ) a) f() = b) f () = c) f( ) = 4 d) f ( ) = ) d: y =

6 ) L équation de Δ est y = f (a)( a) + f(a) avec a = y = f ( )( + ) + f( ) y = ( + ) + 4 y = y = + 7 ) Dérivées Eercice 5 a) f () = + 8 = b) f () = = c) f est de la forme uv donc f est de la forme u v + uv avec u() = 4 u () = 6 v() = + 7 v () = f () = 6( + 7) + ( 4) f () = f () = d) f est de la forme u v donc f est de la forme u 'v uv' v avec u() = 4 + u () = 4 v() = 5 v () = 4( 5) ( 4 + ) 8 8 f () = = = ( ) ( ) ( ) e) f est de la forme u v donc f est de la forme u 'v uv' v avec u() = v() = ( + 4) ( + ) f () = = = ( ) ( ) ( ) u () = v () = f) f est de la forme u v donc f est de la forme u 'v uv' v avec: u() = u () = v() = + v () = ( )( ) ( ) donc f () = = + + f () = ( + ) ( ) ( )

7 g) f est de la forme u + v w donc f est de la forme v'w vw ' u ' + avec: u() = w u () = on réduit au même v()= 5 dénominateur v () = w() = + w () = ( + ) 5 5 ( + ) 5 ( + + ) 5 donc f () = + = + = + = f () = ( ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( )