TD : Equilibre Général. Emmanuel Duguet

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1 TD : Equilibre Général Emmanuel Duguet

2 Sommaire 1 Les ménages Consommation et temps de travail Prix et salaire d équilibre Equilibre avec production L entreprise Le ménage L équilibre avec production L équilibre intertemporel Economie d échange Equilibre avec progrès technique Equilibre avec préférence croissante pour le loisir L équilibre en environnement incertain Les marchés contingents Les prix du numéraire L équilibre de Radner

3 DOSSIER 1 Les ménages L objectif de ce dossier est de fournir des rappels sur les décisions des ménages, et de faire le lien avec l approche par l équilibre général. 1.1 Consommation et temps de travail On considère un consommateur de revenu M qui doit décider de la consommation d un bien, en quantité x, et de son temps de loisir, d une durée l. Le temps disponible de ce consommateur est noté l. Le prix unitaire du bien est p et le salaire horaire w. On suppose que le consommateur maximise son utilité sous contrainte de budget. Dans cet exercice, l utilité est donnée par : U (x, l) = x α l 1 α, 0 < α < 1 1. Commenter la forme de la fonction d utilité 2. Comment les utilités marginales varient elles avec la consommation et le temps de loisir? 3. Quel est le taux marginal de substitution entre le bien de consommation et le temps de travail? Que représente t-il? 4. Ecrire la contrainte budgétaire du ménage, en considérant qu il possède un revenu égal à M, et qu une heure de loisir est payée au prix w (coût d opportunité du loisir, il s agit du salaire horaire) 5. Ecrire et résoudre le programme du consommateur 2

4 6. Quelle est la part des dépenses de consommation dans la dépense totale? Même question pour le coût d opportunité du loisir. 7. Quelle est l utilité indirecte du consommateur? 8. En utilisant l identité de Roy, recalculer les demandes walrasiennes. 9. On fait maintenant l hypothèse que le consommateur possède x unités du bien de consommation et l heures disponibles. Quel est sa richesse potentielle M? 10. Réécrire la contrainte de budget, en admettant que l indidivu peut vendre x unités du bien et l unités de travail, sans préjuger de ce qu il fera effectivement après maximisation de l utilité. Montrer que l on obtient une relation standard du type "Dépense Revenu maximum possible". 11. Réexprimer les demandes de bien et de loisir par rapport aux prix p et w 12. On considère maintenant que le ménage peut vendre ou acheter des biens et du travail. On considère qu une offre nette négative est une demande et qu une demande nette négative est une offre. Quelle est sa demande nette de bien et son offre nette de travail? Commenter 1.2 Prix et salaire d équilibre On considère deux consommateurs avec les mêmes préférences et les mêmes richesses potentielles que dans l exercice précédent. Pour le ménage 1, on a : et pour le ménage 2 : U 1 (x 1, l 1 ) = x α 1 1 l 1 α 1 1, 0 < α 1 < 1, U 2 (x 2, l 2 ) = x α 2 2 l 1 α 2 2, 0 < α 2 < Ecrire les demandes des deux consommateurs en fonction de leurs revenus M 1 et M 2. 3

5 2. On suppose de plus que les dotations initiales des deux ménages sont x 1 = 0, x 2 = x, l 1 = l/2 et l 2 = l/2. Il y a donc x unités de consommation et l heures disponibles dans l économie. Commenter les dotations initiales et écrire les fonctions agrégées de demande et d offre. 3. En prenant le bien de consommation comme numéraire, quel est le salaire horaire d équilibre? Commenter ses déterminants. 4. Quelles sont les quantités d équlibre? 5. Quelles sont les quantités échangées? En déduire une description des relations entre les deux ménages. 4

6 DOSSIER 2 Equilibre avec production L objectif de ce dossier est de fournir des rappels sur les décisions des entreprises, et de faire le lien avec l approche par l équilibre général. 2.1 L entreprise On considère une entreprise qui produit un bien en quantité x 1 à partir d un temps de travail l et d une matière première en quantité z. Sa fonction de production est donnée par : x 1 = f (x 3, l) = x λ 3 + l λ, 0 < λ < 1 le bien est vendu au prix p 1, le travail est rémunéré au salaire horaire p 2 et la matière première est achetée au prix p Quand les rendements d échelle sont-ils décroissants? Constants? 2. Ecrire la fonction de profit de l entreprise, calculer les profits marginaux associés aux deux facteurs de production. Vérifier que la fonction de profit admet un maximum unique. 3. Calculer les demandes de facteurs. Comment varient-elles avec les prix relatifs des intrants ("inputs")? Avec les rendements d échelle? 5

7 4. Quel-est le profit d équilibre? Donner son expression en fonction de p = (p 1, p 2, p 3 ). 2.2 Le ménage On considère un consommateur dont l utilité s accroit avec la quantité de bien consommée x 1 et le temps de loisir x 2. Le bien 3 n intervient pas dans la fonction d utilité mais le consommateur en est propriétaire et peut le vendre. Le bien 3 intervient donc dans le revenu du consommateur. La fonction d utilité est donnée par : U (x 1, x 2 ) = x α 1 x β 2, α > 0, β > 0 le consommateur possède x 1 = 0 unités de bien, dispose de x 2 heures de temps libre et de x 3 unités de matière première. 1. Que représentent α et β? 2. Dans un premier temps, on considère que le revenu maximal possible du consommateur est donné par M. Ecrire le programme du consommateur. 3. Quelles sont les demandes de bien et de loisirs? 4. Quelle-est l offre de travail du ménage l s? 5. Donner l expression de M 6. En déduire la demande de bien et l offre de travail, en fonction du système de prix 6

8 2.3 L équilibre avec production On prend le bien produit comme numéraire, de sorte que p 1 = L hypothèse précédente nous fait-elle perdre en généralité? 2. Ecrire l équilibre sur le marché de la matière première. Quels sont les deux déterminants du prix (relatif) de la matière première? On notera p j les prix d équilibre. 3. Donner la quantité de matière première échangée à l équilibre. 4. Donner l expression du profit Π (p 1, p 2, p 3) /p On pose λ = 1/2, α = β, x 3 = 1 et z = 1/p 2, écrire la condition d équilibre sur le marché du travail. 6. On pose x 2 = 3. Donner l allocation walrasienne sous les hypothèses précédentes. 7. Quel-est le profit de l entreprise? La répartition des revenus du ménage, et sa principale source de revenu? 7

9 DOSSIER 3 L équilibre intertemporel 3.1 Economie d échange L objectif de cet exercice est d étudier les possibilités d allocations offertes par une dimension intertemporelle On considère deux ménages h {1, 2} prenant leurs décisions de consommation (x h1t ) et de loisir (x h2t ) sur deux périodes t {0, 1}. On suppose pour simplifier qu ils ont la même fonction d utilité : U h = 1 δ t (α 1 ln (x h1t ) + α 2 ln (x h2t )), δ < 1 t=0 Les ménages possèdent les dotations initiales suivantes : x 110 = 0, x 120 = x 2, x 111 = 0, x 120 = x 2, x 210 = x 1, x 220 = 0, x 211 = x 1, x 220 = 0 On pourra utiliser le bien de consommation 1 comme numéraire si on le souhaite. On note β le facteur d actualisation monétaire de cette économie. Le prix du bien i à la date t est noté p it 1. Que représente le paramètre δ? 2. Commenter la forme des dotations initiales 8

10 3. Comment peut-on justifier l hypothèse x 2 = 1? On résoudra l exercice dans ce cas. 4. Quelles sont les fonctions de demande des deux ménages? 5. Ecrire les demandes et les offres agrégées 6. Trouver les prix d équilibre 7. A l équilibre, il y a t-il un ménage qui est plus riche que l autre? 8. Quelle sont les quantités échangées? Les durées du travail des ménages? 9. En quoi la situation s améliore t-elle par rapport à l autarcie? 10. Reprendre l exercice avec une quantité de bien de consommation qui double au cours du temps : x 110 = 0, x 120 = x 2, x 111 = 0, x 120 = x 2, x 210 = x 1, x 220 = 0, x 211 = 2x 1, x 220 = Même question avec un doublement du temps disponible : x 110 = 0, x 120 = 1, x 111 = 0, x 120 = 2, x 210 = x 1, x 220 = 0, x 211 = x 1, x 220 = Equilibre avec progrès technique On considère une économie constituée d un ménage et d une entreprise. Les décisions se prennent sur deux périodes. La fonction d utilité du ménage dépend de sa consommation de biens et services x 1t et de son temps de loisir x 2t, elle s écrit : U (x) = u (x 0 ) + δu (x 1 ) 9

11 avec u (x t ) = ln (x α 1 1t x α 2 2t ) Le taux de préférence pour le présent est défini par ρ = δ 1 1. Les dotations initiales du ménage sont données par : ω = (ω 10, ω 20, ω 11, ω 21 ) pour simplifier, on suppose que le ménage ne dispose pas de bien de consommation avant l échange, il doit travailler pour pouvoir consommer : ω = (0, ω 20, 0, ω 21 ) l entreprise produit avec une fonction de production : x 1t = (1 + δ) t l t, t {0, 1} où l t = ω 2t x 2t. L entreprise maximise son profit intertemporel : Π = Π 0 + βπ 1 où le taux d intérêt est donné par r = β 1 1. Les prix sont donnés par : p = (p 10, p 20, p 11, p 21 ) 1. Ecrire la contrainte de budget intertemporelle du consommateur. 2. Résoudre le programme de l entreprise 3. Résoudre le programme du ménage pour une valeur donnée de la richesse 4. Ecrire l équilibre sur le marché du travail, puis déterminer le taux d intérêt r = 1/β 1, à partir de l équilibre sur le marché des biens. Comment le taux d intérêt varie t-il en fonction du taux de préférence pour le présent ρ = 1/δ 1, du temps de travail disponible aux deux périodes et du taux de progrès technique? Commenter les résultats obtenus. 10

12 5. Décrire l équilbre sur le marché du travail, en prenant le bien de consommation comme numéraire. 6. Déterminer l équilibre walrasien. Comment la consommation évolue t- elle dans le temps par rapport à la durée du travail? 3.3 Equilibre avec préférence croissante pour le loisir 1. On suppose maintenant que la préférence pour le loisir augmente dans le temps par rapport à la préférence pour la consommation. On suppose également que le temps disponible est constant dans le temps ω 20 = ω 21 = ω. La fonction d utilité devient : U (x) = ln (x α 1 1t x α 2 2t ) + δ ln ( ) x α 1 d 1t x α 2+d 2t avec α 1 d > Quelles sont les nouvelles fonctions de demande du ménage? 3. En utilisant le fait que le bien de consommation est le numéraire et que, comme dans le cas précédent p 20 = 1 et p 21 = 1 + γ, donner les quantités échangées à l équilibre. 4. Trouver la valeur d équilibre du facteur d actualisation β. 5. En déduire les consommations et les temps de travail d équilibre. Commenter. 6. Comment les consommations et le temps de travail varient-ils dans le temps? Le temps de travail diminue t-il, et la consommation? 11

13 DOSSIER 4 L équilibre en environnement incertain Dans le dossier qui suit on considère une économie constituée de deux ménages h {1, 2}qui doivent prendre leurs décisions de consommation x h1s et de loisir x h2s dans un monde incertain représenté par deux états de la nature s {1, 2}. Leurs préférences pour un état de la nature donné sont représentées par : u hs = α 1 ln (x h1s ) + α 2 ln (x h2s ), h {1, 2}, s {1, 2} on pose également α 1 + α 2 = 1 sans perte de généralité. 4.1 Les marchés contingents Les deux états de la nature sont équiprobables avec π 1 = π 2 = 1/2. Les dotations contingentes des deux ménages sont données par ω his où h désigne le ménage, i désigne le bien (consommation ou loisir) et s l état de la nature. Les ménages ont les mêmes quantités de numéraire dans les deux états. Par contre, ils n ont pas les mêmes dotations de temps. Dans le premier état le premier ménage tombe malade et ne peut travailller, dans le second état c est au tour du second ménage. On pose : ω 111 = ω/2, ω 112 = ω/2, ω 211 = ω/2, ω 212 = ω/2, ω 121 = 0, ω 122 = x, ω 221 = x, ω 222 = 0. 12

14 1. Ecrire la contrainte budgétaire d un ménage h et donner l expression des richesses contingentes des deux ménages. 2. Ecrire le programme d un ménage h et les fonctions de demande associées des deux ménages. 3. Pour simplifier on pose p 11 = 1 = p 12. A quelles conditions peut-on faire cette simplification? 4. Simplifier les demandes agrégées et calculer les deux prix d équilibre restants. 5. En déduire les quantités consommées et les temps de loisir. Peut-on parler de comportement d assurance? 4.2 Les prix du numéraire On reprend l exercice précédent mais on considère que les états de la nature ne sont plus équipropables. On a donc π 1 π 2. Les dotations initiales sont les suivantes : ω 111 = ω, ω 121 = 0, ω 112 = 0, ω 122 = x, ω 211 = 0, ω 221 = x, ω 212 = ω, ω 222 = 0. dans le premier état de la nature, le ménage 1 ne peut travailler et touche une allocation ω. Le cas symétrique se produit dans le second état de la nature. On pourra fixer le prix du numéraire en première période égal à p 11 = Quelles sont les richesses contingentes? 2. Quelles sont les demandes contingentes? 13

15 3. Déterminer les prix d équilibre. Que constate t-on pour le prix du numéraire dans le second état de la nature? Que constate t-on pour les prix du bien 2 rapportés aux prix du numéraire? 4. Quelles sont les richesses d équilibre? Les consommations d équilibre? Observe t-on un comportement d assurance? 4.3 L équilibre de Radner On considère une économie d échange constituée de deux ménages (h = 1, 2). Un marché d actifs financiers ouvre dans une première période (t = 0) et permet aux agents de réallouer leurs actifs entre les deux états de la nature (s = 1, 2) dont les probabilités sont π 1 et π 2. Ces quantités d actifs sont notées z hs. Ils possèdent des dotations initiales sur deux biens (i = 1, 2) que l on note ω his. L actif k = 1, 2 procure r ks unités de numéraires dans l état de la nature s. Les prix des actifs sont notés q 1 et q 2. La matrice des rendements est donnée par : ( ) ( ) 1 1 R = r11 r = 12 (K,S) 0 2 r 21 r 22 et les préférences des ménages sont représentées par les fonction d utilité : u hs = ln (x h1s ) + ln (x h2s ). Une fois que les ménages ont fait leurs choix d actifs, l état de la nature s se réalise (en t = 1) et seuls les marchés correspondants à cet état fonctionnent. Les prix de marchés sont notés p is (i = 1, 2 et s = 1, 2). 1. La matrice des rendements de l énoncé est elle susceptible de régler le problème d incomplétude des marchés en t = 1? 2. Déterminer l espérance d utilité des ménages. 3. Déterminer la contrainte budgétaire des ménages,sachant que les prix des biens dans l état s sont notés (p 1s, p 2s ). 14

16 4. Déterminer la fonction d utilité indirecte du ménage h. 5. Déterminer les demandes d actifs de première période à partir des fonctions d utilité indirecte et des contraintes financières des ménages. 6. Déterminer les prix d équilibre sur le marché des titres (q 1, q 2).. 7. Déterminer les richesses potentielles de seconde période des consommateurs après placement, notés W hs, en sachant que pour h = 1, 2: ω 111 = 1, ω 121 = 1, ω 112 = 0, ω 122 = 0 ω 211 = 0, ω 221 = 0, ω 212 = 1, ω 222 = 1 8. Quelles sont les demandes agrégées? Les prix d équilibre? Toutes les quantités d équilibre? Quel est le ménage le plus riche? Les ménages adoptent ils un comportement d assurance? 9. Quelles sont les valeurs des multiplicateurs du lemme de Farkas? Comment s interprétent-ils? 10. On décide d introduire les trois placements suivants sur le marché : r 3 = (1, 5), r 4 = ( 2, 4), r 5 = (1, 0) quelles sont leurs prix de marché (q 3, q 4, q 5)? On utilisera deux méthodes différentes pour trouver le prix du placement r On définit deux options (notées r 6 et r 7 ) de prix d exercice égal à 1 2 sur les placements r 3 et r 4. Quels sont leurs prix de marché? Ces deux options constituent-elles un système complet d actifs? 15

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