A * B = A+B 1. zéros. zéros. Convolution pouvant être faite par deux FFT et une IFFT, sur A + B 1 valeurs. x * * * * b b b b + + +

Transcription

1 Traitement Les traitements présentés seront uniquement pour des signaux numériques discrets. Filtrage de fréquences RIF ou «FIR» Un filtre à réponse impulsionnelle finie («FIR filter») est un filtre où la sortie dépend uniquement de l entrée, ainsi que les N dernières valeurs de celle-ci, dit d ordre N, multipliées par des constantes. y[n] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] + + b N x[n N] C est donc une simple convolution y = b * x. Pour un petit nombre de termes non nuls, la convolution peut être calculée directement, mais sinon elle sera souvent calculée par FFT. La technique de «overlap-add» permet de calculer la convolution par FFT de taille raisonnable, en gardant l équivalence avec la convolution (et non une convolution circulaire). Si la convolution est nulle à l extérieur d une séquence de M valeurs, la convolution circulaire sur au moins M valeurs aura le même résultat que la convolution. La longueur M de la convolution de a par b est la somme de leurs longueurs moins 1. IFFT( FFT(a) FFT(b) ) donne une convolution circulaire de a par b, il suffit d ajouter des zéros à a et b pour qu ils soient au moins de longueur M. Comme une convolution est une somme, il est possible de découper le signal, d appliquer la convolution sur chaque partie, et de sommer les résultats. A * B = A+B 1 zéros zéros Convolution pouvant être faite par deux FFT et une IFFT, sur A + B 1 valeurs. x * * * * b b b b y Convolution y = x * b par «Overlap-add». Par cette transformation, il est évident que la réponse en fréquence du FIR est sa transformée de Fourier, et qu on peut obtenir un FIR par transformée de Fourier inverse. Le problème avec la transformée inverse est qu en général un certain filtre de fréquences ne donnera pas un FIR mais plutôt une réponse infinie; une méthode pour approximer avec un FIR est en fenêtrant la transformée inverse. Filtre en peigne : Un FIR ayant un seul élément non nul, en plus de l entrée présente, mais à un ordre possiblement élevé, est appelé filtre en peigne («comb filter»). y[n] = x[n] + b x[n N] Le signal est déphasé avec lui-même. L amplitude de la réponse en fréquence est périodique; les fréquences multiples de 1/N sont accentuées (par 1 + b) et les fréquences à moitié entre, soit aux multiples impairs de 1/2N, sont atténuées (par 1 b). Dans le domaine analogique, les filtres à couches minces sur les lunettes «sans reflets» utilisent le principe du filtre en peigne. La distance entre le microphone («pickup») et le chevalet («bridge») sur une guitare électrique effectue aussi un tel filtre, d où l importance de sa position pour avoir une certaine sonorité. 14

2 RII ou «IIR» Un filtre à réponse impulsionnelle infinie («IIR filter») est un filtre où la sortie dépend de l entrée, et les N dernières valeurs de celleci, ainsi que des M dernières valeurs de sortie (dit d ordre max(m, N)), multipliées par des constantes. y[n] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] + + b N x[n N] a 1 y[n 1] a M y[n M] Comme la sortie dépend de ces propres anciennes valeurs, il y rétroaction («feedback») qui rend la réponse impulsionnelle infinie. Un filtre est dit stable si pour n importe quelle entrée bornée, la sortie reste bornée; autrement dit, le gain de la rétroaction ne sera jamais supérieur à 1. Pour effectuer des filtres de fréquences, on utilisera un IIR stable avec gain de rétroaction strictement inférieur à 1, pour avoir une réponse avec atténuation exponentielle. La constante de temps du système sera souvent évaluée comme le temps que prend une impulsion à s atténuer de 40dB; pour le temps de réverbération d une salle, on utilise plutôt le temps pour une atténuation en SPL de 60dB (communément appelé le RT «reverberation time» ou T60). Le IIR, par rapport au FIR, a l avantage de pouvoir faire des filtres plus abrupts avec beaucoup moins de coefficients, par contre il est plus difficile de contrôler la phase. Une méthode souvent utilisée pour trouver les coefficients du IIR est d utilise ce qui a été développé en domaine analogique, tels les filtres de Butterworth, Chebyshev, elliptique, et de passer par la transformée en Z correspondante (qui est l équivalent discret de la transformée de Laplace). En pratique, en audio, on utilise souvent des chaînes de filtres d ordres 1 et 2. Vladimir L. Vassilevsky, «A practical guide for digital IIR audio filters», présente les facteurs standard utilisés, et comment chaîner les filtres. Voici ces valeurs : Pour tous ces filtres, définissons : w = tan (π f filtre / f échantillonnage ) (noter que si f filtre est la fréquence de Nyquist, ça donne tan (π / 2) qui est infini) Ordre 1 : (6 db/octave) (le point de -3 db est ~ à f filtre ) n = 1 / (1 + w) ; a 1 = n (w 1) ; Passe-bas : b 1 = b 0 = w n ; Passe-haut : b 1 = b 0 = n ; Ordre 2 : (12 db/octave) (Q est le facteur de qualité, ou résonance du filtre; la résonance est ~ centrée sur f filtre ) n = 1 / (w 2 + w/q + 1) ; a 1 = 2 n (w 2 1) ; a 2 = n (w 2 w/q + 1) ; Passe-bas : b 2 = b 1 /2 = b 0 = n w 2 ; Passe-haut : b 2 = b 1 /2 = b 0 = n ; Passe-bande : b 2 = b 0 = n w / Q ; b 1 = 0 ; Égalisateur paramétrique : (g est le gain de l égalisateur ; B est la largeur de bande) Q = f filtre / B si g > 1, g f filtre / B sinon. (pour calculer n aussi) A = g / Q ; b 0 = n (w 2 + w A + 1) ; b 1 = 2 n (w 2 1) ; b 2 = n (w 2 w A + 1) ; a 1 = b 1 ; a 2 = n (w 2 w/q + 1) ; Pour un filtre d ordre N on prendra un ordre 1 si N est impair, et N/2 ordre 2. Cette méthode n est pas toujours la meilleure, mais elle est simple. Les valeurs ci-dessous viennent directement de l article. Butterworth : Maximalement plat jusqu à la fréquence de coupure. 15

3 (La phase est assez mauvaise pour les ordres élevés.) Les Q à utiliser dans les filtres ci-dessus, sont : ordre : Q pour chaque filtre 1 : : : : : : Linkwitz-Riley : Deux Butterworth en série. Bessel : Phase maximalement linéaire. (À noter que la version numérique a des problèmes de phases pour f filtre élevé; pour f échantillonnage / 4, le point de -3 db est trop élevé par 13% à 35% pour les filtres d ordre 2 à 6, respectivement, à cause du «frequency warping» de la transformation bilinéaire). Cette fois il faut aussi modifier f filtre, pas seulement Q. Les facteurs multiplicatifs pour f filtre, et les Q à utiliser, sont : ordre : f filtre, Q pour chaque filtre 1 : 1.00, : 1.27, : 1.32, , : 1.60, , : 1.50, , , : 1.90, , , 0.51 Il faut une bonne précision sur les valeurs utilisées dans la rétroaction (les sorties qu on garde pour calculer les prochaines sorties). On utilisera normalement des «double» pour ces valeurs, alors que les coefficients peuvent être des «float»; sur x86, on peut même garder l accumulateur en «tfloat» si possible. Comme le filtre a une réponse infinie, les erreurs numériques risquent de faire que même après avoir mis l entrée à zéro pendant longtemps, la sortie va continuer à avoir du bruit. Le but est que ce bruit soit inférieur au bruit de quantification lors de la sortie; si la sortie est 24 bits, il faut plus de 24 bits de résolution sur les valeurs de rétroaction et un «float» a 24 bits de mantisse (mais comme il est virgule flottante, il risque d y avoir des problèmes uniquement lorsqu on somme avec des grosses valeurs, et non sur les finales qui tendent vers zéro; pour réduire les erreurs, on peut sommer en commençant par les termes les plus faibles). Extrait du code pour le «EQ Lowpass» du kx Project, par Soeren Bovbjerg: Assembleur kx : Ce que ça fait : macs 0x0, 0x0, 0x0, 0x0; accum = 0 macmv x2, x1, x2, b2; macmv x1, in, x1, b1; macmv t1, t1, in, b0; macmv y2, y1, y2, a2; macmv t1, t1, y1, a1; accum += x2 * b2 : x2 = x1 accum += x1 * b1 : x1 = in accum += in * b0 accum += y2 * a2 : y2 = y1 accum += y1 * a1 macs t2, accum, 0x0, 0x0; t2 = accum macints y1, 0x0, t2, sca; y1 = t2*sca macs out, y1, 0x0, 0x0; out = y1 (le facteur sca est utilisé à cause des limites imposées par les DSP sur les facteurs a i et b i ; il faut tout de même garder ce facteur le plus petit possible, pour ne pas perdre de précision dans le filtre, puisque le DSP est à virgule fixe) 16

4 On voit que c est un simple IIR d ordre 2, et comme les paramètres sont la fréquence et le Q, les coefficients sont fort probablement calculés comme ci-dessus. Filtre en peigne avec rétroaction : Un IIR ayant un seul élément non nul, en plus de l entrée présente, mais à un ordre possiblement élevé, est appelé filtre en peigne avec rétroaction («feedback comb filter»). y[n] = x[n] a y[n M] L amplitude de la réponse en fréquence sera maximale et minimale aux mêmes fréquences que le filtre sans rétroaction. Par contre, les creux seront plus larges, avec des pics étroits et plus accentués. Le filtre est stable uniquement si a < 1. Sur les pics, le gain sera de 1/(1 a), et dans les creux de 1/(1 + a). FFT / STFT Dans le domaine des fréquences, ou particulièrement dans le domaine temps-fréquences des STFT, il est possible de faire des filtres beaucoup plus complexes que les FIR/IIR. Par exemple, il est possible d effacer des fréquences à des instants précis, avec un outil similaire à un programme de dessin. Les problèmes des modifications dans le domaine de STFT sont : elles se répercutent généralement sur la longueur complète du bloc, elles risquent d étendre les attaques présentes dans un bloc, et il risque d y avoir discontinuité aux frontières des blocs. De manière générale, on utilisera des fenêtres avec chevauchement («overlap»), et à la reconstruction elles seront atténuées sur les frontières pour garantir au moins la continuité C0 (continuité d ordre 0, qui dit qu il n y a pas de saut de valeur; une continuité C1 dit que la première dérivée aussi doit être sans saut). Si on effectue la suite suivante d opérations : signal fenêtre FFT traitement IFFT (suite d opérations qui cause problème) Si le traitement est la fonction identité, le signal sortant de l IFFT sera le signal original fenêtré. Il est alors facile de faire le chevauchement, en additionnant les blocs voisins, pour s assurer d une continuité. Mais l idée du traitement est de modifier le signal, et dans ce cas il est difficile de s assurer que le signal sortant de l IFFT soit bien fenêtré; le fenêtrage dans le temps est une convolution dans le domaine de Fourier, et il faudrait donc modifier toutes les valeurs correctement pour s assurer de garder le fenêtrage. On utilisera donc plutôt la suite suivante d opérations : signal fenêtre d analyse FFT traitement IFFT fenêtre de reconstruction On supposera généralement que le signal sortant aura la forme du produit des deux fenêtres, même si une partie du premier fenêtrage sera perdue dans le traitement (sauf si on sait que le traitement est agressif et perd entièrement le fenêtrage). Une fenêtre simple est un sin entre 0 et π, pour l analyse et la reconstruction; après avoir passé dans les deux fenêtres ça fait sin 2, et on sait sin 2 + cos 2 = 1, donc on utilisera un recouvrement de 50%. Cette technique assure la continuité C0, mais la continuité C1 du sin 2 ne sera pas tout à fait gardée puisque le traitement déformera un peu la fenêtre d analyse. Vocodeur (applications musicales) Un dérivé d une technique inventée en 1939 pour transmettre efficacement la voix sur un réseau est devenu populaire dans les années 1970 pour faire des effets musicaux. Cette technique, qu on retrouve encore sur certains enregistrements récents, est de mélanger le son d un instrument et celui de la voix humaine par une multiplication dans le domaine fréquentiel. Les deux signaux, appelés porteur et modulateur, sont passés dans un banc de filtre (une FFT peut être utilisée, mais originalement il était fait avec plusieurs filtres passe-bande analogiques). Un suiveur d enveloppe est placé en sortie des filtres du signal modulateur, pour déterminer la puissance dans chaque bande de fréquence, puis on utilise ces valeurs pour contrôler un gain (une multiplication) sur les sorties des filtres du signal porteur, avant d être recombiné. On a donc changé l amplitude de chaque bande du signal porteur, en utilisant comme facteurs la puissance présente dans chaque bande correspondante du signal modulateur. Le vocodeur de Moog, des années 1970, utilisait 10 bandes, mais maintenant dans le domaine numérique on peut facilement choisir le nombre de bandes selon l effet voulu. Avec FFT, si on fait simplement IFFT( FFT(porteur) FFT(modulateur) ), la transformation est symétrique entre le signal porteur et modulateur, alors qu il est normalement asymétrique sur le vocodeur décrit. Pour avoir des bandes aux fréquences intéressantes, on fera normalement une FFT plus longue que le nombre de bandes voulues, et la puissance par bande du signal modulateur sera moyennée en fréquences et en temps (pour suivre l enveloppe de puissance), avant de multiplier les valeurs de la FFT du signal porteur. Ne pas confondre vocodeur et «talkbox» (tel qu utilisé pour faire parler la guitare par Peter Frampton et autres). La «talkbox» utilise directement la cavité de la bouche comme résonateur pour moduler le son, et enregistre le son sortant; ça ne demande aucun 17

5 traitement électronique, uniquement envoyer un son dans la bouche avec un hautparleur et reprendre la sortie de la bouche avec un microphone. Il serait par contre possible de recréer un effet similaire numériquement, sans bruit de fond introduit par le passage réel du signal dans la bouche, en évaluant la réponse de la bouche (voir prochaine section) et en l appliquant au signal (par vocodeur ou convolution). Déconvolution et réponse d'un système Si un certain système est linéaire et invariant dans le temps («linear time invariant»), sa réponse à l impulsion définit complètement le filtre que le système fait (si le système n est pas linéaire, il faut aussi évaluer les non-linéarités). Pour un signal quelconque d entrée s et une réponse à l impulsion du système h, la sortie y = (h * s) (la convolution du signal par la réponse à l impulsion). Pour évaluer cette réponse, on peut envoyer une impulsion dans le système et enregistrer la sortie. Cette technique directe a par contre un problème majeur : toute l énergie du signal envoyé au système doit se trouver en un seul instant, et il faut pouvoir enregistrer une énergie tout aussi élevée (selon le gain du système) en sortie. On voudra normalement répartir l énergie dans le temps, pour que la puissance nécessaire soit moindre. Plusieurs types de signaux en entrée peuvent être utilisés, dont le balayage de fréquences, la «maximum length sequence» (MLS), ou un bruit aléatoire (blanc, rose, ). La MLS peut être considérée comme à l autre extrémité par rapport à l impulsion; c est un signal dont la transformée discrète est aussi une constante (si on ne prend qu une période de MLS), mais où l énergie par échantillon est minimale pour la même énergie totale. Tous les échantillons ont donc la même énergie, ils sont tous -1 ou 1 (si on normalise). Une MLS est une séquence de longueur maximale pouvant être générée par un «linear feedback shift register» (LFSR), c est-à-dire un registre à décalage avec un ouexclusif; elle est donc facile à générer et sa longueur sera 2 B 1 (où B est le nombre de bits du registre). La MLS a aussi l avantage de permettre d évaluer «facilement» la réponse à l impulsion, et a beaucoup été utilisée avant d avoir la puissance de calcul actuelle des ordinateurs, car l auto corrélation de la MLS est presque une impulsion (1 en 0 et -1/N ailleurs, pour une séquence de longueur N). La réponse à l impulsion du système est donc approximativement la corrélation croisée de la sortie avec la MLS. Il est aussi possible d évaluer la réponse à l impulsion h dans y = (h * s) par filtre inverse ou déconvolution, soit (y * s -1 ) = h. L inverse d un filtre1 est un filtre2 qui, composé avec filtre1 donne le filtre identité (ou retard; nous permettons souvent que la sortie soit retardée par rapport à l entrée, pour ne pas avoir à connaître le futur). Pour un filtre FIR, l inverse est rarement un filtre FIR (il aura souvent une réponse à l impulsion infinie). Pour la convolution circulaire, il est facile d évaluer le «FIR» inverse d un «FIR» par division dans le domaine de Fourier (ou autre technique de déconvolution) tant qu il ne contient aucun zéro dans ce domaine. Il est donc facile, dans la plupart des cas, de trouver un FIR qui approxime l inverse d un autre FIR. Pour évaluer la réponse du système, on peut donc faire IFFT( FFT(y)/FFT(s) ). Attention au fait que cette déconvolution est circulaire : si l impulsion est plus longue que la FFT, elle sera repliée, et ce qui se trouve à la fin de l IFFT peut être ce qui se produit juste avant ce qui se trouve au début. Il faut donc prendre une FFT assez longue, et placer l endroit où le signal est nul (ou presque), juste avant l impulsion, comme étant le début. Si le système n est pas tout à fait linéaire, le calcul de l impulsion par division de FFT donnera des impulsions secondaires aux positions qui divisent la longueur de la FFT. La plus prononcée est souvent à la moitié de la FFT, pour la 2 e harmonique causée par la non-linéarité. En utilisant une MLS (juste des 1 et -1) on élimine le problème de non-linéarité du convertisseur numérique analogique, et en doublant la longueur du signal, en ajoutant l opposé de chaque valeur ( {a,b,c} devient {a,-a, b,-b, c,-c} ), la 2 e harmonique des autres composantes est de beaucoup réduite. Pour une technique plus robuste, la technique par balayage de fréquences permet de mesurer la réponse du système même s il n est pas très linéaire, et aussi d évaluer la distorsion harmonique. Débruitage On peut vouloir enlever différents types de bruits dans un enregistrement. Cette section montre des techniques de base pour enlever des bruits stables, et non impulsifs ou variables. Soustraction spectrale Une technique simple, une fois qu on sait faire des filtres FFT, et maintenant disponible dans la majorité des logiciels de traitement audio, est de soustraire l empreinte du bruit dans le domaine fréquentiel. La technique commence normalement par l analyse d un passage contenant uniquement le bruit de fond à enlever, pour déterminer la distribution des amplitudes à chaque fréquence. Ensuite un seuil est choisi, par rapport aux amplitudes déterminées du bruit de fond, et le spectre de chaque fenêtre du signal à débruiter est comparé au seuil. Chaque bande de fréquence avec amplitude inférieure au seuil sera atténuée, en espérant que c était du bruit. Comme le bruit a souvent une large plage de valeurs possibles, malgré que sa variance ne soit pas nécessairement très élevée (par exemple une gaussienne), un filtrage temporel des atténuations est souvent fait pour réduire le bruit caractéristique de cette méthode, souvent appelé bruit musical («musical noise»). Ce filtre temporel sera souvent plus doux à la fin des notes, pour tenter de conserver les finales, et plus franc au début, pour ne pas trop estomper l attaque des percussions. 18

6 Cette technique fonctionne assez bien pour des bruits stationnaires à large spectre comme le bruit thermique des capsules de microphones, ou le «hiss» des enregistrements sur bande magnétique, surtout lorsque le signal est harmonique et a un rapport signal/bruit pas trop faible. Statistiques minimales («minimum statistics») Plutôt que de prendre le bruit dans un passage où il n y a rien d autre, il est possible d évaluer le bruit pendant qu il y a d autres sons. On va par contre supposer que le signal n aura aucune énergie pour chaque fréquence au moins une fois dans une certaine fenêtre de temps; plutôt qu il n ait aucune énergie à toutes les fréquences en même temps, il suffit que le contenu spectral du signal change dans le temps pour qu une certaine fréquence finisse toujours par ne plus avoir d énergie à un moment. Il suffit alors de garder le minimum d amplitude (ou quelques plus petites valeurs) pour chaque fréquence pour évaluer le bruit. Le problème est que le minimum ou maximum d un échantillonnage statistique est la moins robuste des statistiques (d où le fait qu utiliser les quelques plus petites valeurs pourrait aider, s il n y a pas de signal à une fréquence à plusieurs instants). Si on fait une supposition sur la distribution des valeurs, par exemple qu elles sont gaussiennes, on peut estimer la moyenne du bruit à partir de son minimum, si on sait combien on a d échantillons. Ces estimations pourront alors servir à la soustraction spectrale. Cohérence de phase et «beamforming» Si nous avons plus d un microphone pour enregistrer, il est possible de faire une certaine isolation des sons selon la position de la source. Une technique d analyse et comparaison de phase entre les deux oreilles est d ailleurs faite par le cerveau humain, permettant d isoler certains sons; si on se bouche une oreille, on a l impression que tous les sons se mélangent et il devient plus difficile d isoler la parole d autres bruits. L idée est simplement de comparer les phases d arrivées aux différents microphones pour savoir d où peut provenir le son, et de garder avec bonne amplitude les fréquences où la phase est bonne, et réduire l amplitude des fréquences où la phase ne l est pas. Le cas simple à deux microphones ne permet que de déterminer la direction dans le plan, mais avec assez de microphones on peut théoriquement déterminer la position 3D de la source. Il faut faire attention que la phase est cyclique à toutes les périodes, donc dans le cas simple à 2 microphones, une élimination uniquement basée sur la phase donnera, pour un bruit blanc ne venant pas de la source visée, un genre de filtre en peigne des fréquences, selon l angle d arrivée et la distance entre les microphones. B r u i t à b a n d e l a r g e Réduction de "hum": par filtrage et soustraction Deux micros visant une source, avec bruit à bande large d une autre source; Les bruits de longueur d onde multiple de d arriveront en phase. Le bruit causé par la fréquence utilisée sur les lignes électriques, le 60Hz en Amérique du Nord, est généralement appelé «hum». Il est préférable de tenter de le réduire avant l enregistrement, en utilisant des connexions balancées, passant les fils électriques et fils audio à angles droit et qu ils ne soient jamais proches et parallèles, et en s assurant qu il n y a pas de boucle de mise à la terre. Mais si nous avons un tel bruit dans un enregistrement, il est possible de le filtrer avec d autres techniques que la soustraction spectrale. Une première technique est de positionner des filtres coupe-bande, à très faible largeur de bande, sur le 60Hz et ses harmoniques, avec une atténuation élevée; méthode communément appelée «notch filter». Une autre technique, beaucoup plus précise, qui permet de retrouver un signal presque parfaitement débruité (et qui est utilisée pour l enregistrement des ondes venant de la terre) est d évaluer les paramètres de l onde sinusoïdale, puis de soustraire cette onde dans le domaine temporel. Il faut évaluer avec précision la fréquence (le 60Hz varie légèrement), la phase, et l amplitude de chaque harmonique, puis les soustraire. Si l enregistrement est assez long, il faut tenir compte du fait que ces paramètres vont varier lentement dans le temps, en plus d avoir des variations plus brusques lors de changements soudains de la demande énergétique. Pour enlever le bruit d une manière optimale, il faut un modèle du signal et du bruit. Si on connaît précisément la fréquence, il est possible de trouver les amplitudes et phases optimales, selon les moindres carrés, par une solution d un problème linéaire; la fréquence est donc le paramètre le plus difficile à bien évaluer (notons que le maximum du périodogramme classique ne se trouve pas exactement à la bonne fréquence). La solution des moindres carrés est optimale au sens de vraisemblance maximale, si le signal est blanc gaussien additif par rapport à la sinusoïde qu on cherche à enlever; ce n est normalement pas le cas en réalité, et par conséquent la solution par moindres carrés n est probablement pas optimale, mais est souvent une assez bonne solution. Comme on connaît la fréquence approximative, un algorithme de «hill climbing» permet de trouver la fréquence avec bonne précision. Cette technique est utilisée pour analyser les ondes électromagnétiques venant de la terre, bruitées par la fréquence des lignes de transport d électricité. 19

7 Réparation d'échantillons: "déclipping" / "déclicking" Les «clicks/pop» analogiques sont causés par des imperfections, comme des poussières, sur un média d enregistrement analogique comme le disque vinyle. Une fois numérisés, plusieurs échantillons contigus seront erronés. Les «clicks» numériques peuvent être causés par des erreurs numériques, qui sont souvent sur des échantillons isolés, ou par des échantillons manquants. Dans tous ces cas, des échantillons sont «manquants», c est-à-dire qu on ne connait pas leur valeur, mais dans le dernier cas on ne connait pas non plus le nombre d échantillons qui manquent. La détection de ces clicks n est pas évidente, et repose sur des heuristiques avec des seuils pour détecter des impulsions; un seuil trop élevé laissera passer des clicks non détectés, et un seuil trop faible risque de détecter les attaques, principalement des percussions, comme des clicks. Une fois avoir trouvé les clicks, il faut «inventer» des échantillons pour les remplacer. Pour des clicks très courts, il est possible de faire une simple interpolation, alors que ceux plus longs peuvent demander une détection de période ou une analyse spectrale pour être corrigés adéquatement. Le cas de l écrêtage («clipping») est similaire, mais l interpolation simple n est jamais un bon choix puisque les échantillons manquants ne sont pas entre ceux présents. L interpolation par «splines» ou par analyse fréquentielle peut être utilisée. L écrêtage numérique est facile à détecter (jamais de faux négatifs, et presque jamais de faux positifs), mais pas l écrêtage analogique, ou «renumérisé». C est possible de faire une analyse fréquentielle avec échantillons non uniformément espacés, qui permet d évaluer correctement les fréquences même si des points sont manquants. Cette analyse est par contre plus lente qu une simple FFT, et souvent les méthodes utilisent plutôt des FFT autour des échantillons manquants pour évaluer les fréquences à continuer dans le «trou». Réparation de fréquences Une bande passante trop faible, une compression avec perte (de style MP3) trop agressive ou un débruitage peuvent effacer une partie du spectre dans lequel il devait y avoir de l énergie. Souvent, ce sont les hautes fréquences qui sont perdues, qui sont normalement très présentes en particulier dans les percussions. Dans d autres cas, on veut retrouver des harmoniques précises. Un effet simple est d ajouter du bruit en hautes fréquences, par exemple un bruit blanc passé dans un filtre pour couper les basses fréquences déjà présentes dans le signal et pour atténuer les hautes fréquences selon une courbe qui dépend de la sonorité voulue, avec une intensité qui dépend de la puissance pondérée du signal (en donnant plus d importance aux hautes fréquences). Un effet de ce type est le «sand brush» de 4Front. Pour la restauration d harmoniques, il faut faire une analyse en fréquences et ajouter les harmoniques manquantes. Les amplitudes des harmoniques vont dépendre des amplitudes de celles présentes, et d une tendance générale (normalement l amplitude réduit avec la fréquence). Compression dynamique Lorsqu un son est trop fort pour entrer dans la plage des valeurs numériques possibles, la chose la plus simple à faire est de prendre la valeur maximale possible. Si on coupe un échantillon ici et là, ça ne sera presque pas perceptible, par contre plus on coupe d échantillons et qu on forme alors des plateaux aux extrémités de l onde, communément appelé écrêtage, plus la distorsion sera élevée. À l extrême, une onde sinusoïdale pure devient une onde carrée. Pour augmenter le volume sans écrêter, même si l onde utilisait déjà à certains endroits la plage complète des valeurs, on peut utiliser un volume variable selon l amplitude locale du signal. L écrêtage peut être vu comme le signal original auquel on a appliqué une réduction de volume pour qu il entre dans la plage des valeurs. Le problème est que le volume varie instantanément et cause des harmoniques. Pour réduire la distorsion harmonique causée par le changement de volume, il faut qu il varie plus lentement. On utilisera donc un suiveur d enveloppe de puissance du son (un filtre «passe bas» avec paramètres différents pour l attaque et la relâche). Dans le cas hors ligne, on peut s assurer parfaitement que le volume ne fera pas de saut et qu il n y aura pas d écrêtage. Par contre, dans le cas en temps réel, il faut soit avoir une certaine latence pour «connaître l avenir proche», ou espérer qu il y a rarement de sauts d intensité vers le haut et commencer à réduire le volume avant d arriver au maximum. Dans le cas en temps réel, il est donc possible qu il y ait encore de l écrêtage, mais beaucoup moins. Détection de fréquence Dans certaines techniques, il faut commencer par connaître la fréquence du signal. Lorsque le signal contient principalement une fréquence et ses harmoniques, et qu on veut trouver la fréquence de base, le maximum de la FFT n est pas toujours la meilleure méthode. Autocorrélation : L autocorrélation (corrélation du signal avec lui-même) devrait donner une valeur maximale en 0 (le signal est parfaitement superposé) et avoir des pics proches de cette valeur à chaque période du signal. L autocorrélation peut-être évaluée directement dans le domaine du temps, ou par la FFT, produit et IFFT. «Harmonic product spectrum» (HPS; Noll 1969) : L idée est de superposer le spectre du signal original avec celui de versions rééchantillonnées 2, 3, 4... fois (sous-échantillonné en fréquences ou suréchantillonné en temps), pour que les harmoniques tombent sur la fréquence de base. Le produit est fait entre les différents spectres, et le maximum est cherché. Il est possible de le faire en temps, ou de faire la FFT et de «rééchantillonner» les fréquences. Cette méthode va souvent trouver une note une octave au dessus, et on doit donc vérifier si ça pourrait être le cas (regarder le 2e "maximum", voir s'il est une octave en dessous et s'il n'est pas trop 20

8 faible). Les gens ne semblent pas parler de l'autre problème, que certains sons ont seulement les harmoniques impaires, et que le produit est alors théoriquement nul partout (ce n est pas un problème lorsqu utilisé pour détecter la fréquence de la voix). Phase vocoder Le terme «phase vocoder» est utilisé pour une méthode d analyse et resynthèse de fréquences, mais aussi pour une méthode de changement de note et vitesse de son (qui n utilise pas nécessairement l analyse ici présentée). Une simple FFT donne une résolution en fréquence = fréquence d échantillonnage / taille de la FFT. Mais en utilisant deux FFT à des moments proches, et en comparant les phases, on peut avoir plus de précision sur la fréquence. Pour une sinusoïde de fréquence f, si on évalue sa phase en t 1 et t 2, et qu elle est respectivement θ 1 et θ 2, on peut déduire que (t 2 t 1 ) 2π f = θ 2 θ 1 + k 2π, pour un certain k. En isolant f, on a : f = (θ 2 θ 1 + k 2π) / ((t 2 t 1 ) 2π) (pour un certain k) L idée est de trouver un pic commun à deux FFT proches dans le temps et de prendre la fréquence f la plus proche de la fréquence du pic. Changement de note et de vitesse ("pitch shifting" / "time stretching") Un simple rééchantillonnage permet de changer la note et la vitesse par un même facteur. Si on veut changer un de manière indépendante de l autre, les techniques deviennent moins simples. Synchronisé sur la fondamentale Plusieurs techniques sont basées sur la synchronisation avec les périodes du signal original. La technique originale de «time-domain harmonic scaling» (TDHS) vient de l article «Time-Domain Algorithms for Harmonic Bandwidth Reduction and Time Scaling of Speech Signals» par David Malah, Si un signal est harmonique, en synchronisant des fenêtres sur la fondamentale à chaque instant, il est possible de changer la vitesse d un signal sans changer les fréquences (ou l inverse), avec uniquement des opérations dans le domaine temporel (il faut tout de même une méthode pour évaluer la fréquence fondamentale). Keith Lent, dans «An Efficient Method For Pitch Shifting Digitally Sampled Sounds» (1989), change l espacement entre des périodes originales, sans rééchantillonnage. Il faut bien prendre les périodes une à la fois, et en changeant le temps entre deux périodes on change effectivement la période principale du signal résultant. La méthode de «auto-tune» (brevet US A) fait un rééchantillonnage de l'entrée en avançant un pointeur dans le signal à une vitesse différente de la vitesse à laquelle les échantillons entrent. Il recule d'exactement une période si le pointeur dépasse le moment présent, ou avance d'exactement une période si le pointeur est en retard d'une période par rapport au moment présent. Il fait peut-être un court fondu lors des transitions, pour réduire les discontinuités (les périodes voisines ne sont pas exactement égales), mais ce n est pas écrit. Phase vocoder Lorsqu on a un spectre avec fréquences plus précises que la FFT (par exemple obtenu par l analyse avec «phase vocoder») on peut «facilement» changer les fréquences. Pour la reconstruction, il faut par contre faire attention à la phase puisqu après les modifications, rien ne dit que les sinusoïdes seront correctement en phase aux frontières des fenêtres. 21