Formules de Taylor, Développements limités

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1 Université Pierre et Marie Curie M00 Formules de Taylor, Développements limités Eercice. ) Si f()= o 0 (4 ) et g()= o 0 (2 ), donner le DL 2 (0) de f + g et f.g. 2) Donner le DL 3 (0) de la fonction. 2 Eercice 2. Donner un équivalent de sin() en 0. Calculs de développements limités Eercice 3. (a) Rappeler le DL n (0) des fonctions cos et sin. (b) A l aide de la formule sin(a + t) = sin(a) cos(t) + cos(a) sin(t), donner le DL n (a) de sin. Eercice 4. (a)remontrer que arctan () = (b) Donner le DL n (0) de, puis + puis (c) En déduire le DL n (0) de arctan Eercice 5. Donner les développements limités en 0 à l ordre indiqué des fonctions suivantes. (a) cosh() à l ordre 6. (b) ln( + 2 ) à l ordre 6. (c) 2 sin à l ordre 8. (d) sin cos à l ordre 5. (e) /( + 2 ) à l ordre 4. (f) / cos à l ordre 4. (g) tan à l ordre 3. (h) (e )/ ln( + ) à l ordre 2. (i) e sin à l ordre 3. (j) + sin à l ordre 3.

2 Eercice 6. Donner les développements limités des fonctions suivantes, au point et à l ordre indiqués. (a) à l ordre 3 en. (b) ln à l ordre 3 en 2. (c) e à l ordre 4 en 2. Eercice 7. Donner les développements limités suivants : (a) sin() à l ordre 4 en π/4. (b) cos() à l ordre 4 en π/6. (c) ln(2 + cos()) à l ordre 3 en 0. (d) + + à l ordre 2 en 0. Eercice 8. On veut obtenir un développement limité de la fonction tangente au point π 4. (a) Rappeler le domaine de définition et l allure de la courbe représentative de la fonction tan. (b) Donner le DL à l ordre 2 en 0 de cos( + π 4 ), cos2 ( + π 4 ) et cos 2 ( + π 4 ). (c) Calculer la dérivée de la fonction tan. (d) En déduire le DL à l ordre 2 en 0 de tan( + π/4). (e) Proposer une autre méthode pour calculer ce DL. Calculs de limites Eercice 9. Calculer les limites des fonctions suivantes au points indiqués. (a) ( + α ) quand +, où α est un réel. (b) 2 sin 2 (c) (cos(/)) 2 (d) 2 e e (e) ln quand 0. quand +. quand. quand. 2

3 (f) (e ( + /) ) / quand +. Eercice 0. On considère la fonction f définie par (a) Donner son domaine de définition. f() = cos + 2 /2 ln( + 4. ) (b) Montrer que la fonction a une limite l quand tend vers 0. On prolonge donc f par continuité en posant f(0) = l. (c) Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f (0). Eercice. On considère la fonction g, définie par { g() = 2 2 ln si 0 < < 2 2 ln si. Montrer que g est dérivable en. Eercice 2. Soit f() = cos() + 3 sin ( ) et 0 = 0. ) Montrer que f admet un DL 2 (0). 2) En déduire que f est prolongeante par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable. 3) Montrer que f n est pas 2 fois dérivable. Formules de Taylor Eercice 3. Soit f la fonction définie sur R par: f() = e (sin() + cos()) ) Calculer f, f et f. 2) En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout [ π 6, π 6 ], on a f() (2 + 2 ) 3 3) Déterminer le plus grand intervalle I sur lequel f est croissante, déterminer J = f(i) et montrer que f est une bijection de I sur J. 4) Soit f : J I l application réciproque de f. Calculer (f ) (0). Eercice 4. Soit f() = cos() + 3 sin ( ) et 0 = 0. ) Montrer que f admet un DL 2 (0). 2) En déduire que f est prolongeable par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable. 3) Montrer que f n est pas 2 fois dérivable. 3

4 Eercice 5. Soit f la fonction définie sur R par: f() = e (sin() + cos()) ) Calculer f, f et f. 2) En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout [ π 6, π 6 ], on a f() (2 + 2 ) 3 3) Déterminer le plus grand intervalle I sur lequel f est croissante, déterminer J = f(i) et montrer que f est une bijection de I sur J. 4) Soit f : J I l application réciproque de f. Calculer (f ) (0). Eercice 6. * ) a. Soit f : [0, ] R de classe C. Soit M n := sup y [0,] f (n) (y). On suppose que lim n + M n n n! = 0. Soit T n () le polynôme de Taylor de f en 0, défini par T n () = n k=0 f (k) (0) k. k! En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que lim n + T n () = f(). (On dit alors que f est développable en série entière autour de 0. Ce n est (vraiment) pas au programme...). b. L appliquer au fonctions ep(), cos(), sin(), +. 2) Soit f() = e définie sur R +. On va montrer que le résultat n est pas vrai pour f, même si f est bien C M (mais f ne vérifie plus lim n n n + n! = 0). a. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. b. Montrer ( par récurrence que pour tout n, il eiste un polynôme P n (y) de degré n tel que f (n) () = P n ) e /. c. En déduire que lim 0 + f (n) () = 0. d. En déduire que f (n) (0) = 0 pour tout n (utiliser la règle de l Hospital). e. En déduire que pour tout > 0, on a lim n + T n () f(). Limites et position par rapport à la tangente Eercice 7. On pose pour ] π, π[ f() = ln ( sin() f admet-elle un prolongement par continuité en 0? Si oui, ce prolongement est-il dérivable en 0? Préciser alors la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. ). Eercice 8. On définit f() = + 3 cos

5 (a) Donner le développement limité de f à l ordre 3 au voisinage de 0. (b) En déduire l équation de la tangente à f en 0. (c) Préciser la position au voisinage de 0 de cette tangente par rapport au graphe de f. Eercice 9. On définit f : R R par 3 f() = si < 0 2 ep( 3 + ) 2 si 0. (a) Montrer que f est continue sur R. (b) Montrer que f est dérivable sur R. (c) Donner un DL de f à l ordre 2 à droite en 0. (d) Donner un DL de f à l ordre 2 à gauche en 0. (e) En déduire que f a un DL à l ordre 2 en 0. (f) Préciser la position au voisinage de 0 du graphe de f par rapport à sa tangente en 0. Eercice 20. Étudier la fonction définie par f() = On s intéressera en particulier au éventuelles asymptotes, et à la position de la courbe par rapport à celles-ci. 5