ANALYSE DES SIGNAUX ALEATOIRES & IDENTIFICATION DES SYSTEMES LINEAIRES EN VIBRATIONS ET ACOUSTIQUE

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1 ANALYSE DES SIGNAUX ALEATOIRES & IDENTIFICATION DES SYSTEMES LINEAIRES EN VIBRATIONS ET ACOUSTIQUE F.OLLIVIER 03-04

2 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 Table des Matières Introduction 3 Caractéristiques moennes des signau aléatoires 4.. Définitions : 4.. Considérations pratiques, estimation et erreurs de mesure 5.3. Grandeurs moennes Définition générale Estimation de la densité de probabilité Estimation pratique des grandeurs moennes Cas particulier des signau acoustiques et vibratoires 8 Fonctions de Corrélation 9.. Notion de corrélation 9.. Estimation du degré de corrélation 0.3. Fonctions de corrélation.3.. Définitions.3.. Propriétés.3.3. Estimation pratique de la fonction de corrélation 3 Densités spectrales de puissance Autospectre ou Densité autospectrale de puissance Définition et propriétés Autospectre des processus dérivés Processus à bande limitée Interspectre ou densité interspectrale de puissance Définition et propriétés Relations interspectres-autospectres Estimation pratique des densités spectrales Corrélogramme et Périodogramme Procédure de Blackman-Tuke Procédure de Bartlett Procédure de Welch 3 4 Identification des sstèmes linéaires Relations ecitation/réponse pour les sstèmes linéaires Méthode analtique Identification de la réponse en fréquence Identification de la réponse impulsionnelle Relation entre réponse en fréquence et réponse impulsionnelle Réponse à une ecitation arbitraire Transmission par les sstèmes S.I.S.O Transmission des grandeurs statistiques Effets du bruit de mesure Estimation de la fonction de transfert 33 Rappels pratiques sur l analse des signau numériques. 36 Paramètres de l échantillonage 36 Transformée de Fourier Discrète

3 Introduction Les phénomènes dnamiques couramment rencontrés en ingénierie sont généralement mesurés sous forme d amplitude d une grandeur phsique variant en fonction du temps. Il a donc deu échelles à considérer : L amplitude instantanée du signal peut représenter toute quantité phsique : o Vibrations : Accélération, Vitesse, (Déplacement), en translation ou rotation, Force o Acoustique : Pression, Vitesse. o Thermique : Pression, température Le Temps : l ae des temps peut être affecté : o au temps absolu, o au temps relatif, o à la position le long d une trajectoire o à une position angulaire (e : degré vilebrequin sur les moteurs) Pour certains phénomènes phsiques, on peut prédire avec une certaine précision l évolution temporelle des signau mesurés. On parle alors de signau déterministes Il faut pour cela connaître avec une certaine précision la phsique qui les régit, ou disposer d observations antérieures. Eemples en vibration et acoustique - Réponse vibratoire d une poutre à une ecitation harmonique, - Réponse impulsionnelle acoustique d une salle Mais les ingénieurs sont le plus souvent confrontés à des signau dont rien ne peut être dit a priori et dont chaque nouvel enregistrement est différent du précédent. On parle alors de signau aléatoires. Figure 0- : Différentes classes de signau L essentiel de ce cours concerne l analse et l interprétation des signau aléatoires rencontrés par les ingénieurs en vibration et acoustique

4 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 Caractéristiques moennes des signau aléatoires.. Définitions : Signal aléatoire : Un phénomène phsique ou processus ou encore le signal (t) qui le représente est considéré comme aléatoire lorsqu un enregistrement à venir ne peut pas être prévu, même avec une erreur raisonnable. Réalisation : Pour ce tpe de signal, un enregistrement unique i (t) pour une epérience donnée représente une seule réalisation des développements possibles. Pour avoir une connaissance complète du phénomène, il faudrait en théorie enregistrer toutes les réalisations possibles. Ensemble : On dit que le processus aléatoire {(t)} qui décrit le phénomène phsique est défini par l ensemble des enregistrements i (t). Signau stationnaires Figure - : Représentation d un ensemble de réalisations Soit un ensemble d enregistrements {(t)} décrivant le phénomène étudié. Les propriétés moennes du signal peuvent être évaluées à n importe quel instant t du signal en faisant une moenne sur l ensemble des réalisations. On peut ainsi évaluer la valeur moenne, la valeur quadratique moenne (ou «carré moen») ou tout autre grandeur moenne. Si ces valeurs moennes sont invariantes en fonction de l instant t où elles sont calculées, alors on dit que le signal est stationnaire Signau ergodiques Pour la plupart des signau stationnaires, les valeurs moennes évaluées sur un ensemble à l instant t sont égales au valeurs moennes correspondantes évaluées relativement au temps à partir d une seule réalisation (t), où (t) est choisie arbitrairement dans l ensemble des réalisations et ou la moenne temporelle est évaluée sur une durée T. Cette propriété est appelée ergodicité. Les signau dotés de cette propriété sont dits ergodiques - 4 -

5 Sauf mention eplicite, les signau considérés pendant ce cours seront considérés stationnaires et ergodiques. Signal ergodique Signal stationnaire + (moenne d ensemble = moenne temporelle) Figure - : Moenne d ensemble et moenne temporelle.. Considérations pratiques, estimation et erreurs de mesure Généralement on fait en sorte que les epériences produisent des signau stationnaires. Pour cela, on force la stationnarité en maintenant constantes les conditions epérimentales. Mais il est des situations où cela n est pas possible. Que la source du phénomène étudié dépende du temps ou qu elle ne puisse être contrôlée par l epérimentateur. Il est alors impossible de répéter les epériences. Et les analses doivent se limiter à des portions de signal eploitables. Par ailleurs, en pratique, le nombre N de mesures réalisables, i.e. la taille de l ensemble des réalisations accessibles ainsi que la durée T des signau mesurés sont toujours finis. Les valeurs moennes mesurées ne sont par conséquent que des estimations. Il n est pas possible d en obtenir la valeur eacte. Il faut garder à l esprit ces erreurs d évaluation. A ces erreurs statistiques, il faut ajouter celles liées à la mesure et issues des capteurs, du conditionnement des signau, de la numérisation, etc..3. Grandeurs moennes.3.. Définition générale Les valeurs moennes d une grandeur phsique (t) sont appelées moments. Elles sont caractérisées par leur ordre noté k. Elles font intervenir la densité de probabilité p(). Le moment d ordre k de (t) s écrit : Où E[ ] désigne l espérance mathématique + k k k µ = E = p() d - 5 -

6 UPMC 4AA06 F.Ollivier Estimation de la densité de probabilité La fonction densité de probabilité p() d un signal (t) évalue la probabilité pour les échantillons de (t) de prendre une valeur d amplitude. Pour un signal temporel continu, on mesure sur une durée T, la plus grande possible, la proportion de temps pendant laquelle le signal prend une valeur comprise entre et +d dt+ dt dt dt 8 i p() d = lim = lim T T T T Figure -3 : Estimation de la densité de probabilité d un signal continu Pour un signal numérique de N échantillons, on compte la proportion d échantillons dont la valeur est comprise entre et +d i n(, + d) p() d = lim N N Figure -4 : Estimation de la densité de probabilité d un signal discret - 6 -

7 Figure -5 : Densités de probabilité usuelles.3.3. Estimation pratique des grandeurs moennes Dans la pratique on évalue les grandeurs moennes par des moennes temporelles : Et on définit les grandeurs suivantes : + + k k k k µ = E = p() d lim (t) dt T T Moenne (moment d ordre ) : µ = [ ] = La moenne définit la tendance centrale du processus. Carré moen (mt d ordre ) : On l appelle aussi valeur quadratique moenne. On lui associe la valeur efficace : + + E p() d lim (t) dt T T + + µ = E = p() d lim (t) dt T T Valeur efficace (Root Mean Square) : RMS((t)) = E Variance (mt d ordre ) : σ = E ( E [ ]) C est la moenne du carré des écarts à la moenne. On montre que ( [ ]) [ ] σ = = E E E E La variance définit la dispersion du processus. On en tire l écart tpe. Ecart tpe : σ = σ - 7 -

8 UPMC 4AA06 F.Ollivier Cas particulier des signau acoustiques et vibratoires S agissant des signau acoustiques ou vibratoires, la valeur moenne, aussi appelée composante continue, est nulle. Si elle eiste, il s agit d un artéfact de la chaîne d acquisition (offset électronique, tension de polarisation du capteur, ). Elle doit donc être sstématiquement soustraite. Il en résulte que, pour ces signau, la valeur efficace ou RMS s identifie à l écart-tpe, et la valeur quadratique moenne à la variance

9 Fonctions de Corrélation Les applications d ingénierie qui nous concernent cherchent fréquemment à établir les relations, linéaires ou non, qui eistent entre deu ou plusieurs processus aléatoires. Ces relations sont eprimées via les fonctions de corrélation ou leur transformée de Fourier qui définit la densité spectrale et porte la même information. La corrélation est issue des statistiques. La densité spectrale a été développée par les ingénieurs pour identifier les corrélations non pas en fonction du temps, mais en fonction de la fréquence... Notion de corrélation Figure - : Variables décorrélées Figure - : Variables à corrélation linéaire forte 4 = 3+ Figure -3 : Variables à corrélation non linéaire 3 = 3(-5) Figure -4 : Variables à corrélation linéaire modérée = -3-5 Lorsqu on considère deu processus aléatoires et mesurés simultanément, on peut identifier grossièrement leur degré de ressemblance en représentant l un en fonction de l autre, c'est-à-dire en traçant = f() ou = g(). Ces graphes sont appelés graphes de corrélation. Les Figure - à -4 représentent une même variable comparée successivement à 4 variables qui lui sont semblables à des degrés et ordres différents. Les relations données en légendes peuvent être obtenues par régression linéaire ou polnomiale. La corrélation mesure le similitude entre deu processus - 9 -

10 UPMC 4AA06 F.Ollivier Estimation du degré de corrélation Les estimateurs suivant mesurent le degré de corrélation supposant des relations linéaires entre les processus. Ils ne mesurent pas des corrélations d ordre supérieur. Pour estimer le degré de corrélation de deu processus aléatoires et, on commence par calculer leur covariance. C est la moenne du produit des écarts à la moenne de chaque processus : σ = E E E = lim µ µ Covariance : ( [ ]) [ ] Deu cas etrêmes sont à considérer : N ( ) ( )( ) i i N N i= Lorsque les processus sont décorrélés les produits ( i µ )( i µ ) σ = 0 se compensent : Lorsque les processus sont parfaitement corrélés la covariance est égale au produit des écarts tpes on a : σ =σσ A partir de ces deu cas etrêmes, on définit les situations intermédiaires en calculant le coefficient de corrélation : Coefficient de Corrélation : σ ρ = ρ σσ ρ = - -<ρ <0 0<ρ < ρ = Figure -5 : Differents coefficients de corrélation - 0 -

11 .3. Fonctions de corrélation Dans le cas des signau enregistrés au cours du temps, on met en œuvre des outils d évaluation plus complees qui permettent de mesurer la ressemblance en fonction du temps. Il s agit de comparer les échantillons non pas seulement au mêmes instants mais aussi avec un décalage temporel, nouvelle variable notée τ. Tpiquement dans l epérience présentée par la Figure -6, deu accéléromètres mesurent la vibration d une structure en deu endroits différents. Une impulsion appliquée par un pot vibrant se propage dans la structure. En l absence de tout phénomène de dispersion, on peut supposer que les signau (t) et (t) se ressembleront si on les compare avec un décalage temporel correspondant au temps de propagation de la vibration d un point à l autre. Ils auront alors pour ce décalage une corrélation maimum. L Accéléromètre : (t) Accéléromètre : (t) Pot Vibrant Figure -6 : Mesure vibratoire par intercorrélation.3.. Définitions Ceci nous amène à définir la fonction de covariance : Fonction de Covariance : C ( τ ) = E ( (t) µ )( (t +τ) µ ) On a : On note ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] C ( τ ) = E (t)(t +τ) E (t +τ) µ E (t) µ + µ µ C τ = R τ µµ = E (t)(t +τ) µ µ µ µ + µ µ = E (t)(t +τ) µ µ et on définit la fonction de corrélation qui sera plus couramment utilisé. Fonction d Intercorrélation : R ( τ ) = E[ (t)(t +τ )] En pratique, si T est le temps de mesure des signau, l estimation de R est donnée par : T T T 0 R ( τ ) = lim (t)(t +τ)dt On peut étudier des phénomènes qui présentent des motifs répétés. Dans ce cas il est intéressant de mesurer fonction de corrélation du signal avec lui-même. On parle de la fonction d autocorrélation : R ( τ ) = E (t)(t +τ ) Fonction d Autocorrélation : [ ] T R ( τ ) = lim (t)(t +τ)dt T T Propriétés R( τ ) = R() τ, la fonction d autocorrélation est paire - -

12 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 τ = R ( ) R ( τ ) R (0) = E[(t) ] =σ +µ R( ± ) = µ.3.3. Estimation pratique de la fonction de corrélation La mesure étant toujours limitée à une durée notée T, le calcul de la fonction de corrélation doit prendre en compte le recouvrement effectif des signau pour le décalage τ considéré. Pour avoir une fonction d auto ou d intercorrélation non biaisée, on mettra donc en œuvre les opérations suivantes : T τ R ( τ ) = (t)(t +τ)dt T τ et On reviendra sur ce point plus tard. 0 T τ R ( τ ) = (t)(t +τ)dt T τ 0 - -

13 3 Densités spectrales de puissance Les ingénieurs ont inventé l analse statistique des signau aléatoires dans le domaine fréquentiel en introduisant les densités spectrales de puissance (DSP). Assez naturellement ils les ont définies comme les transformées de Fourier (TF) des fonctions de corrélation. Et les définitions et démonstrations suivantes sont fondées sur cette relation. Alors que les fonctions de corrélation indiquent les ressemblances des processus en fonction du temps, les densités spectrales les trouvent en fonction de la fréquence. Ainsi, considérant deu processus aléatoires (t) et (t), les DSP cherchent à répondre au questions suivantes : «Quelles fréquences les processus et ont-ils en commun?» ou encore «A quelles fréquences communes les processus et epriment-ils le plus d énergie» Il faut savoir cependant que les procédures misent en œuvre pour le calcul des DSP sont fondées sur des algorithmes de transformée de Fourier rapide ( fft pour fast fourier transform). Elles sont numériquement beaucoup plus rapides que les opérations de corrélation telles que décrites plus haut. C est pourquoi les sstèmes modernes d analse des signau en temps réel évaluent directement les DSP. 3.. Autospectre ou Densité autospectrale de puissance 3... Définition et propriétés Pour caractériser en fréquence un processus aléatoire (t) on calcule son autospectre défini par la TF de la fonction d autocorrélation : iωτ ω = τ = τ τ Autospectre : ( ) ( ) ( ) S TF R R e d où ω = πf = pulsation (rad/s) ωτ π i Et on a inversement : ( ) ( ) ( ) R τ = TF S ω = S ω e dω 3...a. Relation entre autospectre et valeur quadratique moenne : On a : ( ) = ( ω) ω= ( ) R 0 π S d S f df Et aussi R ( ) = ( ) ( + ) = ( ) 0 E t t 0 E t, donc : ( ) S f df = E On en déduit la relation importante pour mesurer le niveau efficace d un signal aléatoire à partir de sa DSP : ( ( )) = = ( ) RMS t E S f df C est à dire que le niveau efficace d un phénomène aléatoire est la racine de la somme des composantes de son autospectre. L autospectre est une fonction réelle : On sait que la TF peut se décomposer en partie réelle et imaginaire : S ( ω= ) A( ω ) ib ( ω) avec A( ω ) = R ( τ) cos( ωτ) d τ et ( ) ( ) ( ) Or R (τ) est paire, le sinus est impair donc B(ω) = 0. B ω = R τ sin ωτ d τ - 3 -

14 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 Donc ( ω ) = ( ω) S A qui est une fonction réelle, paire et positive + ( ω) ( ω ) = ( ω) S R et S S 3... Autospectre des processus dérivés Connaissant l autospectre S (ω) d un phénomène aléatoire (t) on souhaite connaitre ceu de ces t, ou réciproquement. En vibration tpiquement, on mesure l accélération, par dérivées ( t ) et ( ) quelle opération sur l autospectre peut-on déterminer ceu de la vitesse et du déplacement? On part de la définition statistique de la fonction de corrélation écrite comme une moenne d ensemble : d dτ ( τ ) = ( ) ( +τ) R E t t Dont la dérivée temporelle est : R ( τ ) = E ( t) ( t+τ ) = E ( t) ( t+τ) Comme (t) est supposé stationnaire, son espérance mathématique est indépendante du temps : d dτ d R ( τ ) = E ( t ) ( t +τ ) = E ( t τ) ( t ) dτ En suivant un raisonnement identique on calcule : d R E τ t t R d ( τ ) = ( τ ) ( ) = ( τ) () ωτ τ = ω ω π i R S e d D autre part on a : ( ) ( ) i iωτ d d R τ = iωs ω e dω R τ = ω S ω e dω dτ π dτ π ωτ et ( ) ( ) ( ) ( ) ωτ τ = ω ω ω π i R S e d En combinant () et () on obtient : ( ) ( ) et il vient : S ( ω ) =ω S ( ω) 4 De la même manière on a : S ( ω ) =ω S ( ω ) =ω S ( ω) A partir de là, on peut notamment évaluer les niveau RMS : () 4 RMS( ) = S ( ω) dω= ω S ( ω) d ω et ( ) ( ) ( ) RMS = S ω dω= ω S ω d ω Processus à bande limitée Les processus naturels couvrent dès bandes de fréquence toujours limitée et d étendue plus ou moins grande. On va ici illustrer la relation entre largeur de bande et forme de la fonction de corrélation. Pour cela on considère le modèle simple d un phénomène (t) dont l autospectre S (ω) est constant et égal à S 0 sur une bande comprise entre ω et ω, (Figure 3-) - 4 -

15 S (ω) So Figure 3- : Spectre schématique d un processus à bande limitée o La valeur quadratique moenne est : E = S ( ω) dω= ( ω ω ) Et la fonction d autocorrélation : ( ) soit ( ) ω ω ω ω ω S0 iωτ R τ = e d π ω S π π S ω +ω ω ω R τ = 0 τ cos sin τ πτ ω R (τ) S o (ω -ω )/π Bande étroite et large bande Figure 3- : Allure de l autocorrélation d un processus à bande limitée (t) S (ω) t S o ω 0 ω 0 ω Figure 3-3 : Allure temporelle et spectrale d un processus à bande étroite (t) S (ω) t S o ω ω ω ω ω Figure 3-4 : Allure temporelle et spectrale d un processus à large bande C est la largeur de bande relative ω qui indique la caractéristique bande large ou étroite. ω 0-5 -

16 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 On considère le cas limite ω 0, on a : S0 ω ω S sin 0 R ( τ ) = cos τ sin τ = πτ π τ Et lorsqu on fait tendre ω on arrive à : R ( τ= ) S δτ ( ) 0 Et par conséquent : ( ) ( ) ( ωτ) S S e d S iωτ ω = 0δ τ τ= 0 R (τ) R (τ) = S 0 δ(τ) ω τ τ Figure 3-5 : Autocorrélation d un processus à bande illimitée Spectre à Bande étroite Autocorrélation large Spectre à Bande large Autocorrélation étroite - 6 -

17 Figure 3-6 : Eemple de processus stationnaire à bande étroite - f 0 = 70 Hz - Bande = 0. f 0 Figure 3-7 : Eemple de processus stationnaire large bande- f 0 = 70 Hz - Bande =.5 f 0 Figure 3-8 : Eemple de processus transitoire large bande - f 0 = 70 Hz - Bande =.5 f 0-7 -

18 UPMC 4AA06 F.Ollivier Interspectre ou densité interspectrale de puissance 3... Définition et propriétés Soient deu processus (t) et (t) aléatoires et stationnaires, on a défini plus haut leur fonction d intercorrélation. Elle détermine leur similitude en fonction du décalage temporel τ. A cette fonction on peut associer sa transformée de Fourier appelée interspectre ou densité interspectrale de puissance : iωτ ω = τ = τ τ Interspectre : ( ) ( ) ( ) S TF R R e d où ω = πf = pulsation (rad/s) ωτ π i et réciproquement : ( ) ( ) ( ) R τ = TF S ω = S ω e dω Remarque : On doit vérifier la condition ( ) Relation entre S et S On a R (τ) = R (-τ) R τ d τ< µ ou µ = 0 iωτ i ωτ' * Donc S ( ω ) = R ( τ) e dτ = R ( τ'e ) d' τ = S ( ω) * ( ω ) = ( ω) S S Les densités interspectrales sont des fonctions complees : avec ( ) ( ) ( ) iωτ ( ω ) = ( τ) τ= ( ω) ( ω) S R e d C iq C ω = R τ cos ωτ d τ Densité spectrale coïncidente ou cospectre et ( ) ( ) ( ) Q ω = R τ sin ωτ d τ Densité spectrale en quadrature Mais on utilise plutôt la représentation en amplitude et phase : ( ) ( ) θ i S ω = S ω e Interprétation de la phase : A la fréquence ω, (t) suit (t) si θ (ω) > 0, il le précède si θ (ω) < Relations interspectres-autospectres On peut montrer l inégalité suivante : ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) S S S A partir de cette inégalité on définit une nouvelle fonction très utile notamment pour s assurer de la qualité d une mesure. Il s agit de la fonction de cohérence : γ ω = S Cohérence : ( ) S ( ω) ( ω) S ( ω) ( ) 0 γ ω - 8 -

19 On reviendra plus loin sur l utilisation de cette fonction Estimation pratique des densités spectrales. Les définitions énoncées jusqu ici présentent les densités spectrales de puissance comme les transformées de Fourier des fonctions de corrélation. En pratique elles sont obtenues par application de la transformée de Fourier directement au signal. L analse statistique est alors réalisée dans le domaine spectral. On trouvera en annee un rappel sur le calcul numérique de la transformée de Fourier discrète (TFD) qui fait l objet du cours de traitement numérique du signal. Question : Pourquoi est-il nécessaire d évaluer la densité spectrale de puissance plutôt que de simplement calculer la transformée de Fourier d une portion du signal aléatoire? Pour illustrer la réponse à cette question, on peut considérer l analse d un bruit blanc. Soit (t) un bruit blanc dont on etrait 3 portions de 04 échantillons. La Figure 3-9 présente ces trois réalisations de (t) ainsi que leur TFD. Ces TFD n indiquent individuellement rien de pertinent. En revanche, si l on calcule la moenne de ces spectres sur un grand nombre de réalisations comme présenté par la Figure 3-0, on approche d un spectre constant comme on l attend pour un signal de cette nature. L opération de base d évaluation de la DSP vient directement de la définition de la densité spectrale. Elle consiste à estimer la fonction d autocorrélation (Corrélogramme) du processus et ensuite à calculer sa transformée de Fourier discrète (Périodogramme). Cependant, des traitements plus complees permettent d obtenir des estimations meilleures des DSP. Il s agit des méthodes de Blackman-Tuke, de Bartlett et de Welch qui mettent en œuvre le moennage et la pondération d un nombre limité de réalisations du processus. Figure 3-9 : Trois réalisations (ou portions) d un même bruit blanc et leur TFD

20 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 Figure 3-0 : Le bruit blanc dans sa totalité et la moenne des spectres de 50 réalisations Corrélogramme et Périodogramme Supposons qu on dispose d une séquence de N points n issus de la numérisation au pas d échantillonnage t d un processus aléatoire (t) stationnaire et ergodique. D après les définitions données au paragraphe.3, on a alors deu estimateurs possibles de la fonction d autocorrélation : L estimateur biaisé : ( ) L estimateur non biaisé : ( ) N m ˆR m = 0 m N n n+ m N n= 0 N m ˆR m = 0 m N n n+ m N m n= 0 La première epression est biaisée parce qu on divise la somme par N plutôt que par N-m qui est le nombre de termes de la somme. Noter que la limite supérieure de la somme assure que ne sont pris en compte que les échantillons n disponibles (0 n N-). On peut vérifier la parité de l estimateur : Rˆ ( m) = Rˆ ( m) On verra par la suite que l estimateur biaisé a des propriétés plus intéressantes et est généralement utilisé pour l estimation spectrale. Supposons maintenant qu on limite l analse de R au m < L où L < N. Alors le corrélogramme est l estimateur de la densité spectrale obtenu en prenant la TFD de la fonction d autocorrélation ainsi limitée : L i m t S R m t e ω ω = L< N Corrélogramme : ˆ ( ) ˆ ( ) m= L Cependant, si l étendue considérée de la corrélation est maimum (L = N-), alors l estimateur devient : N ( ω ) = ˆ ( ) Sˆ R m t e m= N+ ω i m t - 0 -

21 Et lorsque l on prend la forme biaisée de l estimateur de corrélation, en posant : vn = n.rect(n), n' = n et un = v n On a : ( ) Ou encore : ( ) N m + = n n+ m= n n+ m N n= 0 N n= ˆR m vv + + ˆR m = v v = u v = u *v n' n' + m n' m n' m m N n= N n= N Soit en prenant la TF des deu cotés : Ŝ ( ω ) = U( ω) V( ω ) Or + N inω t inω t V( ω ) = vne = ne = X( ω,n) n= n= 0 + N+ N inω t inω t inω t * U( ω ) = une = ne = ne = X ( ω,n) n= n= 0 n= 0 On arrive ainsi à l epression de l estimateur appelé le périodogramme : Périodogramme : Ŝ ( ω ) = X ( ω,n) N X(ω,Ν) est la transformée de Fourier à temps discret (TFTD) sur N points, qui sera généralement évaluée par la TFD : k ( ) N n= 0 n nk πi N X = X k ω = e et N π π ω = = N t T Figure 3- : Périodogramme d un sinus avec bruit de phase et d amplitude sur un nombre de points croissant n = sin(π. 00.n t + π.rand) + randn Procédure de Blackman-Tuke La procédure de Blackman-Tucke consiste à appliquer une fenêtre de pondération de longueur L à la fonction de corrélation estimée de longueur N (L<N), et de calculer la TFD du produit. - -

22 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 Estimateur de Blackman-Tuke : L iωm t ˆ Sˆ BT ( ω) = w L ( m ) R L ( m ) e m= L wl peut être n importe quelle fenêtre adaptée : Hamming, Hanning, Bartlett, Noter que l estimateur ainsi obtenu peut s écrire comme un produit de convolution dans le domaine spectral : Sˆ BT ( ω) = W ( ω) * Sˆ ( ω) π Figure 3- : DSP par la procédure de Blacmann-Tuke appliquée à un signal de vibration de poutre Résultats pour différentes longueur de fenêtre, pondérée par une fenêtre de Hanning - -

23 Procédure de Bartlett On peut montrer que l espérance mathématique du périodogramme tend vers la DSP vraie lorsque le nombre de réalisations observées tend vers l infini : K K K S E S lim S lim X,N X,N lim X,N ( ω ) = ˆ ( ω ) = ˆ (k) (k)* (k) (k) ( ω ) = ( ω ) ( ω ) = ( ω ) K K K K k= K k= N KN k= On va donc tenter d améliorer l estimation de la DSP en réalisant une moenne sur un nombre fini de périodogrammes. Soit une séquence n de longueur N = KL échantillons. Découpons cette séquence en K sous séquences de L échantillons : n (k) = n+kl 0 n L-, k K Pour chaque séquence on calcule le périodogramme : L (k) (k) ω i m t ( ) n L n= 0 L estimateur de Bartlett est alors donné par : Ŝ ω = e, k =,...,K B (k) Estimateur de Bartlett : Sˆ ( ω ) = Sˆ ( ω) K K k = Si les différentes séquences de signal prises en compte sont décorrélées, la procédure de Bartlett réduit la variance d un facteur K, d un facteur moindre si elles sont corrélées. Cette procédure permet un compromis entre la résolution fréquentielle qui dépend du nombre de points L pris pour calculer la TFD, et la variance de l estimateur qui dépend du nombre K de séquence pris en compte Procédure de Welch Cette procédure, comme la procédure de Bartlett, met en œuvre un moennage d observations successives. L apport de cette méthode est de calculer un périodogramme modifié par l ajout d une fenêtre de pondération sur les séquences de L échantillons : L (k) (k) ω i n t ( ω ) = n n L n= 0 Ŝ' w e On prend soin d utiliser une fenêtre w normalisée pour qu elle ne modifie pas l énergie du signal : L L n= 0 w = On effectue alors, comme pour Bartlett, une moenne sur K observations : W (k) Estimateur de Welch simple : Sˆ ( ω ) = S' ˆ ( ω) n K K k = - 3 -

24 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 N échantillons = 0 séquences L échantillons L L L L L L L L L L FFT FFT FFT FFT FFT FFT FFT FFT FFT FFT Figure 3-3 : Schéma de la procédure de Welch simple Lorsque la longueur de l enregistrement disponible est réduite, on peut augmenter artificiellement le nombre d observations en considérant des séquences successives avec recouvrement. Si on suppose que les séquences successives de L échantillons présentent un recouvrement de D points, alors la i ème est donnée par : i (n) = (n+id) ; n = 0,,., L- Alors l étendue du recouvrement entre i et i+ est de L-D échantillons. Et si K séquences couvrent la totalité des N points, alors : N = L+D(K-) Par eemple, sans recouvrement (D = L) on a K = N/L séquences de longueur L comme pour l estimateur simple. D autre part, si les séquence se recouvrent à hauteur de 50% (D = L/) alors on peut constituer : N K= L séquences de longueur L. On conserve ainsi la même résolution spectrale tout en doublant le nombre de périodogrammes dont on fait la moenne, ce qui réduit la variance du résultat. On peut aussi avec le même tau de recouvrement, former : N K= L séquences de longueur L et augmenter la résolution en conservant la variance Finalement on peut écrire eplicitement ce nouvel estimateur : Estimateur de Welch avec recouvrement : ( ) K L W (k) ω i n t ω = n n+ id KL i= 0 n= 0 Ŝ w e - 4 -

25 Figure 3-4 : DSP par les procédures de Bartlett et Welch appliquée à un signal de vibration de poutre Résultat de moennage sur un nombre limité d observations Figure 3-5 : DSP du signal de la Figure 3-4 par les procédure de Bartlett et Welch pour des longueurs de fenêtre variables - 5 -

26 UPMC 4AA06 F.Ollivier Identification des sstèmes linéaires Les outils d analse des signau aléatoires sont désormais définis, il s agit maintenant de les mettre en œuvre pour étudier les sstèmes phsiques qu ils ecitent ou qui les produisent. On s intéressera plus particulièrement au sstèmes rencontrés en dnamique des structures et en acoustique. 4.. Relations ecitation/réponse pour les sstèmes linéaires On peut décrire les sstèmes phsiques en étudiant les réponses qu ils produisent à des ecitations. Dans le cadre de ce cours, on se limitera au sstèmes linéaires. (t) ecitation Sstème Linéaire (t) réponse Figure 4- : Représentation générale d un sstème linéaire 4... Méthode analtique Pour un sstème linéaire une réponse (t) est liée à une ecitation (t) par une équation différentielle linéaire de la forme : a + a a ' + a = b + b b ' + b (n) (n ) (m) (m ) n n 0 m m 0 Une telle équation est linéaire parce que si est la réponse à l ecitation et celle à, alors la réponse à l ecitation combinée (α + β ) est la combinaison linéaire (α + β ). On dit aussi que le sstème obéit au principe de superposition. Les sstèmes linéaires étudiés ici sont invariants, c'est-à-dire que les coefficients a i et b j de l équation différentielle décrivant le comportement du sstème sont indépendants du temps. Pour une ecitation donnée (t) et des conditions initiales données, on peut résoudre cette équation par des méthodes analtiques ou numériques pour obtenir (t). Mais ce tpe de résolution peut s avérer impossible pour deu raisons : - Les lois de comportement du sstème sont inconnues et les coefficients a i et b j sont inaccessibles - Si l équation différentielle est connue, la réponse (t) complète ne peut être calculée que si l ecitation (t) est connue complètement. Or cela n est pas possible dans le cas des signau aléatoires Identification de la réponse en fréquence Pour obtenir les caractéristiques dnamiques d un sstème linéaire on étudie sa réponse à une entrée sinusoïdale de fréquence ω : (t) = X sin(ωt) Si le sstème est linéaire, la réponse permanente est elle aussi sinusoïdale de même fréquence ω et présente éventuellement un déphasage φ : (t) = Y sin(ωt-φ) On suppose en outre qu en l absence d ecitation le sstème est au repos et (t) = 0, ce qui eclue les sstèmes instables ou sièges d auto-oscillation. Le rapport des amplitudes Y/X et le déphasage φ définissent les caractéristiques de transmission, ou fonction de transfert du sstème à la fréquence ω considérée

27 En réalisant des mesures du rapport Y/X et du déphasage φ pour un ensemble de fréquences ω entre 0 et l infini, on peut déterminer deu fonctions de la fréquence qui décrivent complètement les caractéristiques dnamiques du sstème linéaire. Plutôt que de considérer deu fonctions distinctes, on utilise un seul nombre complee appelé la fonction de réponse en fréquence : Y φω i ( ) H( ω ) = ( ω ) e = H( ω ) e X Module : H(ω) ( ) φω i Phase : φ(ω) Ainsi pour une ecitation harmonique d amplitude constante (t) = X(ω) e iωt, la réponse s écrit : (t) = Y(ω) e iωt = H(ω)X(ω) e iωt, où H(ω) est la réponse en fréquence complee évaluée à la pulsation ω. On retiendra la relation : Y( ω ) = H( ω) X( ω ) X(ω) H(ω) Y(ω) Figure 4- : Réponse en fréquence d un sstème linéaire Finalement pour identifier complètement un sstème linéaire, il suffit de mesurer le rapport d amplitude et le déphasage de l ecitation et de la réponse pour toute les fréquences auquelles il peut répondre. En pratique pour identifier le sstème sur une bande de fréquence intéressante on soumettra le sstème à une ecitation dont le spectre couvre la bande voulue. En travaillant dans le domaine spectral (DSP, ), on obtiendra directement la réponse en fréquence recherchée Identification de la réponse impulsionnelle Une autre méthode pour déterminer les paramètres dnamiques d un sstème linéaire consiste à mesurer la réponse à une ecitation transitoire judicieusement choisie, du début de l ecitation jusqu au retour à l état d équilibre du sstème. On utilisera généralement une impulsion très courte et très intense que l on peut modéliser par la distribution de Dirac δ(t) (t)=δ(t) S.L. h(t) Figure 4-3 : Réponse impulsionnelle d un sstème linéaire La réponse produite par le sstème linéaire s appelle réponse impulsionnelle. Comme l'impulsion de Dirac a un spectre constant pour toutes les fréquences, on peut envisager que la réponse impulsionnelle h(t) décrive complètement le sstème linéaire à toutes les fréquences qui lui sont accessibles Relation entre réponse en fréquence et réponse impulsionnelle Si les deu réponses définissent chacune complètement les caractéristiques dnamiques d un sstème linéaire, Il doit eister une relation entre elles. On fait l hpothèse d un sstème stable, c'est-à-dire dont la réponse impulsionnelle est à support borné

28 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 On a d une part : Qui devient dans le domaine spectral : ω j t ω j t ( ω ) = δ = δ ( ω ) = X (t)e dt δ (t)=δ(t) S.L. (t) = h(t) Y h(t)e dt D autre part, quels que soient (t) et (t), ils peuvent être décomposés suivant leurs composantes sinusoïdales ( ) π jωt X ω = (t)e d ω ( ) π jωt Y ω = (t)e d ω On a donc aussi : Y ( ω ) = H( ω) X ( ω ) Soit : X(ω) S.L. Y(ω) = H(ω)X(ω) δ δ ω j t ( ) ( ) H ω = h(t)e dt = TF h t π et inversement ( ) ( ) j ω t h t = H ω e dω= TF H( ω) La réponse en fréquence est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle Réponse à une ecitation arbitraire Dès lors qu on connait la réponse impulsionnelle ou la réponse en fréquence d un sstème linéaire, on est en mesure de connaitre sa réponse à une ecitation quelconque. On peut pour cela procéder de deu manières (t) connue h(t), H(ω) connues (t)? 4..5.a. Méthode de la réponse en fréquence En passant dans le domaine spectral et revenir finalement au domaine temporel. = ω = ω ω= ω ω ω π π On a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jωt jωt t TF Y Y e d H X e d ω j t avec : ( ) ( ) ( ) X ω = TF t = t e dt ω j t jωt donc : ( t) = H( ω) ( t) e dω e dω π ou de façon plus snthétique : ( ) = ( ω) [ ] t TF H TF (t) - 8 -

29 4..5.b. Méthode de la réponse impulsionnelle Si h(t) est la réponse à l instant t à une impulsion appliquée à t = 0, alors h(t-τ) sera la réponse à l instant t à une impulsion appliquée à t = τ On peut décomposer (t) en une série continue d impulsions (t) (τ) τ τ+dτ t Figure 4-4 : Décomposition d un signal en une série d impulsions L impulsion à l instant τ a pour intensité (τ)dτ. Elle produit la réponse : h(t-τ) (τ)dτ Pour obtenir la réponse (t) complète, il faut sommer les contributions de toutes les impulsions depuis - jusqu à t : t ( ) ( ) ( ) t = h t τ τ dτ On peut montrer que l intégrale ci-dessus dite intégrale de convolution s écrit aussi : t = h t τ τ dτ= hτ t τ dτ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On écrit de façon plus snthétique : δ(τ)(τ)dτ h(t) h(t-τ) (τ)dτ (t) = h(t) * (t) 4.. Transmission par les sstèmes S.I.S.O. On appelle les sstèmes à une seul entrée et une seule sortie les SISO pour Single Input-Single Output. L objet des paragraphes qui suivent est d établir les relations entre les grandeurs statistiques des en entrée et en sortie des sstèmes linéaires SISO. (t) h(t), H(ω) (t) Figure 4-5 : Sstème linéaire SISO Noter que la réponse impulsionnelle h(t) et la fonction de transfert H(ω) sont des fonctions déterministes, c'est-à-dire invariante et que leur espérance est égale à elles-mêmes : E[h(t)] = h(t) et E[H(ω)] = H(ω) Cette précision sera utile dans les développements suivants 4... Transmission des grandeurs statistiques On cherche à déterminer les valeurs moennes du signal de sortie (t) en fonction de celle du signal d entrée (t) stationnaire

30 UPMC 4AA06 F.Ollivier a. Niveau moen t = h τ t τ dτ On à la relation intégrale fondamentale : ( ) ( ) ( ) Donc l espérance de (t) s écrit : E ( t) = E h( τ) ( t τ) dτ = h( τ) E ( t τ) dτ Comme (t) est stationnaire son espérance est indépendante du temps : E t = µ h τ dτ et ( ) ( ) ( τ ) = ( ) = E t E t µ H h(t)e dt ω j t En introduisant la fonction de transfert : ( ) On arrive à : ω = soit H( 0) ( ) ( ) µ = E t = µh0 La valeur moenne est transmise comme un signal constant 4...b. Fonction d autocorrélation en sortie La fonction d autocorrélation du signal de sortie est : R = E ( t) ( t+τ) Avec = h(t)dt Donc ( ) ( +τ ) = ( ) ( ) ( ) ( +τ ) t t h t t t dt h t t t dt R ( ) ( ) ( ) ( ) = h t t t h t t +τ t dt dt ( ) ( ) = E t t+τ ( ) ( ) ( ) ( ) = h t h t E t t t +τ t dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) = h t h t E t t +τ+ t t dt dt Finalement : = ( ) ( ) ( τ+ ) 4...c. R h t h t R t t dt dt Fonction d intercorrélation entré-sortie La fonction d intercorrélation du signal de sortie et du signal d entrée est : R ( ) ( ) = E t t+τ

31 Avec ( ) ( +τ ) = ( ) ( ) ( +τ ) Donc t t h t t t t dt R ( ) ( ) = E t t+τ ( ) ( ) ( ) = h t E t t+τ t dt R h t R t dt h R Finalement : ( τ ) = ( ) ( τ ) = ( τ) ( τ) 4...d. Autospectre en sortie L autospectre est la transformée de Fourier de la fonction d autocorrélation : iωτ ( ω ) = ( τ ) = τ ( ) ( ) ( τ+ ) S TF R d e h t h t R t t dt dt iωτ ( ) ( ) ( ) = dt h t dt h t dτe R τ+ t t ( ) ( ) ( ) = dt h t dt h t S ω e ( ) ω i t t iωt ω i t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = h t e dt h t e dt S ω= H ω H ω S ω Finalement : S ( ω= ) H( ω) S ( ω ) Par suite on pourra déterminer l écart quadratique moen et le niveau efficace en sortie : E S( ) d H( ) S( ) d π π = ω ω= ω ω ω Soit : = ( ) ( ) E H f S f df Et : ( ) = = ( ) ( ) 4...e. RMS (t) E H f S f df Interspectre entrée-sortie L interspectre est la transformée de Fourier de la fonction d intercorrélation : iωτ ( ω ) = ( τ ) = τ ( ) ( τ ) S TF R d e h t R t dt iωτ ( ) ( ) = dt h t dτe R τ t ω i t ( ) ( ) = dt h t e S ω - 3 -

32 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 Finalement : S ( ω= ) H( ω) S ( ω ) De même on aura : S ( ω= ) H ( ω) S ( ω ) 4...f. Fonction de cohérence ordinaire On peut évaluer la cohérence entre l entrée (t) et la sortie (t) : En introduisant el résultats des paragraphes précédents, on a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ = S H ω S ω H ω S ω γ = = = S ω H ω S ω H ω S ω Donc dans le cas d un sstème idéal, la cohérence est parfaite et égale à. S ( ω) ( ω) S ( ω) En pratique c est rarement le cas. La cohérence est généralement inférieure à parce que : Il peut eister du bruit dans la mesure de (t) et/ou (t) Les estimations des densités spectrales comportent des erreurs Le sstème n est pas linéaire entre et n est pas issu de 4... Effets du bruit de mesure En pratique, les mesures en entrée et en sortie du sstème linéaire étudié ne sont pas parfaites et sont souvent entachées de bruit. On note : u(t) le signal ecitant directement le SISO v(t) le signal directement à la sortie du SISO (t) = u(t) + m(t), le signal mesuré à l entrée, perturbé par un bruit m(t) (t) = v(t) + n(t), le signal mesuré à la sortie, perturbé par un bruit n(t) H(ω) la fonction de transfert vraie du sstème étudié La Figure 4-6 représente cette situation réelle. u(t) H(ω) v(t) (t) m(t) (t) n(t) Figure 4-6 : Sstème linéaire avec bruit de mesure en entrée et en sortie (en rouge : les processus de mesure) On suppose que les bruits m(t) et n(t) sont décorrélés des signau réels u(t) et v(t) et indépendant l un de l autre. Ce qui permet d écrire d emblée : D après les relations établies plus haut, on a : uv S mn (ω) = S mu (ω) = S mv (ω) = S nu (ω) = S nv (ω) = 0 ( ω= ) ( ω) ( ω ) et S ( ω= ) H( ω) S ( ω ) S H S u v u - 3 -

33 Cependant on mesure : S (ω) = S u (ω) + S m (ω) S u (ω) S (ω) = S v (ω) + S n (ω) S v (ω) S (ω) = S uv (ω) + S nu (ω)+ S mv (ω)+ S mn (ω) = S uv (ω) La cohérence entre les mesures (t) et (t) vaut donc : avec : d où : = uv = u = v u S S H S SS S ( ω) Suv ( ω) ( ω ) ( + )( + ) γ = = S S S S S S u m v n SS γ = u v u m v n ( S + S )( S + S ) La cohérence est donc d autant plus éloignée de que le bruit est important en entrée ou à la sortie. On voit ainsi comment elle indique la qualité de la mesure. Elle sera sstématiquement évaluée avant de valider la mesure. On pourra aussi l eploiter pour avoir, par eemple, une mesure "propre" à la sortie, en calculant le spectre de sortie cohérent (Coherent Output Power) : ( ) COP =γ S ω = S uv ( S + S ) ( S + S ) u m v n ( S + S ) v n = S uv ( S + S ) u m On voit ici que lorsque le bruit est absent de la mesure en entrée, le COP donne une mesure eacte de la DSP du signal de sortie quel que soit le niveau de bruit à la sortie Estimation de la fonction de transfert Pour identifier un sstème linéaire on peut partir des densités spectrales et interspectrales en entrée et en sortie. On a montré d une part : ( ω= ) ( ω) ( ω ) S H S dont on peut tirer un premier estimateur de la fonction de transfert : D autre part on a aussi : On a donc : H ( ) S ω = S H a S ω = S ( ) ( ω) ( ω) ( ω ) = ( ω) ( ω ) = ( ω) ( ω) ( ω ) = ( ω) ( ω ) S H S H H S H S ( ω) ( ω) On obtient ainsi un second estimateur de H impliquant des fonctions différentes du précédent : H b S ω = S ( ) ( ω) ( ω)

34 UPMC 4AA06 F.Ollivier a. Etude comparative des estimateurs de H(ω) Si on considère à nouveau du bruit en entrée et en sortie, comme indiqué par la Figure 4-6, on peut développer les estimateurs précédents. D une part : H S S S S + + S S ( ω ) = = = = H( ω) a uv uv S Su + S S m Su m Donc si le rapport signal à bruit est bon en entrée (S u /S m >>) indépendamment du niveau de bruit en sortie, H a (ω) est un bon estimateur de H(ω) : u m u D autre part : a S Sm H ( ω ) = H( ω) si S S u b S Sv + Sn S v S n S n H ( ω ) = = = + = H( ω ) + S Svu Svu Sv Sv Donc si le rapport signal à bruit est bon en sortie (S u /S m >>) indépendamment du niveau de bruit en entrée, H b (ω) est un bon estimateur de H(ω) : S b Sn H ( ω ) = H( ω) si S S v

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36 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 Rappels pratiques sur l analse des signau numériques. Les paragraphes qui suivent résument les connaissances nécessaires à l utilisation des fonctions de bases de l analse spectrale numérique. Ils ne peuvent se substituer l eposé plus fondamental qui fait l objet du cours de traitement numérique du signal. Paramètres de l échantillonage On considère un signal continu (t) dont on traite une portion de durée T T est appelé la durée d analse. La numérisation de (t) sur la portion de durée T produit une séquence de N valeurs numériques notée n, (n = 0,,N-). Si f e est la fréquence d échantillonnage, t e = /f e est la période d échantillonnage. Les échantillons numériques successifs n correspondent au valeurs du signal (t) au instants nt e : n = (nt e ). On a : T = (N-)t e Nt e. On supposera dans la suite que la numérisation respecte le théorème d échantillonnage : fe > f ma où f ma est la composante fréquentielle maimale composant le signal analsé. En pratique la fréquence d échantillonnage est imposée par le convertisseur analogique/numérique du sstème d acquisition. Elle est généralement prise dans un ensemble de valeurs fiées (en audio tpiquement 4400 Hz). Aussi pour éviter le repliement spectral, les signau subissent préalablement à la numérisation un filtrage passe-bas de fréquence de coupure f c = f e /. Ce filtre est appelé filtre anti-repliement. La composante fréquentielle la plus haute accessible du signal est donc : f ma = f e / Processus d échantillonnage

37 Transformée de Fourier Discrète Pour évaluer le spectre de la séquence n on calcule la transformée de Fourier discrète (TFD). Ce calcul est mis en œuvre par des algorithmes de transformée de Fourier rapide (fft = fast fourier transform). L algorithme utilisé par Matlab est la FFTW (Fastest Fourier Transform in the West). On trouve tout sur la FFTW à l adresse suivante : A partir de la séquence de N échantillons temporels, la TFD produit N échantillons spectrau notés X k et définis par : N Xk = e n Ces échantillons sont des nombres complees : n= 0 X X e nk πi N i φ(x k ) k = k X k est le spectre d amplitude. φ(x k ) est le spectre de phase Dans le domaine spectral les échantillons calculés sont séparés par un intervalle f. Pour déterminer f, on peut réécrire l opération de TFD en faisant intervenir eplicitement les valeurs de temps et fréquence par analogie avec la TF continue : N nk πi N N N πi(nt e )(k f ) πift k = = n = e = n= 0 n= 0 n= 0 X X(k f) e (nt )e X(f) (t)e On a donc : t e f = N soit f = = Nt T e et π π ω = = Nt T e La résolution spectrale f est égale à l inverse de la durée d analse T La séquence X k produite par la TFD est périodique de période N N nk πi N πin N+ k= n = k n= 0 X e e X Il s en suit que les échantillons X N/ à X N- peuvent être associés au fréquences négatives et remplacer les échantillons X -N/ à X -. On vérifie donc bien que la fréquence maimale du spectre calculé est : f ma N f = f = = e t La bande spectrale accessible par l analse par TFD est donc [-f e / ; f e /] Enfin il faut noter que les échantillons associés au fréquences négatives sont les conjugués de ceu associés au fréquences positives : N nk πi N * k = n = k n= 0 X e X Noter que pour une efficacité maimale des algorithmes fft, il faut que le nombre N d échantillons de la séquence n soit une puissance de (N = p, p entier soit N =, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5, 04, 048, 4096, 89, 6384, 3768, ). e

38 UPMC 4AA06 F.Ollivier - 04 Eemple d analse spectrale numérique par TFD