Droites remarquables du triangle (1) Cours 4 ème

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1 Droites remarquables du triangle (1) Cours 4 ème I Les médiatrices du triangle 1 - Rappels sur la médiatrice d'un segment Définition 1: On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. (d) passe par O milieu de [AB] (d) [AB] Propriété 1: Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. P appartient à (d) d'où PM = PN Hypothèse: MO = NO et les triangles OMP et ONP sont rectangles en O. Propriété: Propriété de Pythagore. Conclusion: MP² = MO² + OP² et NP² = NO² + OP² donc MP² = NP² soit MP = NP. Propriété 2: Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. PM = PN d' où P appartient à (d)

2 Hypothèse: MP = NP. Soit O un point de (MN) tel que (OP) (MN). Propriété: Propriété de Pythagore. Conclusion: MP² = MO² + OP² et NP² = NO² + OP² donc MO² = NO² soit MO = NO donc O est le milieu de [MN] donc (OP) est la médiatrice du segment [MN]. Application: Construire la médiatrice d'un segment avec le compas On construit deux points distincts M et N équidistants des extrémités du segment. La droite (MN) est la médiatrice du segment [AB]. 2 - Médiatrices du triangle et cercle circonscrit Remarque: Les médiatrices du triangle sont les médiatrices des côtés de ce triangle. Propriété 3: Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point). Leur point de concours est le centre du cercle passant par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

3 Hypothèse: O est le point d'intersection des médiatrices des côtés [AB] et [AC] de ABC. Propriété: Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Conclusion: OA = OB et OA = OC donc OB = OC donc O est équidistant de B et C. Hypothèse: O est équidistant de B et C. Propriété: Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Conclusion: Le point O appartient à la médiatrice du segment [BC]. Donc les trois médiatrices de ABC se coupent en O et OA = OB = OC donc le point O est le centre d'un cercle passant par A, B et C. II Les hauteurs du triangle 1 - Rappel Définition 2: Dans un triangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. 2 - Orthocentre du triangle Propriété 4: Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.

4 Application: Démontrer que deux droites sont perpendiculaires Exemple:Soit MNP un triangle quelconque. La perpendiculaire à (MN) passant par P coupe la perpendiculaire à (MP) passant par N en K. Démontrer que (MK) est perpendiculaire à (NP). Hypothèse: (PK) (MN) donc (PK) est la hauteur passant par P de MNP. (NK) (MP) donc (NK) est la hauteur passant par N de MNP. Elles sont sécantes en K. Propriété: Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle. Conclusion: K est l'orthocentre du triangle MNP et (MK) est la troisième hauteur du triangle MNP. Donc (MK) (NP). Cas particulier: Dans le triangle rectangle, les côtés de l angle droit sont les «supports» des hauteurs. L orthocentre du triangle rectangle est le sommet de l angle droit. III Médianes et bissectrices du triangle 1 - Définition de la médiane Définition 3: Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

5 2 - Les bissectrices du triangle Définition 4: On appelle bissectrice une droite qui partage un angle en deux angles égaux. 1 BAD CAD BAC 2 Propriété 5: Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle. IV Cas particuliers Propriété 6: Si un triangle est isocèle alors la médiane, la hauteur et la bissectrice, passant par le sommet principal sont confondues avec la médiatrice de la base. Application: Construire la bissectrice d'un angle à la règle et au compas Exemple: Construire la bissectrice d'un angle ABC donné. Je construis, par exemple, le triangle ACD isocèle en A. Je trace la médiatrice du segment [CD]. D'après la propriété 6, c'est la bissectrice de l'angle ABC. Propriété 7: Si un triangle est équilatéral alors la médiane, la hauteur et la bissectrice, passant par chaque sommet sont confondues avec la médiatrice du côté opposé à ce sommet.

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