Shape optimization for 3D forging process

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1 Shape optmzaton for 3D forgng process Ten Tho Do To cte ths verson: Ten Tho Do. Shape optmzaton for 3D forgng process. Scences de l ngéneur [physcs]. École Natonale Supéreure des Mnes de Pars, Franças. <pastel > HAL Id: pastel Submtted on 6 Sep 2006 HAL s a mult-dscplnary open access archve for the depost and dssemnaton of scentfc research documents, whether they are publshed or not. The documents may come from teachng and research nsttutons n France or abroad, or from publc or prvate research centers. L archve ouverte plurdscplnare HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau recherche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de recherche franças ou étrangers, des laboratores publcs ou prvés.

2 Ecole Doctorale 364 : Scences Fondamentales et Applquées N attrbué par la bblothèque T H E S E Pour obtenr le grade de DOCTEUR DE L ECOLE DES MINES DE PARIS Spécalté "Mécanque Numérque" Présentée par M. Ten Tho DO OPTIMISATION DE FORME EN FORGEAGE 3D Drecteur de thèse : Lonel FOURMENT Soutenue publquement le 04 jullet 2006 devant le jury composé de : M. Alan POTIRON Rapporteur M. Potr BREITKOPF Rapporteur M. Fabrce SCHMIDT Examnateur M. Yng Qao GUO Examnateur M. Abderrahmane HABBAL Examnateur M. Rchard DUCLOUX Invté M. Lonel FOURMENT Drecteur de thèse

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4 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Table des matères TABLE DES MATIERES INTRODUCTION GENERALE Chaptre I ETAT DE L'ART DES ALGORITHMES D OPTIMISATION 3 I.. INTRODUCTION...3 I.2. METHODES A DIRECTION DE DESCENTE...3 I.2.. Prncpes généraux...4 I.2.2. Chox de la drecton de descente...5 I.2.3. Méthodes de recherche lnéare...8 I.2.4. Avantages Inconvénents...8 I.3. METHODES D ORDRE 0 ET ALGORITHMES DE MINIMISATION GLOBALE...9 I.3.. Algorthmes évolutonnares...9 I.3.2. Méthodes de surface de réponse...22 I.3.3. Autres méthodes d'optmsaton d'ordre I.4. METHODES HYBRIDES...27 I.5. ALGORITHMES D OPTIMISATION EMPLOYES...28 I.5.. Algorthme SCPIP...28 I.5.2. Stratége d évoluton avec Méta-modèle...29 I.6. CONCLUSION...34 Chaptre II NOUVEAUX ALGORITHMES HYBRIDES POUR L'OPTIMISATION GLOBALE 35 II.. INTRODUCTION...35 II.2. ALGORITHME GENETIQUE AVEC METAMODELE UTILISANT LE GRADIENT ET BASE SUR L AGGLOMERATION (AG-MGA)...36 II.3. ALGORITHME GENETIQUE AVEC METAMODELE UTILISANT LE GRADIENT ET BASE SUR L'INTERPOLATION DE LISZKA-ORKISZ (AG-MGO)...40 II.3.. Interpolaton de Lsza-Orsz....4 II.3.2. Placement optmal des nouveaux ponts maîtres...42 II.4. CONCLUSION...44 Chaptre III CALCUL DU GRADIENT DES FONCTIONS COUTS PAR LA METHODE DE L ETAT ADJOINT EXTENSION AU FORGEAGE MULTI-PASSES 45 III.. INTRODUCTION...45 III.2. CALCUL DU GRADIENT DE LA FONCTION COUT PAR LA METHODE DE L'ETAT ADJOINT DANS LE LOGICIEL FORGE III.2.. Expresson du problème mécanque de forgeage et des équatons mplémentées dans le logcel FORGE III.2.2. Fonctons coûts...56 III.2.3. Calcul du gradent par la méthode de l Etat Adjont...60 Do Ten Tho CEMEF Ecole des Mnes de Pars

5 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Table des matères III.3. CALCUL DU GRADIENT POUR LE FORGEAGE MULTI-PASSES ET POUR L OPTIMISATION DE FORME D OUTILS...70 III.3.. Problème lé au type de paramètres de forme du lopn ntal : contrante de volume constant à trater et spécfque...70 III.3.2. Paramétrsaton des outls de préforme...7 III.3.3. Calcul du gradent par rapport au paramètre de forme des outls...73 III.3.4. Transport des varables de l'état adjont entre deux opératons de forgeage...76 III.3.5. Valdaton du calcul du gradent pour le forgeage mult-passes...78 III.4. BILAN ET CONCLUSIONS...80 Chaptre IV BENCHMARK : OPTIMISATION DE LA PREFORME POUR LE FORGEAGE D UNE ROUE DENTEE 8 IV.. INTRODUCTION...8 IV.2. DESCRIPTION DU CAS D'OPTIMISATION...82 IV.2.. Présentaton du cas de forgeage d'un traxe...82 IV.2.2. Paramétrsaton de la préforme...83 IV.2.3. Génératon automatque du mallage de la préforme...85 IV.2.4. Fonctons coûts et benchmar d'optmsaton...86 IV.2.5. Processus d'optmsaton automatque...86 IV.3. RESULTATS D'OPTIMISATIONS...87 IV.3.. Optmsaton par rapport à un seul crtère...87 IV.3.2. Optmsaton mult-crtères...96 IV.4. CONCLUSIONS...04 Chaptre V OPTIMISATION DE LA GEOMETRIE DES OUTILS DE PREFORME 05 V.. INTRODUCTION...05 V.2. PRESENTATION DU PROBLEME D'OPTIMISATION...06 V.2.. Descrpton du cas de forgeage d'un traxe...06 V.2.2. Paramétrsaton de la préforme d'outllage...06 V.2.3. Foncton coût étudée...06 V.3. RESULTATS D'OPTIMISATION...07 V.3.. Optmsaton avec 2 paramètres...07 V.3.2. Optmsaton avec 3 paramètres...2 V.3.3. Avec 5 paramètres...7 V.4. CONCLUSIONS...9 CONCLUSIONS GENERALES 2 BIBLIOGRAPHIE 23 Do Ten Tho CEMEF Ecole des Mnes de Pars

6 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Introducton générale INTRODUCTION GENERALE Le forgeage est actuellement un procédé de mse en forme très utlsé dans les secteurs mécanques. Il s effectue à chaud ou à frod par déformaton plastque (grande déformaton). Les pèces ans obtenues présentent une résstance supéreure à celles fabrquées avec d autres procédés (usnage, fondere ) mas pour un coût souvent plus élevé. La mse au pont d une gamme de forgeage est dffcle car les pèces dovent vérfer des proprétés de géométre et de métallurge très précses. En conséquence, pluseurs essas de forgeage en grandeur réelle sont souvent nécessares afn d obtenr la pèce fnale souhatée. Pour des rasons fnancères, le forgeron se dot alors de mnmser le nombre d'essas car la mse au pont d'un tel essa est très coûteuse. Idéalement, le forgeron se dot alors de "réussr du premer coup". Ce n'est donc pas une tâche smple. Depus une vngtane d'années, la smulaton numérque des procédés de mse en forme consttue un moyen d nvestgaton prvlégé pour évter ces expérences coûteuses. Elle suscte de très grands ntérêts. Elle permet au forgeron d une part de prédre l écoulement de matère durant le procédé et d autre part d avor accès à tout un panel d nformatons dffclement accessbles par l expérence. Elle amélore la compréhenson des phénomènes smulés et permet d analyser un procédé, avant qu l ne sot réellement ms en oeuvre. Les dées nouvelles peuvent ans être testées rapdement, sans moblser l outl de producton. De plus, le gan en coût et en rapdté par rapport à une approche exclusvement expérmentale est énorme. En conséquence, lorsque l on veut défnr un nouveau procédé de mse en forme, la smulaton numérque est couramment utlsée comme une ade à la concepton. Toutefos, la complexté des pèces et des exgences de qualtés augmente. Un nombre élevé d'essas numérques est nécessare tands que le temps pour effectuer une telle smulaton est souvent très élevé. En 3D, l peut durer de quelques heures à quelques jours, selon la complexté de la pèce et selon les calculateurs utlsés. Pour que le procédé de mse en forme satsfasse aux demandes des clents (produt fnal sans défaut majeur ou avec bonne qualté métallurgque, augmentaton de la durée de ve des outls, dmnuton des coûts de fabrcaton etc.) en évtant les essas numérque coûteux en terme de temps de smulaton, l faut l'optmser. Cela consttue donc le sujet de ce traval de recherche : l'optmsaton de forme en forgeage 3D. Depus pluseurs années, de nombreuses études ont été menées sur l'optmsaton de forme en forgeage [Kusa et al. 989], [Chen et al. 995], [Balan 996], [Velledent 999], [Castro el al. 2000], [Fourment et al. 200], [Antono al. 2002], [Chung et al. 2003], etc. Toutefos, ces études sont prncpalement en 2D. Elles ne permettent pas d'aborder la majorté des cas réels là où les pèces produtes sont de vraes formes 3D. Ce traval a pour but de paler ce défaut. Il fat sute à pluseurs thèses sur ce sujet qu se sont focalsée sur le calcul du gradent des fonctons coût et l'utlsaton d'un algorthme local à base de gradent pour l'optmsaton, essentellement en 2D. Nous abordons c vértablement l'optmsaton en 3D, et recherchons des algorthmes globaux permettant d'évter les extrema locaux, sans pour autant se tradure par un trop grand nombre de calculs. Do Ten Tho Page CEMEF Ecole des Mnes de Pars

7 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Introducton générale L objectf de ce traval de thèse est donc de résoudre les problèmes d optmsaton de forme en forgeage en 3D en utlsant des algorthmes robustes et effcaces (on se lmte typquement à 50 calculs de la foncton coût à chaque optmsaton) qu peuvent localser l'extremum global. Dans cette perspectve, des sous objectfs sont défns tels que sut : l'étude des algorthmes d'optmsaton, la paramétrsaton de forme, la défnton de fonctons coûts adéquates ans que le calcul de leur gradent. C'est ce que l'on propose de fare dans ce document. Le premer chaptre de cette thèse présente un état de l'art des méthodes d'optmsaton dans un cadre assez général. Le second chaptre présente la premère de nos contrbutons, une nouvelle approche d'hybrdaton pour construre des algorthmes d'optmsaton plus effcaces et plus robustes. Cette approche est dfférente de celle plus tradtonnelle où un algorthme évolutonnare succède à un algorthme à drecton de descente pour dentfer l'optmum global du problème. L'dée de cette approche est la suvante. On lasse un algorthme évolutonnare drger le processus global de mnmsaton. Lors de chaque génératon, un fable nombre d'ndvdus partculers sont judceusement sélectonnés pour y calculer le coût exact (et son gradent). Ces calculs servent à fabrquer une approxmaton qu est utlsée pour évaluer l'ensemble des ndvdus de la génératon courante. Cette approche est très avantageuse car elle permet de meux découvrr l'espace de recherche avec un coût de calcul très fable. Après des rappels du problème mécanque modélsé dans FORGE3 et ceux sur la méthode de l'etat Adjont, le trosème chaptre expose la seconde parte de nos contrbutons. Elle concerne une améloraton de la foncton coût pour meux détecter le défaut de repl et une extenson du calcul du gradent par la méthode de l'etat Adjont. Dans le cadre du forgeage mult-passes, nous étudons en effet le paramètre "forme de l'outls de préforme". Cette extenson permet de s'affranchr les lmtes du traval de Larouss [Larouss 2003] et de ses spécfctés du calcul du gradent. Les deux chaptres suvant, IV et V présentent l'applcaton de ces algorthmes, de l'améloraton des fonctons coûts ans que du calcul de gradent à deux problèmes caractérstques de forgeage, respectvement l'optmsaton de la géométre de la préforme et celle des outls de préforme. Do Ten Tho Page 2 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

8 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Chaptre I ETAT DE L'ART DES ALGORITHMES D OPTIMISATION I.. INTRODUCTION L'optmsaton de forme a fat l'objet de nombreux travaux [Kusa et al. 989], [Balan 996], [Velledent 999], [Castro el al. 2000], [Antono al. 2002], etc. Grâce à ces études, la performance et l'effcacté des algorthmes d'optmsaton ont beaucoup évoluées. Il est nécessare de fare une présentaton de ces algorthmes avant de présenter la nouvelle approche d'hybrdaton. Ce chaptre a cet objectf. Un problème d'optmsaton de forme peut généralement être présenté comme sut: ( µ ) Mnmser Φ c ( µ ) 0 =,...,m h ( µ ) = 0 =,...,me n µ R (.) Φ(µ) représente la foncton coût, qu peut être une combnason de pluseurs crtères ; c ( µ ) et h ( µ ) désgnent les contrantes d'négalté et d'égalté auxquelles est soums le vecteur des paramètres à optmser µ. Selon les crconstances (résultats expérmentaux, dsponblté du gradent de Φ(µ), etc.) ans que les ressources dsponbles (nombre possble d évaluatons, capacté des ordnateurs, etc.), le problème d optmsaton (.) pourra être résolu par dfférents algorthmes. Ctons certans d'entre eux comme l'algorthme de gradent conjugué, les algorthmes de Newton, les algorthmes génétques, les stratéges d évoluton, les méthodes de surface de réponse, etc. Nous pouvons classfer ces algorthmes d optmsaton en 3 catégores comme sut : - Algorthmes à drecton de descente (algorthmes à base de gradent) - Algorthmes d ordre 0 et algorthmes évolutonnares - Algorthmes hybrdes Nous allons mantenant présenter ces tros classes d algorthmes d optmsaton. I.2. METHODES A DIRECTION DE DESCENTE Dans cette secton, nous ntrodusons une classe mportante d'algorthmes de résoluton des problèmes d optmsaton : les algorthmes à drecton de descente. Ce sont des algorthmes qu ont oblgatorement beson de l nformaton du gradent des fonctons coût pour chercher Do Ten Tho Page 3 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

9 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I l optmum du problème. Leur utlsaton nécesste que la foncton coût sot au mons une fos dfférentable par rapport aux paramètres à optmser. Nous en décrrons, dans la premère parte de cette secton, les prncpes généraux. I.2.. Prncpes généraux Pour utlser avec cette catégore d algorthmes, supposons que la foncton Φ est contnue et et 2 Φ µ respectvement dfférentable dans tout l espace de recherche. Nous notons Φ ( µ ) le vecteur gradent et la matrce hessenne de la foncton coût Φ(µ) en µ. La condton nécessare d optmalté du problème d optmsaton (.) s écrt : ( ) = 0 ( ) Φ µ (.2) Lorsque la foncton coût Φ(µ) est deux fos dfférentable, on peut écrre une condton suffsante d optmalté : Φ 2 Φ ( µ ) ( µ ) = 0 défne postve (.3) Les méthodes à drecton de descente ont pour objectf de calculer un vecteur µ satsfasant la condton nécessare d optmalté (.2). Pour une foncton coût donnée Φ(µ), on dt que d est une drecton de descente de Φ(µ) en n µ R s la relaton suvante est vérfée : ( ) < 0 d. Φ µ (.4) Géométrquement cela veux dre que d fat avec l opposé du gradent Φ ( µ ) un angle θ strctement plus pett que 2 π. S d est une drecton de descente, pour tout λ > 0 suffsamment pett, en utlsant un développement de Taylor d ordre nous avons : ( µ + d ) < Φ( µ ) Φ λ (.5) Nous voyons que Φ(µ) décroît dans la drecton d. Les drectons de descentes sont ntéressantes car, pour fare dmnuer Φ (µ), l sufft de fare un déplacement de µ le long de d. L algorthme général construt une sute d'térés µ approchant une soluton µ* du problème (.) par la récurrence : 0 n µ R + µ = µ + λ d, 0 (.6) où λ >0 est appelé le pas de descente, d une drecton de descente de Φ en µ. Do Ten Tho Page 4 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

10 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Le pas de descente dot être détermné de telle sorte que la valeur de la foncton décrosse le plus possble. En général, un algorthme de recherche lnéare est utlsé pour trouver un pas "optmal" à chaque tératon. L'algorthme général de cette classe de méthodes d optmsaton pour résoudre un problème sans contrante s écrt : Chox d un téré ntal Pour 0. tant que Φ( ) > ε 0 n µ R, et d un paramètre d arrêt ε µ, contnue ; 2. recherche d une drecton de descente d ; 3. recherche lnéare : détermner un pas >0 mnmsant λ Φ ( µ + λ d ) + 4. actualsaton pour l tératon suvante : µ = µ + λ d ; = + 5. aller à l étape. Le test d arrêt apporté à l étape porte sur la condton nécessare d optmalté d ordre : ( ) 0 Φ µ. Pour défnr une méthode de drecton de descente, l faut donc précser deux ngrédents prncpaux qu sont : - la manère de chosr la drecton de descente, qu donne le nom de l algorthme - la méthode de recherche lnéare pour détermner le pas de descente λ optmal à chaque tératon Quelques méthodes correspondant à des chox partculers ces deux ngrédents sont décrts dans les paragraphes qu suvent. I.2.2. Chox de la drecton de descente I Méthode de la plus forte pente Il s agt de la méthode à drecton de descente d ordre la plus smple. L nverse du gradent est évdemment une drecton de descente s µ n est pas un pont statonnare. La drecton normalsée d de plus forte décrossance de Φ au vosnage d un pont µ est donnée par : ( µ ) ( µ ) Φ d = (.7) Φ Do Ten Tho Page 5 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

11 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I La méthode du gradent est facle à mettre en œuvre. Cependant, sa convergence peut être très lente. Lon de la soluton, cette drecton est une bonne drecton de descente. En revanche, dans le vosnage d une soluton optmale µ * du problème, là où les termes du second ordre de Φ(µ) en µ * jouent un rôle plus mportant, on observe une dmnuton très lente de Φ. Cela est son défaut majeur. Il exste des technques d accélératon permettant de paler à cet nconvénent [Mnoux 983]. Néanmons, elles sont fort coûteuses et peu utlsées. Dans le domane de mse en forme, Jensen et al. [Jensen et al. 998] se sont servs cette méthode pour la mnmsaton de l usure en emboutssage. I Méthode du gradent conjugué L algorthme du gradent conjugué [Morrs 982] peut être vu comme une légère modfcaton de l algorthme de la plus forte pente, pour lequel on garde en mémore la drecton de descente de l tératon précédente. La drecton de descente est donnée par : d Φ = Φ ( µ ) ( µ ) + β d s s = 2 (.8) Le scalare β peut prendre dfférentes valeurs, ce qu donne à l algorthme des proprétés dfférentes. Nous présentons c les deux méthodes qu sont très fréquemment ctées dans la lttérature. Elles calculent β par les formules suvantes : - Méthode de Fletcher-Reeves [Fletcher et al. 964] : 2 ( µ ) ( µ ) 2 - Méthode de Pola-Rbère [Pola et al. 969] : β = Φ (.9) Φ T [ Φ( µ ) Φ( µ )] Φ( µ ) Φ( µ ) 2 β = (.0) Cet algorthmes est proposé à l orgne pour la mnmsaton de fonctons quadratques, pus l est étendu à des fonctons quelconques dans [Fletcher et al. 964]. Néanmons, l cumule les erreurs d arrond, la convergence n est alors assurée que s l on procède à des réntalsatons pérodques. Certanes technques de redémarrage ont été proposées (méthode de Beales [Powell 975] par exemple). Zabaras et al. [Zabaras et al. 995] ont utlsé cette méthode pour l optmsaton du flux de chaleur en soldfcaton. I Méthode de Newton L algorthme général de Newton est une méthode de résoluton de systèmes d équatons non lnéares. Dans le cadre de l optmsaton, l est utlsé comme un algorthme de drecton de descente sur la condton nécessare d optmalté (.2). Do Ten Tho Page 6 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

12 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Pour décrre cet algorthme, nous consdérons l approxmaton quadratque Q ( µ ) de ( µ ) vosnage d un pont µ à l tératon : Q t 2 ( µ ) = Φ( µ ) + Φ( µ )(. µ µ ) + ( µ µ ). Φ( µ )(. µ µ Φ au ) (.) 2 + On chost alors µ qu mnmse Q. Il est défnt par la condton d optmalté (.2) ce qu condut au système lnéare suvant pour détermner la drecton de descente d : d = 2 [ Φ( µ )]. Φ( µ ) (.2) Cette méthode est reconnue comme une des plus effcaces dans la famlle des algorthmes à drecton de descente. Sa prncpale dffculté résde dans le calcul des dérvées secondes de Φ qu s avère le plus souvent coûteux et dffcle à réalser. Pluseurs algorthmes proposent de lever cette dffculté en utlsant une approxmaton de la matrce hessenne. On peut mentonner le cas partculer où Φ peut s écrre sous forme de mondres carrés. On obtent alors une approxmaton du hessen en ne consdérant que les produts des gradents. Cette approxmaton, qu est à la base des algorthmes de Gauss- Newton ou Levenberg-Marquardt [Mnowycz 988], est largement utlsée en dentfcaton de paramètres rhéologques [Gavrus 996] [Ghouat 998]. I Méthodes quas-newton L dée des méthodes de quas-newton est de remplacer la matrce hessenne Φ ( µ ) 2 (ou son nverse) par une approxmaton mse à jour tératvement. La drecton de descente s écrt : d = [ H ~ ]. Φ( µ ) (.3) où la matrce H ~ dot converger vers la matrce hessenne lorsqu on s approche de l optmum. Pour tout, la matrce H ~ dot vérfer pluseurs condtons. D une part, elle dot + être symétrque et défne postve. D autre part, on mpose à la matrce H ~ de vérfer la relaton de quas-newton suvante : Φ ( ) ( ) H ~ µ Φ µ = ( µ µ ) (.4) Pluseurs méthodes pour construre la sute H ~ ont été proposées. Les deux méthodes les plus connues sont de rang 2, celle DFP de Davdon-Fletcher-Powell [Fletcher et al. 963] et celle BFGS [Broyden et al. 970]. Pour un problème d extruson, Kusa et al. [Kusa et al. 989] ont montré l effcacté des méthodes de quas-newton en comparant une méthode DFP, un algorthme de plus forte pente et une méthode d ordre 0 le smplex. Avec de nombreuses utlsatons comme dans [Noret et al. 996], [Zhao et al. 997], [Bourdn et al. 998], [Velledent et al. 998], la méthode BFGS semble la plus adaptée aux problèmes d optmsaton en mse en forme. Do Ten Tho Page 7 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

13 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I I.2.3. Méthodes de recherche lnéare Une fos que la drecton de descente d à l tératon est détermnée, on effectue l étape de recherche lnéare pour trouver la valeur optmale du pas de descente λ. La recherche lnéare permet aux méthodes à drecton de descente de converger, la convergence n étant pas assurée s l on néglge cette étape. Cette dernère consttue souvent la parte la plus coûteuse en temps de calcul, car elle nécesste pluseurs évaluatons de la foncton Φ. Le pas de descente λ trouvé dot satsfare deux condtons : Fare décroître Φ et ne pas être trop pett pour évter une fausse convergence. La recherche lnéare est un problème d optmsaton avec un seul paramètre. Il exste donc pluseurs méthodes et pluseurs crtères d arrêt de cette recherche tels que celu de Curry, celu d Admjo ou Goldsten [Armjo 966], ou celu de Wolf [Wolf 97] pour BFGS. Nous pouvons cter c quelques méthodes de recherche lnéare : celle de Newton (ou de la sécante), la méthode d'nterpolaton quadratque [Fletcher 996], la méthode de la secton d or [Morrs 982] [Chung et al. 998], la méthode de Brent avec gradent [Chen et al. 995], la méthode d nterpolaton parabolque [Press et al. 992], la méthode de Davdon [Schttows 980], la méthode de type Moré et Thuente [Moré et al. 994], etc. I.2.4. Avantages Inconvénents (a) Merc gradent, avec to, je sas par où aller déjà au sommet? je rêve ou quo? Comment cela se produt s vte? (b) Fgure.. Méthode à drecton de descente: devant un problème convexe, je trouve rapdement l optmum (a); devant un problème mult-optma : mon segneur, envoyez à un endrot déal (b) Les méthodes à drecton de descente ont l avantage de converger relatvement rapdement vers un pont statonnare en utlsant les nformatons du gradent. Ces méthodes donc sont très favorables pour un problème convexe unmodal grâce à leur vtesse de convergence (Fgure.a). Elles nécesstent que la foncton coût sot au mons une fos dfférentable par Do Ten Tho Page 8 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

14 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I rapport au paramètres à optmser ce qu est un problème délcat pour des codes complexes tels qu'en 3D nstatonnare. Elles ne permettent d attendre que le mnmum le plus proche du pont de départ, c'est-à-dre un mnmum local. Le résultat dépend donc fortement du jeu de paramètres servant à l ntalsaton (Fgure.b). On peut auss les utlser pour accélérer la vtesse de convergence d'algorthmes globaux (comme les algorthmes évolutonnares) lorsque ces algorthmes ont du mal à converger dans la régon proche de l optmum global. Les méthodes à drecton de descente ne sont donc pas le chox déal pour résoudre des problèmes d optmsaton mult optma comme celu présenté sur la Fgure.b. Pour résoudre un tel problème, l vaut meux utlser des algorthmes plus globaux. I.3. METHODES D ORDRE 0 ET ALGORITHMES DE MINIMISATION GLOBALE Les méthodes d'ordre 0 ne nécesstent pas le calcul du gradent de la foncton coût. Les algorthmes les plus connus de cette catégore sont ceux qu s nsprent de la nature, tels que les algorthmes évolutonnares, l algorthme du recut smulé, l algorthme de la colone des fourms, la méthode de recherche aléatore, la méthode du smplex, les méthodes de surface de réponse. La plupart de ces algorthmes sont des méthodes d'optmsaton globales, sauf celu du smplex. Avec ce type d algorthmes, on cherche à générer un ou pluseurs nouveaux ponts, plus proches de l optmum, unquement à partr de la connassance de la valeur de la foncton coût Φ d un ou pluseurs ponts de l espace des paramètres. I.3.. Algorthmes évolutonnares Les Algorthmes Evolutonnares (AE) consttuent une dscplne mplquant la smulaton par un ordnateur du processus de l évoluton naturelle. Ils sont nsprés de la génétque et des mécansmes de la sélecton naturelle basés sur la théore de l'évoluton de Darwn, selon laquelle la ve est une compétton où seuls les meux adaptés survvent et se reprodusent. Ils empruntent les paradgmes de l évoluton bologque tels que la sélecton, le crosement et la mutaton pour chercher la soluton du problème. Les AE utlsent la noton de "populaton d ndvdus", dans laquelle chaque ndvdu représente une soluton potentelle de l espace de recherche du problème donné. Ce sont des méthodes d optmsaton globales. Leur robustesse et leur souplesse permettent d'aborder les problèmes les plus rades. De plus, leur capacté à travaller sur des espaces de recherche non standards (non contnus) ans que leur fable beson d nformaton sur le problème (seulement la foncton coût) offrent les perspectves les plus orgnales et un large champ d applcaton. Ils ont donc été applqués avec succès à de nombreux problèmes où les algorthmes classques d optmsaton sont ncapables de produre des résultats satsfasants. En outre, en tant qu algorthme à base de populaton, leur parallélsaton est asée : l sufft de dstrbuer l évaluaton de la foncton coût sur autant de processeurs que d'ndvdus de la Do Ten Tho Page 9 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

15 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I populaton. Leur prncpal nconvénent est leur coût. Ils nécesstent en effet un grand nombre d évaluatons pour aboutr à l optmum : c est le prx qu ls dovent payer au fat de ne pas utlser d'autre nformaton sur la foncton et de s applquer à de très larges classes de problèmes, auss chaotques soent ls. Nous allons mantenant présenter de manère plus détallée ces algorthmes. Commençons par leur hstorque et leurs domanes d applcaton. I.3... Hstorque et domanes d applcaton Algorthmes Evolutonnares Algorthmes Génétques Stratéges d Evoluton Programmaton Génétque Programmaton Evolutonnare Fgure.2. Prncpales catégores des Algorthmes Evolutonnares Hstorquement, les AE ont été élaborés depus les années soxante. En général, ls sont dvsés en quatre catégores prncpales, comme présentés dans la Fgure.2. I.3... Algorthmes Génétques (AG) Les AG ont été ms au pont par Holland dans les années 60 [Holland 962], [Holland 975] aux Etats-Uns. Ils sont ensute raffnés et popularsés par De Jong [De Jong 975], Grefenstette [Grefenstette 987], Goldberg [Goldberg 989]. Ces algorthmes s appuent avant tout sur une représentaton bnare des ndvdus. I Stratéges d Evoluton (SE) Les premers efforts pour la mse en place des Stratéges d'evoluton (SE) ont eu leu dans les années 60 en Allemagne par Rechenberg [Rechenberg 965] [Rechenberg 973] et Schwefel [Schwefel 98]. Ces algorthmes s appuent sur une représentaton en nombres réels et de dmenson fxe des ndvdus, ans que sur un opérateur de mutaton gaussenne. Les SE les plus performantes utlsent les mutatons auto adaptatves, dans lesquelles chaque ndvdu porte avec lu les paramètres de la mutaton gaussenne qu lu sera applquée paramètres eux-même soums à mutaton [Bäc 995]. I Programmaton Génétque (PG) Proposée par Cramer [Cramer 985], la Programmaton Génétque (PG) a surtout été popularsée par Koza au début des années 90 [Koza 992], [Koza 994], [Koza et al. 999], [Banzhaf et al. 998]. Elle s ntéresse à l évoluton de programmes. Elle propose un paradgme permettant la programmaton automatque d ordnateurs par des heurstques Do Ten Tho Page 0 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

16 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I basées sur les mêmes prncpes d évoluton que les AG. La dfférence entre la PG et les AG résde essentellement dans la représentaton des ndvdus. En effet, la PG consste à fare évoluer des ndvdus dont la structure est smlare à celle des programmes nformatques. Koza représente les ndvdus sous forme d arbres, c est-à-dre de graphes orentés et sans cycle, dans lesquels chaque noeud est assocé à une opératon élémentare relatve au domane du problème. La PG est partculèrement adaptée à l évoluton de structures complexes de dmensons varables. I Programmaton Evolutonnare (PE) La Programmaton Evolutonnare (PE) est ntrodute dans les années 60 par L. Fogel [Fogel 964], [Fogel et al. 966], pus étendue par Burgn [Burgn 973], Atmar [Atmar 976], D.B. Forgel [Forgel 992] et d'autres. Elle a été conçue dans le but de fare évoluer des machnes à états fns, pus a été étendue aux problèmes d optmsaton de paramètres. Cette approche met l emphase sur la relaton entre les parents et leurs descendants plutôt que sur les opérateurs génétques. Elle a été utlsée dans de nombreux autres champs d applcaton. Les caractérstques de l évoluton sont très proches de celles des SE. Contrarement aux tros autres AE classques, la PE n utlse pas une représentaton spécfque des ndvdus mas plutôt un modèle évolutonnare de haut nveau, qu est assocé à une représentaton et à un opérateur de mutaton drectement approprés au problème à résoudre. I Champs d applcaton Les champs d applcaton des AE sont très vastes : en économe [Vallée al. 200], en fnance, en optmsaton de fonctons numérques dffcles (dscontnue, multmodales, brutées) [De Jong 980], en tratement d mage (algnement de photos satteltes, reconnassance de suspects), en théore du contrôle optmal, ou encore en théore des jeux répétés et dfférentels, en mécanque des structures [Burczyns et al. 200], [Chen 200], [Papadraas et al. 200], en optmsaton de forme [Annccharco et al. 999], [Antono et al. 2002], [Chung et al. 997], [Mor et al.996], etc. Pour plus d nformaton sur les applcatons des AE, le lecteur peut se référer à [Oduguwa et al. 2005] I Vocabulare assocé Comme les algorthmes évolutonnares sont développés à partr de rasonnements ssus de la bologe, les termes utlsés en gardant les dénomnatons. Pour évter toute confuson de langage, l est nécessare, suvant en cela Lutton [Lutton 999], de leur précser le vocabulare. L équvalence entre les termes bologques et les termes d optmsaton est présentée dans le tableau Tableau.. En plus de ce vocabulare, l nous faut encore dstnguer entre le "Génotype" et le "Phénotype". On parle de génotype pour tout ce qu concerne les chromosomes, tands que les solutons (les vecteurs de l espace de recherche) consttuent le phénotype. Les AE travallent donc au nveau du génotype. Do Ten Tho Page CEMEF Ecole des Mnes de Pars

17 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Algorthmes Evolutonnares Indvdu Chromosome Gène ou Allèle Populaton Performance (ou foncton coût) Evaluaton d un ndvdu Crosement (ou recombnason) Mutaton Sélecton Envronnement Remplacement Evoluton Génératon Méthodes d optmsaton Soluton potentelle de l espace de recherche (vecteur des paramètres) Soluton codée (à partr d'une varable bnare, réelle, dscrète, etc.) Parte composante d un ndvdu (d'un chromosome) Ensemble fn (de talle N) d ndvdus Mesure de la qualté des ndvdus basée sur la valeur de la foncton coût et permettant de comparer les ndvdus entre eux afn de détermner les plus et mons aptes Calcul de la performance d un ndvdu Opérateur de reproducton applqué aux ndvdus de la populaton et qu consste à échanger ou combner des composantes entre pluseurs ndvdus. Opérateur de modfcaton d un ou pluseurs gènes d un ndvdu dans le but d ntrodure une nouvelle varablté dans la populaton Processus du chox des ndvdus utlsés pour la reproducton basé sur leur performance Espace de recherche Processus de formaton d une nouvelle populaton à partr de l'ensemble des parents et des enfants, effectué le plus souvent sur la base de leur performance Un processus tératf de recherche d un (ou pluseurs) ndvdu optmal Repère le moment de l évoluton Tableau. : Equvalence entre «Termes bologques» et «Termes d optmsaton» I Prncpe de fonctonnement des AE Le prncpe de fonctonnement des AE est extrêmement smple, et est présenté par l organgramme de la Fgure.3. Pour résoudre un problème d optmsaton, on part d un ensemble (populaton) de solutons potentelles (ndvdus) arbtrarement choses. Les performances de tous les ndvdus de cette populaton sont évaluées. Sur cette base, l applcaton des tros opérateurs évolutonnares de "sélecton, crosement et mutaton" permet de créer un nouvel ensemble d ndvdus, appelé "populaton des enfants". Cette nouvelle populaton dot être évaluée à son tour afn de décder les quels des enfants mértent de remplacer certans parents et de fare parte de la génératon suvante. Le test d arrêt est ensut effectué. S les crtères sont vérfés, on s arrête. Autrement, on recommence le cycle jusqu à satsfacton de ces crtères. Do Ten Tho Page 2 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

18 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Génératon de la populaton ntale Évaluaton exacte de tous les ndvdus de la populaton ntale Populaton actualsée des µ parents Applcaton des opérateurs d évoluton : sélecton, crosement, mutaton Remplacement (Actualsaton) de la populaton des parents Populaton obtenue des λ enfants Évaluaton exacte des λ ndvdus de la populaton des enfants Non Test d'arrêt Ou Extracton des solutons Fgure.3. Organgramme canonque d un algorthme évolutonnare Le crtère d arrêt des AE peut être la convergence de l ensemble des solutons vers le même extremum ou quand le melleur ndvdu de la populaton attent un seul de performance fxé. Le plus souvent le processus est arrêté au bout d un nombre d tératons fxé a pror. Notons que la plupart des AE travallent avec une populaton de talle fxe, ce qu n est pas le cas dans la nature. Nous allons mantenant explquer en détals les mécansmes de fonctonnement des AE en présentant donc les AG et les SE comme nous nous en servrons pour résoudre nos problèmes d optmsaton. Pour plus de détals sur la programmaton génétque et celle évolutonnare, le lecteur peut se référer aux ouvrages mentonnés dans la parte I.3... Do Ten Tho Page 3 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

19 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I I Mécansmes de fonctonnement des AE Pour fare fonctonner les opérateurs génétques, les AE utlsent un codage (ou représentaton) des paramètres à la place des paramètres eux-mêmes. Pluseurs codages ont été développés par dfférents auteurs comme le codage bnare, le codage réel, le codage de Gray, le codage de permutaton, le codage d état fn, le codage de type «arborescentes». Les deux codages les plus utlsés sont ceux bnare (utlsé par les AG) et réel (utlsé par les SE). I Algorthmes génétques Représentaton Les AG tradtonnels utlsent le codage bnare comme représentaton des solutons. Chaque ndvdu est représenté par un vecteur bnare (ou chaîne de bts), dont chaque élément prend la valeur 0 ou. Ce vecteur est une concaténaton des paramètres à optmser, chaque paramètre étant transformé en une sére bnare. La Fgure.4 présente un exemple du codage bnare d une soluton avec 3 paramètres. Chaque paramètre est représenté par une sére bnare de 4 chffres{ 0, }. ( µ,µ 2,µ ) réel p = 3 µ µ 2 = ( ) bnare µ 3 Fgure.4. Exemple du codage bnare d une soluton potentelle avec 3 paramètres Cette représentaton s adapte ben aux problèmes où les paramètres ont une représentaton bnare canonque, comme les problèmes booléens. Elle s applque auss aux problèmes n d optmsaton paramétrque contnus ( Φ : R R ), mas l est alors nécessare de défnr une technque de codage adéquate de vers n R {,} l 0. La précson du codage dépend du nombre de bts (et donc de la précson de la soluton trouvée), plus l est grand, plus c'est précs, plus la convergence est longue. Sélecton des parents La sélecton est un opérateur clé sur lequel repose en parte la qualté d un algorthme génétque. Dans cette étape, les chromosomes de la populaton actuelle sont sélectonnés pour être les parents de la génératon suvante. En accord avec la théore de l évoluton de Darwn, les melleurs ndvdus dovent survvre et en créer les nouveaux. Il exste pluseurs méthodes pour chosr les melleurs ndvdus, par exemple la sélecton proportonnelle, la sélecton par tourno, la sélecton par rang, la sélecton selon l état d équlbre, etc. Parm celles-c, la sélecton proportonnelle et la sélecton par tourno sont les méthodes les plus utlsées. On présente c les méthodes les plus courantes : Do Ten Tho Page 4 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

20 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Sélecton proportonnelle (Roue de lotere Roulette selecton) La méthode de sélecton «Trage à la roulette» ntrodute par [Goldberg 989] est la méthode la plus connue et la plus utlsée. C est une méthode stochastque qu reprodut une roulette de casno qu compterat autant de cases que d ndvdus dans la populaton. La largeur de la case d un ndvdu x f est proportonnelle à sa performance f ( x ) ( x ) et prend la valeur. La N f x roue est lancée, l ndvdu sélectonné est désgné par l arrêt de la roue sur sa case. Pour un problème de maxmsaton, la performance est la valeur de la foncton coût, pour un problème de mnmsaton, la performance est l'nverse de la valeur de foncton coût. L espérance n de la sélecton d un élément x l expresson : j= ( ) de la populaton courante est donnée par j n = N j= N f ( x ) j f ( x ) (.5) où N est le nombre d ndvdus parents. L espérance maxmale Max(n ) de l ensemble des ndvdus de la populaton est appelée la presson sélectve. Cette méthode favorse les melleurs ndvdus mas tous les ndvdus ont des chances d être choss. Néanmons, la méthode peut causer une perte de la dversté de la populaton s la presson sélectve (ou l espérance n du melleur ndvdu) est élevée. De plus, sa varance est élevée. Pour dmnuer la varance, Baer a proposé en 987 la méthode de sélecton à la roulette avec reste stochastque [Baer 987]. L approche est smlare à celle de Goldberg, mas cette fos, les ndvdus sélectonnés sont désgnés par un ensemble de ponts équdstants. Le nombre effectf de sélectons de l ndvdu x sera la parte entère nféreure ou supéreure de son espérance n. Sélecton par tourno Une sélecton par tourno consste à sélectonner un sous-ensemble de la populaton, et à ne conserver que le melleur ndvdu du sous-ensemble. L opératon recommence jusqu à l obtenton du nombre d ndvdus requs. Au cours d une génératon, l y a autant de tournos que d ndvdus à sélectonner. La presson de sélecton est ajustée par le nombre q de partcpants à un tourno. Un q élevé condut à une forte presson de sélecton. L avantage de cette technque est qu'elle est paramétrable par la valeur de q, et peu sensble aux erreurs sur Φ. Par contre, sa varance est élevée [De Jong et al. 995]. Do Ten Tho Page 5 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

21 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Une varante de la sélecton par tourno est le tourno de Boltzmann [Maza et al. 993], qu assure que la dstrbuton des valeurs d adaptaton d une populaton sot proche d une dstrbuton de Boltzmann. Pour une compétton entre une soluton courante x et une soluton alternatve x j, x gagne avec la probablté Φ( x ) Φ( x j ) T + e sélecton. Sélecton par rang, où T est la température de C est une sélecton qu n est pas drectement proportonnelle à la valeur de la foncton mérte, mas dépend plutôt du rang de l ndvdu dans la populaton. Le classement par rang a prncpalement pour but d évter que les ndvdus avec des fonctons de mérte très élevées ne perturbent le processus stochastque en obtenant un nombre de sélectons trop mportant. Sélecton par troncature Cette sélecton consste à chosr de manère détermnste les T% melleurs ndvdus d une génératon pour générer la suvante. Pour plus de détals sur ces méthodes de sélecton et pour les autres méthodes de sélecton, on peut se référer à la parte C.2 de [Bäc et al. 997]. Remplacement L étape de remplacement sert à détermner quels ndvdus parm les parents de la génératon courante et leurs enfants, seront les parents de la génératon suvante. A la dfférence de l étape de sélecton, durant laquelle des ndvdus peuvent être sélectonnés pluseurs fos, lors de l étape de remplacement, un ndvdu est c sélectonné une fos et l survt alors à la génératon suvante ou pas du tout et l dsparaît défntvement de l évoluton en cours. Pluseurs stratéges de remplacement sont présentées dans la lttérature pour les AG : Remplacement génératonnel La nouvelle populaton est composée unquement des enfants. On fat dsparaître tous les ndvdus de la populaton courante. L nconvénent majeur de cette approche est la perte de melleur ndvdu, s on ne le conserve pas systématquement dans la nouvelle populaton. Remplacement éltste La nouvelle génératon garde certanes "bonnes" solutons (sélecton éltste) de la génératon courante et est complétée par des enfants. Remplacement contnu Des enfants, choss aléatorement, remplacent de façon régulère les ndvdus les mons performants de la génératon courante. Crosement Do Ten Tho Page 6 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

22 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Le crosement est l opérateur prncpal des AG. C est un opérateur génétque relatf à pluseurs ndvdus parents (souvent deux). Son rôle consste à combner les génotypes des ndvdus pour en produre un nouveau. Il fat parte du mécansme de convergence de l AG, qu permet de concentrer la populaton autour des melleurs ndvdus. On dstngue pluseurs types de crosements possbles. Les plus utlsés sont : Crosement à pont Crosement à 2 ponts Crosement unforme Fgure.5. Méthodes de recombnason (crosement) utlsées par l'ag Crosement à pont [Holland 962] Le crosement à un pont est l opérateur de crosement le plus smple et le plus classque. Il consste à chosr aléatorement un pont de coupure, pus à subdvser le génotype de chacun des parents en deux partes de part et d autre de ce pont. Les fragments obtenus sont alors échangés pour créer les génotypes des enfants (Fgure.5). Crosement à multponts [De Jong et al. 99] Le crosement multponts est une généralsaton du crosement à un pont. Au leu de chosr un seul pont de coupure, on en sélectonne, aléatorement. Dans le crosement multponts, les ponts de coupure sont fxés par avance. La Fgure.5 représente un crosement multponts (deux ponts dans l exemple). Crosement unforme [Syswerda 989] Ce type de crosement est la généralsaton du crosement multponts. Dans le crosement unforme, chaque gène d un enfant est chos aléatorement entre les gènes des parents ayant la même poston dans le chromosome, avec une probablté de 0,5 s'l y a deux parents. Le second enfant est construt en prenant les chox complémentares du premer enfant. Un exemple du crosement unforme est auss présenté sur la Fgure.5. Mutaton Do Ten Tho Page 7 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

23 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I Les AG utlsent l opérateur de mutaton comme moyen de préserver la dversté de la populaton. La mutaton utlsée est bnare. Elle nverse aléatorement les bts du génotype, avec une fable probablté, typquement de 0,0 à 0,00. La Fgure.6 nous montre un exemple de la mutaton bnare. Mutaton stochastque Mutaton bt Inverson d'un bt chos au hasard Fgure.6. Méthodes de mutaton utlsées par le AG Mutaton stochastque (bt flp) : Etant la plus employée avec le codage bnare, cette méthode de mutaton consste à nverser ndépendamment chaque bt du chromosome. Un test sur le taux de mutaton est effectué pour chacun des bts du chromosome : en cas de succès, le bt testé est alors nversé. Mutaton bt Un bt du chromosome est chos au hasard. Sa valeur est alors nversée. I Stratéges d Evoluton Contrarement aux AG, la représentaton utlsée par les SE est celle de vecteurs à valeurs n réelles des paramètres ( p R ) lorsqu elles sont utlsées pour des problèmes d optmsaton contnus. Rechenberg [Rechenberg 994] a proposé d'assocer à chaque valeur de la soluton un vecteur auxlare qu détermne comment fare varer cette soluton [Schwefel 98] et permet l auto-adaptaton. Un ndvdu consste donc mantenant en le vecteur des paramètres d objet p et celu de paramètres stratégques σ - l'écart type de mutaton : Sélecton et Remplacement a =, σ (.6) ( p ) La sélecton d un ou pluseurs parents pour générer les nouveaux ndvdus dans les SE est semblable à celle des AG. En revanche, le remplacement est complètement détermnste, ce qu lu donne un rôle clef dans l évoluton en gudant la recherche vers les melleurs ndvdus. Pour produre les nouveaux ndvdus, l opère en sélectonnant les µ ( < µ < λ) premers ndvdus par ordre de performance et remplace les ancens parents par : - l unon de µ parents et λ enfants : schéma appelé stratége (µ +λ) - l ensemble des λ enfants : schéma appelé stratége (µ, λ) Do Ten Tho Page 8 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

24 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I La stratége (µ +λ) est éltste. Elle garante une améloraton monotone de la performance de la populaton, mas elle peut converger prématurément car elle s adapte mal à un éventuel changement d envronnement. En revanche, avec la stratége (µ, λ), la valeur de la melleure performance peut décroître s tous les enfants sont nféreurs aux parents, mas l algorthme est plus flexble vs-à-vs des changements d envronnement. De plus, la régresson des melleures performances peut ader le processus de recherche à sortr des régons d attracton des optma locaux pour aller explorer alleurs. Crosement Le crosement est facultatf pour les SE. Il n est pas oblgatorement présent dans la génératon des nouveaux ndvdus. Avec le codage réel, le crosement qu échange les nformatons entre les parents peuvent sembler le même que dans le cas du codage bnare des AG, mas l exste une dfférence fondamentale [Séfrou 998] : avec le codage réel, le pont de coupure tombe nécessarement entre deux composantes du vecteur des paramètres alors que pour le codage en bnare le pont de coupure peut tomber à l ntéreur d une composante. On peut auss réalser des crosements ntermédares comme présentés dans la formule (.7). La recombnason peut être dfférente des paramètres d objet et pour les paramètres stratégques. Un exemple de règles de recombnason pour le vecteur des paramètres d objet = p, p,..., p,..., p ) est présenté dans [Bäc et al. 993]: p ( 2 N p p p' = p ps ps S, S, S,,, ou + χ ou + χ p.( p p ) p T, T, T,.( p p ) T, S, S, sans recombnason recombnason recombnason recombnason dscrète globale recombnason dscrète nt ermédare nt ermédare globale (.7) Les ndces S et T représentent les deux ndvdus choss aléatorement dans la populaton des µ parents. χ [ 0, ] est une varable aléatore unforme; la valeur χ = est souvent utlsée. 2 Avec la recombnason globale, pour chaque composante p de l ndvdu enfant p ' les parents S, T et la varable χ sont détermnés ndépendamment. Emprquement, la recombnason dscrète sur les paramètres d objet et celle ntermédare sur les paramètres stratégques semblent donner les melleurs résultats. La recombnason sur les paramètres stratégques s'avère oblgatore pour le mécansme de «recombnason» des SE fonctonne [Bäc et al. 993]. Mutaton gaussenne auto-adaptatve Contrarement aux AG, l opérateur de mutaton est toujours présent dans l évoluton des SE (tands que le crosement est facultatf). La mutaton garantt la globalté de la recherche : c est le prncpal opérateur d exploraton. Les SE peuvent donc fonctonner avec une populaton d'un seul ndvdu. Toutefos, lorsque l opérateur de mutaton a une ntensté varable (comme c est le cas pour l opérateur de mutaton gaussenne auto-adaptatf décrt c-dessous), la mutaton peut auss ' Do Ten Tho Page 9 CEMEF Ecole des Mnes de Pars

25 Thèse de doctorat Optmsaton de forme en forgeage 3D Chaptre I être un opérateur d explotaton. Dans le cadre de génotypes réels, l opérateur de mutaton le plus effcace et le plus utlsé est la mutaton gaussenne auto-adaptatve, que nous allons mantenant détaller. Le prncpe de base de la mutaton gaussenne est d ajouter un brut gaussen centré N( 0,σ ) aux varables que l on désre fare muter : (,σ ) p' = p + N 0 (.8) Tout l art résde dans le chox du paramètre σ, la varance de la perturbaton gaussenne, et défnssant donc l'ntensté de la mutaton suvant une lo normale : envron 67% des trages seront comprs entre σ et +σ et plus de 99% entre 3σ et +3σ. Il y a également une probablté strctement postve de trer tout nombre réel postf ou négatf car la queue de la dstrbuton ne s annule jamas. Tous les ngrédents sont donc présents pour pouvor fare de cette mutaton un opérateur sot d exploraton (grandes valeurs de σ) sot d explotaton (pettes valeurs de σ). Il faut par contre trouver la bonne lo de mse à jour de σ pour un bon comproms entre ces deux comportements. Une premère dée fut de fare muter plus fortement les mauvas ndvdus (pusqu l ne sert à ren de les exploter, autant explorer davantage) et fablement les bons ndvdus (pour exploter l espace de recherche autour d eux). Cette dée, utlsée dans les premers temps de la Programmaton évolutonnare [Fogel et al. 966], se révéla dffcle à mettre en oeuvre dans le cadre de varables réelles. La premère approche vrament adaptatve, c est-à-dre dans laquelle la décson est prse par rapport à la stuaton courante, fut la célèbre règle des /5 de Rechenberg [Rechenberg 973]. La mutaton consdérée est sotrope. Son prncpe consste à augmenter la valeur de l'écart type σ de la mutaton lorsque trop de mutatons sont réusses, c'est-à-dre lorsque trop d'enfants ont une performance melleure que celle des parents (trop d'explotaton), et récproquement de dmnuer la valeur de l'écart type σ de lorsque pas assez de mutatons sont réusses (trop d'exploraton). La règle /5 s'utlse de la manère suvante : on commence par se fxer un temps d'observaton T (correspondant à un nombre de génératons), et toutes les T génératons, on calcule le taux τ de mutatons réusses. S τ est supéreur à 0,2 alors σ est augmenté d'un facteur,22, snon σ est dmnué d'un facteur 0,83. Cette approche possède quelques fablesses. Elle ne prend pas en compte les caractérstques locales des performances du fat que la même valeur de σ est utlsée pour toute la populaton et pour toutes les composantes du génotype. Pour paller ce défaut, ans que pour se débarrasser élégamment de la tâche fastdeuse du réglage des paramètres de la mutaton, Rechenberg [Rechenberg 973] et Schwefel [Schwefel 98] ont proposé de rendre "la mutaton auto-adaptatve" : chaque ndvdu possède ses propres paramètres de mutaton, qu sont eux-mêmes sujets à mutaton, avant d être utlsés pour la mutaton des varables ellesmêmes. Avec la mutaton auto-adaptve, l'étape de remplacement sélectonne les ndvdus avec leurs paramètres de mutaton. Les ndvdus qu survvront seront ceux qu auront à la fos les Do Ten Tho Page 20 CEMEF Ecole des Mnes de Pars