Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation

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1 athématiques 6 e Livret de orrigés Rédation : laudine lbin-vuarand Niole antelou arie-jo Quéffele arie-frane Lefèvre ar Le rozler oordination : Jean-enis Poignet, responsable de formation e ours est la propriété du ned. Les images et textes intégrés à e ours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respetifs. Tous es éléments font l objet d une protetion par les dispositions du ode français de la propriété intelletuelle ainsi que par les onventions internationales en vigueur. es ontenus ne peuvent être utilisés qu à des fins stritement personnelles. Toute reprodution, utilisation olletive à quelque titre que e soit, tout usage ommerial, ou toute mise à disposition de tiers d un ours ou d une œuvre intégrée à eux-i sont stritement interdits. ned-2009 ned adémie en ligne

2 Sommaire Séquene Règle, équerre, ompas Séquene Nombres déimaux Séquene ngles Séquene ultipliation de nombres déimaux Séquene Symétrie axiale Séquene ivision ulidienne e ours est la propriété du ned. Les images et textes intégrés à e ours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respetifs. Tous es éléments font l objet d une protetion par les dispositions du ode français de la propriété intelletuelle ainsi que par les onventions internationales en vigueur. es ontenus ne peuvent être utilisés qu à des fins stritement personnelles. Toute reprodution, utilisation olletive à quelque titre que e soit, tout usage ommerial, ou toute mise à disposition de tiers d un ours ou d une œuvre intégrée à eux-i sont stritement interdits. ned-2009 ned adémie en ligne

3 Sommaire Séquene Quadrilatères Séquene ivision déimale, éritures frationnaires Séquene Proportionnalité Séquene Périmètres, aires Séquene Gestion de données Séquene Parallélépipèdes retangles. Volumes e ours est la propriété du ned. Les images et textes intégrés à e ours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respetifs. Tous es éléments font l objet d une protetion par les dispositions du ode français de la propriété intelletuelle ainsi que par les onventions internationales en vigueur. es ontenus ne peuvent être utilisés qu à des fins stritement personnelles. Toute reprodution, utilisation olletive à quelque titre que e soit, tout usage ommerial, ou toute mise à disposition de tiers d un ours ou d une œuvre intégrée à eux-i sont stritement interdits. ned-2009 ned adémie en ligne

4 Séquene e que tu devais faire Je révise les aquis de l éole ) d) 2) b) 3) d) 4) ) 5) ) SÉQUN Séane Les ommentaires du professeur ) La figure représentée est un ligne droite limitée par deux points : est don un segment (une droite est une ligne droite illimitée des deux «ôtés» : on n en représente évidemment qu une partie). 2) Tu as vu au 2 que deux droites sont perpendiulaires si «elles se oupent en formant un angle droit». 3) Tu as vu au 2 que deux droites sont parallèles si elles ne se oupent pas. ans le a), les deux droites se oupent : il suffit pour ela de prolonger leur traé. 4) On utilise une équerre : et instrument sert à traer des angles droits. 5) Le point traé en rouge est le milieu du segment ar il le partage en deux segments dont la mesure est 2 m. xerie l aide d une règle, on prolonge les deux traits rouge et bleu. On pense, lorsqu on représente une droite : à traer un trait qui soit le plus fin possible à traer un trait jusqu au bord des limites de la figure (ar une droite est illimitée, mais en pratique, on doit bien «arrêter» son traé quelque part). Nommer un point, est érire la lettre sur la figure près de l endroit où le point se trouve. Ii, on plae la lettre où l on veut le plus près du lieu où se oupent les deux droites Remarque : sur une figure, il ne peut y avoir qu un seul point nommé. La suite de l énigme de la arte au trésor sera à faire dans la prohaine séane... ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

5 Séquene xerie 2 ) 2) Pour traer une droite, j utilise une règle. 3) (d'') ) On peut plaer le point n importe où sur la feuille. est «le entre de la roix» qui représente le point. (d') 2) Une règle non graduée suffit. 3) On plae la règle de telle sorte qu un de ses bords passe par «le entre de la roix» : (d) On ne peut représenter sur une feuille qu une partie de haque droite (ar une droite est illimitée est-à-dire qu elle «ne s arrête jamais»). Les droites doivent passer préisément par le entre de la roix. Le traé d une droite doit être le plus fin possible ar une droite n a pas d épaisseur. On note une droite ave des parenthèses, par exemple (d). La parenthèse de haque ôté doit rappeler qu une droite est illimitée «des deux ôtés». 4) La bonne réponse est ), est-à-dire une infinité. 4) On ne peut pas représenter l infinité de droites qui passent par le point, mais grâe à la figure i-dessous, on peut l imaginer. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

6 Séquene Séane 2 e que tu devais faire xeries 3 et 4 Les ommentaires du professeur Toutes les nouvelles onstrutions sont représentées en bleu. Pour savoir si les droites passent ou ne passent pas par les point V et W, il fallait prolonger suffisamment leurs traés. Seule la droite prolongeant la piste bleue passe par le point demandé, à savoir le point W. On note ensuite respetivement (Δ) et (Δ ) les droites «rouge et bleue». On note ensuite les points et F et on trae une droite passant par et F. On se rend alors ompte qu il en existe une seule, et par onséquent, que : «par deux points différents, il ne passe qu une seule droite». «La» signifiant «l unique», on dira toujours à partir de maintenant : «la droite passant par les deux points et F». La droite représentée par la piste rouge passe-t-elle par le point V? NON La droite représentée par la piste bleue passe-t-elle par le point W? OUI Peux-tu traer une autre droite que la préédente passant par et F? NON xeries 5 ) F H Noms des droites herhées : (F) ou (F), (G) ou (G), (H) ou (H), (FG) ou (GF), (FH) ou (HF), (GH) ou (HG). G ttention! Il est essentiel de proéder ave méthode afin de ne rien oublier. ans un premier temps, on trae par exemple toutes les droites passant par. On trae don (F), (G) et (H). nsuite, on trae toutes les droites non enore traées passant par F. On trae don (FG) et (FH). nfin, on trae toutes les droites non enore traées passant par G. On trae don (GH). u total, on a traé 6 droites. haune d entre elle s érit de deux façons différentes, il y a don 2 éritures possibles au total. 4 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

7 Séquene xerie 6 e situation : Le point appartient à la droite (). Il n y a qu une seule droite passant par deux de es points : la droite (). 2e situation : Le point n appartient pas à la droite () ère situation : On pouvait également érire : (). La figure n est qu une possibilité parmi d autres as de figures : On dit, dans ette situation, que les points, et sont alignés (ar ils appartiennent à une même droite). 2ème situation : Il y a 3 droites passant par deux de es points : (), () et (). xerie 7 ) Les points, O et P semblent alignés. 2) Les points, N, Q et R ne sont pas alignés. xerie 8 Y Q Les différentes façons de nommer la droite (XY) sont : (XY), (YX), (XZ), (ZX), (YZ) et (ZY) X P N Z O R On pouvait également érire : (). On dit que dans ette situation que les points, et ne sont pas alignés ar ils n appartiennent pas à une même droite. ) On trae la droite (O). Le point P semble être sur ette droite. Les points, P et O semblent don alignés. Pourquoi utiliser le mot «semblent»? Tout simplement pare qu une figure est toujours plus ou moins préise. Ii, par exemple, le point P est peut-être «très très prohe» de la droite (O), sans être sur elle-i. Remarque : Je peux toujours traer une droite passant par deux points distints. eux points quelonques et distints sont toujours alignés. 2) On trae la droite (N). Le point R n est pas sur ette droite. Les points,n, Q et R ne sont don pas alignés. Remarque : les points, Q et N semblent être alignés. On trae une droite et on plae sur ette droite trois points X, Y et Z. omme les points sont alignés (ela est érit dans la onsigne), on déduit que la droite (XY) est la même droite que (XZ) et que (YZ). On exprime ela en disant que es trois droites sont onfondues. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

8 Séquene xerie 9 ) 2) et 3) ), N et S sont alignés don S appartient à la droite (N). L S T N, L et S sont alignés don S appartient à la droite (L). On trae les droites (N) et (L). Les droites (N) et (L) se oupent au point S herhé. 2), L et T sont alignés don T appartient à la droite (L)., N et T sont alignés don T appartient à la droite (N). On trae les droites (L) et (N). Les droites (L) et (N) se oupent au point T herhé. xerie 0 La nouvelle onstrution est représentée en bleu. Le point est tel que, F et soient alignés : il est don sur la droite (F). Le point est également sur la droite (Δ). Le point est don le point d intersetion de la droite (F) et de la droite (Δ). Il ne reste plus qu à le plaer sur la arte. ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

9 Séquene Séane 3 e que tu devais faire xerie Les ommentaires du professeur La nouvelle onstrution est représentée en bleu. On nomme le olmen du ouhant et S la Soure éternelle. On trae un trait droit «qui part de, qui passe par S et on le prolonge au maximum sur la feuille». Tu viens alors de traer e que l on appelle : «la demi-droite d origine passant par S». xerie 2 ) On a représenté en bleu la demi-droite d origine passant par. On la note [). 2) On a représenté en bleu la demi-droite d origine passant par. On la note [). 3) eux réponses sont possibles : e réponse : On a représenté en bleu la demi-droite d origine passant par F. On la note [F). 2e réponse : On a représenté en bleu la demi-droite d origine passant par G. On la note [G). 4) I H ) ette demi-droite est limitée par le point et illimitée de l autre ôté. 2) ette demi-droite est limitée par le point et illimitée de l autre ôté. 3) ette demi-droite est limitée par le point et illimitée de l autre ôté. G F On la note [HI). 5) J L lle est à la fois la demi-droite d origine passant par F et la demi-droite d origine passant par G. On peut don la noter [F) ou [G). 4) On plae préisément la règle et on trae finement, à l aide d un rayon à papier, un «trait partant du point H et passant par le point I». On prolonge le trait au-delà du point I «aussi loin que possible». On la note [LJ) ou [L). H I 5) J L ned, athématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

10 Séquene xerie 3 a) b) ) Les deux demi-droites ont un point en ommun : le point. d) La partie oloriée en vert ou en bleu est la droite (). xerie 4 a), b), ) et d) d) La partie oloriée en vert ou en rouge représente la droite (L). a) b) On trae les deux demi-droites. ) Le point appartient à la fois à la demi-droite [) et à la demi-droite [). est don le seul point ommun aux deux demi-droites. d) La partie oloriée en vert ou en bleu est la droite () toute entière. ette droite se nomme () ou () ou (). Les trois réponses sont justes. On dit que les deux demi-droites [) et [) sont opposées. Le dessin est un peu onfus ar la demi-droite [L) représentée en rouge et la demi-droite [L) représentée en vert se hevauhent entre et L. La partie oloriée en vert et en rouge s appelle un segment. L On entend par «partie oloriée en vert ou en rouge» la partie oloriée soit en vert, soit en rouge, soit en vert et en rouge. La partie herhée est don la droite (L). xerie 5 [) [r) [s) [t) [N) [w) [) On représente en orange la demi-droite onsidérée afin de bien visualiser si le point y appartient ou non. [) [r) s t s t v w v N N w u r u r [s) [t) s t s t v w v N N w u r u r [N) [w) s t s t v w v N N w u r u r L origine d une demi-droite appartient à ette demi-droite. [) s t v N w u r ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

11 Séquene xerie 6 ) 2) 3) 4) ) 2) On a représenté un exemple de figure qui répond à la question. O t 5) La demi-droite est [Nx). N x N x ien entendu, de nombreuses figures différentes sont également justes. n voii un exemple : x N 3) Pour plaer un point O qui onvient, on trae la droite (N). On plae ensuite O n importe où sur ette droite (N) mais pas sur la demi-droite [N). 4) La demi-droite [t) a pour origine le point et passe par le point O. 5) Il existe une seule demi-droite répondant à la question : la demi-droite [Nx). ned, athématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

12 Séquene Séane 4 e que tu devais faire xerie 7 Les ommentaires du professeur Toutes les nouvelles onstrutions sont représentées en bleu. On note O le point représentant l Ours pétrifié. On trae un trait droit «qui part de O et qui s arrête à». Tu viens de traer e que l on appelle le segment d extrémités O et, et que l on note [O] ou [O]. e segment oupe la demi-droite [S) en un point que l on nomme R et qui représente un ravin. est de là qu il faudra partir pour poursuivre notre reherhe... xerie 8 ) On a représenté le segment d extrémités et. On le note [] ou []. = 4 m. ) On pouvait également érire «le segment d extrémités et». 2) On a représenté le segment d extrémités et. On le note [] ou []. = 6 m. 2) ) On a représenté le segment d extrémités et F. On le note [F] ou [F]. F = 2 m. On pouvait également érire «le segment d extrémités et». Sa longueur peut également s érire. = = 6 m. ttention de ne pas érire une égalité fausse omme par exemple : [] = 6 m 3) F On pouvait également érire «le segment d extrémités F et». Sa longueur peut également s érire F. F = F = 2 m ttention à ne pas onfondre F et [F]. 4) GH = 3,5 m. G H I 4) G H ,5 I 5) L =,5 m. J L 5) J L 0,5 2 0 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

13 Séquene xerie 9 Sur ette figure sont représentés : la droite (). la demi-droite [). le segment []. xerie 20 S R On a traé ôte à ôte les traits bleu et vert entre R et S, mais normalement, ils se superposent exatement. est juste pour bien remarquer que la partie entre les point R et S est la seule à être oloriée à la fois en bleu et en vert : le segment [RS] est don la réponse de la question b). a) La partie en bleu ou en vert est la droite (RS) b)la partie à la fois en bleu et en vert est le segment [RS]. xerie 2 P omme toute la droite a été oloriée, la partie oloriée en bleu ou en vert (ou en bleu et en vert) est don la droite (RS). On trae dans un premier temps tous les segments qui ont pour extrémité le point P : on trae les segments [PQ], [PR] et [PS]. R Q On trae ensuite les segments d extrémité le point Q que l on n a pas déjà traés : on trae [QR] et [QS]. S nfin, on trae le seul segment non déjà traé d extrémité R qui est [RS]. On a traé les 6 segments : xerie 22 [PQ], [PR], [PS], [QR], [QS] et [RS]. Remarque : on pouvait bien sûr les nommer [QP], [RP], [SP], [RQ], [SQ] et [SR]. Pour s aider, on a traé en orange la demidroite [), en bleu [) et en vert [). [] [) () F [] F [) F () [] [) () [] F On a [] ar haque extrémité d un segment lui appartient. ned, athématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

14 Séquene xerie 23 P rivons en toutes lettres e que nous avons traé dans la partie gauhe : ) n appartient pas au segment d extrémités et et appartient à la demidroite d origine passant par. 2) N appartient au segment d extrémités et. 3) P appartient à la demi- droite [N) et P n appartient pas au segment [N]. xerie 24 N 4) On trae la droite qui passe par et N. On trae le segment d extrémités N et. On trae la demi-droite d origine P passant par. On a représenté dans la partie gauhe une solution juste, mais il y en a bien d autres : on pouvait plaer les segments dans n importe quelle position. Voii omment on pouvait proéder : On trae un segment [F] de 7 m de longueur. 7 m F 7 m F m 3 m G 4,5 m G H On trae un segment [G] de 3 m de longueur. Une de ses extrémités est : «on repart don du point». On peut hoisir «n importe quelle diretion» pour e segment. On trae un segment [FH] de 4,5 m de longueur. Une de ses extrémités est F : «on repart don du point F». On peut hoisir également «n importe quelle diretion» pour e segment. 3 m G 7 m H 4,5 F ,5 5 2 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

15 Séquene Séane 5 e que tu devais faire xerie 25 a) b) I 4 m ) omme I est sur le segment [], on a : I = 8 4 = 4. I = 4 m d) I = 4 m I = 4 m. Les longueurs I et I sont égales. Les ommentaires du professeur a) On dit «trae un segment []» dans l énoné ar on peut le plaer n importe où. Une fois traé, on dira «le segment []» ar alors il n y en aura plus qu un. ) On pouvait érire de façon plus abstraite que : I = I = 8 4 = 4 lalongueurmoinslalongueuri Remarque importante : On peut faire e alul ar I est sur le segment []. Si le point n est pas sur le segment, omme le point J de la figure i-dessous, on ne peut pas aluler J en faisant - J : J (la figure n est pas à l éhelle) d) On pouvait également érire : I = I. (e qui veut dire que les longueurs I et I sont égales). Le point I du segment [] tel que I = I est appelé «le milieu de []». xerie 26 ) I J 2) Les points I, J et semblent alignés. F ) Traé du milieu I de [] : on mesure le segment [] ave la règle graduée, on obtient 4 m. On trae le point I de [] tel que : I = 2 m. Traé du milieu J de [] : = 3 m don on trae le point J de [] tel que : J =,5 m. Traé du milieu de [F] : F = 5 m don on trae le point de [F] tel que : = 2,5 m. 2) Pour pouvoir affirmer que les points I, J et semblent alignés, on plae une règle de telle façon que I et J soient sur le bord. On se rend alors ompte que le point semble également être sur le bord de la règle. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

16 Séquene xerie 27 ) 2) N Traé du milieu I de [NL] : On mesure le segment [NL] : NL= 4 m. On plae le point I de [NL] tel que : LI = 2 m. I J Traé du milieu J de [N] : N = 5 m. On plae le point J de [N] tel que : NJ = 2,5 m. L 3) On remarque que les trois droites traées semblent passer par le même point. xerie 28 Traé du milieu de [L] : L = 7 m. On plae le point de [L] tel que : L = 3,5m. 3) remarque : Trois droites qui se oupent en un même point sont dites «onourantes». On note P le point représentant la Pyramide de athie. On trae le segment [RP]. On veut plaer le milieu U de e segment. Pour ela, on ommene par le mesurer. Le segment [RP] mesure 5 m. La moitié de 5 m est 2,5 m. Le point U se trouve don entre R et P et à 2,5 m du point R. On prend alors une règle graduée, on mesure 2,5 m et on plae le point U. On n oublie pas de oder la figure pour indiquer que les deux longueurs RU et PU sont égales. xerie 29 ) On pouvait bien sûr oder les segments par d autres signes : trois traits, quatre traits,... F Le odage met en évidene l égalité des longueurs et F. 2) après l énoné : est le milieu de [] don : =. = F = et = F d où = F. 3) Le point n est pas le milieu du segment [F] ar il n est pas sur le segment [F]. ttention! Si on a = F, le point n est pas néessairement le milieu du segment [F]. 4 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

17 Séquene xerie 30 a) Le point appartient à [] et d après le odage de la figure = don est le milieu de []. Il faut se méfier des impressions données par une figure. ans la figure il semble que les segments [F] et [F] aient la même longueur. n réalité la longueur F est légèrement plus petite que F. xerie 3 ) a) b) ) d) 8 m Remarque : il existe un symbole pour signifier «n est pas égal à» : le symbole. On aurait pu érire : «F F don F n est pas le mileu de []». F 5 m 3 m est le milieu de [] 2) alul de est le milieu de [] don = 2 x soit = 0 m. alul de =. = 0 8 = 2 soit = 2 m. alul de =. = 5 2 = 3 soit = 3 m. 3) est sur [F] et l on a : = F = 3 m. Le point est don le milieu du segment [F]. ) a) On trae un segment [] de 5 m. 5 m b) Pour obtenir le point, on trae la demi-droite [), puis le point de la demi-droite [) différent du point tel que = = 5 m. 5 m ) On plae sur [) tel que = 8 m : = 8 m d) On plae F sur [] tel que F = 3 m : Remarque : F = 3 m F Il est onseillé d indiquer sur ta figure tout e que tu sais : ela t aidera par la suite. 2) On pouvait aussi érire que = +. Puis = = 0 soit = 0 m. On a = ar est sur le segment []. On a = ar est sur le segment []. 3) Il est très important de justifier sa réponse. Il est évident, vu la onstrution, que est sur le segment [F], mais il faut tout de même le rappeler. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

18 Séquene e que tu devais faire Séane 6 xerie 32 ) (d ) et (d 5 ) semblent ne jamais se ouper. 2) (d ) et (d 2 ), (d ) et (d 3 ), (d ) et (d 4 ), (d 2 ) et (d 3 ), (d 2 ) et (d 4 ), (d 2 ) et (d 5 ), (d 3 ) et (d 4 ), (d 3 ) et (d 5 ), (d 4 ) et (d 5 ) se oupent. 3) (d ) et (d 3 ), (d 2 ) et (d 4 ), (d 5 ) et (d 3 ) semblent se ouper en formant un angle droit. Les ommentaires du professeur ) On utilise le mot «semble» ar on n est jamais vraiment sûr : peut-être qu en prolongeant les traés «très très loin», es traits se oupent. 2) Il y avait de nombreuses possibilités. Il te suffisait d en donner une parmi elles proposées. ans e as, on est sûr que les droites se oupent. 3) Pour s en onvainre, on utilise une équerre. tudions par exemple (d ) et (d 3 ) : (d) xerie 33 ) Les droites ne sont pas perpendiulaires. On utilise (d3) le verbe «sembler» ar on n est jamais vraiment sûr que les droites longent exatement les bords de l équerre et que l équerre est parfaitement juste. ) Les droites ne forment pas un angle droit. est tellement visible qu on n a même pas besoin d utiliser une équerre. 2) Les droites semblent perpendiulaires. 2) Les droites sont séantes et semblent former un angle droit. 3) Les droites ne sont pas perpendiulaires. 3) Les droites ne forment pas un angle droit. 4) Les droites semblent perpendiulaires. xerie 34 ) Les droites ne sont pas parallèles. 2) Les droites semblent parallèles. 3) Les droites ne sont pas parallèles. 4) Les droites ne sont pas parallèles. 4) Si on prolonge le traé des droites alors elles semblent être perpendiulaires. ) Si on prolonge les traés des droites, alors elles sont séantes. 2) Les droites semblent ne jamais se ouper : elles semblent don parallèles. 3) Les droites semblent perpendiulaires. lles sont séantes ; elles ne sont don pas parallèles. 4) Si on prolonge les traés, ils se oupent. Les droites ne sont don pas parallèles. 6 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

19 Séquene xerie 35 ) (d) (d') (d'') Pour traer une droite(d) perpendiulaire à (Δ), on utilise l angle droit de l équerre que l on plae ontre la droite (Δ). On proède de la même façon pour obtenir (d ) (d) (d) (d') ( ) ( ) ( ) (d) On utilise la même méthode pour traer (d ). (d') (d'') 2) La bonne réponse est la réponse ) ( ) Remarque : on pouvait plaer les droites (d), (d ) et (d ) où l on voulait. ans haque as, on n oublie pas de plaer le «petit arré», qui veut dire que les droites sont perpendiulaires. La droite (Δ) étant illimitée, on peut traer une infinité de droites perpendiulaires à (Δ). n voii quelques-unes : ( ) xerie 36 ) 3) 2) La bonne réponse est NON. 4) La bonne réponse est NON. (d) ) On plae l équerre de sorte : - qu un des ôtés de l angle droit soit le long de la droite (d) - que soit sur l autre ôté de l angle droit. 2) On voit bien que la droite que tu as traée est la seule qui soit à la fois perpendiulaire à (d) et passant par le point. 3) On plae l équerre de sorte : (d) - qu un des ôtés de l angle droit soit le long de la droite (d) - que le sommet de l angle droit soit au point. (d) ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

20 Séquene xerie 37 ) 2) ) On applique la méthode. (d) (d) ( ) (d) ( ) 3) 4) ( ) (d) ( ) (d) ( ) 2) e as est partiulier ar le point est sur la droite. ( ) ( ) (d) 3) Il faut d abord prolonger le traé de (d) existant afin de plaer l équerre. (d) ( ) (d) xerie 38 ) (d2) 4) e as est lassique : on applique la méthode. ) On ommene par traer la droite (d ). lle passe par et elle est perpendiulaire à la droite (FG). (d3) F G F (d) 2) Les droites (d ), (d 2 ) et (d 3 ) semblent se ouper en un même point. G (d) On trae ensuite de la même manière les droites (d 2 ) et (d 3 ). (d3) (d2) F G (d) 2) On dit que les droites (d ), (d 2 ) et (d 3 ) semblent onourantes. 8 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

21 Séquene xerie 39 On trae la perpendiulaire (d) au segment [RP] passant par le point U. On note «(d)» ette droite sur la arte. On ode ensuite l angle droit. Plaçons maintenant le point X : Il se trouve à 0 km du point U sur la droite (d). m sur la arte représente 2 km en réalité. 0 km = 5 x 2 km. 0 km sont don représentés par 5 x m sur la arte, est-à-dire 5 m. Il y a don deux possibilités. Voii la première : xerie 40 La deuxième possibilité (dans l autre sens), fait que le point X est dans l eau. e n est don pas elle-là qu il faut retenir. Les points F, G et doivent être alignés. On trae don la droite (FG). F F G G On doit avoir () (). On trae don la droite perpendiulaire à () passant par le point. F G est le point d intersetion de ette perpendiulaire et de la droite (FG). ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

22 Séquene xerie 4 ible 2 20 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

23 Séquene e que tu devais faire Séane 7 xerie 42 a) (d) n est pas la médiatrie du segment [N] ar elle n est pas perpendiulaire au segment [N]. b) (d) n est pas la médiatrie du segment [N] ar elle ne passe pas par le milieu du segment [N]. ) (d) est la médiatrie du segment [N] ar elle passe par le milieu de [N] et elle est perpendiulaire au segment [N]. xerie 43 G (d) Les ommentaires du professeur a) Une droite passant par le milieu d un segment n est pas forément la médiatrie du segment : il faut aussi qu elle lui soit perpendiulaire. b) Une droite perpendiulaire à un segment n est pas forément sa médiatrie : il faut aussi qu elle passe par le milieu du segment. Voii une méthode te permettant de traer la médiatrie du segment [GH] : On mesure le segment [GH]. On trouve 6 m. Le milieu de e segment se trouve don à trois entimètres de G. G H H On marque ensuite le milieu du segment et on trae la perpendiulaire à la droite (GH) passant par le milieu du segment. On utilise pour ela l équerre. ( ) G xerie 44 (d ) (d 3) On prolonge enfin le trait traé et on érit les odages : le «petit arré» pour indiquer l angle droit et, par exemple, des petits traits pour signifier que la médiatrie oupe le segment [GH] en deux segments de même longueur. On fait de même pour la médiatrie du segment []. Remarque importante : une autre méthode beauoup plus préise te permettant de traer une médiatrie sera étudiée par la suite. H (d 2) Q Pour traer (d ) médiatrie de [OP], on plae le milieu de [OP] et on trae la droite (d ) perpendiulaire à (OP) passant par e milieu. P O On pratique de même pour traer (d 2 ) et (d 3 ). Les droites (d ), (d 2 ) et (d 3 ) semblent passer par un même point. Les droites (d ), (d 2 ) et (d 3 ) semblent onourantes. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

24 Séquene xerie 45 (d) ttention : il faut faire très attention au mot «semblent». On a effetivement l impression que es droites ne vont jamais se ouper, mais on n en est pas sûr. es illusions optiques nous ont appris a être sur nos gardes. Qui roirait par exemple que les segments blans i-dessous sont parallèles? (d2) (d3) Les droites (d 2 ) et (d 3 ) semblent parallèles. xerie 46 a) On sait que : (d) (d ) et ( ) (d ) b) On applique la propriété : "Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On déduit que : (d) // ( ) On sait que : (d ) (d 2 ) et (d 3 ) (d 2 ) On applique la propriété :"Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On déduit que : (d ) // (d 3 ) On aimerait bien pouvoir érire que les droites (d 2 ) et (d 3 ) sont parallèles. lors omment faire? On va apprendre à faire une démonstration : est le seul proédé permettant de pouvoir affirmer de façon ertaine. Rends-toi à la suite du ours pour apprendre à effetuer des démonstrations. (d) (d) ( ) (d) (d3) (d2) 22 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

25 Séquene xerie 47 a) On sait que : (d) ( ) et ( ) ( ) b) On déduit que : On applique la propriété : "Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." (d) // ( ) On sait que : ( ) (d ) et (d) (d ) On déduit que : (d) // ( ) xerie 48 ) a) Plan de la démonstration On sait que : (d ) (JL) et (d 3 ) (JL) On applique la propriété : "Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On applique la propriété : "Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On déduit que : (d ) // (d 3 ) ) (d) b) Rédation de la démonstration Les deux droites (d ) et (d 3 ) sont toutes les deux perpendiulaires à la droite (JL), elles sont don parallèles. On déduit don que : (d ) // (d 3 ). 2) Plan de la démonstration On sait que : (d 2 ) (L) et (d 4 ) (L) On applique la propriété : "Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On déduit que : (d 2 ) // (d 4 ) J (d3) 2) e n est pas pare qu il n est pas préisé dans la question «démontrer», qu il ne faut pas effetuer une démonstration. (d2) (d4) L Rédation de la démonstration Les deux droites (d 2 ) et (d 4 ) sont toutes les deux perpendiulaires à la droite (L), elles sont don parallèles. On déduit don que : (d 2 ) // (d 4 ). J L ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

26 Séquene xerie 49 ) et 2) ) Les points, et sont alignés dans et ordre tels que = 4 m et = 7 m, d où : ( ) (d) 4 m 3 m On trae ensuite la droite (d) perpendiulaire à la droite () en : (d) 3) Plan de la démonstration On sait que : ( ) est la médiatrie du segment [] On applique la définition :"La médiatrie d'un segment est la droite perpendiulaire à e segment qui passe par son milieu" On déduit que : ( ) () 2) On trae ensuite la droite (Δ). est la perpendiulaire à () passant par le milieu de [] : 2 m ( ) 2 m (d) Rédation de la démonstration (Δ) est la médiatrie du segment [], elle est don perpendiulaire à la droite (). On déduit don que : (Δ) (). 4) Plan de la démonstration On sait que : ( ) () et (d) () On applique la propriété : "Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On déduit que : ( ) // (d) Rédation de la démonstration omme les deux droites (Δ) et (d) sont toutes les deux perpendiulaires à la droite (), elles sont parallèles. On déduit don que : (Δ) // (d). 4) On peut remarquer que le résultat : «( ) est perpendiulaire à ()» obtenu à la question 3) devient une donnée pour la démonstration de la question 4). 24 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

27 Séquene e que tu devais faire xerie 50 ) et 2) Séane 8 Les ommentaires du professeur ) On utilise l équerre pour traer la droite ( ). ( ) ( ) (d) (d') Une fois ( ) traée, on trae la droite (d ) perpendiulaire à ( ) passant par. On obtient alors deux droites (d) et (d ) perpendiulaires à la même droite ( ). (d ) est don parallèle à (d). 3) Je pense qu on ne peut traer qu une seule droite parallèle à (d) passant par. (d) 2) On utilise à nouveau l équerre pour traer la droite (d ). ( ) (d) (d') On a déouvert une méthode permettant de traer une parallèle à une droite passant par un point. xerie 5 a) On utilise la méthode vue dans «Je omprends la méthode» préédent. (d) (d') b) (d') (d) ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

28 Séquene xerie 52 () est perpendiulaire à () don on trae : - la droite () - la droite (d ) perpendiulaire à () passant par. appartient à (d ). (d) () est parallèle à () don on trae : - la droite () - la droite (d 2 ) parallèle à () passant par. appartient à (d 2 ). (d) (d2) est le point d intersetion de (d ) et (d 2 ). 26 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

29 Séquene xerie 53 On applique la méthode de onstrution d une droite parallèle à une autre droite. On obtient ainsi la droite (d ) parallèle à la droite (RS) et passant par X. xerie 54 (d2) ) (d) (d3) 2) Les droites (d 2 ) et (d 3 ) semblent perpendiulaires. 2) On utilise le mot «semblent» ar on ne démontre pas que les droites (d 2 ) et (d 3 ) sont perpendiulaires. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

30 Séquene xerie 55 a) On sait que : (d')// ( ) et (d) (d') On applique la propriété : "Soient deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiulaire à l'une de es deux droites, alors elle est perpendiulaire à l'autre" On déduit que : (d) ( ) a) On utilise la méthode vue dans l exerie résolu préédent. b) On sait que : (d 2 ) (d ) et (d 3 ) (d ). On ne peut don pas utiliser la méthode que l on vient de voir. b) On sait que : (d 2 ) (d ) et (d 3 ) (d ) On applique la propriété :"Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On déduit que : (d 2 )//(d 3 ) ette fois, les données permettent d appliquer la propriété vue en séane 7. ppliquons don e que nous avons vu dans la séane 7. xerie 56 ) ) (d) On sait que : (d ) //(d 3 ) et (d 2 ) (d ) On applique la propriété : "Soient deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiulaire à l'une de es deux droites, alors elle est perpendiulaire à l'autre" On déduit que : (d 2 ) (d 3 ) (d2) (d3) 2) On sait que : (d 2 ) (d 3 ) et (d 4 ) (d 3 ) On applique la propriété :"Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On déduit que : (d 2 )//(d 4 ) (d4) Une fois (d 2 ) (d 3 ) démontré, indique-le en rouge sur la figure. 2) (d) (d2) (d3) (d4) 28 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

31 Séquene xerie 57 ) (d3) (d2) ( ) ) fin de bien visualiser e que l on sait d après l énoné, je te onseille de traer d une même ouleur les droites parallèles (d ) et (d 2 ), puis d une autre ouleur les droites parallèles (d 3 ) et (d 2 ). 2) ( ) (d3) (d) (d2) (d) 2) 3) On sait que : (d )//(d 2 ) et ( ) (d 2 ) On déduit que : ( ) (d ) On applique la propriété : "Soient deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiulaire à l'une de es deux droites, alors elle est perpendiulaire à l'autre" Une fois (Δ) (d ) démontré, indique-le en rouge sur la figure. 3) ( ) (d3) (d) (d2) On sait que : (d 3 )//(d 2 ) et ( ) (d 2 ) 4) On déduit que : ( ) (d 3 ) On applique la propriété : "Soient deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiulaire à l'une de es deux droites, alors elle est perpendiulaire à l'autre" On sait que : ( ) (d ) et ( ) (d 3 ) On applique la propriété :"Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." On déduit que : (d )//(d 3 ) 5) On vient de démontrer la propriété suivante : «Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles». Une fois (Δ) (d 3 ) démontré, indique-le en rouge sur la figure. ttention : il n aurait pas fallu érire (d )//(d 3 ) dans le retangle «on sait que», à la plae de (d 3 )//(d 2 ). n effet, on ne sait, ni d après l énoné, ni d après la question préédente, que (d ) et (d 3 ) sont parallèles. 4) ( ) (d3) (d) (d2) ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

32 Séquene xerie 58 ) (d) Traé de (d) Pour traer (d), il est néessaire de traer la droite (). (d) (d') (d'') Traé de (d ) (d) 2) (d') On sait que : () (d) et (d') (d) On déduit que : ()// (d') On applique la propriété : "Si deux droites sont perpendiulaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles." Traé de (d ) On plae la règle et l équerre omme idessous : (d) 3) On sait que : ()//(d') et (d') //(d") (d') On applique la propriété : "Si deux droites sont parallèles à une même troisième ; alors elles sont parallèles entre elles". On déduit que : ()//(d") On fait glisser l équerre le long de la règle omme i-dessous. On trae la droite (d ). (d) (d') (d'') 30 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

33 Séquene e que tu devais faire Séane 9 xerie 59 ) O = 4 m O = 4 m O = 4 m O = 4 m O = 4 m OF = 4 m Les points,,,, et F plaés sur le erle sont tous situés à 4 m du point O. 2) Les ommentaires du professeur ette première question nous mène à la réflexion suivante : tous les points d un erle semblent être à la même distane du entre du erle. L J F O P Les points situés à moins de 4 m du point O semblent se trouver «à l intérieur du erle». 3) Les points situés à plus de 4 m du point O semblent se trouver «à l extérieur du erle». 4) Les points G, H, I, J, et L semblent tous situés sur un même erle de entre O. N J G I O H L Si tu n en es pas onvainu, plae d autres points à 3 m de O. Tu remarqueras qu ils semblent tous se trouver sur e même erle. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

34 Séquene xerie 60 ) 2) 3) Les ommentaires du professeur : ) Prenons une règle graduée. - herhons par exemple si est le entre du erle passant par H, et. Sur le dessin, ela paraît faux mais nous allons le vérifier de façon mathématique : Si les trois longueurs H, et ne sont pas égales, le point n est pas le entre du erle. On les mesure : elles sont toutes les trois différentes. n est don pas le entre du erle reherhé. - herhons par exemple si est le entre du erle. On mesure H,, et on trouve : H = = = 2 m. Le entre du erle herhé est. 2) On proède de la même façon que préédemment pour déterminer le entre du erle passant par, et F. On effetue des mesures et on trouve : = = F = 4 m. Le entre du erle passant par, et F est don le point. H 2 m 4 m 2 m 2 m 4 m 4 m F G 3) On mesure le rayon du erle de entre G passant par. On trouve 4 m. On herhe alors parmi les longueurs GH, G, G et G elle égale à 4 m. n effetuant des mesures, on trouve G = 4 m. Le point de la figure qui est sur le erle est don. 4 m 4 m F H xerie 6 ) ) On plae un point Y. On prend un éartement de ompas de 3 m Y On pointe alors le ompas en Y tout en gardant l éartement et on trae le erle. 2) Y Z 2) Le diamètre d un erle est le double de son rayon. Le diamètre du erle est 4 m don son rayon est 2 m. On plae un point Z. On prend un éartement de ompas de 2 m et on trae le erle. 32 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

35 Séquene 3) a) b) ) omment traer le erle de entre passant par? est simple : «on pointe le ompas en et on prend pour éartement». On trae alors le erle. 2 On applique la même méthode pour les deux autres erles. 3 xerie 62 ) 2) 3) 4) et 5) 4 m 2) Le entre O du erle dont [] est un diamètre est le milieu de [] (en effet, O est sur le segment [] ar [] est un diamètre et O = O = 3,5 m) 3) On trae le erle en utilisant la méthode vue préédemment. O 4) omme = 4 m, le point appartient au erle de entre et de rayon 4 m. On trae don e seond erle, qui oupe le erle en deux points. Le point est un de es points (on hoisit où l on plae la lettre ). ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

36 Séquene xerie 63 F N Les points N et sont les seuls points situés à 4 m de et à 5 m de F. Les ommentaires du professeur : L ensemble de tous les points situés à 4 m de est le erle de entre et de rayon 4 m. ppelons e erle et traçons-le : ' 4 m F L ensemble de tous les points situés à 5 m de F est le erle de entre F et de rayon 5 m. ppelons e erle et traçons-le. 4 m F 5 m Les points situés à la fois à 4 m de et à 5 m de F sont les points situés à la fois sur le erle et le erle : e sont les points d intersetion de es deux erles. ppelons-les N et. ' 4 m 5 m F 4 m 5 m N ' 34 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

37 Séquene xerie 64 ) 2) 3) 4) ' L 5) La zone où sont situés les points à moins de 4 m de et à moins de 3 m de L est la zone hahurée en bleu et en vert. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

38 Séquene xerie 65 On note G le point représentant le Gué du diable. L ensemble de tous les points situés à 6 km du point G est le erle de entre G et de rayon 6 km. m sur la arte représente 2 km en réalité. 6 km = 3 x 2 km. 6 km sont don représentés par 3 x m soit 3 m. On trae le erle de entre G et de rayon 3 m. Il oupe la droite (d ) en deux points. Un seul de es deux points nous rapprohe de l arbre illénaire : le point Y. On note Y sur la arte. Le trésor n est plus très loin... xerie 66 ) Le point est sur le erle de diamètre [N]. Traçons e erle : O O N N On doit aussi avoir (N) // (O). On trae la droite (O). Le point est sur la parallèle à la droite (O) passant par N. Traçons ette droite : O N Le point est un point d intersetion du erle et de ette droite. e n est pas le point N, est don l autre point d intersetion. 36 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

39 Séquene xerie 67 Le point est sur le erle de entre passant par L. Traçons e erle : L ' L P P R Le point est tel que : (P) (R). On trae la droite (R). On trae ensuite la droite perpendiulaire à (R) passant par le point P. appartient à ette droite. L ' P R Il y a en fait deux points possibles : et. e sont les points d intersetion du erle et de la droite traée. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

40 Séquene e que tu devais faire xerie 68 Séane 0 Les ommentaires du professeur On peut ommener par traer le segment []. après l énoné, on a : I []. après les odages on a : I = I. I est don le milieu de []. omme I = 4 m, on a : = 8 m. On trae don un segment [] et on plae son milieu I. 5,5 m I On trae ensuite deux segments perpendiulaires à [] : [] de longueur 5,5 m [] de longueur 4 m 4 m 5,5 m 4 m I xerie 69 I Il ne reste plus alors qu à traer le segment []. On ommene par remarquer que ette figure est omposée de 3 demi-erles : deux de diamètre 3 m et un de diamètre 6 m. 3 m 3 m 3 m 3 m On trae un segment [] de 6 m et son milieu I. 3 m I 3 m I = I = 3 m. On trae ensuite un demierle de diamètre [I], puis, du même ôté, un demi-erle de diamètre [I]. 3 m I 3 m On trae enfin «de l autre ôté» de () un demi-erle de diamètre []. 3 m I 3 m 38 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

41 Séquene xerie 70 On trae un segment [] de longueur 5 m et le erle de diamètre []. 5 m On trae la droite perpendiulaire à () passant par puis un point sur ette droite tel que : = = 5 m. 5 m On plae le point de la demi droite [) tel que :,, soient alignés dans et ordre = = 5 m. 5 m I On trae le segment [], la demi-droite [) et on plae I le point d intersetion de et [), distint de. 5 m xerie 7 a) On applique la méthode vue préédemment : on prend pour éartement de ompas la longueur. On pointe le ompas en et on trae un ar de erle qui oupe la demi-droite [w) au point Z. Z b) w X Y J On prend pour éartement de ompas la longueur J, on pointe le ompas en et on trae deux ars de erles qui oupent la droite (d) aux points X et Y. (d) ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

42 Séquene xerie 72 On prend omme éartement de ompas la longueur du segment [], on pointe le ompas en F et on trae un ar de erle qui oupe la demi-droite [Fx). F x F x Y On prend pour éartement de ompas la longueur de [], on pointe le ompas au point obtenu préédemment et on trae un autre ar de erle qui oupe la demi-droite [Fx). F x Y xerie 73 On onstruit un point Z tel que Z = L + N + IJ. I Z Y J F N L F = N FZ = IJ n proédant omme dans l exerie préédent, on herhe à plaer le point Z de [Y) tel que : Z = L + N + IJ. Pour ela, on reporte sur la demi-droite [Y) la longueur L à partir de, puis la longueur N «à la suite», puis la longueur IJ «à la suite». On obtient ainsi le point Z. omparer Y et L+N+IJ, est omparer les longueurs Y et Z, soit dire laquelle des deux est la plus grande. après la figure, la longueur Z est plus grande que la longueur Y. n onlusion, L + N + IJ est supérieur à Y. On érit : L + N + IJ > Y Z est supérieur à Y don L + N + IJ est supérieur à Y. 40 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

43 Séquene xerie 74 I H J I H J L L ) On trae le erle de entre L ave omme éartement de ompas la longueur HI. 2) On trae un diamètre [] de e erle (on le hoisit omme on veut). 3) Pour traer une orde [] telle que = J, il suffit de plaer un point sur le erle de diamètre [] tel que = J. On trae pour ela un erle de entre et de rayon J. e erle oupe le erle de diamètre [] en deux points. N importe lequel des deux points répond à la question. I H J L ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

44 Séquene xerie 75 On trae la droite (Y). Que veut dire la phrase : «la distane qui te sépare du trésor est la même que elle qui sépare les deux pyramides»? Si T représente l emplaement du trésor, la distane qui nous sépare du trésor est YT (nous ne la onnaissons pas pour l instant). La distane qui sépare les deux pyramides est LP. La phrase que nous herhons à omprendre se traduit don par l égalité : YT = LP On prend omme éartement de ompas la longueur LP. On reporte don la longueur LP à partir du point Y sur la droite (Y). Nous obtenons alors deux points. Le trésor est un de es deux points. Lequel? après l indiation du pirate, le trésor ne se situe pas sur une plage. Le seul point qui ne se trouve pas sur une plage est elui «du dessous» : est don e dernier qui représente l emplaement du Trésor! Il ne reste plus qu à nommer T e point. 42 ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

45 Séquene xerie Je m évalue ) ombien y a t il de droites passant par deux points distints? auune droite une droite deux droites une infinité 2) Les points suivants : sont alignés semblent alignés ne semblent pas alignés semblent onfondus 3) La demi-droite d origine et passant par se note : () (] [) [] 4) ans ette figure : H est le milieu de [FG] I est le milieu de [FG] FH = GH FI + IG = FG 5) ans la figure i-ontre, les droites : sont parallèles sont séantes sont perpendiulaires sont onfondues 6) ans la figure i-ontre, les droites : sont parallèles sont séantes sont perpendiulaires sont onfondues 7) ans la figure i-ontre, les droites (d ) et (d 2 ) : sont parallèles sont séantes sont perpendiulaires sont onfondues 8) ans la figure i-ontre, les droites (d ) et (d 2 ) : sont parallèles sont séantes sont perpendiulaires sont onfondues 9) Un erle a pour diamètre 0 m. La longueur de n importe quelle orde de e erle : est égale à 0 m est supérieure à 0 m est inférieure ou égale à 0 m est égale à 5 m 0) ans la figure suivante qui représente un erle de entre I [] est un diamètre [] est une orde [] est un rayon [] est une orde 2) On ne peut pas démontrer la réponse, est pourquoi on utilise le mot ««semblent». 4) H n est pas le milieu de [FG] ar H n est pas un point de [FG]. Les distanes IG et IF ne sont pas égales don I n est pas le milieu de [FG]. I est un point de [FG] don FI + IG = FG. 5) Si on prolonge les traés des droites, alors ils se oupent. 6) Les droites se oupent en formant un angle droit. 7) Les droites (d ) et (d 2 ) sont perpendiulaires à une même droite don elles sont parallèles (on peut l affirmer ar on sait le démontrer). 8) (d 2 ) et (d 3 ) sont parallèles et (d ) est perpendiulaire à (d 3 ) don (d ) est perpendiulaire à (d 2 ). 9) Une orde est la plus longue lorsqu elle est un diamètre. Tous les diamètres du erle mesurent 0 m. 0), et sont des points du erle don []et [] sont des ordes. e plus, [] ontient le entre I du erle, d où [] est aussi un diamètre. ned, athématiques 6e, ned adémie en ligne

46 Séquene 2 SÉQUN 2 Séane e que tu devais faire Je révise les aquis de l éole ) ) dix mille six ent trente-sept 3) 9 est le hiffre des unités 4) 6 est le hiffre des unités de mille 5) La bonne réponse est la réponse d) 6) La bonne réponse est la réponse b) Les ommentaires du professeur ) Il faut penser à grouper les hiffres par 3 à partir de la droite en laissant un espae entre les groupes. 2) ttention : mille est invariable ; ent ne prend pas de «s» au pluriel lorsqu il est suivi d un nombre. 3) Le hiffre des unités d un nombre entier est le hiffre le plus à droite. 4) On dit aussi que 6 est le hiffre des milliers. 5) Il ne faut pas onfondre : 4 entaines (400) et 4 entièmes (0,04). 6) Le nombre 4,3 se lit quatre unités et trois dixièmes. xerie Question On disait «alulare». e verbe vient du nom «alulus» qui signifiait «aillou». Question 2 ) a) b) ) d) e) f) g) Question Le mot alul vient don du mot «ailloux»! Pour représenter le nombre de hèvres de son troupeau, l homme a eu l idée d utiliser e qu il avait à portée de la main : des petits ailloux. haque aillou orrespondait alors à une hèvre. Question 2 ) n observant la première pierre, on onstate que : représente une entaine, représente une dizaine, représente une unité. n observant la deuxième pierre, on onstate que représente mille. n observant la troisième pierre, on déduit de e qui préède que l index reourbé représente n observant la quatrième pierre, on onstate que : 2) représente , représente ) ans haque as, pour lire le symbole indiqué, on ajoute les valeurs des symboles Un représente 000. Trois représentent 3 x 00 soit 300. Trois représentent 3 x soit 3. Le nombre indiqué sur la ère pierre est don : soit 303. Le nombre indiqué sur la 2ème pierre est : soit ned, mathématiques 6e, 2008 ned adémie en ligne

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