Repérage dans le plan Cours

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1 Repérage dans le plan Cours Objectifs du chapitre Savoir repérer la position d un point à l aide de ses coordonnées dans un repère. Savoir calculer les coordonnées du milieu d un segment. Savoir calculer la longueur d un segment. savoir utiliser la géométrie analytique pour résoudre un problème. 1 Rappels Théorème (Théorème de Pythagore) Soit RST un triangle. i) Partie directe : Si RST est rectangle en S, alors ST 2 = RS 2 + RT 2. ii) Réciproque : Si ST 2 = RS 2 + RT 2, alors le triangle RST est rectangle en S. Théorème (Théorème de Thalès) Soit A, B et C trois points du plan et M (AC ) et N (AB). i) Partie directe : Si les droites (BC ) et (MN) sont parallèles, alors AB AN = AC AM = BC MN. AB ii) Réciproque : Si AN = AC AM = BC MN et si les points A, B, N et A, C, M sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC ) et (MN) sont parallèles. 1

2 2 Repères 2.1 Se repérer sur une droite Soit O et I deux points distincts. Alors le couple (O, I ) est appelé repère d origine O de la droite D = (OI ). Théorème Pour tout point M de la droite D, il existe un unique nombre réel x tel que OM = xoi. Remarques importantes!! Deux points de D vérifient cette égalité : Si M [OI ), alors on dira que l abscisse de M est x. Si M [OI ), alors on dira que l abscisse de M est x. On considère le repère (O, I ). 1) a./ Donner les abscisses des points O et I. b./ Quelles sont les abscisses des points A, B, C et D. c./ Placer les points E et F, d abscisse respective 0,5 et 2,5. d./ Quelle est l abscisse du milieu de [AB]? e./ Quelle est l abscisse du symétrique de C par rapport à O? 2) Reprendre les mêmes questions dans le repère (O,C ). 2

3 2.2 Se repérer dans le plan Soit O, I et J trois points non alignés. On considère (O, I ) et (O, J) un repère des droites (OI ) et (OJ). Le triplet (O, I, J) est appelé un repère du plan P. Théorème À tout point M du plan, on peut associer deux uniques points M x et M y tels que : M x (OI ), (on dit que M x est le projeté orthogonal de M sur (OI ).) M y (OJ), (on dit que M y est le projeté orthogonal de M sur (O J).) OM x MM y est un parallélogramme. On suppose que M x a pour coordonnées x dans le repère (O, I ) et M y a pour coordonnées y dans le repère (OJ). L unique couple (x, y) associé à M est appelé couple de coordonnées de M dans le repère (O, I, J). x est appelé l abscisse de M. y est appelé l ordonnée de M. Remarques importantes!! Les coordonnées d un point dépendent du repère choisi! Si on change de repère, les coordonnées changent. 3

4 On distingue quatre types de repère, suivant la nature du triangle OI J : Le triangle OI J est quelconque : on dit que le repère est quelconque. Le triangle OI J est isocèle en O : on dit que le repère est normé. Le triangle OI J est rectangle en O : on dit que le repère est orthogonal. Le triangle OI J est rectangle isocèle en O : on dit que le repère est orthonormé. 1) Justifier que la donnée des points O, I et J permet de constituer un repère de la figure ci-dessous. Donner les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère (O, I, J). 2) Reprendre la question 1) avec les points O, I et J. 3) Reprendre la question 1) avec les points O, I et J. 4

5 3 Milieux et distances 3.1 Milieu d un segment Propriété Soit (O, I, J) un repère du plan et A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points. Alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ( xa + x B 2 ; y A + y ) B. 2 On considère (O, I, J) un repère du plan. Déterminer les coordonnées du milieu de [AB] dans les cas suivants : 1) a./ A(0;0) et B(1;1), b./ A(1;1) et B(0;0), c./ A( 5; 3) et B( 5; 10), d./ A(3;0) et B(5; 2). 2) Vérifier graphiquement en plaçant les points. 3.2 Distance entre deux points dans un repère orthonormé Propriété Dans un plan muni d un repère orthonormé (O, I, J), la distance AB vaut : AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. Démonstration. La démonstration de ce résultat repose sur le théorème de Pythagore. On note C le point tel que ABC est un triangle rectangle. Alors C a pour coordonnées (x B, y A ) donc AC = (x B x A ) et BC = (y B y A ). Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, on a AB 2 = (x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2. Donc en prenant la racine carrée des deux membres, on obtient AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. 5

6 Remarques importantes!! Il faut absolument être dans un repère orthonormé pour pouvoir utiliser le théorème de Pythagore. On considère un repère orthonormé (O, I, J). Calculer la longueur du segment [AB] dans les cas suivants : 1) A(1; 3) et B(1; 5), 2) A(1; 1) et B(2; 2), 3) A( 1; 2) et B(3; 4). 4 Caractérisation des triangles et des quadrilatères 4.1 Triangles Droites remarquables des triangles Dans tout ce paragraphe, on considère un triangle ABC. La hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire au côté opposé (BC ). Les hauteurs d un triangle sont concourantes en un point H, appelé l orthocentre du triangle ABC. La médiane issue de A est le droite passant par A et par le milieu de [BC ]. 6

7 Les médianes d un triangle sont concourantes en un point G, appelé le centre de gravité du triangle ABC. Si D est le milieu de [BC ], alors 2 AG = AD. 3 La médiatrice du segment [AB] est l ensemble des points équidistants de A et B. C est également la droite prependiculaire à (AB) et qui passe par le milieu de [AB]. Les médiatrices des trois côtés d un triangle sont concourantes en un point O, le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Les bissectrices des trois angles d un triangle sont concourantes en un point I, le centre du cercle inscrit au triangle ABC. 7

8 4.1.2 Triangles particuliers Si ABC est isocèle en A, alors la médiane issue de A est aussi la hauteur, la médiatrice et la bissectrice. Si ABC est équilatéral, alors les points H, G, O et I sont confondus. Si ABC est rectangle en A, alors le centre du cercle circonscrit O est le milieu de l hypothénuse [BC ] et donc OA = 1 BC. Par ailleus, A est un point du cercle de diamètre [BC ]. 2 Réciproquement, si A est un point du cercle de diamètre [BC ], alors ABC est rectangle en A. 4.2 Quadrilatères Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux. Caractérisation Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Les diagonales se coupent en leur milieu. Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. C est un parallélogramme avec un angle droit. C est un parallèlogramme dont les diagonales ont même longueur. Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. C est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. C est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. C est un parallélogramme qui a deux cotés consécutifs perpendiculaires et de même longueur. C est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur. C est un rectangle et un losange à la fois. 8

9 On considère un repère orthonormé (O, I, J) et les points A(1; 2), B(5; 1), C (5; 4) et D(1; 7). 1) Placer les points A, B, C et D. 2) Calculer les cordonnées du point E, milieu de [AC ] puis celles du milieu de [BD]. Que remarque-t-on? Que peut-on en déduire sur le quadrilatère ABCD? 3) Calculer les longueurs AB, AE et E B. 4) Déterminer la nature du triangle ABE. 5) En déduire la nature de ABCD? 6) La quadrilatère ABCD est-il un carré? Justifier. 9

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