Dérivation Etude de fonctions Tangente

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1 Dérivation Etude de fonctions Tangente - Calculer une dérivée 7 exercices - Etudier le signe d une expression (du 1 er degré, 2 nd degré, 3 e degré) 12 exercices - Etudier les variations d une fonction 10 exercices - Calculer une équation de tangente (et tracer cette tangente) 7 exercices - Lecture graphique 4 exercices - Etudes de fonctions 5 exercices - 1 -

2 - Calculer une dérivée Pour les exercices 1 à 7, calculer f (x) 1 f (x) = 3 4x 2 + 3x 7 2 f (x) = 2x 4 3x f (x) = -x 5 + 2x 4 2x 3 + 4x 4 f (x) = 5 f (x) = 2x 1 3x 5 4x 2 1 2x 3 6 f (x) = 7 f (x) = x 2 x x 2 - Etudier le signe d une expression (du 1 er degré, 2 nd degré, 3 e degré) Pour les exercices 1 à 12, étudier le signe de l expression donnée (Dresser le tableau de signes) 1 3x x 6 3-4x x x 2 10x x 2 12x x 2 + 3x x x 3 9 x x 3 3x x 3 + 4x 2 2x x 3 x 2 28x Commencer par déterminer une racine évidente - Etudier les variations d une fonction On pensera à vérifier les résultats obtenus à l aide de la calculatrice ou d un logiciel de géométrie Pour les exercices 1 à 10 : - Calculer f (x) ; - Etudier le signes de f (x) (Dresser le tableau de signes de f (x)) - En déduire le tableau de variations de f 1 f est la fonction définie sur R par f (x) = 2x 2 6x f est la fonction définie sur R par f (x) = -0, 2 3x f est la fonction définie sur R par f (x) = x 3 + 3x 2 3x 4 4 f est la fonction définie sur R par f (x) = -2x 3 + 7x 2 12x f est la fonction définie sur R par f (x) = x 3 6x x 18 6 f est la fonction définie sur R par f (x) = -4x 3 6x 2 3x f est la fonction définie sur R par f (x) = x 3 + 6x 2 3x 2 8 f est la fonction définie sur R par f (x) = x 4 + 2x 3 3x 2 4x 20 3x f est la fonction définie sur R\{ } par f (x) = 2 4x 3 10 f est la fonction définie sur R\{2} par f (x) = 2 x 2 3x 6-2 -

3 - Calculer une équation de tangente (et tracer cette tangente) 1 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 2x 1 et sa courbe représentative - Calculer f (x) - Calculer f (2) et f (2) - En déduire l équation réduite de la tangente T à la courbe au point A d abscisse 2 - Placer A dans le repère de la page suivante, puis tracer T 2 Soit g la fonction définie sur R par g (x) = 0, et C g sa courbe représentative - Calculer g (x) - Calculer l équation réduite de la tangente T à la courbe C g au point B d abscisse 2 - Placer B dans le repère de la page suivante, puis tracer T 3 Soit h la fonction définie sur R par h (x) = x et C h sa courbe représentative - Calculer l équation réduite de la tangente T à la courbe C h au point C d abscisse 1 - Placer C dans le repère de la page suivante, puis tracer T 4 Soit k la fonction définie sur R par k (x) = x et C k sa courbe représentative - Calculer l équation réduite de la tangente T 2 à la courbe C k au point D d abscisse 2 - Calculer l équation réduite de la tangente T 3 à la courbe C k au point E d abscisse 3 - Placer D et E dans le repère de la page suivante, puis tracer T 2 et T Soit p la fonction définie sur R\{ } par p (x) = 2 2x 1 7 et C p sa courbe représentative - Calculer l équation réduite de la tangente T à la courbe C p au point F d abscisse -1 - Calculer l équation réduite de la tangente T à la courbe C p au point G d abscisse 2 - Placer F et G dans le repère de la page suivante, puis tracer T 2 et T 3 8x 2 et C q sa courbe représentative x Calculer l équation réduite de la tangente T à la courbe C q au point M d abscisse -1 6 Soit q la fonction définie sur R par q (x) = - Calculer l équation réduite de la tangente T à la courbe C q au point N d abscisse 1 - Placer M et N dans le repère de la page suivante, puis tracer T et T 8 et C m sa courbe représentative 2x 2 - Calculer l équation réduite de la tangente T à la courbe C m au point P d abscisse 0 7 Soit m la fonction définie sur R\{1} par m (x) = - Il existe un point Q de la courbe C m pour lequel la tangente T à C m est parallèle à T Déterminer les coordonnées de Q et l équation réduite de T - Placer P et Q dans le repère de la page suivante, puis tracer T et T - 3 -

4 1 2 3 C h 4 C g C k C p C q C m - 4 -

5 - Lecture graphique Dans les exercices suivants, on considère une fonction f et sa courbe représentative et une ou des tangentes à cette courbe 1 Par lecture graphique déterminer f (1), f (1) et l équation réduite de la tangente au point d abscisse 1 2 Par lecture graphique déterminer f (1), f (1) et l équation réduite de la tangente au point d abscisse 1 3 Par lecture graphique déterminer f (2), f (2) et l équation réduite de la tangente au point d abscisse 2 4 Par lecture graphique déterminer f (-4), f (-4), f (2) et f (2) et les équations réduites des tangentes au points d abscisse -4 et 2-5 -

6 - Etudes de fonctions 1 D après BAC STMG (PONDICHÉRY Mai 2018) Une usine peut produire en un mois entre 0 et 50 machines agricoles On a modélisé le bénéfice de l entreprise, exprimé en milliers d euros, par la fonction f définie pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0 ; 50] par : f (x) = x 3 96x x On dit que l entreprise réalise des profits si son bénéfice est strictement positif On a tracé la représentation graphique de cette fonction f 1 Par lecture graphique, donner sous forme d intervalle, le nombre de machines agricoles que doit produire l entreprise pour réaliser des profits 2 On désigne par f la fonction dérivée de f Calculer f (x) 3 Résoudre l équation : 3x 2 192x = 0 4 Dresser le tableau de variations de f 5 À l aide des questions précédentes, donner le nombre de machines à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal 2 On considère la fonction f définie sur R par f (x) = -x 3 2x 2 + 4x Déterminer l équation de la tangente T 1 à la courbe au point d abscisse 1 A votre avis, combien y-a-t-il de points d intersection entre la courbe et cette tangente? 2 On cherche à présent à étudier la position relative de la courbe de f et de sa tangente T 1 a Soit le polynôme P(x) = -x 3 2x 2 + 7x 4 Calculer P( 4) b Déterminer trois réels a, b et c tels que P(x) = (x + 4)(ax 2 + bx + c) En déduire le signe de P(x) sur R c Conclure Que pensez-vous de votre conjecture? - 6 -

7 3 D après BAC STMG (ANTILLES-GUYANE Sept 2017) Un bijoutier souhaite lancer un nouveau modèle de bijou contenant de l or On admet que le coût de production de ce bijou, exprimé en millier d euros, est modélisé par la fonction C définie par : C(x) = 2x 3 3x 2 + 3x +15 où x représente le nombre de centaines de bijoux fabriqués On admet également que la recette, exprimée en millier d euros, est modélisée par la fonction R définie par R(x) = 1 où x représente le nombre de centaines de bijoux fabriqués et vendus Le nombre de bijoux fabriqués et vendus est compris entre 50 et 300 donc x [0,5 ; 3] 1 Montrer que la fonction bénéfice B est définie pour tout x [0,5 ; 3] par : B(x) = 2x 3 + 3x x 15 2 Déterminer B (x) pour x [0,5 ; 3], où B désigne la fonction dérivée de B 3 Étudier le signe de B (x) pour x [0,5 ; 3] En déduire le tableau de variations de B 4 Préciser alors le nombre de bijoux fabriqués et vendus qui permet de réaliser un bénéfice maximal 4 On considère la fonction g définie sur R par g (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d On note C g sa courbe représentative dans le repère ci-contre On a également représenté trois tangentes à la courbe C g aux points d abscisse -2, 0 et 1 1 Par lecture graphique, déterminer g (0), g (0), g (-2) et g (1) 2 Montrer que d = 0 3 Exprimer g (x) en fonction de a, b et c 4 a Montrer que a, b et c vérifient l équation 3a + 2b + c = 0 b Déterminer a, b et c c Donner l expression de la fonction g Vérifier à l aide de la calculatrice C g 8x 2 x 2 1 On note C h sa courbe représentative partiellement tracée dans le repère ci-dessous 1 Calculer g (x) 2 Dresser le tableau de variation de g (donner la valeur exacte des extremums) 3 Déterminer l équation réduite de la tangente T à la courbe C h au point A d abscisse 1 5 On considère la fonction h définie et dérivable sur [-10 ; 10] par sur R par h (x) = Tracer T 4 Compléter le tracé de C h en traçant les tangentes parallèles à l axe des abscisses C h - 7 -