ENONCE : Analyse d une échelle musicale (Niveau terminale S)

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1 ENONCE : Analyse d une échelle musicale (Niveau terminale S) Nous allons, dans cette activité, étudier l échelle musicale très courante dans la musique occidentale qualifiée de «gamme tempérée». Objectif de l activité : Etudier une échelle musicale produite par un piano. Matériel nécessaire : - Un dispositif d acquisition et d analyse de données EA 200 (connectable à une calculatrice graphique CASIO) - Une calculatrice CASIO Graph 35+ USB (ou Graph 75/95, Fx-CG20, Graph 100+ USB, ClassPad 330) - Un câble SB-62 pour le transfert de données avec la calculatrice - Un piano Connexion Calculatrice Description de l activité : On / Off 1) Connecter la calculatrice au module EA-200 (cordon SB 62 pour le transfert de données). G35 + EA -200 Microphone 2) a) Enregistrer les sons des notes Do 3, Ré 3 et Mi 3 (*) du piano (utilisation du microphone intégré) b) Générer à l aide du mode FFT le spectre de chaque note. c) Etudier le spectre de chaque note. 3) a) Enregistrer le Do 3 # et le spectre correspondant. b) Comparer les spectres du Do 3 et Do 3 #. c ) Si on note f i la fréquence fondamentale d un son A i, alors lorsque deux sons A i eta j vérifient : on dit que les sons ont une «consonance parfaite» Do Ré Mi Piano on dit que les sons ont une «consonance médiane» on dit que les sons ont une «consonance imparfaite» Conjecturer les consonances des notes Do Ré Mi et vérifier ce résultat par la théorie. (*) : Do 3, Ré 3 et Mi 3 correspondent au Do, Ré, Mi de la 3 e octave de la gamme tempérée. 1

2 Correction avec la Graph 35 + USB Nous allons proposer la correction avec le modèle de calculatrice Graph 35 + USB. Les démarches sont analogues pour les autres calculatrices graphiques disposant du module E-CON 2. A- Initialisation de la calculatrice pour enregistrer un son à l aide du microphone Sélectionner MENU puis se déplacer à l aide du bouton directionnel sur l icône E-CON 2 puis faire EXE ou alors taper ALPHA log (B). Taper F1 (Setup EA 200 ) pour définir le mode de fonctionnement puis F1 (WIZ) pour choisir le type de sonde CASIO ou VERNIER. Taper F1 pour une sonde CASIO. Ensuite à l aide du bouton directionnel se déplacer sur la ligne Microphone pour sélectionner le microphone intégré avec EXE. Puis sélectionner Sound wave EXE. Choisir la durée de l enregistrement entre 0.01 et 1 seconde par exemple : 0.5 EXE Puis confirmer par F1 (OK) Pour initialiser le Set up taper 1 Start Setup Puis faire EXE, la calculatrice se met alors en attente d un signal de départ de l acquisition des données. 2

3 B Exemple d acquisition de données des sons L exemple proposé dans ce paragraphe permet de répondre à la question 2) a). Après l initialisation de la calculatrice on peut commencer l acquisition des données en tapant EXE. Il faut jouer, en même temps, la note Do 3 au piano. Pour une durée d enregistrement de 0.5 seconde le système fait une acquisition toutes les 100 secondes soit acquisitions. Pour sauvegarder les résultats, faire EXIT puis sélectionner F2 (DATA) puis se déplacer sur la ligne cd : MIC et faire EXE. Saisir alors un nom de fichier, par exemple : DO Les touches qui s affichent sont les lettres en rouge situées au-dessus des touches. Valider avec EXE. Puis indiquer un numéro de mémoire, par exemple 3 et EXE car il y a déjà deux fichiers enregistrés. Pour afficher la courbe correspondante au Do 3 il suffit de sélectionner 3 : DO EXE F6 (DRAW) permet d afficher le graphique. Si on veut étudier le pic de départ on peut sélectionner SHIFT F1 (Trace) et se déplacer avec le bouton directionnel. On effectue les mêmes mesures pour les notes Ré 3 et Mi 3. 3

4 C Exemples d acquisition de données d un son et de son spectre Pour étudier le spectre d un son, le système d acquisition EA 200 utilise l algorithme de calcul de la transformée de Fourier discrète connu sous le nom de «transformée de Fourier rapide» ou FFT (de l anglais : Fast Fourier Transform). On va pouvoir ainsi répondre aux questions 2) b) et c) ainsi que 3) a) et b). Commencer l initialisation comme dans le paragraphe A mais pour saisir le son et le spectre correspondant on va choisir sound wave & FFT EXE. Choisir alors F Hz comme échelle de fréquence pour la FFT. Puis sélectionner 1 : Start Setup EXE Et confirmer : EXE Le système se met en attente pour commencer l acquisition des données : EXE et jouer la note Do 3 au piano en même temps. On obtient deux courbes, celle du haut représente le son et celle du bas le spectre des fréquences de ce son obtenu par l algorithme FFT. A l aide de SHIFT F1 (Trace) on peut lire sur la deuxième courbe un premier maximum situé à la fréquence fondamentale f Hz qui correspond environ à la fréquence du Do 3 du son produit par le piano et un deuxième maximum à 522 Hz qui correspond approximativement à la fréquence du Do 4 intermédiaire. Pour le Ré 3 on obtient une fréquence fondamentale de f Hz qui est proche de la fréquence théorique de Hz. Pour le Mi 3 on trouve une fréquence fondamentale de f Hz qui est proche de la fréquence théorique de Hz. Pour le Do 3 # on obtient une fréquence fondamentale de f Hz et on peut comparer les fréquences de Do 3 et Do 3 # / 4

5 D Analyse des spectres Dans le paragraphe C, on a obtenu les fréquences fondamentales suivantes : Do 3 : f Hz Ré 3 : f Hz Mi 3 : f Hz D où les calculs pour répondre à la question 3) c) : / On conjecture donc que Do 3 et Mi 3 ont une consonance presque «médiane». Théorie sur les harmoniques et le spectre d un son : / / La plupart des sons produits par des instruments de musique présentent un caractère périodique. Dans le cas particulier d un diapason le son est sinusoïdal et on parle d un son pur. Une note de piano n est pas un son pur mais complexe, composé d une somme de signaux périodiques appelés harmoniques dont les fréquences sont des multiples d une fréquence f appelée fondamentale. L ensemble formé par le fondamental et ses harmoniques constitue le spectre d un son. L analyse spectrale d un son indique l importance relative de chaque harmonique de ce son. Le spectre d un son peut donc prendre la forme d un diagramme en bâtons comme on a pu le voir dans le paragraphe C. En théorie, la hauteur d une note est donc déterminée par la fréquence fondamentale de cette note, les harmoniques étant des multiples de cette fréquence. Do 3 # Dans la gamme tempérée de la musique occidentale, la formule permettant de mesurer la fréquence d une note par rapport à une note départ, par exemple le Do 3 de fréquence fondamentale f 0 est donnée par la relation : Où n représente le nombre de demi-tons au-dessus de la note de départ. Do 3 Ré 3 Mi 3 Do 4 Ainsi f 12 est la fréquence harmonique qui correspond au double de la fréquence du fondamental de Do 3, c est à dire la fréquence de l octave Do 4. Avec cette notation on a bien la correspondance : - fréquence fondamentale ale Do 3 #: f 1 - fréquence fondamentale Ré 3 : f 2 et 2 / fréquence fondamentale Mi 3 : f 4 et et 2 / / /

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