Mathématiques. Cours 1. BTS Informatique de gestion 1 re année. Denis Jaudon. Directrice de publication : Valérie Brard-Trigo

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1 BTS Iformatique de gestio re aée Deis Jaudo Mathématiques Cours Directrice de publicatio : Valérie Brard-Trigo Les cours du Ced sot strictemet réservés à l usage privé de leurs destiataires et e sot pas destiés à ue utilisatio collective. Les persoes qui s e serviraiet pour d autres usages, qui e feraiet ue reproductio itégrale ou partielle, ue traductio sas le cosetemet du Ced, s eposeraiet à des poursuites judiciaires et au sactios péales prévues par le Code de la propriété itellectuelle. Les reproductios par reprographie de livres et de périodiques protégés coteues das cet ouvrage sot effectuées par le Ced avec l autorisatio du Cetre fraçais d eploitatio du droit de copie (0, rue des Grads Augustis, Paris).

2 Sommaire Coseils géérau... 4 Uité Logique Esembles Algèbre de Boole... 7 Séquece : calcul des propositios et des prédicats... 9 Séquece : élémets de la théorie des esembles... 5 Séquece 3 : algèbre de Boole Uité Foctios d ue variable réelle Séquece : gééralités sur les foctios d'ue variable réelle Séquece : limites des foctios... 9 Séquece 3 : dérivées et primitives... 5 Séquece 4 : comportemets asymptotiques Séquece 5 : logarithme épérie epoetielles foctios puissaces Uité 3 Suites umériques Séquece : gééralités sur les suites umériques Séquece : limites des suites Séquece 3 : suites arithmétiques suites géométriques TG PA 0 3

3 Coseils géérau Le coteu des deu fascicules dot les référeces sot : TG PA 0 et TE PA 0 couvre ue partie importate du programme du BTS iformatique de gestio. E effet, l équipe pédagogique a choisi d alléger le travail de la deuième aée du BTS, pour vous permettre de préparer l épreuve de mathématiques das les meilleures coditios, e laissat le temps écessaire à l etraîemet à l eame, par les devoirs qui vous serot proposés e deuième aée. Nous vous proposos ue progressio pédagogique e si uités, comportat chacue ue ou plusieurs séqueces. Ue séquece d appretissage est composée d ue partie cours et d ue partie eercices «autocorrectifs» d égale importace das le processus de votre appretissage. Ici, vous êtes e présece du fascicule cours (réf TG PA 0). Cours Le cours doit être travaillé attetivemet, ue lecture rapide des otios abordées e vous servira à rie et c est même ue perte de temps.votre progressio sera le fruit d u effort réel à fourir : lisez et relisez les défiitios, les théorèmes et les propriétés ; isistez sur les coditios d utilisatio des théorèmes et des propriétés ; faites et refaites les eemples proposés. Nous avos aussi prévu des revois à des eercices d applicatio, sigalés à l aide du picto. Ils serot pour vous l occasio de tester la compréhesio du cours. Ces redez-vous sot très utiles ; essayez de les respecter et de «jouer le jeu». Eercices «autocorrectifs» À la fi de chaque séquece, ous avos réservé ue large place à des eercices dot o vous propose ue correctio très détaillée. Ces eercices sot présetés sous trois formes. Eercices d applicatio :applicatio presque directe du cours. À chaque fois que vous recotrerez le picto, ce sera ue ivitatio à aller travailler les eercices proposés. Eercices d approfodissemet : ce sot des eercices qui sot à faire après l étude complète de la séquece et qui écessitet le plus souvet ue recherche approfodie des solutios. Travau pratiques : ils sot présets à la fi de certaies séqueces et sot costitués de problèmes qui comportet les savoirs et les savoir-faire évalués à l eame. Les corrigés types des eercices des cours et sot présets das le fascicule référecé TC PA TG PA 0

4 Coseils géérau Séquece Tous ces eercices écessitet u ivestissemet persoel importat. Les corrigés e doivet être cosultés qu après avoir effectué u travail sérieu pour trouver la solutio : u corrigé rapidemet cosulté, sas u travail préalable, vous doera l impressio trompeuse d avoir compris les otios abordées. Devoirs Il vous est servi u fascicule (réf DG PA 00) de quatre devoirs, hésitez pas à le cosulter régulièremet. Ces devoirs sot à evoyer à la correctio suivat la progressio idiquée das so sommaire et rappelée au début de chaque devoir. U travail sérieu doera toujours u résultat. L équipe pédagogique atted de vous toutes les remarques qui cotribuerot à l amélioratio de ce support pour le bie de tous les iscrits. Bo courage! Notatio N désige l esemble des ombres aturels : {0 ; ; ; 3 ;.} N* désige l esemble des ombres aturels sas le zéro : { ; ; 3 ; 4 ;..} Z désige l esemble des ombres relatifs : { ; -3 ; - ; - ; 0 ; ; ; 3 ;.} Z cotiet N. Z* désige l esemble des ombres relatifs sas le zéro : {.. ; -3 ; - ; - ; ; ; 3 ;.} Q désige l esemble des ombres ratioels. Q* désige l esemble des ombres ratioels sas le zéro. R désige l esemble des ombres réels. R* désige l esemble des ombres réels sas le zéro. R (ou R ) désige l esemble des ombres réels égatifs. R + (ou R+ ) désige l esemble des ombres réels positifs TG PA 0 5

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6 Uité Logique Esembles Algèbre de Boole Prérequis Aucu Objectifs Itroductio à quelques élémets de logique Pratique élémetaire du calcul portat sur des éocés Cosolider et prologer les acquis sur les esembles et les applicatios. Effectuer des calculs permettat de simplifier des epressios booléees Coteu Séquece : calcul des propositios et des prédicats Séquece : élémets de la théorie des esembles Séquece 3 : algèbre de Boole TG PA 0 7

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8 Calcul des propositios et des prédicats Séquece Prérequis Aucu Objectifs Itroductio à quelques élémets de logique Pratique élémetaire du calcul portat sur des éocés Coteu. Calculs propositioels A. Propositios Assertios B. Coecteurs logiques. Propriétés des opérateurs logiques 3. Calcul des prédicats 3A. Prédicat 3B. Quatificateurs TG PA 0 9

9 Séquece Calcul des propositios et des prédicats. Calculs propositioels A. Propositios Assertios Les epressios mathématiques sot composées de termes qui doivet respecter ue orthographe, et d éocés qui respectet ue sytae. Les termes («mots» mathématiques) représetet des objets. Eemples : 4 ; ; ; A ; etc. 6 Les éocés («phrases» mathématiques) éocet u fait. Eemples : + = 4; 8 est divisible par 3 ; y >9; + y = (a = b qu o lit «a égale b» sigifie que a et b représetet la même etité mathématique). Mais certaies epressios ot aucu ses mathématique : 0 ; += ; ; etc. Parmi les éocés précédets certais sot vrais, d autres fau. «Vrai (V)» et «Fau (F)» sot appelés valeurs de vérité. La logique qui e comporte que ces deu valeurs de vérité est appelée logique biaire: u éocé qui est pas vrai est fau et réciproquemet. Eemples : «+ = 4», «7 est u ombre impair» sot des éocés vrais ; «pour tout réel, + < 0» est u éocé fau. Défiitio Ue propositio est u éocé qu o peut juger sas ambiguïté Vrai ou Fau. Notatio : les propositios sot gééralemet otées par des lettres majuscules (P, Q, etc.) Eemples : + = 4 est u éocé qu o peut juger, sas ambiguïté, qu il est vrai doc c est ue propositio vraie. 8 est divisible par 3 c est u éocé qu o peut juger, sas ambiguïté, qu il est fau doc c est ue propositio fausse. «Mosieur Marti est sympathique», éocé très subjectif, est pas ue propositio, et l éocé «+ =0» o plus car la valeur de vérité déped du réel. 0 Applicatios/Eercice TG PA 0

10 Calcul des propositios et des prédicats Séquece Défiitio Ue assertio est ue propositio à laquelle o a attribué ue valeur de vérité. Eemples : si P est ue propositio alors P = V est ue assertio. «8 est divisible par est vraie» est ue assertio vraie. «8 est divisible par 3 est vraie» est ue assertio fausse. B. Coecteurs logiques À partir de propositios iitiales, o peut défiir de ouvelles propositios au moye de coecteurs logiques que sot la égatio, la cojoctio, la disjoctio, l implicatio et l équivalece. Ces trasformatios sot appelées des opératios logiques. Ces opératios logiques peuvet aussi être défiies par leurs tables opératoires appelées table de vérité. B. Négatio Défiitio Soit P ue propositio. O appelle «égatio de la propositio P» la propositio vraie lorsque P est fausse et réciproquemet. Cette propositio est otée P (lire «o P») ou o P ou P. est le coecteur NON. La égatio est défiie par la table de vérité ci-dessous : P V F P F V Eemple : soiet a ue costate réelle et P la propositio «a > 3». Alors ( P) est la propositio «a 3». B. Disjoctio Cojoctio Défiitio Soiet P et Q deu propositios. O appelle «disjoctio des propositios P et Q», la propositio vraie lorsqu au mois ue de ces deu propositios est vraie. Cette propositio est otée P Q (lire «P ou Q») est le coecteur OU iclusif TG PA 0

11 Séquece Calcul des propositios et des prédicats La disjoctio est défiie par la table de vérité ci-dessous : Eemple : soit a ue costate réelle. E otat P la propositio «a > 3» et Q la propositio «a > 8» :P Q est la propositio «a > 3». Remarque P Q P Q V V V V F V F V V F F F Le coecteur (OU iclusif) utilisé e logique est pas le OU du lagage courat : choisir «fromage ou dessert» est le plus souvet iterprété comme u choi eclusif (ou l u ou l autre mais pas les deu). Défiitio Soiet P et Q deu propositios. O appelle «cojoctio des propositios P et Q», la propositio vraie lorsque les deu propositios P et Q sot vraies. Cette propositio est otée P Q (lire «P et Q») est le coecteur ET. La cojoctio est défiie par la table de vérité ci-dessous : P Q P Q V V V V F F F V F F F F Eemple : soit a ue costate réelle. E otat P la propositio «a > 3» et Q la propositio «a > 8» :P Q est la propositio «a > 8». Applicatios/Eercice TG PA 0

12 Calcul des propositios et des prédicats Séquece B3. Implicatio Équivalece Défiitio Soiet P et Q deu propositios. O appelle implicatio des propositios P et Q la propositio vraie lorsque les deu propositios P et Q sot vraies ou lorsque P est fausse. Cette propositio est otée P Q (lire «Si P alors Q»), «P implique Q», «P etraîe Q». est le coecteur SI ALORS L implicatio est l opératio défiie par la table de vérité ci-dessous : Remarque P Q P Q V V V V F F F V V F F V Eemple : Soit a ue costate réelle. Notos P la propositio «a > 8» et Q la propositio «a > 3». Si «a > 8» est vrai alors «a > 3» est vrai, et si «a > 8» est fau alors «a > 3» est soit vrai soit fau. O a doc P Q. Les deu derières liges de la table de vérité de «P Q» motret que le ses que les mathématiques doet au mots «implique» et «etraîe» est plus gééral que le lagage courat. Aisi, les propositios : «+ = 5» «La Frace a gagé la coupe du mode e 998» et «La Frace a gagé la coupe du mode e 00» «+ = 5» sot toutes les deu vraies. Défiitio Soiet P et Q deu propositios. O appelle équivalece des propositios P et Q, la propositio vraie lorsque les deu propositios P et Q sot vraies ou lorsque P et Q sot fausses TG PA 0 3

13 Séquece Calcul des propositios et des prédicats Cette propositio est otée P Q (lire «P si et seulemet si Q») est le coecteur SI ET SEULEMENT SI L équivalece est défiie par la table de vérité ci-dessous : P Q P Q V V V V F F F V F F F V Eemple : Soit a ue costate réelle. E otat P la propositio «a > 3» et Q la propositio «a >9 et a > 0»,o a P Q. Applicatios/Eercice 3. Propriétés des opérateurs logiques Das tout ce paragraphe P, Q et R désiget des propositios, V et F désiget les valeurs de vérité vrai et fau. Les propriétés des opérateurs logiques (coecteur NON), (coecteur OU iclusif), (coecteur ET), (coecteur SI ALORS ) et (coecteur SI ET SEULE- MENT SI ) s établisset à l aide de table de vérité. Des démostratios sot proposées e eercices. Propriété (du coecteur NON) a) ( ))) P) = P b) V = F et F = V Propriété (du coecteur OU iclusif) a) idempotece : P P = P b) commutativité : P Q = Q P c) associativité : (P Q) R = P (Q R) que l o peut doc oter P Q R d) P F = P et P V = V Propriété 3 (du coecteur ET) a) idempotece : P P = P b) commutativité : P Q = Q P c) associativité : (P Q) R = P (Q R) que l o peut doc oter P Q R d) P F = F et P V = P Applicatios/Eercice TG PA 0

14 Calcul des propositios et des prédicats Séquece Propriété 4 (distributivité) a) P (Q R) = (P Q) (P R) b) P (Q R) = (P Q) (P R) Eemple : Soit a ue costate réelle. Notos respectivemet P, Q et R les propositios : «a > 0»,«a <- 3» et «3 < a». P (Q R) est la propositio «(a > 0) (a < < a)» c est à dire : «(a > 0 a < - 3) (a > 0 3 < a)»,soit «F (a > 0 3 < a)». Doc P (Q R) = «3 < a» Applicatios/Eercice 5 Propriété 5 Lois de De Morga a) (P Q) = ( P) ( Q) b) (P Q) = ( P) ( Q) Eemple : Soit a ue costate réelle. Notos respectivemet P et Q les propositios : «a < - 3» et «3 < a». (P Q) est la propositio ((a < - 3) (3 < a)), et (P Q) est la propositio : ((a < - 3) (3 < a)), c est-à-dire (- 3 a) (a 3) ou ecore (- 3 a 3). Applicatios/Eercice 6 Propriété 6 (du coecteur ) a) réfleivité : P P b) ati-symétrie : Si (P Q) (Q P) alors P Q c) trasitivité : Si (P Q) (Q R) alors (P R). d) (P Q) = ( Q P). e) (P Q) = ( P Q). Eemple : Soit a ue costate réelle. La propositio (vraie) «a > 3 a >9» est équivalete à la propositio (vraie) «a 9 a 3». Applicatios/Eercice TG PA 0 5

15 Séquece Calcul des propositios et des prédicats 3. Calcul des prédicats 3A. Prédicat O rappelle qu ue costate est u ombre dot la valeur est fiée et qu ue variable est u ombre pouvat predre différetes valeurs. Défiitio O appelle prédicat (ou foctio propositioelle) u éocé coteat ue ou plusieurs variables et qui se trasforme e propositio suivat la valeur attribuée à ces variables. Eemples : état ue variable réelle, «+ = 7» est u prédicat à ue variable (ecore appelé prédicat uaire) car si =3 alors + = 7 est u éocé vrai et si 3 alors + = 7 est u éocé fau. «5 + 5y = 5» est u prédicat à deu variables (ecore appelé prédicat biaire). 3B. Quatificateurs 3B. Eemples et défiitios Eemple : Pour tout réel, o sait que + > 0. O ote :, réel + > 0. Le symbole est appelé quatificateur uiversel. Il se lit «quel que soit» ou «pour tout». Notos que «+ > 0» est u prédicat et que «, réel + > 0» est ue propositio (qui est ici vraie). Eemple : O sait qu il eiste au mois u réel tel que - >0(e fait tous les réels supérieurs à ). O ote :, réel ( - >0). Le symbole est appelé quatificateur eistetiel. Il se lit «il eiste au mois» ou «pour au mois u». Notos que «- >0» est u prédicat et que «, réel - >0» est ue propositio (qui ici est vraie) TG PA 0

16 Calcul des propositios et des prédicats Séquece 3B. Négatio des quatificateurs Soit p () u prédicat à ue variable : la égatio de la propositio «, p ()» est la propositio «, p()» ; la égatio de la propositio «, p ()» est la propositio «, p ()». Eemple : La propositio vraie «, = 4» a pour égatio la propositio fausse : «, 4». Puisque (P Q) = ( P Q), la égatio de la propositio (P Q) est la propositio (P Q). La égatio de la propositio «, E p()» est doc la propositio «, E p()» et la égatio de la propositio «, E p()» est la propositio «, E p()». Applicatios/Eercice 8 3B3. Ordre des quatificateurs Pour et y ombres réels, cosidéros les propositios : «, y, y =» et «y,, y =». «, y, y =» sigifie que tout réel possède u carré y. C est ue propositio vraie. «y,, y =» sigifie qu il eiste au mois u réel y égal à tous les carrés des ombres réels. C est ue propositio fausse. L ordre des quatificateurs et est doc pas idifféret. Applicatios/Eercice TG PA 0 7

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18 Calcul des propositios et des prédicats Séquece Eercices autocorrectifs Applicatios Propositios Coecteurs Eercice Est-ce que les éocés, ci-dessous, sot des propositios? P: «Mosieur Marti est é le er javier» Q: «Mosieur Marti est grad» R: «Pour réel, = 0» S: «Pour réel, = 0» Eercice O cosidère les propositios vraies P : «Mosieur Marti est é le er javier» et Q: «Mosieur Marti est fraçais». Eprimer à l aide d ue phrase e fraçais les propositios : P, P Q, P Q, P ( Q). Eercice 3 O cosidère les propositios P : «Mosieur Marti est é le er javier» et Q : «Mosieur Marti est fraçais». Eprimer à l aide d ue phrase e fraçais les propositios P Q, P Q TG PA 0 9

19 Séquece Calcul des propositios et des prédicats Usage de tables de vérité Eercice 4 Soiet P, Q et R trois propositios.. Complétez la table de vérité ci-dessous : P Q R P Q (P Q) R Q R P (Q R) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Que cocluez-vous, e observat les 5 e et 7 e coloes?. Motrer de la même faço que (P Q) R = P (Q R). Eercice 5 Complétez la table de vérité ci-dessous : P Q R Q R P (Q R) P Q P R (P Q) (P R) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Que cocluez-vous,, e observat les 5 e et 8 e coloes? TG PA 0

20 Calcul des propositios et des prédicats Séquece Eercice 6 : Lois de De Morga. Complétez la table de vérité ci-dessous : Que cocluez-vous, e observat les 5 e et 6 e coloes?. Motrer de la même faço que (P Q) = ( P) ( Q). Eercice 7 P Q P Q P Q (P Q) ( P) ( Q) V V V F F V F F. Complétez la table de vérité ci-dessous : P Q P Q P ( P) Q V V V F F V F F Que cocluez-vous, e observat les 3 e et 5 e coloes?. Détermier la propositio cotraire de la propositio P Q. Usage des quatificateurs Eercice 8 Soit P la propositio «tous les hommes sot mortels».. Écrire P à l aide du quatificateur uiversel.. Écrire P à l aide du quatificateur eistetiel. Eercice 9 Soiet et y des variables réelles. Est-ce que la propositio Q : «y,, y =» est vraie?. Est-ce que la propositio R : «y,, y =» est vraie? 3. Est-ce que la propositio S : «y,, y =» est vraie? TG PA 0

21 Séquece Calcul des propositios et des prédicats Approfodissemets Eercice 0 Soiet P et Q deu propositios logiques. La propositio Q P est appelée la propositio cotra posée de (P Q).. À l aide d ue table de vérité motrer que (P Q) = ( Q P). P Q P Q P Q ( Q) ( P) V V V F F V F F. Eprimer à l aide d ue phrase e fraçais la propositio cotra posée des propositios «s il pleut alors le sol est mouillé», «si le soleil e brille pas je reste à la maiso». 3. Eprimer à l aide d ue phrase e fraçais la propositio cotraire des propositios précédetes. Eercice Soiet P et Q deu propositios logiques. La propositio Q P est appelée propositio réciproque de (P Q).. Doer la propositio réciproque des propositios vraies : «a = 3 a =9»,«a = 3 a 3 =7».. Est-ce que les propositios réciproques sot vraies? Eercice : Le coecteur «Nad» Soiet P et Q deu propositios logiques. O appelle coecteur Nad le coecteur logique qui à P et Q associe la propositio otée Nad (P, Q) ou P Q défiie par P Q = (P Q).. Détermier la propositio P P.. Écrire à l aide du seul coecteur «Nad» les propositios: P, P Q, P Q et P Q TG PA 0

22 Calcul des propositios et des prédicats Séquece Eercice 3. Soiet et y des variables réelles et P la propositio : «, y, y =». a) Est-que P est ue propositio vraie? b) Éocer P.. Soiet et y des variables etières et P la propositio : «, y, y =». a) Doer u eemple motrat que P est vraie. b) E déduire la valeur de vérité de la propositio P. Eercice 4 Soiet et y des variables réelles. O cosidère les prédicats : P () : «+ 4 > 0», Q () : «+ 4 = 0», R (, y) : «+y > 0».. À l aide du quatificateur uiversel trasformer P () e propositio vraie ; à l aide du quatificateur eistetiel trasformer Q () e propositio vraie ; et à l aide de deu quatificateurs uiversels trasformer R (, y) e propositio fausse.. Doer alors la égatio de ces propositios TG PA 0 3

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24 Élémets de la théorie des esembles Séquece Prérequis Elémets de logique Objectifs Cosolider et prologer les acquis sur les esembles et les applicatios. Coteu. Défiitios A. Esemble Apparteace B. Sous-esemble - Iclusio C. Réuio - Itersectio D. Complémetaire - Différece de deu esembles E. Esemble des parties d u esemble F. Produit cartésie de deu esembles G. Esembles fiis - Cardial d u esemble 3. Foctios - Applicatios 3A. Foctio de E vers F Applicatio de E vers F 3B. Image d ue partie A de E - Image réciproque d ue partie B de F 3C. Ijectio - Surjectio - Bijectio 3D. Compositio d applicatios 3E. Bijectio réciproque. Propriétés des opératios défiies sur les esembles TG PA 0 5

25 Séquece Élémets de la théorie des esembles. Défiitios A. Esemble Apparteace U esemble (oté gééralemet à l aide d ue lettre majuscule), est ue collectio d objets disticts appelés élémets (oté gééralemet à l aide d ue lettre miuscule). Eemples V = {a, e, i, o, u, y} est l esemble des voyelles de l alphabet fraçais. N, Z, Q et R sot respectivemet les esembles des etiers aturels (N = {0,,, 3, 4,...}), des etiers relatifs, des ombres ratioels et des ombres réels. «Les ges portat u pull gris» est u éocé e permettat pas de défiir u esemble. Si u élémet a est élémet d u esemble E o ote : a E et l o dira «l élémet a appartiet à l esemble E» ou «a est élémet de l esemble E». Das le cas cotraire o ote : a E, et l o dira «l élémet a appartiet pas à l esemble E». Eemples 00 N, Z, 3 Q, 3 R. 3 O représete gééralemet u esemble par u domaie pla, par eemple u diagramme de Ve. Les élémets qui appartieet à l esemble A sot représetés par des poits itérieurs à ce domaie. a A L esemble e coteat aucu élémet est oté ou ecore { } et est appelé esemble vide. U esemble peut se défiir de faços : e etesio : o éumère tous les élémets de l esemble ; e compréhesio : o éoce ue propriété commue à tous ses élémets. A = { P() } ( lire «A est l esemble des tels que P()») Eemple {,, 3, 5, 6, 0, 5, 30} est u esemble défii e etesio et { est u diviseur de 30} est le même esemble défii e compréhesio. Applicatios/Eercice TG PA 0

26 Élémets de la théorie des esembles Séquece B. Sous-esemble - Iclusio Défiitio O dit qu u esemble A est u sous-esemble d u esemble B (ou que A est iclus das B), et o ote A B, si tout élémet de A est aussi élémet de B. Les élémets de A satisfot à la propriété : Si A alors B (ou A B). Eemples a) Si A = {, 3, 5} et B = {,, 3, 4, 5, 6} alors A est u sous-esemble de B : A B. B A b) Pour tout esemble A o a A et A A. C. Réuio - Itersectio Défiitio O appelle réuio des esembles A et B, l esemble costitué des élémets apparteat à au mois u de ces deu esembles. A B Cet esemble est oté A B (lire «A uio B»). Les élémets de A B satisfot à la propriété : A B ( A B ). La défiitio précédete peut aussi être eplicitée à l aide de la table de vérité ci-dessous : Α Β Α Β V V V V F V F V V F F F TG PA 0

27 Séquece Élémets de la théorie des esembles Eemple Si A = {,, 3, 4, 5, 6} et B = {, 3, 5, 7} alors A B = {,, 3, 4, 5, 6, 7}. Remarquez ici que, par eemple l élémet qui appartiet à A et à B est préset ue seule fois das A B. Défiitio O appelle réuio des esembles A i, pour i {,,..., }, l esemble des élémets apparteat à l u au mois des esembles A i. O ote A UA U UA = U A («réuio de i égale à des A»). i i= i Défiitio O appelle itersectio des esembles A et B, l esemble costitué des élémets apparteat à ces deu esembles à la fois. Les élémets de A B satisfot à la propriété : A B ( A B ). A B Cet esemble est oté A B (lire «A iter B»). La défiitio précédete peut aussi être eplicitée à l aide de la table de vérité ci-dessous : A B A Β V V V V F F F V F F F F Eemple Si A = {,, 3, 4, 5, 6} et B = {, 3, 5, 7} alors A B = {, 3, 5} TG PA 0

28 Élémets de la théorie des esembles Séquece Défiitio O appelle itersectio des esembles A i, pour i {,,..., }, l esemble des élémets apparteat simultaémet à tous les esembles A i. O ote : AIA I IA = I A i i= («itersectio de i égale à des»). A i Défiitio Les esembles A et B sot dits disjoits si A B =,c est-à-dire s ils e possèdet aucu élémet e commu. Ω A B Eemple Si A = {, 4, 6, 8} et B = {, 3, 5, 7} alors : A B = Applicatios/Eercice D. Complémetaire - Différece de deu esembles Défiitio Soiet A et B deu sous-esemble d u esemble Ω. O dira que les esembles A et B sot complémetaires si AUB= Ω AIB= Le complémetaire de A par rapport à Ω, costitué des élémets apparteat pas à A, est oté C Α Ω («complémetaire de A das Ω») ou ecore A («A barre») et Ω est appelé le référetiel TG PA 0 9

29 Séquece Élémets de la théorie des esembles Ω A Eemple A Das le référetiel Ω = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} les esembles A = {,, 3, 4, 5, 6} et B = {7, 8, 9, 0} sot complémetaires l u de l autre. Les élémets de A satisfot à la propriété : A ( Ω A). La défiitio précédete peut aussi être eplicitée à l aide de la table de vérité ci-dessous : Α A F V V F Remarques a) Ω = et =Ω. b) A et A sot disjoits par défiitio. Défiitio O appelle différece de deu esembles A et B, otée A - B, l esemble costitué des élémets apparteat à A et apparteat pas à B. A - B = A Β = { A B}. Eemple Si A = {,, 3, 4, 5} et B = {, 3, 5, 7, 9} alors A - B = {, 4}. Remarque Cette opératio est i commutative car A - B B - A et i associative car (A-B)-C A-(B-C). Applicatios/Eercice TG PA 0

30 Élémets de la théorie des esembles Séquece E. Esemble des parties d u esemble Défiitio L esemble des parties d u esemble E, oté P (E), est l esemble dot les élémets sot tous les sous-esembles de E. Les otatios suivates sot équivaletes : A E A P (E). O ote aussi que l o a toujours : E P (E) et P (E). Eemple Si E = {,, 3} alors P(E) = {, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {,, 3}}. F. Produit cartésie de deu esembles Défiitio O appelle produit cartésie de A et B, et l o ote A B (lire «A croi B»), l esemble des couples ( ; y) tels que A et y B, soit ecore : A B = {( ; y) A y B}. Eemple Si A = {,, 3} et B = {a, b}. A Β a b ( ; a) ( ; b) ( ; a) ( ; b) 3 (3 ; a) (3 ; b) alors A B = {( ; a), ( ; b), ( ; a), ( ; b), (3 ; a), (3 ; b)}. Remarques a) Les élémets de A B sot des couples :( ; y) (y ; ), et o des paires : { ; y} = {y ; }. b) A B B A. c) O ote : A A = A,A A A = A 3,..., A A... A = A (ici A est préset fois), esembles respectivemet formés de couples, de triplets,...,de -uplets. Applicatios/Eercice TG PA 0 3

31 Séquece Élémets de la théorie des esembles G. Esembles fiis - Cardial d u esemble Défiitio U esemble E est dit fii s il eiste u etier aturel tel que l o puisse uméroter ses élémets de à. L etier aturel est appelé le cardial de l esemble E. O ote : Card E =. Par défiitio Card = 0. Eemple Si A = {,, 3, 4, 5, 6} et B = {, 3, 5, 7} alors : Card A = 6 et Card B = 4. A et B sot des esembles fiis. U esemble E qui est pas fii est dit ifii. Par eemple, N, Z et Q sot des esembles ifiis. Propriété Si A et B sot deu esembles fiis disjoits, c est-à-dire tels que A B =, alors : Card (A B) = Card A + Card B. Si (A i ) i est ue suite fiie d esembles fiis deu à deu disjoits, c est-à-dire pour lesquels A i A j = (pour tous idices i j), alors : Card ( U A ) = Card A + Card A Card A. i= i La somme Card A Card A est otée Card A i»). i= Card A i («sigma de i égale à de Propriété Soit Ω u référetiel. Si A et B sot deu sous-esembles de Ω, alors : Card (A B) = Card A + Card B - Card (A B) TG PA 0

32 Élémets de la théorie des esembles Séquece Eemple Das ue classe, 8 élèves fot de l aglais, 0 de l espagol et 7 fot les deu lagues. Combie d élèves sot das la classe, si tous fot au mois ue lague? Soiet A = { fait de l aglais } et E = { fait de l espagol }. A E représete la classe et A E représete les élèves pratiquat les deu lagues. Par hypothèse Card A = 8, Card E = 0 et Card (A E) = 7, Card (A E) = Card A + Card E - Card(A E) = =, il y a doc élèves das la classe. Applicatios/Eercice 5 Propriété Si Card E = alors Card P (E) =. (Ce qui se vérifie sur l eemple du E.). Applicatios/Eercice 6 Propriété Si A et B sot deu esembles fiis tels que A B alors Card A Card B. Propriété Soit Ω e référetiel et A u sous-esemble de Ω. O a : Card A = Card Ω - Card A. Propriété Si A et B sot des esembles fiis alors : Card (A B) = (Card A) (Card B). Et pour etier aturel : Card (A ) = (Card A). Applicatios/Eercice TG PA 0 33

33 Séquece Élémets de la théorie des esembles. Propriétés des opératios défiies sur les esembles Les propriétés des opératios,, A défiies sur P(E) correspodet au propriétés des opératios logiques,,. Ces propriétés sot doc idetiques. Elles peuvet être aisémet représetées à l aide de diagrammes de Ve. Propriété (de l iclusio) a) Pour tout esemble A : A A (réfleivité). b) Si A, B, C sot 3 esembles tels que A B et B C alors A C (trasitivité). c) Si A B et B A alors A = B (atisymétrie). Propriété (du complémetaire) a) Si Ω est le référetiel alors, Ω = et = Ω. b) A = = A. c) Si A B alors B A. Propriété 3 (de la réuio) a) Idempotece : A A = A. b) Commutativité : A B = B A. c) Associativité : (A B) C = A (B C) que l o peut doc oter A B C. d) Si A et B sot iclus das C alors A B est iclus das C : (A C B C ) A B C). e) Si A B alors : A B = B. f) A = A et A Ω = Ω (Ω état le référetiel). Propriété 4 (de l itersectio) a) Idempotece : A A = A. b) Commutativité : A B = B A. c) Associativité : (A B) C = A (B C) que l o peut doc oter A B C. d) Si A et B sot iclus das C alors A B est iclus das C : ( A C B C ) A B C. e) Si A B alors : A B = A. f) A = et A Ω = A (Ω état le référetiel) TG PA 0

34 Élémets de la théorie des esembles Séquece Propriété 5 (distributivité) a) A (B C) = (A B ) ( A C). b) A (B C) = (A B ) ( A C). Propriété 6 (loi de De Morga) a) A Β = A B. b) A Β = A B. Applicatios/Eercice 8 3. Foctios - Applicatios 3A. Foctio de E vers F - Applicatio de E vers F Défiitio Soiet E et F deu esembles. Si à tout élémet de E est associé au plus u élémet y de F par ue relatio f alors o dit que f est ue foctio de E vers F. Remarque «Au plus» sigifie u ou aucu. f f:e F O ote ou E F et a f() se lira " a pour image f() ". a f() a f() Ue foctio de E vers F peut égalemet être défiie par ue représetatio sagittale. Eemple a b c d TG PA 0 f(a) = f(b) = ; f(d) =3 35

35 Séquece Élémets de la théorie des esembles Défiitio L esemble oté D f des qui ot ue image par f est appelé esemble (ou domaie) de défiitio de f. Das l eemple précédet, l élémet c ayat pas d image : D f = {a, b, d}. Défiitio Soiet E et F deu esembles. Si à tout élémet de E est associé u élémet y de F par la foctio f alors o dit que f est ue applicatio de E vers F. Eemple a b c d f 3 4 Remarque f est ue applicatio de E = {a, b, c, d} vers F = {,, 3, 4}. Soiet f ue foctio de E vers F et D f so esemble de défiitio. Si E = D f f est ue applicatio de E vers F. Das l eemple précédet E = {a, b, c, d} = Df. alors 3B. Image d ue partie A de E - Image réciproque d ue partie B de F Défiitio Soiet E et F deu esembles, A u sous-esemble de E et B u sous-esemble de F. L esemble des images des élémets de A par f est appelé image de A par f. O le ote f(a). L esemble des atécédets des élémets de B par f est appelé image réciproque de B. O le ote f - (B) TG PA 0

36 Élémets de la théorie des esembles Séquece Eemple a b c d 3 4 f ({a, c}) ={, } et f - ({, 3, 4}) = {b, c, d}. Applicatios/Eercice 9 3C. Ijectio - Surjectio - Bijectio Défiitio Soiet E et F deu esembles, et f est ue applicatio de E das F. O dira que : f est ue ijectio de E das F si tout élémet y de F admet au plus () u atécédet de E. f est ue surjectio de E sur F si tout élémet y de F admet au mois () u atécédet de E. f est ue bijectio de E sur F (ou ue applicatio bijective de E vers F) si tout élémet y de F admet u et u seul atécédet de E. () Sigifie u ou aucu. () Sigifie u ou plusieurs. E F E F E F Ijectio Surjectio Bijectio TG PA 0 37

37 Séquece Élémets de la théorie des esembles Pour détermier si l applicatio f de E F est ue ijectio, ue surjectio ou ue bijectio, o remarquera que pour a élémet doé de F : a) Si l équatio f () = a admet au plus ue solutio das E alors f est ue ijectio. b) Si l équatio f () = a admet au mois ue solutio das E alors f est ue surjectio. c) Si l équatio f () = a admet ue et ue seule solutio das E alors f est ue bijectio. Eemples O cosidère les applicatios f et g de R vers R défiies par f() = et g() = 4-.. Soit a u réel fié, détermios das R le ombre de solutios de l équatio f() = a dot l icoue est. f() = a = a. Si a < 0 alors l équatio a pas de solutio, doc f est pas surjective. Si a = 0 alors l équatio a qu ue solutio = 0. Si a > 0 alors l équatio a deu solutios : pas ijective. = a ou = a, doc f est. Soit a u réel fié, détermios das R le ombre de solutios de l équatio g() = a dot l icoue est. g() = a 4 - = a d où 4 - a =. L équatio g() = a admet ue et ue seule solutio das E doc f est ue bijectio de R das R. Applicatios/Eercice 0 3D. Compositio d applicatios Défiitio Soiet f ue applicatio de E das F et g ue applicatio de F das G. O appelle applicatio composée de f par g l applicatio otée gof défiie de E vers G par : gof() = g[f()]. 38 Eemple O cosidère les applicatios f et g de R das R défiies par : f() = 4 - et g() = - 5. gof() = g[f()] = (f()) - 5 = (4 - ) - 5 = fog() = f[g()] = 4 - g() = 4 - ( - 5) = = 9 -. O remarque que gof() fog() TG PA 0

38 Élémets de la théorie des esembles Séquece Propriété La compositio des applicatios est pas commutative, c est-à-dire si f et g sot deu applicatios alors gof fog. Applicatios/Eercice Propriété Si f, g et h sot trois applicatios alors (hog)of = ho(gof). La compositio des applicatios est doc associative, et l o peut oter : hogof = (hog)of = ho(gof). 3E. Bijectio réciproque Soit f ue applicatio bijective de E vers F.Tout élémet de E admet ue et ue seule image y car f est ue applicatio, et tout élémet y de F admet u et u seul atécédet de E car f est bijective. Défiitio Soit f ue applicatio bijective de E vers F. O appelle applicatio réciproque de : f : E F a y et l o ote f -, l applicatio qui à tout réel y associe so uique atécédet : f : F E y a Propriété L applicatio f - est elle-même bijective TG PA 0 39

39 Séquece Élémets de la théorie des esembles Eemple O cosidère l applicatio f défiie de R vers R par f( ) = + 3. Notos y = f(). Pour réel, y = + 3 = y 6, doc tout élémet y de R admet u et u seul atécédet de R et f est ue bijectio. - - f : R R f est défiie par y a y 6 - f : R R ou ecore e chageat de otatio a 6 Propriété Si f est ue bijectio de E vers F et f - est sa bijectio réciproque, alors : f - of() = fo f - () = Eemple f : R R - - f : R R Si f est défiie par alors f est défiie par + a 3 a 6 et l'o a aura : : - - f of( ) = f [ f( ) ]= f( ) 6= = fo f ( ) = f [ f ( ) ] = f ( ) + 3 = ( 6 ) + 3 =. Applicatios/Eercice TG PA 0

40 Élémets de la théorie des esembles Séquece Eercices autocorrectifs Applicatios Esembles Eercice Das le référetiel Ω = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o cosidère les sous-esembles : A = { Ω < 5 } ; B = {0,, 4, 6, 8} ; C = {0, 3, 6, 9}.. Défiir A e etesio.. Défiir les esembles B et C e compréhesio. 3. Représeter Ω,A,B et C à l aide d u diagramme de Ve. Eercice Das le référetiel Ω = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o cosidère les sous-esembles : A = {0,,, 3, 4} ; B = {0,, 4, 6, 8} ; C = {0, 3, 6, 9}.. Détermier e etesio les esembles : A B, A B, (A B) C, A (B C).. Est-ce que les esembles A et B sot disjoits? Est-ce que B et C sot disjoits? Eercice 3 Das le référetiel Ω = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o cosidère les sous-esembles : A = {0,,, 3, 4} ; B = {0,, 4, 6, 8} ; C = {0, 3, 6, 9}.. Est-ce que les esembles A et B sot complémetaires?. Détermier e etesio les esembles : A ;B ;A Β ;A B ;(A Β) C ; A (Β C). 3. Détermier e etesio les esembles : A - B ; B - A ; (A B) - C. Eercice 4 Das le référetiel Ω ( = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o cosidère les sous-esembles : A = {, 4} ; B = {, 3, 5}. Détermier e etesio les esembles produits A B et B A. Eercice 5 Das ue classe de 5 élèves, 7 élèves fot du football, fot de la atatio et 5 élèves e fot aucu sport. Combie d élèves pratiquet les deu sports? O posera F = { fait du football}et N = { fait de la atatio} TG PA 0 4

41 Séquece Élémets de la théorie des esembles Eercice 6 Das le référetiel Ω = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o cosidère les sous-esembles : A = {, 4}; B = {, 3, 5}.. Détermier Card A et Card B. E déduire Card P (A) et Card P (B).. Détermier e etesio les esembles P(A) et P(B).Vérifier le résultat précédet. Eercice 7 O cosidère les esembles défiis e compréhesio par : A = { est u diviseur de 45} ; B = { est u diviseur de 30}.. Détermier e etesio les esembles A, B et A B et idiquer Card A, Card B et Card(A B).. Sas les détermier e etesio, e déduire le ombre d élémets des esembles A B, A - B, de l esemble produit A B et de l esemble produit A 3. Eercice 8. Complétez la table de vérité ci-dessous : A B C A Β (A B) C A C B C (A C) (B C) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Que cocluez-vous?. Complétez la table de vérité ci-dessous : A B A B A Β A Β A B V V F F Que cocluez-vous? V F V F TG PA 0

42 Élémets de la théorie des esembles Séquece Foctios Eercice 9 O cosidère la foctio f de E = {a, b, c, d} vers F = {,, 3, 4, 5} défiie par : f(a) = ; f(b) = 3 ; f(c) = 5 ; f(d) = 3.. Doer la représetatio sagittale de f.. Quel est le domaie de défiitio D f de f? Est-ce que f est ue applicatio? 3. Quelle est l image de A = {a, b, d} par f? 4. Quelle est l image réciproque de B = {,, 5} par f? Eercice 0 O cosidère la foctio f de E = {a, b, c, d} vers F = {,, 3, 4, 5} défiie par : f(a) = ; f(b) = 3 ; f(c) = 5 ; f(d) = 3.. Résoudre das A les équatios d icoue : f() = 3 et f() =.. Est-ce que f est ijective? surjective? bijective? Eercice O cosidère les applicatios f et g de R das R défiies par : f() = + et g() = +5. Détermier les applicatios composées gof, fog, fof et gog. Eercice O cosidère l applicatio f défiie de R vers R par f() = Moter que f est bijective.. Détermier sa bijectio réciproque f TG PA 0 43

43 Séquece Élémets de la théorie des esembles Approfodissemets Eercice 3. Si A, B et C sot trois esembles, motrer que : Card (A B C) = Card A + Card B + Card C - Card (A B) - Card (B C) - Card (C A) + Card (A B C). Eercice 4 Das ue classe de lycée les élèves peuvet choisir les optios : musique, dessi et 3 e lague vivate. O sait que élèves fot de la musique, 5 fot du dessi, 5 fot les deu, fot ue LV3, fot les trois activités, 4 e fot que du dessi et ue LV3, e fait que de la musique et ue LV3. Efi 3 élèves e fot aucue activité. Combie y a-t-il d élèves das la classe? Différece symétrique Eercice 5 O appelle différece symétrique de deu esembles A et B, et l o ote A B, l esemble des élémets apparteat qu à l u et l u seulemet des esembles A et B, soit ecore : A B = { ( A et B) ou ( A et B) } = (A - B) (B - A). O cosidère les esembles A = {0,, 3, 4, 6} et B = {, 4, 5, 6}.. Les représeter à l aide d u diagramme de Ve.. Détermier e etesio les esembles : A B, B A. Eercice 6 Soit A et B deu esembles. Motrer que l opérateur différece symétrique vérifie les deu propriétés suivates : a) A B = B A (commutativité) ; b) si A B alors A B = B - A. Partitio Eercice 7 O dira que esembles o vides A,A,..., A réaliset ue partitio d u esemble A si : U a) A = A ; i= i b) les esembles A i sot deu à deu disjoits c. à. d :A i A j = Ø pour tous idices i j TG PA 0

44 Élémets de la théorie des esembles Séquece. Est-ce-que les esembles A = {0,, 6}, B = {, 3, 5, 7}et C = {0,, 4, 9} réaliset ue partitio de l esemble Ω = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?. Détermier l esemble D afi que A, B et D réaliset ue partitio de l esemble Ω. Foctios Eercice 8 O cosidère les applicatios f défiie de [0 ; + [ das R par f() = + et g défiie de R - {} das R - {} par g() =. E détermiat, pour a réel doé (a ), le ombre de solutios des équatios d icoue : f( ) = a g( ) = a et [ 0 ; + [ R {}. Motrer que f est ijective.. Motrer que g est bijective. Eercice 9 Soit f ue applicatio ijective de E F. Pour tous et de E, f() f( ). Par cotrapositio o aura doc : Pour tous et de E, f() = f( ) = '. Pour détermier si ue applicatio f de E F est ue ijectio, il suffira d établir que : f() = f( ) = '. Soit f l applicatio de [0 ; + [ das R défiie par f() = +. Motrer que f est ijective. Eercice 0 3 O cosidère l applicatio f défiie de R - {3} das R - {3} par f() =. 3. Motrer que f est bijective.. Détermier sa bijectio réciproque f Représeter f et f - das u repère orthoormé TG PA 0 45

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46 Algèbre de Boole Séquece 3 Prérequis Élémets de logique Notios sur les esembles Objectifs Effectuer des calculs permettat de simplifier des epressios booléees Coteu. Défiitios - Propriétés. Représetatio des foctios booléees A. Représetatio des foctios booléees à variables B. Représetatio des foctios booléees à 3 variables 3. Simplificatio des epressios booléees 3A. Méthode algébrique 3B. Méthode graphique pour les foctios booléees à variables 3C. Méthode graphique pour les foctios booléeesà 3 variables 4. Eemples d applicatios TG PA 0 47

47 Séquece 3 Algèbre de Boole. Défiitios Propriétés Défiitios O cosidère u esemble B mui de deu opératios que ous oteros pour cette défiitio + et. O dira que le triplet (B, +,.) costitue ue algèbre de Boole si, quels que soiet les élémets a, b, c de B les opératios vérifiet les propriétés suivates : ) a + b B et a.b B (o dit que + et. sot deu lois de compositio itere) ; ) chaque opératio admet u élémet uique oté respectivemet 0 et, appelé élémet eutre, vérifiat : a + 0 = 0 + a = a ; a. =. a = a 3) a + b = b + a et a.b = b.a (o dit que les opératios + et. sot commutatives) ; 4) chacue des opératios est distributive par rapport à l'autre : a.(b + c) = a.b + a.c a + (b.c) = (a + b).(a + c) 5) tout élémet a admet u élémet uique oté a, appelé complémetaire de a, vérifiat : a. a = 0 ; a + a = Le produit boolée a.b est ecore oté ab et les élémets de B sot appelés variables booléees. Propriété (Associativité) Si a, b et c sot des variables booléees alors : a + (b + c) = (a + b) + c a.(b.c) = (a.b).c Les opératios + et. sot dites associatives et l'o peut doc écrire les epressios précédetes sas parethèse : a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a.(b.c) = (a.b).c = abc Eemples d algèbre de Boole:. Soit B = {0 ; } mui des deu opératios otées + et. défiies par leur table de Pythagore : Applicatios/Eercice TG PA 0

48 Algèbre de Boole Séquece 3 Alors (B, +,.) est ue algèbre de Boole. O ote pour les complémetaires que = 0 et 0 =.. Si E est u esemble et P (E) l'esemble de ses parties alors (P (E),, ) et (P (E),, ) sot aussi des algèbres de Boole. Défiitio Soit B ue algèbre de Boole. O appelle foctio booléee de variables a, a,..., a toute applicatio f : B B ( a ;a ;a ; ; a ) a f( a ;a ;a ; ; a ) 3 3 Eemples f : B B f : B 3 B ) ) ( a ; b) a f ( a ;b) = a b ( a ; b ; c) a f ( a ; b ; c) = ab + a b + a c + b c Les epressios booléees (epressios faisat iterveir des variables booléees et les lois de compositio + et.) peuvet das de ombreu cas être simplifiées. Pour cela, outre les propriétés qui défiisset ue algèbre de Boole (B, +,. ) o utilise pour leur simplificatio les propriétés suivates : Propriété Idempotece Élémets absorbats Si a est ue variable booléee alors : a + a = a ; a. a = a (idempotece) a + = ; a.0 = 0 (O dit que est élémet absorbat pour + et que 0 est élémet absorbat pour.) E effet : a = a + 0 = a + (a.a ) = (a + a). (a + a ) (distributivité de + par rapport à.). D'où a = (a + a). = a + a. a + = a + (a + a ) = (a + a) + a = a + a =. aa = aa + 0 = a.a + a.a = a. (a +a ) = a. = a. a.0 = a.(a. a )= (a. a). a = a.a = 0. Eemples Soiet A = b.(a + b).a ; B = ab. (a + bc) et C = (a + b)(a + c). A = b.(a + b).a = b.a. (a + b) = b.a.a + b.a.b = b.a.a + b.b.a = b.a + b.a = b.a (par idempotece). B = ab. (a + bc) = aba + abbc. = a a b + abbc = 0 + a.b.c (car aa = 0 et bb= b) = abc TG PA 0 49

49 Séquece 3 Algèbre de Boole C = (a + b)(a + c) = aa + ac + ba + bc (par distributivité) = a + ac + ba + bc (car aa = a) = a.( + c + b) + bc = a. + bc(car est élémet absorbat pour +) = a + bc. Applicatios/Eercice Propriété 3 Si a est ue variable booléee alors il éiste qu ue seule variable booléee vérifiat : a + = et a. = 0 : c est la variable a. Propriété 4 Si a est ue variable booléee, a so complémetaire et a = le complémetaire de a, alors : a = = a. E effet : a et a = sot complémetaires, doc a + a = = et a.a = = 0 or a + a = et a.a = 0 d où a = = a e appliquat la propriété 3. Eemple Le complémetaire de ab + c est ab + c. Propriété 5 : régle de De Morga Si a et b sot deu variables booléees, a et b leurs complémetaires, alors : a + b = a.b et a.b = a + b E effet : (a + b) + (a.b )= (a + b + a ). (a + b + b ) = ( + b). ( + a) =. = et (a +b). (a.b ) = (a.b.a) + (a.b.b) = = 0 doc (a+b) et a.b sot complémetaires. D'où a + b = a.b et a.b = a +b e appliquat la propriété TG PA 0

50 Algèbre de Boole Séquece 3 Eemple ab + c = a.b.c = (a +b ).c = a.c + b.c Applicatios/Eercice 3 Propriété 6 - Règle d'absorptio Si a et b sot des variables booléees alors : a + a.b = a + b E effet : a + a.b = (a + a ) (a+b) (distributivité de + par rapport à.) =.(a + b) = a + b Eemples Si A = b + bc alors A = b +c Si B = a bc + ac alors B = c(a+a b) = c(a+b) = cb + ca = ac + bc Applicatios/Eercice 4 Remarque De : + 0 = et.0 = 0, o déduit de la propriété 3 que : = 0 et 0 = Défiitio U miterme de variables booléees est u produit de ces variables ou de leurs complémetaires Défiitio TG PA 0 Eemples. Soit deu variables a et b, alors a.b et a.b sot deu mitermes. Soit trois variables a, b et c, alors ab c est u miterme par cotre ab e l est pas. O appelle forme caoique disjoctive de la foctio f so écriture sous forme de somme de mitermes (cette décompositio est uique). Eemple f(a ; b) = ab + a b est sous forme caoique disjoctive, mais g(a ; b) = a + a b e l'est pas. Sa forme caoique disjoctive est g(a ; b) = ab + ab + a b. 5

51 Séquece 3 Algèbre de Boole. Représetatio des foctios booléees A. Représetatio des foctios booléees à variables Les foctios booléees de variables a et b sot représetées par le tableau ci-dessous appelé tableau de Karaugh. Chaque case représete u produit des variables a, b ou de leur complémetaire et chacu de ces produits est appelé u miterme. Pour ue foctio de variables ils sot au ombre de 4. a b 0 0 a b a.b a.b ab Pour représeter ue foctio f, o met e évidece les mitermes composat f e otat das les cases pour lesquelles f =. Eemple Pour f(a ; b) = ab + a b, o a : a b 0 Eemple Pour g(a ; b) = a + a b, o a : a 0 0 b ab + a b 0 a + a b a est représeté par cases adjacetes (ab et ab) TG PA 0

52 Algèbre de Boole Séquece 3 Remarque Lorsque l'o passe d'ue case à ue autre case du tableau, et si ue des variables seulemet chage d'état, les cases correspodates sot dites adjacetes. Par eemple, les cases correspodat au mitermes ab et a b sot adjacetes mais les cases correspodat au mitermes ab et a b e le sot pas. b b a 0 a Cases adjacetes Cases o adjacetes TG PA 0 53

53 Séquece 3 Algèbre de Boole B. Représetatio des foctios booléees à 3 variables Représetatio d ue variable et de so complémetaire a bc Représetatio de a 0 a bc Représetatio de b 0 a bc Représetatio de c 0 a bc Représetatio de a 0 a bc Représetatio de b TG PA 0

54 Algèbre de Boole Séquece 3 a bc Représetatio de c 0 Représetatio des produits de variables ou leurs complémetaires a bc Représetatio de ab 0 a bc Représetatio de ac 0 a bc Représetatio de bc 0 a 0 bc Représetatio de ab TG PA 0 55

55 Séquece 3 Algèbre de Boole a bc Représetatio de ab 0 a bc Représetatio de bc 0 a bc Représetatio de bc 0 a bc Représetatio de ab 0 a bc Représetatio de bc 0 a bc Représetatio de ac TG PA 0

56 Algèbre de Boole Séquece 3 a bc Représetatio de ac 0 a bc Représetatio de ac 0 Représetatio des mitermes a bc Représetatio du miterme abc 0 a bc Représetatio du miterme abc 0 a bc Représetatio du miterme abc TG PA 0 57

57 Séquece 3 Algèbre de Boole a bc Représetatio du miterme abc 0 a bc Représetatio du miterme abc 0 a bc Représetatio du miterme abc 0 a bc Représetatio du miterme abc 0 a bc Représetatio du miterme abc TG PA 0

58 Algèbre de Boole Séquece 3 Représetatio d ue foctio booléee quelcoque de 3 variables La représetatio à l aide d u tableau de Karaugh d ue foctio booléee quelcoque s effectue e combiat les différetes représetatios ci-dessus. Eemples. Pour f(a ; b ; c) = abc + a bc + a bc o a : a 0 bc Pour f(a ; b ; c) = ab + a c + abc o a : a 0 bc Pour f(a ; b ; c) = abc + c + ab o a : a 0 bc TG PA 0 59

59 Séquece 3 Algèbre de Boole Remarque Applicatios/Eercice 5 Pour 3 variables booléees : 4 cases du tableau de Karaugh sot dites adjacetes si elles peuvet s écrire à l aide d ue seule variable et cases sot dites adjacetes si elles peuvet s écrire à l aide d u produit de variables.. Eemple de cases adjacetes : a c c b ac a. Eemple de cases o adjacetes : Elles e peuvet pas s écrire à l aide d u produit de variables ou avec variable TG PA 0

60 Algèbre de Boole Séquece 3 3. Simplificatio des epressios booléees 3A. Méthode algébrique Les calculs s'effectuet e utilisat les règles de calcul (associativité, commutativité, absorptio, idempotece, distributivité par rapport à chaque loi, etc.) vues précédemmet. Eemple Soit (B, +,. ) u triplet mui d'ue structure d'algèbre de Boole. Soit f :B 3 B la foctio de trois variables booléees a, b, c défiie par : f(a, b, c) = ab c + ac +abc + a bc O peut, par eemple, écrire : f(a, b, c) = a.(b c + c +bc ) +a bc d'où : f(a, b, c) = a.[c. (b +) + bc ] + a bc = a.[c +bc ] + a bc (car b + = ) = a. (c +b) + a bc (car c + bc = c + b) = ac + ab + a bc = ac + b(a + a c) = a.c + b.(a + c) (car a + a c = a + c). Et fialemet : f(a, b, c) = a.c + a.b + b.c. Applicatios/Eercice 6 3B. Méthode graphique pour les foctios booléees à variables Pour simplifier ue epressio booléee, o remplace deu cases adjacetes par ue seule variable. Eemple Pour g défiie par g(a ; b) = a + a b, o a : b a 0 0 () () (3) O remplace () et (3) par a et () et (3) par b D où g(a ; b) = a + a b = a + b TG PA 0 6

61 Séquece 3 Algèbre de Boole 3C. Méthode graphique pour les foctios booléees à 3 variables Pour simplifier l'écriture d'ue foctio à l'aide d'u tableau de Karaugh, o regroupe les cases adjacetes par quatre (si cela est possible) ou par deu que l'o remplace à l'aide de (l uique variable qui e chage pas d état das les 4 cases) ou variables (les deu variables qui e chaget pas d état das les deu cases) respectivemet. Chaque case doit être prise das au mois u regroupemet du tableau coteat u. Eemples. Pour f ( a ; b ; c) = abc + abc + abc o a : a 0 bc () (3) () Le regroupemet des cases otées () et () peut être remplacé par le produit a b (ici a et b e chaget pas d état) ; celui de () et (3) par le produit bc (ici b et c e chaget pas d état). Sous forme simplifiée o aura doc : f(a ; b ; c) = a b + bc.. Pour f(a, b, c) = abc + ab c + abc + a bc, o a : a () O peut effectuer trois regroupemets de cases adjacetes ; aisi le produit a.c remplace le regroupemet des cases () et (3) ; le produit b.c remplace celui des cases ()et (3) et le produit a.b remplace celui des cases (3) et (4), d'où l'epressio de f, somme de ces trois produits boolées : f(a, b, c) = a.b + a.c + b.c. 3. Pour f(a ; b ; c) = a bc + a bc + abc + ab c, o a : a 0 0 bc bc () () () (3) (3) (5) (4) (4) TG PA 0