TS 2, Contrôle n o 5

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1 TS, Contrôle n o 5 Jeudi 9 mars heures Eercice n o Amérique du Sud, 6 novembre 8 points On considère la fonction g définie sur l intervalle ] ; + [ par : g ) = ln ). Partie A Étude de la fonction : g. Déterminer la limite de g en +.. Déterminer la limite de g en.. Étudier les variations de la fonction g sur l intervalle ] ; + [. 4. En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction g sur l intervalle ] ; + [. Partie B : Représentation graphique et aire sous la courbe Soit C la courbe représentative de la fonction g.. Tracer C dans le repère orthonormal ayant pour unité graphique 4 cm.. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point A d abscisse. La tracer sur le graphique.. Soit G la fonction définie sur ]; + [ par G) = ln ). Calculer G ). 4. Calculer l aire en unités d aire du domaine délimité par la courbe C, l ae des abscisses et les droites d équations respectives = et = e. Eercice n o Nouvelle-Calédonie, mars points Soit f la fonction définie sur [ ; ] par f ) = e. On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthogonal O; ı ; j). Soit a un nombre réel appartenant à l intervalle [ ; ]. Sur la courbe C, tracée en annee, on a placé les points A et B d abscisses respectives a et. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe C. On a placé les points A a ; ) et B ; ). Le but de l eercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l aire de la partie du plan hachurée en annee est minimale.

2 PARTIE A. Soit φ la fonction définie par : φ) = e e. Calculer la dérivée de φ. En déduire que. a) Donner l aire du triangle OAA. Montrer que l aire du trapèze ABB A est égale à a e a + ae a ae + e ). b) En déduire que l aire de la partie du plan hachurée est égale à aea ae + e ). e d =. PARTIE B Soit g la fonction définie sur [ ; + [ par [g ) = e e) + e.. Soit g la fonction dérivée de la fonction g. Calculer g ) pour tout réel de [ ; + [. Vérifier que la fonction dérivée seconde g est définie sur [ ; + [ par g ) = + )e.. En déduire les variations de la fonction g sur [ ; + [.. Établir que l équation g ) = admet une solution unique α dans l intervalle [ ; + [. Déterminer une valeur approchée de α à près. 4. En déduire les variations de la fonction g sur [ ; + [. 5. En utilisant les réponses au questions des parties A et B, montrer qu il eiste une valeur de a pour laquelle l aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de a. y Annee CETTE PAGE N EST PAS À RENDRE AVEC LA COPIE B,5,5 A,5 A B a,,4,6,8

3 Contrôle n o 5, Correction On considère la fonction g définie sur l intervalle ] ; + [ par g ) = ln ). Partie A Étude de la fonction : g. Limite de g en + : lim g ) =, car lim +. Limite de g en : On a g ) = ln. + = + et lim ln = + lim ln ) =, car lim = lim = et lim ln =. Variations de la fonction g sur l intervalle ] ; + [ : g est dérivable sur ] ; + [, car produit de sommes de fonctions dérivables sur ] ; + [ et sur cet intervalle : g ) = ln ) + ) = ln = ln = ln ) g ) est du signe de ln puisque est positif. g ) > ln > > ln > ln e = e > g ) < ln < < ln < ln < e = e Sur ] ; e [ Sur ] e ; + [ Pour = e la fonction est croissante la fonction est décroissante C possède une tangente horizontale g ) g ) e e + + e e 4. Signe de la fonction g sur l intervalle ] ; + [ : Sur ] ; e [, g est croissante, donc g ) > et ne s annule donc pas. Sur ] e ; + [, g est décroissante et continue de e vers. Elle réalise donc une bijection de ] e ; + [ sur ] ; e[. Elle s annule donc une seule fois. g ) = ln ) = ln = puisque ) = ln = e Conclusion : la fonction g est positive sur ] ; e[ et négative sur ]e ; + [.

4 Partie B : Représentation graphique et aire sous la courbe Soit C la courbe représentative de la fonction g.. Voir l annee.. Équation de la tangente à la courbe C au point A d abscisse. On a g ) = ln) =. Le cœfficient directeur de la tangente à la courbe C au point d abscisse est le nombre dérivé f ) = ln) =. Une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse est donc : M ; y) T) y g ) = g ) ) y = y =. Dérivée de G) : G ) = ln ) + = ln Une primitive de ln est donc G). 4. Aire en unités d aire du domaine délimité par la courbe C, l ae des abscisses et les droites d équations respectives = et = e : On a vu que la fonction g est positive sur ] ; e[, donc sur ] ; e[. L aire, en unités d aire de la surface délimitée par la courbe C, l ae des abscisses et les droites d équations respectives = et = e est donc égale à l intégrale : [ A = ] e A = [ [G)] e = e ] e ln ) d = e d e ln d [ ln )] e e = ) e ) )) = e Eercice n o Nouvelle-Calédonie, mars points Soit f la fonction définie sur [ ; ] par f ) = e. On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthogonal O; ı ; j). Soit a un nombre réel appartenant à l intervalle [ ; ]. PARTIE A. Soit φ la fonction définie par : φ) = e e. Dérivée de φ : φ ) = e + e e = e Donc la fonction φ est une primitive de e. Ainsi : ) base hauteur. a) Aire A du triangle OAA, : e d = [ e e ] = e e) ) = La base a pour longueur a, la hauteur, ae a ; l aire est donc : A = a e a.

5 PARTIE B ) petite base + grande base) hauteur Aire A du trapèze ABB A : La petite base AA a pour longueur ae a, la grande base BB, e, la hauteur A B a ; l aire est donc : A = aea + e) a) = a e a + ae a ae + e ). b) Aire A de la partie du plan hachurée : Si l on note A l aire comprise entre la courbe C, l ae des abscisses, l ae des ordonnées et la droite d équation =, on a : A = Ainsi : A = A + A A = a e a Soit g la fonction définie sur [ ; + [ par +. Calcul g ) pour tout réel de [ ; + [ : Calcul de la fonction dérivée seconde g :. Variations de la fonction g sur [ ; + [ : e d =. a e a + ae a ae + e ) = g ) = e e ) + e. g ) = e e) + e g ) = e + e + e = e + ) ae a ae + e ) lim g ) = + et g ) = e < + g ), dérivée de g, est du signe de + > sur [ ; + [. g ) e + + g ) e +. Solution de l équation g ) = dans l intervalle [ ; + [. : La fonction g est une fonction continue et strictement croissante sur [ ; + [. Elle réalise donc une bijection de [ ; + [ sur [ e; + [. possède un unique antécédent α. Valeur approchée de α à près : { g,5),45 < g,6),97 > =,5 < α <,6

6 4. Variations de la fonction g sur [ ; + [ : { Sur ] ; α[ < α = g ) < g α) = Sur ]α ; + [ g ) > g α) = Sur ] ; α[ = Sur ]α ; + [ Pour = α la fonction g est décroissante la fonction g est croissante C possède une tangente horizontale g ) α + + g ) e g α) + 5. Valeur de a pour laquelle l aire de la partie du plan hachurée est minimale. Nous avons A = g a). L aire A est donc minimale pour a = α. y Annee B,5,5 A,5 A B a,,4,6,8

7 y Annee A e