TS DEVOIR SURVEILLÉ 6 : CORRIGÉ 2004/2005. (uv)'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)

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Alizée Lheureux
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1 TS DEVOIR SURVEILLÉ 6 : CORRIGÉ 4/5 Ercic ROC ( poits) Qustio d cours O sit qu pour tout t [, ] : (uv)'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t) E itégrt d à : D'où : pplictio ( utvt ()()) dt= u ()()d tvt t+ utv () ()d t t [ utvt] () () = u ()()d tvt t + utv () ()d t t u ()()d tvt t = [ utvt ()()] utv () ()d t t U primitiv F d l foctio logrithm épéri st doé, pour + pr : F() = lt dt O pos : u(t) = l t v'(t) = O détrmi ici L primitiv d l foctio logrithm qui s'ul. u'(t) = t v(t) = t (à u costt près) D'où : F() = [ t ] lt dt = l ( ) = l + Ercic QCM (4 poits). Répos K K = ( + ),9 d= +,9 = +,9 =,69 Bi qu c soit ps écssir, détillos l clcul ds utrs itégrls : Rmrquos qu : I = L foctio itégré st d l form u u d = l vc u() = l. d l Comm u st positiv sur l'itrvll [ ; ], u primitiv d u u st doc l u d'où : I = [ l(l ) ] Là cor, ous vos l form u u J = l3 + = l(l( )) l(l ) = l vc u() = + d'où : d = l( + ) l3 L foctio L st fit idépdt d s vril : L() = d t t = [ l ] = l 4 l = l t = l() l = l TS DS - 4/5 Pg 3 G. COSTNTINI

2 . Répos L E fft, o rpèr d visu qu ls 3 prmièrs itégrls sot ulls. I st l'itégrl d'u foctio périodiqu : I = π si d = [ ] π cos = J st l'itégrl d'u foctio impir sur u itrvll ctré. E fft, posos : ƒ() = si + ( ) pour [ ; ] L'itrvll [ ; ] st symétriqu pr rpport à t pour tout d [ ; ], o : ƒ( ) = si + ( ) = ƒ() D'où : J = Cu qui s sot itérssés à l qudrtur d l prol urot vit rpéré qu K st ull : K = d 3 = = Efi, i qu c soit ps écssir, o put clculr l'itégrl L pr prtis : L = l d= l d = ( ) = 3. L foctio F st dérivl sur t pour tout : F'() = Comm u potill st positiv sur, o déduit : F st croisst sur Pour iformtio : o put ps primr l foctio F à l'id ds foctios usulls. Il s'git d l foctio rf (d l'glis "rror fuctio") d Guss très utilisé proilité (loi orml). 4. Il s'git du domi délimité pr l cour d l'potill, l' ds scisss t l droit vrticl d'équtio =. (L domi 'st ps délimité sur l côté guch). O fi doc u rél égtif t o clcul l'itégrl : I() = d = = Pour étudir l'id du domi D, il suffit d'étudir l limit d I() lorsqu td vrs. Comm ctt limit ist, l domi u ir fii (i qu'il soit ps géométriqumt oré) : lim I() = L'ir du domi D = {(, y), t y } st égl doc égl à : u.. TS DS - 4/5 Pg 4 G. COSTNTINI

3 y C p 3 O Rmrqu : o pouvit fir u stimtio grphiqu pour pchr pour l répos u.. Ercic 3 (4 poits) O cosidèr ls itégrls I t J suivts : I = l6 + 3 d + 4 t J = l6 d + 4. O : I 3J = l6 d + 4 = l( + 4) l6 = l l 5 = l 4 I + J = l6 d= l 6. Pour clculr I t J, o résout l systèm : E soustryt ls du équtios, o otit : D'où : I + J = l6 I 3J = l4 4J = l 6 l 4 = l 4 = l J = l I = l + 3J = 7l TS DS - 4/5 Pg 5 G. COSTNTINI

4 Ercic 4 ( poits).. Pour tout tir, o : u + u = + = ( + )! k = k = u + u L suit (u ) st doc croisst.. O cosidèr l propriété défii pour tout k * pr : (k) : k! k O () puisqu :! Supposos (k) pour u crti tir k *. lors : D'où (k + ) (k + )! (k + ) ( k) (k + ) k k+ L propriété st iitilisé t héréditir à prtir du rg, doc d'près l pricip d risomt pr récurrc, ll st vri à tous ls rgs o uls. O doc i, pour tout k * : k! k Pr décroissc d l foctio ivrs sur [, + [, il vit : E sommt pour k llt d à : k = k k k = k L mmr d droit st l somm d trms d'u suit géométriqu d riso, il vut doc : k k = = ( ) = ( ) O doc : k = Et joutt : u 3 L suit (u ) st doc i mjoré pr 3. c. L suit (u ) st croisst t mjoré, doc ll covrg.. Ds ctt qustio, ous llos clculr l limit d l suit (u ). Pour cl, o cosidèr, pour tout, l suit (I ) défii pr : I = d t I = d! pour *. O : I = = = TS DS - 4/5 Pg 6 G. COSTNTINI

5 . Pour tout * t tout [ ; ], o : E multiplit pr : E itégrt pour llt d à : d d Et divist pr! I! I C'st-à-dir : I! O déduit, d'près l théorèm d gdrms qu : c. O : ( + )! I + = lim I = + d + Posos : u() = + t v'() = U itégrtio pr prtis do : ( + )! I + = u'() = ( + ) + d t v() = + ( + ) d Et divist pr ( + )! : ( + )! I + = + ( + ) I + = I ( + )! d d. O cosidèr l propriété défii pour tout pr : O () puisqu : () : I + u = I + u = + = Supposos () pour u crti tir. lors : I + + u +.c. = I + u + = I + u ( + )! ( ) = D'près l pricip d risomt pr récurrc, o déduit qu pour tout : I + u =. O vu à l qustio.. qu lim I = t compt tu du fit qu u = I, ous otos : + lim u = + O motré qu : lim + k = = C qu'o ot cor : = k= TS DS - 4/5 Pg 7 G. COSTNTINI

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