Chapitre 3 : Développements limités

Transcription

1 . Notion de développement limité. Développement limité en 0 Chapitre 3 : Développements limités Rappels et compléments : Soit f et g deux fonctions définies sur un voisinage de 0. Alors : f(x) _ f(x) =0 o(g(x)) lim g(x) = 0 En particulier : f(x) =0 o() lim f(x) = 0. _ f(x) =0 o(g(x)) f(x) =0 o(g(x)) (si 0) xf(x) =0 o(xg(x)) f(x) x =0 o g(x) x _ si f(x) =0 o(h(x)) et g(x) =0 o(h(x)) alors f(x) + g(x) =0 o(h(x)) et f(x) g(x) =0 o(h(x)) _ x =0 o(), x =0 o(x), x 3 =0 o(x ), _ en 0, un polynôme est équivalent à son monôme non nul de plus bas degré. Définition : Soit f une fonction définie au voisinage de 0. On dit que f possède un développement limité d'ordre en 0 s'il existe des réels a0, a tels que f(x) =0 a0 + ax + o(x). On dit que f possède un développement limité d'ordre en 0 s'il existe des réels a0, a, a tels que f(x) =0 a0 + ax + ax + o(x ). Remarques : _ f(x) =0 a0 + ax + o(x) signifie que f(x) = a0 + ax + g(x), avec g(x) =0 o(x) ( f(x) = a0 + ax + ax + g(x) avec g(x) =0 o(x ) pour un d.l. d'ordre. _ On peut trouver également comme définition d'un d.l. d'ordre (d'ordre ) : f(x) =0 a0 + ax + x (x) avec lim (x) = 0 f(x) =0 a0 + ax + ax + x (x) avec lim (x) = 0 En effet : pour un d.l. d'ordre : posons g(x) = x (x) g(x) = o(x) lim g(x) x = 0 lim (x) = 0. _ la partie polynomiale (a0 + ax + ax est appelée partie régulière du d.l. Elle donne une bonne approximation de la valeur de f au voisinage de 0. _ Si f admet un d.l. d'ordre en 0 : f(x) =0 a0 + ax + ax + o(x ), alors il admet un d.l. d'ordre en 0, qui est : f(x) =x0 a0 + ax + o(x). (car x =0 o(x)) _ Si f admet un développement limité en 0, alors le développement limité est unique. Ex : ( + x) 3 = + 3x + 3x + x 3 3x + x 3 =0 o(x) donc ( + x) 3 = + 3x + o(x) (d.l. d'ordre ) x 3 = o(x ) donc ( + x) 3 = + 3x + 3x + o(x ) (d.l. d'ordre ). Autres exemples (justifiés plus tard) : e x =0 + x + x + o(x ), ln( + x) =0 x x + o(x ),

2 . Développement limité en x0 En x0 IR : x x0 = o(), (x x0) =x0 o(x x0). Définition : Soit f une fonction définie au voisinage d'un réel x0. On dit que f possède un développement limité d'ordre en x0 s'il existe des réels a0, a tels que f(x) =x0 a0 + a(x x0) + o(x x0). On dit que f possède un développement limité d'ordre en x0 s'il existe des réels a0, a, a tels que f(x) =x0 a0 + a(x x0) + a(x x0) + o((x x0) ). Remarque importante : Pour passer d'un d.l. en x0 à un d.l. en 0, il suffit de poser x = x0 + h (h = x x0) Ex : d.l. en de f(x) = x 3 : Avec x = + h : x 3 = ( + h) 3 =0 + 3h + 3h + o(h ) x 3 =x0 + 3(x x0) + 3(x x0) + o(x x0).3 Développement limité d'une fonction de classe C, de classe C Propriété : Formule de Taylor-Young Soit f une fonction définie sur un intervalle I. _ si f est de classe C sur I, alors x0 I, f(x) =x0 f(x0) + f '(x0) (x x0) + o(x x0) _ si f est de classe C sur I, alors x0 I, f(x) =x0 f(x0) + f '(x0) (x x0) + f"(x0) (x x0) + o((x x0) ) Remarques : _ si f est dérivable en x0, l'équation de la tangente est y = f '(x0)(x x0) + f(x0). La tangente est une "bonne approximation" de la courbe au voisinage du point. _ en particulier en 0, la ème formule devient : f(x) =0 f(0) + x f '(0) + x f "(x) + o(x ). Exemple : Soit f(x) = ln(x). d.l. d'ordre au voisinage de : f est de classe C sur ]0; + [. x > 0, f '(x) = x f "(x) = - x D'après la formule de Taylor-Young : f(x) = f() + (x )f '() + (x ) f"() + o((x ) ) f() = ln() f'() = f "() = - 4 ln(x) = ln() + (x ) (x ) + o((x ) 8 )

3 . Développements limités usuels et opérations. Développements limités usuels Propriété : A connaitre : e x =0 + x + x + o(x ) x =0 + x + x + o(x ) ln( + x)0 = x x + o(x ) IR, ( + x) =0 + x + ( ) x + o(x ) Démonstration : Formule de Taylor-Young à l'ordre en 0 avec les fonctions : f(x) = e x (de classe C sur IR) f '(x) = e x f "(x) = e x f(0) = f '(0) = f "(0) = f(x) = x (de classe -( x) C sur ]- ;[) f '(x) = ( x) f "(x) = - ( x) 4 = ( x) 3 f(0) = f '(0) = f "(0) = f(x) = ( + x) (= e ln( + x) ) f est de classe C sur ]-; + [ f '(x) = ( + x) - f"(x) = ( - )( + x) - f(0) = f '(0) = f "(0) = ( ) Remarques : _ on sait que x IR, e x = + + x k k! = + x + x + x ]-;[, x = x k = + x + x + _ Soit p IN. D'après la formule du binôme de Newton, p ( + x) p = ( p k) k x k = ( p 0 ) + ( p ) x + ( ) p x + p! = + px +!(p )! x +. = + px + On retrouve les coefficients ci-dessus. Exemples : ) d.l. d'ordre en 0 de ln( + 3x) : p(p ) x + X lim 3x = 0 et ln( + X) =0 X + o(x ) donc ln( + 3x) =0 3x (3x) + o((3x) ) ln( + 3x) = 3x 9x + o(x ). ) d.l. à l'ordre de + x : + x = ( + x) / = + x + = + x 8 x + o(x ). x + o(x ) = + x x + o(x ) 3) d.l. en de f(x) = x? x = + h f( + h) = + h = + h =0 () + h 8 h + o h

4 f(x) = + =0 + 4 h 3 h + o(h ) 4 (x ) 3 (x ) + o((x ) ). Développements limités et opérations Propriété : Soit f et g deux fonctions définies sur un voisinage de 0. On suppose que : f(x) =0 a0 + ax + ax + o(x ) g(x) =0 b0 + bx + bx + o(x ) Alors xf(x) =0 a0x + ax + ax 3 + o(x 3 ) = a0x + ax + o(x ) f(x) a0 =0 + a + ax + o(x) x x f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a + b)x + (a + b)x + o(x ) f(x) g(x) = (a0 b0) + (a b)x + (a b)x + o(x ) Exemple : d.l. en 0 de xe x ln( + x) xe x = x + x + x + o(x ) = x + x + x3 + o(x3 ) = x + x + o(x ) ln( + x) = x x + o(x ) xe x ln( + x) = x + x x x + o(x ) = 3x + o(x ). 3. Applications des développements limités Propriété : Soit f une fonction définie au voisinage d'un réel x0. Si f admet un d.l. d'ordre ou en x0, alors f est équivalente au premier monôme (= plus bas degré) non nul de son d.l. (s'il y en a un) Ex : Limite de ex x x en 0? e x = + x + x + o(x ) e x x =0 x + o(x ) donc e x x ~0 x. e x x x ~+ e lim x x x = Propriété : Soit f une fonction définie au voisinage d'un réel x0 (x0 compris). _ Si f admet un développement limité d'ordre en x0 : f(x) = a0 + a(x x0) + o(x x0) alors f est dérivable en x0, f '(x0) = a, et l'équation de la tangente en x0 est y = a0 + a(x x0). _ Si f(x) = a0 + a(x x0) + a(x x0) + o((x x0) ) ( f(x) (a0 + a(x x0)) = a(x x0) + o((x x0) )) _ si a > 0 la courbe est située localement au-dessus de sa tangente _ si a < 0 la courbe est située localement en dessous de sa tangente

5 Ex : e x =0 + x + x + o(x ) donc la fonction exp est dérivable en 0, l'équation de la tangente x est y = + x. e x ( + x) = x + o tangente. x 0 la courbe est localement au-dessus de sa Remarque pour les suites : lim = 0, donc les résultats sur les d.l. en 0 peuvent être utiles n +n pour trouver des approximations sur les suites, appelées développements asymptotiques. Ex : e x =0 + x + x + o(x ) et lim n +n = 0 donc e/n =+ + n + n + o n.