Simulation simplifiée de la Cinétique de l antenne HUYGENS-PWA et Comparaison avec la modulation d amplitude du signal à 36 Hz

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1 Simulation simplifiée de la Cinétique de l antenne HUYGENS-PWA et Comparaison avec la modulation d amplitude du signal à 36 Hz 1 Note interne LPCE-CETP, Version # 3, C. Béghin & D. Lagoutte, Octobre 2007 On suppose que l attitude de la sonde Huygens pendant toute la descente a été dominée par une cinétique complexe résultant essentiellement d un mouvement pendulaire autour des suspentes de parachute, combiné à une rotation (spin) de la nacelle autour de l axe pendulaire (cf. Lebreton et al., 2005; Lorenz et al., 2007). Le but de la simulation est de déterminer la modulation d amplitude d un signal induit par une onde ELF au voisinage de 36 Hz, supposée polarisée circulairement, se propageant horizontalement (modes guidés TM et TE simultanés), et reçue par un dipôle électrique situé dans le plan horizontal de la nacelle. Compte tenu, d une part que la vitesse de spin a évolué très rapidement jusqu à t ~ 2500 s (Lorenz et al., 2007), et d autre part qu une analyse FFT des variations d amplitude du signal à 36 Hz nécessite le regroupement en paquets de 64 ou 128 échantillons, nous ne pouvons pas traiter toute la descente. En effet, les données ne sont pas transmises en TM avec un échantillonnage régulier, lequel, en outre n est pas le même selon le mode (Béghin & Lagoutte, 2007). La seule période qu il convient de modéliser correctement est dans le mode numéro 2, de t = 2464 s à 5106 s, que l on a découpée en 3 paquets de 128 points ( de 50 à 22 km, soit ~ 45 mn de temps réel). Chaque paquet représente 4 mn 14 s de données «semi cohérentes», constituées de 14 tranches cohérentes de 16 s chacune, répétées toutes les 64 s. Les trois paquets représentent donc 898 s (14 mn 58 s) de temps réel écoulé pendant laquelle la période de spin a évolué de 30 à 20 s (Lebreton at al., 2005 ; Lorenz et al., 2007). Par ailleurs la période de pendule est la moins bien connue puisque selon les différents modèles théoriques et les mesures issues de plusieurs sources, cette valeur pourrait être comprise entre 10 et 20 s si l on exclut d un pur balancement pendulaire les valeurs de 1 à 2 s données comme mouvement dominant (vibrations) mesuré par les accéléromètres de bord (Lorenz et al., 2007). Il semble que le mouvement pendulaire pseudopériodique le plus probable ait une période déterminée par la longueur ( ~ 3. 9 m) des brides entre la nacelle et l émerillon d interface avec les suspentes. Avec une gravité de l ordre de g = m s -2 à 40 km, avec T = 2π (L/g), on obtient T ~ 10 s. Comme cette valeur implique un plan inertiel avec un moment d inertie supérieur à celui de rotation, nous pouvons supposer en première approximation que ce plan ne tourne pas de manière significative pendant une période de spin ( ~ 25 s dans la région considérée). L angle instantané qui nous intéresse pour la modulation du signal ELF est α (t), entre l antenne (a) et le plan horizontal local (Fig. 1). Le moment où l antenne est horizontale (α = 0, et t = 0) et sa direction absolue (Y local), sont pris également comme référence pour l angle de spin φ (t) = 0. Dans l évaluation précédente (Béghin & Lagoutte, 2007), on a considéré uniquement la valeur maximum absolue de θ (Eq. 5) qui conduit au maximum de signal, sachant que pour n importe quelle autre valeur de θ on doit avoir un minimum de signal correspondant à α = 0 deux fois par période de spin. Ici, nous voulons décrire les variations temporelles d amplitude du signal dans le cadre d une cinétique pendulaire- rotation. La fonction de modulation M(t) par rapport à l angle α Fig. 1. Schéma de la cinétique spin-pendule.

2 s écrit : 2 M( t) = cos α( t) + E E TM TE ABS[sin α( t)] avec π α( t ) θmax << (1) 2 où θ Max est l amplitude maximum du mouvement pendulaire (Béghin & Lagoutte, 2007). A partir du schéma en Fig. 1, on obtient facilement la relation suivante sin 2πt 2πt α( t ) = sin θmax sin sin (2) T 1 T2 où T 1 et T 2 sont respectivement les périodes de spin et de pendule. A partir des Eq (1 et 2) on a généré plusieurs fichiers d au moins 128 échantillons de la fonction M(t), avec différentes valeurs de T 1 et T 2 comprises entre 8 et 32 s, avec une fréquence d échantillonnage de ½ Hz (idem à PWA). On a créé deux types différents de fichiers: soit continus (128 échantillons toutes les 2s), soit discontinus afin de mettre en évidence l effet stroboscopique lié au caractère particulier des échantillons PWA (9 échantillons continus, saut de 48 s, puis 9 échantillons continus, saut de 48 s, etc., jusqu à un total de 128), exactement comme dans le traitement des données expérimentales (Béghin & Lagoutte, 2007). Chacun de ces fichiers a été analysé avec le logiciel SWAN (Software for Waveform ANalysis) développé par le LPCE pour en obtenir les caractéristiques statistiques (fonction de distribution, filtrage, densité de puissance spectrale par FFT, etc.). La figure suivante montre un exemple de distribution obtenu avec ce modèle, comparé à la distribution des données expérimentales du 36 Hz «réduit» de 50 à 21 km. Fig. 2. Fonctions de distribution de l amplitude pour des fichiers de 384 échantillons ; à droite, pour le signal 36 Hz «réduit» (50-21 km), à gauche, pour une fonction théorique simulée ( T 1 variable de 22 à 26 s, T 2 variable de 8.5 à 10 s, E TM / E TE = 5, θ Max = 10 ). Les premiers pics de la distribution à gauche de la valeur moyenne traduisent dans les deux cas le fait que le signal ne peut jamais être inférieur à la valeur correspondante à la position horizontale de l antenne (pour la simulation), ou au seuil du signal 36 Hz «réduit» qui n a pas pu être dissocié de la composante à 36 Hz du bruit ELF large bande (Béghin & Lagoutte, 2007).

3 Dans un premier temps, pour chaque spectre FFT correspondant à un couple de valeurs théoriques de T 1, T 2, avec valeurs fixées de θ Max et du rapport E TM / E TE, on a sélectionné la fréquence normalisée de chacun des pics principaux (un entier défini par n = f / f, où f est la résolution fréquencielle de la FFT (~ Hz), c est-à-dire, 0.5 Hz (fréquence d échantillonnage) divisé par le nombre d échantillons (128), et la période T correspondante (1/n f). Un exemple est montré dans les figures suivantes. 3 n 2 = 60; T = 4.27 s ~ T 2 / 2 n 1 = 20; T = 12.8 s ~ T 1 / 2 n 2 - n 1 = 40 n 2 + n 1 = 47 (aliasing) Fig. 3. FFT 128 points de M(t), échantillonnage continu (spin T 1 = 25 s, pendule T 2 = 8.5 s, θ Max = 10, E TM / E TE = 5). Les deux pics principaux tombent exactement (à l erreur de quantification près) à T/2 de chaque période, les pics secondaires correspondent aux battements n 2 ± n 1, avec repliement de la raie n 2 + n 1 (aliasing) si elle dépasse la moitié de la fréquence d échantillonnage. n 2 = 58; T 2 = 4.4 s n 1 = 16; T 1 = 16 s n = 30; T = T 1 - T 1 ~ 9 s n 2 - n 1 = 42 n 2 + n 1 = 54 aliasing Fig. 4. Mêmes paramètres que Fig 3, mais échantillonnage discontinu conforme aux données PWA.

4 4 Les résultats de l analyse spectrale de cette simulation peuvent se résumer ainsi : - (a) Dans le cas d échantillonnage continu, comme prévu, on a toujours 2 pics principaux aux fréquences qui correspondent à T 1 /2 et T 2 /2. - (b) Lorsqu elles ne sont pas confondues avec l une ci-dessus, on a deux raies secondaires correspondant au battement 1/T 2 ± 1/T 1, avec un possible aliasing. - (c) Dans le cas d échantillonnage discontinu «type PWA», comme prévu, il y a un effet stroboscopique, qui se traduit par un shift des deux raies principales n 1 et n 2 (correspondant à T 1 et T 2 ), shift non aléatoire et qui peut être modélisé (voir cidessous). - (d) Les deux raies principales (T 1 et T 2 ) sont chacune toujours propres à leurs valeurs associées T 1 et T 2 respectivement, donc totalement indépendantes. - (e) Les raies secondaires d intermodulation (n 1 ± n 2 ) existent encore, mais elles sont déterminées à partir des nouveaux pics principaux. - (f) Une raie secondaire d intermodulation spécifique à l effet stroboscopique apparaît parfois à la fréquence correspondant à T 1 (spin) T 1, mais peut souvent se confondre avec l une des raies précédentes. La propriété (d) est extrêmement utile car elle va nous permettre de trouver les plus probables valeurs de spin et de pendule qui correspondent aux données du 36 Hz «réduit». Les deux figures suivantes montrent la distribution des raies principales, soit n 1 ou n 2 (échantillonnage continu), soit n 1 ou n 2, en fonction des périodes réelles T 1 et T 2 respectivement. 32 n 1 or n T 1 spin (s) Fig.5. Evolution en fonction de la période de spin T 1, de la raie principale (n 1 ) associée à T 1 /2 pour un échantillonnage continu (trait plein), et de la raie (n 1 ) associée à T 1 pour un échantillonnage discontinu,. Noter que cette loi est totalement indépendante des valeurs de la période pendulaire T 2.

5 5 n 2 or n Aliasing T 2 pendulum (s) Fig. 6. Evolution en fonction de la période de spin T 2, de la raie principale (n 2 ) associée à T 2 /2 pour un échantillonnage continu (trait plein), et de la raie (n 2 ) associée à T 2 pour un échantillonnage discontinu. Noter que cette loi est totalement indépendante des valeurs de la période de spin T 1. A partir des Fig 5 et 6 on peut vérifier que malgré l échantillonnage discontinu des données PWA, à condition de ne prendre en compte que les paquets cohérents de 9 échantillons consécutifs (dt = 16 s) qui se répètent toutes les 64 s, l effet stroboscopique peut être conjugué. Cependant, la détermination des périodes principales (spin et pendule) n est pas univoque : connaissant la position d un pic principal, il y a plusieurs valeurs possibles pour la périodicité réelle. Ceci est d autant plus important que la période est courte (Fig.6). En ce qui concerne le spin, pour 20 < T 1 < 30 s, la gamme maximum pour déterminer la bonne valeur de T 1 à partir du pic principal est telle que 12 < n 1 < 32 (Fig. 5).. On remarque en outre que toute valeur telle que n 1 < 12 ne peut en aucun cas correspondre à une période de spin plus longue que 32 s. Or, d après les valeurs de spin déduites de plusieurs instruments (Lorenz et al., 2007), dans la zone qui nous intéresse (50-21 km), la période de spin n a jamais dépassé 2 rpm (30 s). On ne dispose pas assez de points de mesure pour une étude statistique précise dans la zone sélectionnée, mais on peut néanmoins obtenir un spectre «moyen» sur les 384 points (Fig. 8), ce qui réduit le bruit aléatoire. D après le modèle cinétique (Fig. 5), si on observe un pic principal dans l intervalle 12 < n 1 < 18, ce pic doit correspondre à une période de spin 20 < T 1 < 30 s. Dans ce cas, on a la preuve sans ambiguïté que la modulation d amplitude du signal est bien liée à la rotation de l antenne dans un champ d onde polarisée. C est exactement ce que montre le spectre moyen (Fig. 8) obtenu par FFT de l amplitude du 36 Hz «réduit» entre 50 et 21 km (2464 et 5106 s mission time), avec une raie principale autour de n 1 = 16, soit une période moyenne de spin T 1 ~ 25 s.

6 6 FFT time scale Mission time (s) Altitude (km) Fig.7. Moments statistiques de l amplitude du «36 Hz» réduit pendant la période sélectionnée. Noter la variation de l amplitude moyenne au cours de la séquence, avec une pseudo période d environ 128 points (256 s). n = 16 (16 s) n = 1 (256 s) n = 8 (32 s) n = (~ 7.2s) n = (~ 5.25s) n = 63 (4.06 s) n Fig. 8. Moyenne de 5 spectres obtenus avec un recouvrement de 50% de intervallles de 128 points de mesure du 36Hz «réduit», pris dans le fichier global (384 points) couvrant la région km. Le pic principal (n 1 = 16) correspond sans ambiguïté à une période moyenne de spin de 25 s (d après la Fig.5). Parmi les pics secondaires, il est difficile de trouver la signature (n 2 ) du mouvement pendulaire, qui doit probablement être plus complexe que celui du modèle simplifié (mélange d harmoniques?).

7 7 Dans le spectre moyen tracé Fig.8, les raies n = 1 et 8 (256 et 32 s) sont dues aux conditions particulières de distribution temporelle des échantillons. En effet, les séquences de 128 points (soit 256 s) utilisées pour faire chacune des 5 FFT traduisent la variation de la composante moyenne des données tracée Fig. 7. D autre part, la répétition des manques de données cohérentes toutes les 64 s liée à la cadence discontinue des échantillons de télémesure induit le pic à 32 s qui est l harmonique 2 de la fréquence 1/64 Hz. En passant de 128 à 64 pour le nombre de points utilisés pour chaque FFT, ce phénomène disparaît, comme le montre le spectre suivant (Fig. 9) obtenu sur la première partie du fichier (192 points au total, 3 FFT sur 64 points, recouvrement 50%). (16 s) (5.33 s) (7.11 s) Fig. 9. Spectre moyen sur 3 séquences consécutives de 64 points (total 192 points, première partie du fichier de 384). On retrouve la raie principale (élargie) autour de 16 s de la Fig. 8, ainsi que les deux raies secondaires à ~ 7 et 5 s, attribuées probablement à la période pendulaire. Les raies artificielles d aliasing (n = 1 et 8) du spectre moyen global de la Fig. 8 ont disparu. Puisque le fichier global de 384 points concerne ~ 44 mn de données ( 2464 < t < 5106 s), la variation continue de la période du spin entre 3 et 2 rpm devrait apparaître avec une analyse spectrale dynamique. Les spectrogrammes dynamiques avec une résolution temporelle de 32 points (64 s), soit Hz (T = 64 s), sont tracés ci-après, Fig. 10 pour des données simulées (3 séquences consécutives de 128 points avec T 1 spin = 24, 25 et 26 s, T 2 pendule = 15, 8.5 et 10 s), et Fig. 11 pour les données expérimentales de 36 Hz «réduit».

8 8 n (Equivalent 128 pts) Fig. 10. Spectrogramme pour données simulées (T 1 spin: 24, 25 et 26 s, T 2 pendule: 15, 8.5 et 10 s). Les courbes blanches en trait discontinu marquent les positions des pics principaux n 1 et n 2 prévues par le modèle en Fig. 5 et 6 pour les valeurs correspondantes des périodes de spin (en bas) et de pendule (en haut). n (Equivalent 128 pts) Fig. 11. Même chose que Fig. 10, pour le fichier de données expérimentale (50-21 km). Sur les spectrogrammes ci-dessus, on peut vérifier que l évolution temporelle des périodes de spin et de pendule est parfaitement visible. A partir des Fig. 11 et 5, la période de spin, déduite de la courbe en trait discontinu, évoluerait de 28 à 22 s en passant par 25 s, en supposant que sa valeur décroît continûment du début à la fin de la zone sélectionnée. Compte tenu des limites de résolution de notre analyse, ces valeurs correspondent exactement à celles données par Lorenz et al à cet endroit (décroissant de ~ 3 à ~ 2 rpm).

9 Le même exercice pour déterminer la période pendulaire est beaucoup plus difficile à cause d un effet stroboscopique plus important pour des courtes périodes (Fig. 6). Néanmoins, vue la distribution des pics principaux d indice supérieur, telle que 44 < n 2 < 60 (courbe blanche, haut de Fig. 11), on peut en déduire la période pendulaire la plus probable à cet endroit, soit 8.5 < T 2 < 10 s, ce qui est conforme à certains modèles théoriques (Lorenz et al. 2007), mais nous n avons pour le moment aucun moyen fiable de confirmer cette valeur par des mesures indépendantes. Conclusion La simulation ci-dessus et la comparaison avec les valeurs expérimentales de l amplitude dynamique du «36 Hz» à haute résolution temporelle, montrent sans ambiguïté que malgré les difficultés liées à l échantillonnage discontinu des données, le phénomène qui a été capté par l antenne électrique de PWA sur la sonde Huygens est parfaitement cohérent avec l incidence sur l antenne d une onde EM, avec probablement deux composantes électriques (horizontale et verticale), et ceci pendant pratiquement toute la descente. Une autre alternative qui pourrait être envisagée serait une vibration quasi-continue des bras, à une fréquence très proche de 36 Hz, dans un champ électrique DC. Cependant, pour rendre compte d une modulation à la moitié de la période de spin, ce scénario doit remplir les conditions nécessaires suivantes : le champ DC doit obligatoirement avoir une composante horizontale, la vibration des bras à 36 Hz doit aussi avoir une composante horizontale dans le système de référence Huygens, et son amplitude doit répondre à la relation Δx E h ~ 5 mv (amplitude moyenne observé pour la raie à 36 Hz sur l antenne pendant les 20 minutes où le phénomène est le plus intense). Par ailleurs, la sonde à relaxation a permis accessoirement de mesurer un éventuel champ électrique DC avec une résolution temporelle d environ ~ 2 s, en plusieurs séquences d une minute chacune et une résolution de 100 mv. Comme le diamètre hors tout décrit par la sonde RX est de l ordre de 2m, le seuil de détection d une composante électrique DC modulée par le spin est donc de l ordre de 50 mv/m. Aucune modulation due au spin n est visible dépassant ce seuil. Et d après la condition ci-dessus pour l amplitude de vibration, il s en suit que toute valeur de E h < 50 mv/m aurait nécessité une amplitude de vibration supérieure à 10 cm à la fréquence de 36 Hz (explosion des antennes!). Cette hypothèse est donc à rejeter et il ne reste plus que le scénario d une onde EM. Références Béghin, C., et D. Lagoutte, Réduction des données brutes 36 Hz et bande ELF en fonction de l altitude et d autres paramètres, Note interne, Octobre Lebreton, J.P., et al., An overview of the descent and landing of the Huygens probe on Titan, Nature, 438/8, doi: /nature Lorenz, R. D., et al., Descent motions of the Huygens probe as measured by the Surface Science Package (SSP) : Turbulent evidence for a cloud layer, in press, doi : /j.pss

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