TD n 1. Suites numériques et nombres réels : rappels et compléments

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1 L2, Uiversité Joseph Fourier Séries et itégratio (MAT 232) TD Suites umériques et ombres réels : rappels et complémets Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : Plusieurs des exercices ci-dessous e sot d ailleurs tirés. Il est crucial, pour toute la partie du cours sur les séries umériques, d être à l aise avec les suites. Vérifiez-doc cette aisace à l aide des QCM, exercices, cours et complémets du site.. Limite d u produit. Rappeler la démostratio du résultat suivat. Soiet (u ) et (v ) des suites de ombres complexes. Si (u ) et (v ) coverget, alors (u v ) coverge et lim u v = (lim u ) (lim v ). O pourra remarquer que si a et b sot des ombres complexes, u v ab = (u a)b+u (v b). 2. Doer u exemple de deux suites divergetes (u ) et (v ) telles que (u v ) soit covergete. 2. Calcul de limites à l aide des foctios usuelles Calculer la limite, si elle existe, des suites suivates.. u = u =. 3. u = + 4. u = (log ( 4 )+ ) u =! 6. u = ta(/)cos(2+) 7. u = (+)2 (+) log(2) 8. u = log 9. u = log(2 +3 2) log( /3 ). u = (e 2 ) 3. Développemets limités Doer u développemet limité pour (u ) (lorsque ted vers l ifii) avec u reste e o(/ 2 ), das chacu des cas suivats :

2 . u = u = log( + ) 2 3. u = +2 ( 4. u = + ) u = si 4. Bore supérieure, bore iférieure Pour chacu des esembles suivats, détermier s il est majoré, s il est mioré, s il a u maximum, s il a u miimum, et le cas échéat détermier ses bores supérieures et iférieures.. A = {( ) N} 2. B = {( ) / N } 3. C = {( ) N } 4. D = { + +2 N } 5. E = { m,m N } 5. Suites extraites Soit (u ) ue suite réelle.. Motrer que si les suites extraites (u 2 ) et (u 2+ ) coverget vers la même limite, alors (u ) coverge. 2. Motrer que si les suites extraites (u 2 ), (u 2+ ) et (u 3 ) coverget, alors (u ) coverge aussi. 3. Motrer que si les suites extraites (u 2 ), (u 2+ ) et (u 2) coverget, alors (u ) coverge aussi. 6. Ue somme téléscopique. Détermier trois réels A,B,C tels que pour tout x R différet de, et o ait : x(x 2 ) = A x + B x + C x+ 2. E utilisat cette relatio pour x = 2,3,,, détermier pour chaque etier 2 ue expressio simple de S := k=2 k(k 2 ) = 2(2 2 ) + 3(3 2 ) + + ( 2 ) 3. E déduire que la suite (S ) coverge et détermier sa limite.

3 7. Suites adjacetes Pour chacu des couples suivats, motrer que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes.. u = k 2 et v = u u = k= k= k 3 et v = u u = a >, v = b > a, v + = u+v 2 et u + = u v. 8. Algorithme de Babyloe Soiet a et u deux réels strictemet positifs. O défiit la suite (u ) par :, u + = ) (u + au. 2. Motrer que si (u ) coverge, c est vers a 2. Motrer que pour tout, u + a = 2 (u a) ( ) a u. 3. Motrer que (u ) coverge. 9. Moyees de Césaro Soit (u ) ue suite de ombres complexes. O ote :, S = (u +...+u ).. Motrer que si(u ) coverge dasc, alors(s ) coverge vers la même limite. 2. Exhiber ue suite (u ) divergete telle que (S ) coverge. 3. Soit(u ) ue suite de ombre réels strictemet positifs telle que u + u coverge. Motrer que (u / ) coverge vers la même limite.. Limite supérieure et limite iférieure Soit (u ) ue suite borée de ombres réels. O défiit les suites i et s par : N, i = if{u k t.q. k } et s = sup{u k t.q. k }.. Motrer que (i ) et (s ) coverget. La limite de i est appelée limite iférieure de la suite (u ) et est otée limif u. Celle de s est appelée limite supérieure de la suite (u ) et est otée limsup u.

4 2. Motrer qu il existe ue sous-suite de (u ) covergeat vers limif u et ue autre covergeat vers limsup u. Cela doe doc ue autre démostratio du théorème de Bolzao-Weierstrass. 3. Motrer que (u ) coverge si et seulemet si (i ) et (s ) coverget das R vers la même limite.. Applicatios cotractates Soit I u itervalle de R, F ue applicatio de I das lui-même et ρ u ombre réel de [,[. O suppose que F vérifie : x,y I, F(x) F(y) ρ x y. Motrer que la suite (u ) défiie par u I et u + = F(u ) coverge, et que sa limite est l uique poit fixe de F. O pourra commecer par motrer que (u ) est ue suite de Cauchy.

5 L2, Uiversité Joseph Fourier Séries et itégratio (MAT 232) TD 2 Séries à termes positifs. Nature de séries Détermier la ature des séries de terme gééral :. u = e 5 + ; 2. u = ; 3. u = e + ; 4. u = e + ; ( 5. u = l + ) 6. u = e 4+si ; 7. u = l(+ ) + ; 6. u = 2 ( ( ) ; 8. u = l ; ( 9. u = + ) ( ) ;. u = e ;. u = e ; ( 2. u = ) ( 2) ; 3. u =! ( ) ; 4. u = l α valeur du réel α) ; ( 5. u = ta e si cos (l( ) ) 2 ). ( ) (discuter selo la ) ; 2. Soit (u ) ue suite de ombres positifs telle que u coverge. Motrer que la série u u + coverge. 3. Série à terme gééral défii par ue récurrece Soit (u ) la suite défiie par u = et u + = siu. Motrer que pour tout + N o a u [,], puis motrer que la série u coverge.

6 4. Séries à terme gééral positif décroissat Soit (u ) ue suite positive décroissate telle que u coverge. Motrer que pour tout ε > il existe N N tel que pour tout > N o ait ( N)u ε. E déduire que u ted vers quad ted vers +. Doer u exemple de suite positive (v ) telle que v coverge et v e ted pas vers. 5. Soit (u ) ue suite à termes positifs, et otos v = + 2. u. Motrer par des exemples que la divergece de u e permet pas de détermier la ature de v. O suppose das la suite que u coverge et o va motrer que v diverge. 2. Traiter le cas où 2 u e ted pas vers Traiter le cas où 2 u + e appliquat l iégalité de Cauchy-Schwarz à N u /2 v /2. = 6. Soit (u ) ue suite réelle positive. Pour tout N o ote S = u p. Comparer la ature des séries u et u S (idicatio : o pourra cosidérer logs + logs ). p=

7 L2, Uiversité Joseph Fourier Séries et itégratio (MAT 232) TD 3 Séries à termes quelcoques. Natures de séries Détermier la ature des séries de terme gééral :. u = ( ) l ; ( ) 2. u = ( ) + ( ) ; 3. u = ( ) +( ) ; 4. u = ( ) +( ) ; 5. u = si ( ) ; 6. u = 7. u = cos(3) l() ( ) ; 8. u = ( ) cos(). l(l()) ; 2. Liéarisatios Rappeler la formule d Euler sur les polyômes trigoométriques puis détermier la ature des séries de terme gééral :. u = si3 () 2. u = sik ()cos l () 3. u = si(). ; où k,l N sot fixés; 3. Comparaiso avec ue itégrale E utilisat la comparaiso avec ue itégrale, étudier e foctio de α R la ature des séries suivates :. (l) α ; 2. (l)(l(l)) α. Idicatio : o pourra das le premier cas calculer la dérivée de x (lx) β.

8 4. Petits o Soit u ue suite à termes réels.. Doer u exemple tel que u coverge et u 2 diverge. 2. O suppose que u et u 2 coverget. Soit f ue applicatio de R das R deux fois dérivable e, telle que f() =. Motrer que f(u ) coverge. 5. Calcul de sommes Motrer que les séries suivates coverget et calculer leurs sommes :. ( ) 2. =3 = 2 +2! 3. = cos()! 6. Formule de Taylor-Lagrage O ote f la foctio x l(+x) défiie sur ],[ et o fixe λ ],[.. Motrer que la série de terme gééral u = ( ) λ 2. Motrer que sa somme vérifie (où ) coverge. + = ( ) λ = l(+λ) 7. Calcul de x Soit x u ombre réel, avec x <.. Motrer que x et x coverget. 2. Doer des expressios fermées (c est-à-dire sas sige ) de N = x et N x. = 3. E déduire la valeur de x. 4. Motrer que les séries suivates coverget et calculer leurs sommes : (a) (b) ( ( 2)3 +( 3)2 ) = ( 2 2)3 = (c) =2 2

9 8. Attetio à la semi-covergece Soit u ue série covergete à termes complexes. Motrer que la série u coverge. 9. U pot-pourri Soiet a et b deux réels. O cosidére la série u avec u = a +b.. O suppose b. Pour quelles valeurs de a la série est-elle absolumet covergete? 2. Même questio pour b >. 3. O suppose a =. Pour quelles valeurs de b la série est-elle covergete? 4. Représeter das le pla les poits de coordoées (a,b) tels que la série est absolumet covergete, covergete, divergete.. Règle de Raabe-Duhamel Soit (u ) ue suite de réels strictemet positifs. O suppose qu il existe a > b > tels que : u + = a ( ) u +O b.. Pour tout N, o pose v = a u. Motrer que la série de terme gééral l v + v coverge. 2. E déduire la ature de la série de terme gééral u.

10 L2, Uiversité Joseph Fourier Séries et itégratio (MAT 232) TD 4 Itégrabilité des foctios à valeurs positives. Ue fractio ratioelle. Détermier trois réels A,B,C tels que pour tout x > : 2. Calculer pour X > : x(x+)(x+2) = A x + B x+ + C x+2 I(X) = X dx x(x+)(x+2) 3. Quelle est la limite lorsque X + de I(X)? Que peut-o doc dire de l itégrale impropre + dx x(x+)(x+2)? 2. Chagemet de variable Soit X [,+ [. Calculer I(X) = X lorsque X +. dt cht puis détermier la limite de I(X) 3. Itégratio par parties Détermier ue primitive F de la foctio f : [,+ [ [,+ [ t t 2 e t E déduire que l itégrale impropre + f(t)dt coverge, et détermier sa valeur. 4. Nature d itégrales impropres Détermier la ature de chacue des itégrales impropres suivates.. lx dx ; x+e x 3. lx dx ; x+e x 2. lx dx ; x+e x 4. six x 2 + dx ;

11 dx +x 2 six ; lx x e x dx ; (x+2 x 2 +4x+)dx ; ( 3 x 3 + x 2 +)dx ; e x 2 x dx ; x (lx) 3 dx ; 2+six+si 2 x 3 x 4 +x 2 dx ; e x2 dx ; lx x dx ; 5. Limite et covergece de l itégrale. Soitf : [,+ [ [,+ [ ue foctio cotiue par morceaux telle que f(t) l quad t +, avec l > ou l = +. Motrer que + f(t)dt diverge. 2. Doer u exemple de foctio cotiue par morceaux g : [,+ [ [,+ [ telle que g(t) quad t + et + g(t) dt coverge. 6. Deux équivalets. Détermier la ature des itégrales impropres + e t e t t dt et + e t 2. Pour tout x >, o pose f(x) = dt. Calculer sa limite e +. x t 3. Utiliser ue itégratio par parties pour doer u équivalet simple de f e Doer u équivalet simple de f e +. t dt. 7. Dérivée logarithmique Soit f : [,+ [ ],+ [ ue foctio cotiue. Pour tout x [,+ [ o ote F(x) = ature. x f(t)dt. Motrer que les itégrales impropres + f(t)dt et + f(t) dt ot même F(t)

12 8. Tiré de l exame de rattrapage 2 Pour tout etier o pose u = (+)π π cos 2 x (+)π +x dx, v si 2 x = π +x dx. Calculer a := u +v et vérifier que la série a diverge. 2. E utilisat ue itégratio par parties, motrer que pour tout > o a u v 2π 2 3. Déduire des résultats précédets que u et v sot deux séries divergetes. 4. Si α est u paramètre réel, o pose f α (x) = si2 x (+x) α x Détermier les valeurs de α pour lesquelles la foctio f α est itégrable sur [,+ [.

13 L2, Uiversité Joseph Fourier Séries et itégratio (MAT 232) TD 5 Itégrales impropres : cas gééral. + π si(t) t dt est pas absolumet covergete Pour tout, o pose : u = (+)π π si(t) t. Détermier u réel a > tel que pour tout x [π+ π 4,π+ 3π 4 ], si(x) a. 2. E déduire u réel b > tel que u b pour tout. 3. E déduire que + π si(t) t + dt est divergete. dt. 2. Nature d itégrales impropres Détermier la ature de chacue des itégrales impropres suivates cosx l(x) dx ; si(x ) dx ; l(x) six dx ; x+e x e ix x /2 +x /4 si(x) dx ; cos 2 x x dx ; si 3 (x) x+2 dx ; si 2 (x) x( x 2 )l x dx ; 3. + f(t α ) dt pour ue foctio périodique de moyee ulle Soitf ue foctio cotiue surr, périodique, de période, et telle que f(t) dt =. O rappelle qu ue foctio cotiue sur u itervalle compact est borée sur cet itervalle.. Motrer que la foctio f est borée sur R, et e déduire que la foctio F défiie par : F(x) = x f(t) dt est borée sur R. 2. Motrer que + f(t) t a dt coverge pour tout a ],[. 3. E déduire que + f(t α ) dt coverge pour tout α >.