Fonctions vectorielles, arcs paramétrés

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1 Chapire Foncions vecorielles, arcs paramérés 0 Foncions réelles Eercice 0 Soi f : R R dérivable e elle que f ne s annule pas Prouver que f ne peu êre périodique Eercice 0 Monrer que si f es définie, dérivable sur R e T-périodique (T > 0) alors f es aussi T- périodique Eercice 0 Soi la foncion f définie par sin f ()= si 0 0 si = 0 Monrer que f es dérivable sur R mais que f n adme pas de limie en 0 En déduire que si une foncion adme un DL(0,n) alors sa dérivée n adme pas forcémen un DL(0,n ) Eercice 04 Oral CCP PC Pour ]0, ], on défini : ϕ()= Calculer ϕ () e monrer que ϕ défini une bijecion de ]0,] vers [0,+ [ On noe u la bijecion réciproque de ϕ (a) Monrer que : [0,+ [, (u()) + u() =0 (b) On adme que u es de classe C sur [0,+ [ Monrer que pour ou [0,+ [, u u() ()= (u()) + (a) Monrer que u() + (b) Déerminer un équivalen en + de u() / 4 Déerminer la naure de + ( 0 u()) d 5 Monrer que : (, y) (R + ), u() u(y) y 6 Monrer que la suie définie par a n+ = u(a n ) e a 0 R es convergene Déerminer sa limie l Eercice 05 Mines 005 Soi f C (R,R) On suppose que f e f son bornées sur R On pose M 0 = sup f () e M = sup f () R R Monrer que f es bornée sur R e que si M = sup R f () alors M M 0 M Eercice 06 Mines 995,000,00 pour, X 996 pour Soien n N, a R e f une applicaion de classe C n sur [a,+ ] On suppose que f e f (n) son bornées sur R Monrer que oues les dérivées d ordre à n son elles-aussi bornées sur R On suppose que Monrer que : lim f ()=l R e lim f (n) ()=0 + + i,n, lim f (i) ()=0 +

2 Eercice 07 Monrer que la foncion f : [ [ 0, π 4 R + + ean (+ π 4 es dérivable au poin = 0 e calculer f (0) Eercice 08 Monrer que la foncion f : R R définie par e ( ) sin e si 0 f ()= 0 sinon ) ln(cos()) possède un développemen limié à ou ordre mais n es pas deu fois dérivable en 0 Eercice 09 TPE 009, Mines 0 Soi f C ([0,]) vérifian f (0)=0 On pose : n N, S n = n f k=0 ( k n ) Uiliser la formule de Taylor avec rese inégral pour monrer que la suie (S n ) n N converge e déerminer sa limie Eercice 00 Cenrale 0 Soi f C (R) vérifian que f (0)= f (0)=0 e elle qu il eise a > 0 avec f (a)=0 On noe (C) la courbe représenaive de f Monrer qu il eise un poin de (C) aure que l origine en lequel la angene passe par l origine Eercice 0 ESPCI 005 Soi f C (R) elle que f () l R La foncion f possède--elle une limie finie en + +? Eercice 0 CCP 007 Trouver oues les foncions f coninues de R dans R qui s annulen en un poin au moins e qui vérifien l équaion (, y) R, f (+y)+ f ( y)=f ()f (y) Indicaion 0 : Inroduire F une primiive de f e prouver l égalié (a,b,, y) R, F(b+y)+F(b y) F(a+y) F(a y)=f (y)(f(b) F(a)) En déduire alors que f es soluion d une équaion différenielle d ordre e discuer Eercice 0 X 995, ENGEES 00 Soi f : R + R coninue elle que : Monrer que f es la foncion nulle a R +, R +, 0 f () a 0 f ()d Eercice 04 TPE 005 n Soi n N sin(p) e soi f n : On cherche la plus peie valeur n R + elle que f n p= aeigne un maimum local en n Calculer n p Calculer lim f n( n ) (On donnera la réponse sous forme d inégrale) n + Eercice 05 Mines 00 Soi f de classe C sur [a,b] On suppose que f (a)= f (b)=0 e on pose M=sup f [a,b] () Monrer que : b a f ()d M(b a) Eercice 06 Soien (a,b,c) R Monrer que l équaion 4a + b + c = a+ b+ c possède au moins une soluion dans [0, ] Eercice 07 Soi R R f : Π 5 k= ( k) Sans calculer f, monrer que f s annule enre e, enre e, enre e 4 e enre 4 e 5 En déduire que les seules racines de f son celles rouvées précédemmen Tracer le graphe de f Eercice 08 Règle de l Hospial Soien a,b deu réels disincs e soien f e g deu foncions coninues sur [a,b] e dérivables sur ]a, b[ Monrer qu il eise c ]a, b[ el que f (c) ( g (b) g (a) ) = g (c) ( f (b) f (a) ) En déduire la règle de l Hospial : soien α>0, 0 R, V= ] 0 α, 0 + α[ e f, g : V R els que : H les foncions f e g son coninues sur V H les foncions f e g son dérivables sur V \ 0 } H f ( 0 )= g ( 0 )=0 f () Alors lim = l 0 g () En déduire les limies suivanes H4 H5 la foncion g ne s annule pas sur V \ 0 } f () lim = l R 0 g ()

3 (a) lim 0 cos (b) lim 0 sin 4 Une généralisaion de la proposiion?? page?? : (c) lim 0 ln (+ ) (d) lim 0 ( cos )coan (a) Déduire de la règle de l Hospial que si f es une applicaion de classe C dans un voisinage de 0 el que f (0) 0 alors f () ( f (0)+ f (0) ) f (0) 0 (b) Généraliser ce résula à une applicaion de f classe C n dans un voisinage de 0 elle que f (n) (0) 0 Eercice 09 Soi I un inervalle e f : I R une foncion deu fois dérivable sur I Soi (a,b,c) I rois poins de I avec a< b< c Monrer qu il eise d I el que f (a) (a b)(a c) + f (b) (b c)(b a) + f (c) (c a)(c b) = f (d) Eercice 00 Soi f de classe C sur [a,b] On suppose que f (a)= f (a)= f (b)= f (b)=0 Monrer qu il eise c ]a,b[ el que f (c)= f (c) Eercice 0 Soi une foncion f de classe C sur le segmen [a,b] On suppose qu il eise rois poins a < a < a < a < b els que f (a )= f (a )= f (a )=0 Soi un réel [a,b] Monrez qu il eise un réel c ]a, b[ el que f ()= ( a )( a )( a ) f () (c) 6 Eercice 0 Soi f C ([a,b]) Monrer qu il eise c ]a,b[ el que : f (b) f (a)= b a [f (a)+ f (b) ] (b a) f () (c) enre a e b Eercice 0 Soi f C 5 ([a,b]) Monrer qu il eise c ]a,b[ el que f (b)= f (a)+ b a ( f (a)+ f (b) ) (b a) ( f (b) f (a) ) (b a)5 + f (5) (c) 70 Eercice 04 Soi une foncion f : [a,b] R coninue, ne s annulan pas sur [a,b] e dérivable sur ]a,b[ Monrez qu il eise c ]a, b[ el que f f (a) (c) f (b) = e(a b) f (c) Eercice 05 Soi une foncion f : R R dérivable Monrer que si f () + alors f () La réciproque es-elle vraie? Eercice 06 Soi un réel a R e une foncion f : [a,+ [ R dérivable sur [a,+ [ elle que f () 0 + Monrez que f () 0 + En déduire ensuie que si f f () () l R, + l + Eercice 07 Soi une foncion f de classe C sur le segmen [a,b] avec a< b Monrez qu il eise un réel c ]a,b[ el que 0 Foncions vecorielles ( f (a)+ f (b) a+ b (b a) = f )+ f (c) 8 Eercice 08 Soi f une applicaion dérivable sur un inervalle ouver I à valeurs dans R n e soi a I ( Calculer lim f (a+ h ) f (a+ h) ) ( ) puis lim f (a+ h) f (a h) h 0 h h 0 h Eercice 09 On désigne par de le déerminan dans la base canonique de R e par ( ) un produi scalaire sur R Soien f, g,h C (I,R) où I es un inervalle non rivial de R Monrer que ϕ=de ( f, g ) C (I,R) e calculer ϕ Monrer que les foncions suivanes son de classe C sur I e calculer leur dérivée : (a) ( f de(f, g ) ) ; (b) de ( f,de ( g,h ) k ) Eercice 00 On considère le mouvemen d un poin M() dans le plan au cours du emps On suppose que ce mouvemen es décri par une foncion vecorielle f : I P de classe C e ne s annulan pas appelée veceur posiion du poin M On a donc : I, OM()= f () On appellera veceur viesse e veceur accéléraion du poin M à l insan les veceurs v () := f () e a () := f ()

4 On suppose que le mouvemen du poin M es circulaire de cenre O, c es-à-dire que OM() es consane Monrer qu alors les veceurs posiion e viesse son orhogonau pour ou I On suppose mainenan que le mouvemen du poin M() es à accéléraion de cenre O, ce qui signifie que à chaque insan, son( veceur accéléraion es colinéaire à son ) veceur posiion Monrer alors que de OM (), v () es consane Monrer que si le mouvemen du poin M es à la fois circulaire e à accéléraion de cenre O alors il es uniforme (c es-à-dire que la norme de son veceur viesse es consane) Eercice 0 Soien u, v, w C ([a,b],r) vérifian u(b) v(b) w(b) u(a) v(a) w(a) u (a) v (a) w (a) = 0 Monrer qu il eise un réel c ]a,b[ el que Eercice 0 Pour ou R, on pose : u(b) v(b) w(b) u(c) v(c) w(c) u (c) v (c) w (c) = 0! 0 D n ()=!! n n!! Monrer que la foncion D n es dérivable e calculer D n () En déduire D n() Eercice 0 Soi P : R O n (R) une applicaion dérivable sur R Monrer que pour ou R, la marice P() T P () es anisymérique e en déduire que si n es impair, pour ou R, on a P n () O n (R) Eercice 04 Soien E un K-espace vecoriel de dimension finie e f : R E une applicaion dérivable en 0 On suppose que pour ou R, f ()=f () Monrer que f es linéaire Eercice 05 Soien n N e u L(R n ) Monrer que l applicaion ϕ : de(id E +u) es dérivable en 0 puis calculer ϕ (0) Eercice 06 Trouver les foncions f définies sur R e valeurs dans R n elles que : α ],+ [, (, y) R, f () f (y) y α où es la norme euclidienne sur R n Eercice 07 CCP 007 On considère une applicaion M : R O n (R) dérivable e elle que M(0) = I n Monrer que M (0) es anisymérique Eercice 08 On considère le sysème différeniel (S) : dx d = AX où A M (R) es une marice de rang e X : X() es une applicaion de classe C de R dans R La foncion X éan une soluion de (S), la courbe inégrale de X es l ensemble des poins X() où décri R Monrer que les courbes inégrales son planes e siuées dans des plans parallèles 0 Courbes en coordonnées carésiennes Eercice 09 On considère la courbe paramérée (γ) définie par () = cos( ) y() = ln(+ + sin ) z() = e Quelle es la angene à (γ) au poin M de paramère = 0? Eercice 040 Soi λ R e soi (γ) la courbe paramérée définie par () = e λ y() = sin λ+ Déerminer les valeurs de λ pour lesquelles le poin de paramère = 0 es un poin régulier de la courbe ( γ ) Donner une équaion de la angene en ce poin Eercice 04 Mines 0 Soien (a, a, a,b,b,b,c,c,c ) R 9 On considère la courbe paramérée (γ) définie par : () = a + a + a y() = b + b + b z() = c + c + c Monrer que (γ) es une courbe plane 4

5 n^ Eercice 04 On considère la courbe paramérée (γ) définie par : Eercice 045 Éudier la courbe paramérée : () = ( )(+ ) ( ) y() = () = cos y() = sin ( ) () y() Eercice 046 Éudier la courbe paramérée donnée par : = sin = sin +cos ()= y ()= + Eercice 047 Folium de Descares ()= Éudier la courbe paramérée définie par + y()= + Eercice 048 ()= Éudier la courbe paramérée définie par y()= eo:cb_param_cors^,sin^ Eercice 049 Éudier la courbe paramérée Γ définie par ()=cos y()=sin Déerminer une équaion carésienne de la angene D à Γ au poin de paramère Déerminer l inersecion de la droie D avec les aes de coordonnées e calculer la longueur du segmen obenu Déerminer les branches infinies de (γ) en éudian les limies quand end vers 0 de Eercice 050 Courbe y() y() () puis de y() a() avec a= lim e de Lissajou 0 =,, + ()=sin () () Éudier la courbe paramérée définie par Achever l éude de (γ) e la consruire avec soin On précisera l allure de (γ) au voisinage du poin de paramère = 0 e on déerminera les coordonnées du poin double Eercice 05 Lemniscae de Bernoulli y ()=cos() Eercice 04 ()= sin Tracer les courbes paramérées définies par : Éudier la courbe paramérée définie par +cos sin cos y()= +cos () = sin () = cos y() = cos ; () = cos y() = sin ; eo_racrice + ln(sin ) Eercice 05 Tracrice On considère la courbe paramérée Γ donnée par : y() = cos sin ()= h Eercice 044 Éudier la courbe paramérée : y()= ch 5 e appelée racrice Donner le domaine de définiion de e y Monrer que Γ adme une propriéé de symérie qui perme de réduire son éude à un inervalle qu on précisera Éudier les variaions de e y 4 Éudier les branches infinies de Γ 5 Préciser la naure du poin A de paramère 0 ainsi que la angene en ce poin 6 Tracer la courbe (a) Pour ou réel > 0, déerminer une équaion carésienne de la angene D à Γ au poin M() de paramère (b) Cee angene recoupe l ae des abscisses en un poin N() don on déerminera les coordonnées (c) Déerminer la disance M() N() (d) Préciser la naure du mouvemen du poin N() Eercice 05 On se donne la courbe paramérée ()=+ Γ : y()= + ;

6 Préciser le domaine de définiion de f : ((), y()) Éudier ensuie les variaions de e de y en foncion du paramère (a) Quelle es la naure des branches infinies de Γ lorsque end vers ± (b) Monrer que lorsque end vers (respecivemen ), Γ possède une asympoe don on précisera l équaion Préciser la posiion de la courbe par rappor à cee asympoe de la angene en ce poin (c) Tracer le suppor de Γ Eercice 054 Bicorne () = sin Éudier la courbe donnée par : +sin y () = cos Eercice 055 Éudier la courbe paramérée : ()= + y()= On monrera l eisence d une parabole asympoe Eercice 056 Consruire la courbe paramérée : ()= y()= Déerminer ensuie les coordonnées du poin double I e monrer que les angenes en I son orhogonales Eercice 057 Consruire la courbe () = + y() = + Eercice 058 On considère la famille de courbes paramérées : Faire l éude de C 0 ()=cos + m sin y()=sin + m cos Pour quelles valeurs de m, la courbe C m adme-elle des poins saionnaires? Trouver l équaion paramérique de l ensemble des poins saionnaires e représener ce ensemble Eercice 059 On considère la courbe paramérée Γ : () = y() = Tracer cee courbe e éudier le poin saionnaire Écrire l équaion carésienne de la angene à Γ en un poin M() ordinaire À quelle condiion sur, les angenes issues des poins ordinaires M( ) e M( ) son-elles orhogonales? 4 Soi un poin M Trouver une condiion nécessaire pour que de M soien issues deu y angenes orhogonales à Γ Eercice 060 Oral CCP PC Soi Γ l arc paraméré défini par : () = y() = + Vérifier que quand ± alors () ± e que y() end vers une limie finie Que peu-on en déduire pour la courbe Γ? Déerminer des consanes non nulles a e b elles que lim ± () ay() b = 0 On di que la droie d équaion =ay+ b es asympoe à Γ Eercice 06 Oral Cachan PT () = sin Éudier e racer la courbe de représenaion paramérique y() = (+cos )sin Tracer les angenes au poins pariculiers Soien M ((), y()) e M ((+π), y(+π)) Monrer que OM e OM son orhogonau Donner une équaion paramérée par X() e Y() du lieu C des milieu de [M,M ] 4 Simplifier ( X() ) + (Y()) e en déduire une équaion carésienne de C ainsi que sa naure Eercice 06 EA PC 0 ( Le plan P es rapporé à un repère orhonormal R = O, i, ) j Soi D la courbe d équaion : () = cos() cos() y() = sin sin() 6

7 Soi D la parie de la courbe correspondan à [0,π] Monrer que l on obien oue la courbe D à parir de D Préciser clairemen oues les ransformaions géomériques uilisées (a) Eprimer sin() e cos() en foncion de sin e cos (b) Monrer que la courbe D présene deu poins singuliers pour = 0 e = 0 que l on déerminera On noe I le poin de paramère 0 (c) Donner l allure de la courbe au voisinage de O : on précisera une équaion de la angene en ce poin ainsi que la posiion de la courbe par rappor à cee angene (d) Monrer que le veceur u 0 = i + j es un veceur direceur de la angene T à D en I Écrire une équaion de T dans le repère R On adme que I es un poin de rebroussemen de première espèce (e) Soien C e C les cercles de cenre Ω = (,0) e de rayons respecifs R = e R = i Vérifier que la droie T passe par le poin Ω ii Déerminer D C iii Soi J le poin de D de paramère π Monrer que D es angene à C au poin J iv Tracer dans P muni du repère R les courbes D, C, C e T v Monrer que la courbe D es invariane par la roaion de cenre Ω e d angle π vi Calculer la longueur de D Eercice 06 On se donne la courbe paramérée Γ : ()=+ y()= + Préciser le domaine de définiion de f : ((), y()) Éudier ensuie les variaions de e de y en foncion du paramère (a) Quelle es la naure des branches infinies de Γ lorsque end vers ± (b) Monrer que lorsque end vers (respecivemen ), Γ possède une asympoe don on précisera l équaion Préciser la posiion de la courbe par rappor à cee asympoe de la angene en ce poin (c) Tracer le suppor de Γ Eercice 064 Éudier la courbe paramérée : ()= + y()= On monrera l eisence d une parabole asympoe Eercice 065 Consruire la courbe paramérée : ()= y()= Déerminer ensuie les coordonnées du poin double I e monrer que les angenes en I son orhogonales Eercice 066 Consruire la courbe () = + y() = + Eercice 067 On considère la famille de courbes paramérées : Faire l éude de C 0 ()= cos + m sin y()=sin + m cos Pour quelles valeurs de m, la courbe C m adme-elle des poins saionnaires? Trouver l équaion paramérique de l ensemble des poins saionnaires e représener ce ensemble Eercice 068 On considère la courbe paramérée Γ : () = y() = Tracer cee courbe e éudier le poin saionnaire Écrire l équaion carésienne de la angene à Γ en un poin M() ordinaire À quelle condiion sur, les angenes issues des poins ordinaires M( ) e M( ) son-elles orhogonales? 4 Soi un poin M Trouver une condiion nécessaire pour que de M soien issues deu y angenes orhogonales à Γ 7