Quelques résultats sur un système modélisant la chromatographie en phase gazeuse avec effet de sorption

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Quelques résultats sur un système modélisant la chromatographie en phase gazeuse avec effet de sorption"

Transcription

1 Quelques résultats sur un système modélisant la chromatographie en phase gazeuse avec effet de sorption Christian Bourdarias, Marguerite Gisclon, Stéphane Junca Université de Savoie et Université de Nice 25 Octobre 2011 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

2 Sommaire 1 Introduction et objectifs 2 Quelques modèles Modèle de Rouchon-Valentin Chromatographie avec cinétique d échange finie L effet de sorption 3 Chromatographie avec effet de sorption pour deux espèces Hyperbolicité, invariants de Riemann Entropies Existence d une solution entropique 4 Problème de Riemann Raréfactions Chocs Discontinuités de contact 5 Stabilité - Bow up 6 Travaux en cours - Perspectives - Bibliographie (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

3 Sommaire 1 Introduction et objectifs 2 Quelques modèles Modèle de Rouchon-Valentin Chromatographie avec cinétique d échange finie L effet de sorption 3 Chromatographie avec effet de sorption pour deux espèces Hyperbolicité, invariants de Riemann Entropies Existence d une solution entropique 4 Problème de Riemann Raréfactions Chocs Discontinuités de contact 5 Stabilité - Bow up 6 Travaux en cours - Perspectives - Bibliographie (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

4 De quoi s agit-il? Chromatographie gaz-solide : une technique d analyse des mélanges gazeux Le mélange à analyser est vaporisé à l entrée d une colonne, qui renferme une substance active solide appelée phase stationnaire, puis il est transporté à travers celle-ci à l aide d un gaz porteur. Les différentes molécules du mélange vont se séparer et sortir de la colonne les unes après les autres après un certain laps de temps qui est fonction de l affinité de la phase stationnaire avec ces molécules. Applications : chimie, pharmacie, parfumerie, distillation, pétrole (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

5 Inconnus Durant le processus d espèces existent simultanément sous 2 phases une gazeuse de concentration c i et mobile de vitesse u une solide (adsorbée) de concentration q i column at time t outlet inlet concentrations in C (t,x) u(x,t) C (t) i i bed out q (t,x) C (t) i i u (t) > 0 if 0 u (t,1) < 0 0 x 1 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

6 Sommaire 1 Introduction et objectifs 2 Quelques modèles Modèle de Rouchon-Valentin Chromatographie avec cinétique d échange finie L effet de sorption 3 Chromatographie avec effet de sorption pour deux espèces Hyperbolicité, invariants de Riemann Entropies Existence d une solution entropique 4 Problème de Riemann Raréfactions Chocs Discontinuités de contact 5 Stabilité - Bow up 6 Travaux en cours - Perspectives - Bibliographie (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

7 Modèles en chromatographie Hypothèses (modèle de Rouchon-Valentin) La température est constante au cours du processus La colonne est radialement homogène : modèle 1D La pression ne dépend que de la variable spatiale x Le gaz porteur est inerte (q i = 0) JMAA 2006 Les échanges entre les phases mobiles et stationnaires sont infiniment rapides : équilibre instantané (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

8 Equations de conservation de la masse : t (c i + q i ) + x (u c i ) = 0, 1 i d Les q i et les c i ne sont pas indépendants : q i = q i (c 1,, c d ) Isotherme q i = considérations thermodynamiques, mesures... Les inconnues sont donc la vitesse u les concentrations en phase gazeuse c i (en moles/m 3 ) u???... à suivre... (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

9 Exemples d isothermes Isotherme linéaire : q i = K i c i, avec K i 0 Isotherme de Langmuir : q i = Q i K i c i, avec K i 0, Q i > 0 d 1 + K j c j j=1 BET Isotherme : pour un seul gaz actif et un gaz inerte porteur q i = Q K c 1 (1 + K c 1 (c 1 /c s ))(1 (c 1 /c s )), Q > 0, K > 0, c s > 0 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

10 Chromatographie avec cinétique d échange finie On prend en compte le temps de mise à l équilibre : le passage d une phase à l autre n est pas instantané... t c i + x (u c i ) = A i (q i q i (c 1,, c d )), i = 1,..., d, t q i = A i (q i q i (c 1,, c d )), t 0, x (0, 1) Le second membre quantifie une force de rappel vers l équilibre q i = q i On retrouve en sommant la conservation de la masse : t (c i + q i ) + x (u c i ) = 0 Formellement, quand A i, on retrouve q i = q i : chromatographie avec équilibre instantané (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

11 Chromatographie avec cinétique d échange finie F. James a étudié la relaxation du système t c ε + x (u c ε ) = 1 ε (q ε k(c ε )), t q ε = 1 ε (q ε k(c ε )), avec la vitesse u constante Ici, A i = 1/ε et c ε = (c 1ε,, c dε ) Avec un argument de compacité par compensation il a montré que la solution converge quand ε 0 vers celle du système à cinétique instantanée, satisfaisant un ensemble d inégalités d entropie (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

12 Prise en compte de l effet de sorption En chromatographie gaz-solide, il n est pas raisonnable de supposer la vitesse u constante qui dépend de la composition du mélange, qui dépend elle-même des transferts de masses entre phases concentration totale : ρ = d i=1 c i D. Tondeur et al. : comportement isobare i.e. ρ = ρ(t) A chaque instant : même pression dans toute la colonne d c i = ρ(t) i=1 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

13 Quelques résultats Dans la version cinétique finie on obtient le système : t c i + x (u c i ) = A i (q i q i ), i = 1,, d (1) t q i = A i (q i q i ), t 0, x (0, 1) (2) d c i = ρ(t) (3) i=1 t ρ + ρ x u = d A i (q i q i (c 1,, c d )) i=1 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

14 Cadre BV (SEMA 2008) Théorème d existence et d unicité : cadre BV On suppose les données initiales à l équilibre et à variation bornée sur (0, 1), les données entrantes, les isothermes et la densité totale lipschitziens. Alors le problème (1)-(2)-(3) a unique solution telle que c i 0, q i 0 et pour tout T > 0 : c i, q i L t,x L t (BV x ), x u L t,x L 1 t (BV x ) sur [0, 1] [0, T ] Méthode : argument de point fixe sur la vitesse u dans un espace approprié (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

15 Cadre L (SEMA 2008) Théorème d existence : cadre L On suppose les données à l équilibre, les données initiales dans L, les données entrantes et les isothermes lipschitziens et ρ W 2, (0, T ). Alors pour tout T > 0 le problème (1)-(2)-(3) a au moins une solution telle que c i, q i L t,x, u L t (W 1, x ) sur [0, 1] [0, T ] Méthode : argument de compacité s appuyant sur des résultats de régularisation par convolution dus à R.-J. DiPerna et P.-L. Lions (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

16 Sommaire 1 Introduction et objectifs 2 Quelques modèles Modèle de Rouchon-Valentin Chromatographie avec cinétique d échange finie L effet de sorption 3 Chromatographie avec effet de sorption pour deux espèces Hyperbolicité, invariants de Riemann Entropies Existence d une solution entropique 4 Problème de Riemann Raréfactions Chocs Discontinuités de contact 5 Stabilité - Bow up 6 Travaux en cours - Perspectives - Bibliographie (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

17 Retour vers une cinétique instantanée Rappelons que quand A i (équilibre instantané), on obtient formellement, comme dans le modèle étudié par F. James : et le système précédent s écrit : q i q i = 1 A i t q i 0 t (c i + q i (c 1,, c d )) + x (u c i ) = 0, 1 i d, d c i = ρ(t) Ce système généralise celui de la chromatographie car il prend en compte l effet de sorption (variation de vitesse liée au processus). i=1 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

18 Réécriture du système On se concentre sur le cas de deux composants avec ρ 1 t (c 1 + q 1 (c 1, c 2 )) + x (u c 1 ) = 0 (4) t (c 2 + q 2 (c 1, c 2 )) + x (u c 2 ) = 0 (5) c 1 + c 2 = 1 (6) On pose c = c 1 et q i (c) = q i (c, 1 c), i = 1, 2 (4) + (5) donne alors, avec (6) : t (q 1 (c) + q 2 (c)) + x u = 0 Propriétés classiques des isothermes q 1 (c) 0, q 2 (c) 0 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

19 Réécriture du système Finalement, le système s écrit { t (c + q 1 (c)) + x (u c) = 0 t h(c) + x u = 0 avec h(c) = q 1 (c) + q 2 (c) complété par des données initiales et entrantes : c(0, x) = c 0 (x) [0, 1], x > 0 c(t, 0) = c b (t) [0, 1], t > 0 u(t, 0) = u b (t) > 0, t > 0 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

20 Rouchon L analyse est faite en inversant les rôles des variables x et t (mais on ne les renomme pas...) { x (u c) + t (c + q 1 (c)) = 0 x u + t h(c) = 0 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

21 Hyperbolicité (CMS 2007) Valeurs propres 0 et λ = H(c) u avec H(c) = 1 + (1 c) q 1 c q 2 1 Le système est strictement hyperbolique (pour u > 0). De plus : dλ r = H(c) u 2 avec r vecteur propre associé à λ et f (c) f(c) = q 1 (c) c h(c)= (1 c) q 1 (c) c q 2 (c) λ est vraiment non linéaire là où f 0 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

22 Remarques sur la convexité des isothermes Isotherme de Langmuir : f a un signe constant BET Isotherme : on suppose le composé 2 inerte, i.e. q 2 (c) = 0 Alors f(c) = (1 c) q 1 (c) n est ni concave ni convexe A part certains cas importants : Langmuir, ammoniaque, vapeur d eau, les isothermes sont généralement non convexes Interprétation : à chaque point d inflexion le composé adsorbé couvre le substrat et une nouvelle couche commence à se fixer (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

23 Invariants de Riemann (CMS 2007) Pour les solutions régulières on obtient : x (u G(c)) + 0. t (u G(c)) = 0 avec G(c) = exp(g(c)), g (c) = h (c) H(c) et x c + H(c) u tc = 0 Le système admet donc les invariants de Riemann : c et W = u G(c) = u e g(c) (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

24 Entropies (CMS 2007) Les entropies sont données par : S(c, u) = φ(w ) + u ψ(c) où φ et ψ sont des fonctions régulières et W = u G(c) Les flux d entropie correspondants satisfont Q (c) = h (c) ψ(c) + H(c) ψ (c) (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

25 Entropies convexes? Pour toute fonction régulière convexe ψ, S = u ψ(c) est convexe (mais non strictement convexe!) Il existe des entropies strictement convexes de la forme S = φ(w ) si et seulement si G ne s annule pas sur [0, 1] En particulier S α (c, u) = u α G α (c) est une entropie strictement convexe si (α > 1 et G > 0) ou (α < 1 et G < 0) En fait : si G change de signe, il n y a pas d entropie régulière strictement convexe (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

26 Solutions faibles entropiques Définition Soient T > 0, X > 0, u L ((0, T ) (0, X)) et 0 c(t, x) 1 p.p. dans (0, T ) (0, X) Alors (c, u) est une solution faible entropique si ψ convexe x (u ψ(c)) + t Q(c) 0 au sens des distributions avec Q = Hψ + h ψ De plus, si G garde un signe constant sur [0, 1], (c, u) doit satisfaire ± x (u G(c)) 0, si ± G 0 sur [0, 1] (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

27 Existence de solution faible entropique (CMS 2007) Soient X > 0, T > 0. On suppose : c 0 BV (0, X), c b BV (0, T ), u b L (0, T ) 0 c 0, c b 1 et inf 0<t<T u b(t) > 0 Alors il existe une solution faible entropique (c, u) telle que : 0 min(inf c b, inf c 0 ) c max(sup c b, sup c 0 ) 1 inf u > 0 c L ((0, T ); BV (0, X)) L ((0, X); BV (0, T )) c Lip(0, T ; L 1 (0, X)) Lip(0, X ; L 1 (0, T )) ln(u) L ((0, T ); BV (0, X)) (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

28 Unicité Existence : schéma de Godunov L unicité est obtenue dans le cas d un gaz actif et d un gaz inerte porteur dans une classe des fonctions régulières par morceaux mais avec quelques hypothèses peu physiques sur les isothermes (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

29 Système de Temple? En général, le système n est pas dans la classe de Temple... Supposons f > 0. Le système est de Temple si et seulement si x W = 0 pour toute solution entropique ( W = ug(c) ) Exemples : si G = 0 alors le système est de Temple si q 1 = 0 (gaz 1 inerte), le système est de Temple ssi q 2 = 0 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

30 Sommaire 1 Introduction et objectifs 2 Quelques modèles Modèle de Rouchon-Valentin Chromatographie avec cinétique d échange finie L effet de sorption 3 Chromatographie avec effet de sorption pour deux espèces Hyperbolicité, invariants de Riemann Entropies Existence d une solution entropique 4 Problème de Riemann Raréfactions Chocs Discontinuités de contact 5 Stabilité - Bow up 6 Travaux en cours - Perspectives - Bibliographie (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

31 Problème de Riemann (JMAA 2006) On le pose sous la forme suivante x u + t h(c) = 0, x > 0, t > 0 x (uc) + t (c + q 1 (c)) = 0, x > 0, t > 0 c(0, x) = c [0, 1] c(t, 0) = c + [0, 1] u(t, 0) = u + > 0 et on cherche une solution faible autosimilaire c(t, x) = C(z), u(t, x) = U(z) avec z = t x > 0 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

32 Raréfactions Supposons 0 a < c < c + < b 1 et f > 0 dans ]a, b[. Alors la seule solution régulière autosimilaire est telle que : C(z) = c si 0 < z < z et C(z) = c + si z + < z, dc dz = H(C) z f (C) si z < z < z + où z + = H(c+ ) u +, z = z + e Φ(c+) avec Φ(c) = De plus u = H(c ) et U est donné par z c c f (ξ) H(ξ) dξ U(z) = u si 0 < z < z et U(z) = u + si z + < z, U(z) = H(C(z)) z si z < z < z + (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

33 Chocs Si un choc connectant deux états U et U + tels que c c + satisfait la condition d admissibilité de Liu c.a.d pour tout c entre c et c +, f (c + ) f (c ) c + c f (c) f (c ) c c alors le problème de Riemann admet une solution sous forme d un choc défini par : C(z) = { c si 0 < z < s c + si s < z U(z) = { u si 0 < z < s u + si s < z où u et la vitesse s du choc sont données par [f ] u [c] h u = σ = [f ] u + [c] h+ u + (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

34 Discontinuités de contact Deux états U et U + sont connectés par une discontinuité de contact si et seulement si : c = c + avec bien sûr u u + ou bien c c + et f affine entre c and c + (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

35 Résolution du problème de Riemann (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

36 Une estimation clef Estimation BV pour ln(u) à travers une λ-onde Soit c, c +, u + les données du problème de Riemann et U la solution correspondante, U = (u, c ) t et U + = (u +, c + ) t. On suppose que U + est connecté à un état intermédiaire U 0 par une λ-onde composite pour z 0 < z < z + et que U 0 est connecté à U par une 0-discontinuité de contact (c 0 = c ). Alors il existe une constante γ dépendant seulement des fonctions q 1, q 2 et de leurs dérivées telle que : TV [ln(u(z)), (z 0, z + )] γ c + c 0. (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

37 Approche 1 : schéma de Godunov Condition de type (CFL) : sup u = max(u, u + ) < x [0, t[ [0, x[ t (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

38 Sommaire 1 Introduction et objectifs 2 Quelques modèles Modèle de Rouchon-Valentin Chromatographie avec cinétique d échange finie L effet de sorption 3 Chromatographie avec effet de sorption pour deux espèces Hyperbolicité, invariants de Riemann Entropies Existence d une solution entropique 4 Problème de Riemann Raréfactions Chocs Discontinuités de contact 5 Stabilité - Bow up 6 Travaux en cours - Perspectives - Bibliographie (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

39 Approche 2 : Front Tracking Algorithm (MAA 2010) Cet algorithme (noté FTA) permet de montrer l existence d une solution entropique, avec une analyse plus fine de la régularité de la vitesse... Structure BV L de la vitesse Stabilité par rapport aux limites faibles en vitesses Approche limitée à f > 0 (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

40 Structure de la vitesse Dans la suite, (u, c) est une solution entropique construite à partir du FTA, avec des données c 0, c b à variation bornée On s intéresse à la régularité de la vitesse u : si ln u b BV (0, T ), alors c BV ((0, T ) (0, X)) et u L ((0, T ), BV (0, X)) L ((0, X), BV (0, T )) si ln u b L (0, T ), alors u peut s écrire u(t, x) = u b (t) v(t, x) avec ln v L ((0, X), BV (0, T )) L ((0, T ), BV (0, X)) (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

41 Un résultat de stabilité On se donne : des concentrations c 0 (initiale) et c b (entrante) à variation bornée une famille (ub ε) 0<ε<1 de vitesses entrantes avec ln(ub ε ) bornée et u ε b u b in L (0, T ) weak * (c ε, u ε ) une solution entropique sur (0, T ) (0, X) obtenue par le FTA, associée aux données ci-dessus (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

42 Un résultat de stabilité Alors, à extraction près d une sous suite : c ε (t, x) c(t, x) dans L 1 ([0, T ] [0, X]) u ε (t, x) u(t, x) dans L ([0, T ] [0, X]) faible * u ε (t, x) = ub ε(t) v(t, x) + o(1) dans L1 ([0, T ] [0, X]) u(t, x) avec v(t, x) = et (u(t, x), c(t, x)) solution entropique associée u b (t) aux données c 0 (x), c b (t) et u b (t) (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

43 Blow-up (JHDE 2010) Sous les hypothèses G < 0 ( x W 0 : W est une entropie convexe) h 0 (un gaz est plus actif que l autre) f 0 (λ est vraiment non linéaire) le système n est pas de Temple T > 0, X > 0, u, u L (0,T ) (0,X)= + pour des données initiales arbitrairement petites : la vitesse explose à la frontière {t = 0} quand x X, λ = H(c) u 0, c reste bornée (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

44 Sommaire 1 Introduction et objectifs 2 Quelques modèles Modèle de Rouchon-Valentin Chromatographie avec cinétique d échange finie L effet de sorption 3 Chromatographie avec effet de sorption pour deux espèces Hyperbolicité, invariants de Riemann Entropies Existence d une solution entropique 4 Problème de Riemann Raréfactions Chocs Discontinuités de contact 5 Stabilité - Bow up 6 Travaux en cours - Perspectives - Bibliographie (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

45 Modèle cinétique Si (u, c) est une solution faible entropique, alors il existe une mesure positive m(t, x, ξ) telle que : x (uχ(c,.)) + (H(ξ) a(ξ)) t χ(c,.) + t (h(c)χ(c,.)) = ξ m { 1 si 0 < ξ < c où χ(c, ξ) = 0 sinon Inversement, s il existe u positive telle que ln u L, f (t, x, ξ) L 1 ξ telle que 0 f 1 et une mesure positive m telle que x (u f (t, x, ξ)) + a(ξ) t f (t, x, ξ) + t (h(c) f (t, x, ξ)) = ξ m alors (u, c) est une solution entropique avec c(t, x) = Relaxation Modèle non isotherme 1 0 f (t, x, ξ) dξ (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

46 C. Bourdarias, M. Gisclon et S. Junca Some mathematical results on a system of transport equations with an algebraic constraint describing fixed-bed adsorption of gases. J. Math. Anal. Appl., 2006 Existence of Weak Entropy Solutions for Gas Chromatography system with one or two active species and non Convex Isotherms. Commun. Math. Sci., 2007 Hyperbolic models in gas-solid chromatography. Bol. Esp. Mat. Apl., 2008 Strong Stability with respect to weak limit for a Hyperbolic System arising from Gas Chromatography. Methods Appl. Anal., 2010 Blow up at the hyperbolic boundary for a 2 2 system arising from chemical engineering. J. Hyperbolic Differ. Equ., 2010 A kinetic scheme for a hyperbolic system arising in gas chromatography BV s spaces and applications to scalar conservation laws. (Université de Savoie) 25 Octobre / 46

c(t, 0) = c b (t) [0, 1], t > 0 u(t, 0) = u b (t) > 0, t > 0,

c(t, 0) = c b (t) [0, 1], t > 0 u(t, 0) = u b (t) > 0, t > 0, Quelques résultats mathématiques sur un système hyperbolique modélisant la chromatographie en phase gazeuse avec prise en compte de l effet de sorption 1 Introduction Christian BOURDARIAS, LAMA, Université

Plus en détail

Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique

Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique J. Bodin 12, T. Clopeau 2, A. Mikelić 2 1 Agence Nationale pour la gestion

Plus en détail

Courant électrique et distributions de courants

Courant électrique et distributions de courants Cours d électromagnétisme Courant électrique et distributions de courants 1 Courant électrique 1.1 Définition du courant électrique On appelle courant électrique tout mouvement d ensemble des particules

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Sections : L1 Santé - 1 Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr Chapitre 1 : Equations aux dimensions 1. Equation aux dimensions a) Dimension

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

- cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de

- cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de Notion de courant de particule ; conservation du courant = expression du courant de particules chargées ; charges; j = q k k - cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de v k

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 Motivation et objectif du cours

Plus en détail

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire Chapitre VII Forces électromagnétiques VII.a. Force de Lorentz La force à laquelle est soumis, à un instant t, un point matériel de charge q, situé en M et se déplaçant à une vitesse v(t) par rapport à

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables

Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables Lois universelles de la physique des milieux continus conservation de la masse bilan de quantité de mouvement bilan de moment cinétique

Plus en détail

Transition de phase et métastabilité

Transition de phase et métastabilité Transition de phase et métastabilité F. James, H. Mathis Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes 8-9 septembre 2014 MODTERCOM Hélène Mathis (LMJL, Université de Nantes) Transition

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA

Travaux dirigés. Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires. Département MIDO année 2013/2014 Master MMDMA Université Paris-Dauphine Méthodes numériques Département MIDO année 03/04 Master MMDMA Travaux dirigés Résolution numérique des équations diérentielles ordinaires Exercice. Pour α > 0, on considère le

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

Chimie Physique Appliquée Examen de Janvier 2013

Chimie Physique Appliquée Examen de Janvier 2013 Chimie Physique Appliquée Examen de Janvier 2013 1 Dégradation du PVC À haute température, le PVC se dégrade suivant la réaction suivante (CHCl CH 2 ) (CH = CH) + HCl (1) Cette réaction est irréversible.

Plus en détail

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010

Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010 27 octobre 2010 Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique

Plus en détail

COURS DE THERMODYNAMIQUE

COURS DE THERMODYNAMIQUE 1 I.U.. de Saint-Omer Dunkerque Département Génie hermique et énergie COURS DE HERMODYNAMIQUE 4 e semestre Olivier ERRO 2009-2010 able des matières 1 Mathématiques pour la thermodynamique 4 1.1 Dérivées

Plus en détail

TD Thermodynamique. Diffusion de particules

TD Thermodynamique. Diffusion de particules TPC2 TD Thermodynamique Diffusion de particules Exercice n o 1 : Diffusion du CO 2 On observe la diffusion du CO 2 dans l air, en régime stationnaire, à l intérieur d un tube de longueur L = 0, 25 m et

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens.

Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. . Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. Benoîte de Saporta Université de Nantes Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 1/37 Plan de l exposé 1.

Plus en détail

Diagramme de phases binaire liquide-solide

Diagramme de phases binaire liquide-solide hivebench francoise PROTOCOL ENSCM_S5_INORG Diagramme de phases binaire liquide-solide https://www.hivebench.com/protocols/6885 Created by francoise (user #1271) the Tue 30 June 2015 1. Introduction Diagramme

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS

CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS CORRECTION BACCALAUREAT BLANC N 1 - Séries ES et L EXERCICE 1 (4 points) COMMUN A TOUS LES CANDIDATS Extrait Bac. ES - 2008 1) Une baisse de 25 % est compensée par une hausse, arrondie à l unité, de :

Plus en détail

INTRODUCTION : EDP ET FINANCE.

INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. INTRODUCTION : EDP ET FINANCE. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) EDP et finance. 1 / 16 PLAN DU COURS 1 MODÈLE ET ÉQUATION DE BLACK SCHOLES 2 QUELQUES EXTENSIONS A. Popier

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Concours Centrale-Supélec 2005 7/12

Concours Centrale-Supélec 2005 7/12 Problème - type centrale Partie - Couplage des phénomènes de conduction thermique et électrique en régime linéaire. Étude d un réfrigérateur à effet Peltier Le but de cette partie est de montrer que, dans

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

EXERGIE ET EFFICACITÉ ÉNERGÉTIQUE EXEMPLE DE COGÉNÉRATION

EXERGIE ET EFFICACITÉ ÉNERGÉTIQUE EXEMPLE DE COGÉNÉRATION EXERGIE ET EFFICACITÉ ÉNERGÉTIQUE EXEMPLE DE COGÉNÉRATION DÉFINITIONS L exergie d un système dans des conditions (T, S, U ) données correspond au travail utile maximal que ce système pourrait fournir en

Plus en détail

Hydraulique des terrains

Hydraulique des terrains Hydraulique des terrains Séance 3 : Hypothèses de l écoulement en conduite Guilhem MOLLON GEO3 2012-2013 Plan de la séance A. Cinématique d écoulement -Lignes caractéristiques -Vitesses et débits B. Hypothèse

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Chapitre 4 : Etude Energétique

Chapitre 4 : Etude Energétique Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 4 : Energétique SMPC1 Chapitre 4 : Etude Energétique I Travail et Puissance d une force I.1)- Puissance d une force Soit un point matériel M de vitesse!!/!,

Plus en détail

Electrocinétique et magnétostatique

Electrocinétique et magnétostatique Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant

Plus en détail

Le calorimètre de Junkers et la mesure de la masse moléculaire par effusiométrie

Le calorimètre de Junkers et la mesure de la masse moléculaire par effusiométrie Manipulation 1 Le calorimètre de Junkers et la mesure de la masse moléculaire par effusiométrie Consignes de sécurité Soyez prudent en utilisant le gaz naturel. Dans le cas d une odeur de gaz, fermez la

Plus en détail

Majeure d informatique

Majeure d informatique Nicolas Sendrier Majeure d informatique Introduction la théorie de l information Cours n 1 Une mesure de l information Espace probabilisé discret L alphabet est X (fini en pratique) Variable aléatoire

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1 Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté.

Plus en détail

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE

ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE ORDRE DE RÉACTION : MÉTHODES DE RÉSOLUTION Table des matières 1 Méthodes expérimentales 2 1.1 Position du problème..................................... 2 1.2 Dégénérescence de l ordre...................................

Plus en détail

Equations Différentielles

Equations Différentielles Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 1 Equations Différentielles I- Définitions élémentaires. On appelle Equation Différentielle Ordinaire (EDO) toute équation (E) du type (E) : y (n) (t) = F (t; y(t);

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison

Plus en détail

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe Phase I 1 Introduction Algorithme du simplexe : Soit x 0 une solution de base admissible Comment déterminer x 0? Comment déterminer

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

Les calculatrices sont interdites.

Les calculatrices sont interdites. Les calculatrices sont interdites. NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui

Plus en détail

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R.

f continue en x 0 lim Remarque On dit que f est continue sur un intervalle a; bœ si f est continue en tout point x 0 de a; bœ. sont continues sur R. CHAPITRE I Fonctions d une variable réelle. Limites Soit f une fonction définie sur R : et soit R. f W R! R 7! f./ Définition. Limite finie en un point) On dit que f admet ` pour ite lorsque tend vers

Plus en détail

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Finance, Navier-Stokes, et la calibration

Finance, Navier-Stokes, et la calibration Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Avril 2013 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Un schéma Volumes finis MUSCL pour les équations d Euler compressibles en axisymétrique

Un schéma Volumes finis MUSCL pour les équations d Euler compressibles en axisymétrique Un schéma Volumes finis MUSCL pour les équations d Euler compressibles en axisymétrique Rachid Touzani, David Rochette Université Blaise Pascal, Clermont Ferrand, France Stéphane Clain Université de Toulouse,

Plus en détail

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz 1 - INTERPOLATION J-P. Croisille Université Paul Verlaine-Metz Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009 1- INTRODUCTION Théorie de l interpolation: approximation de f(x) par une fonction

Plus en détail

Contents. Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5

Contents. Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5 Contents Systèmes d'équations non linéaires 2 1. Dichotomie 2 2. Point xe 3 3. Méthodes de Newton et et de la sécante 5 1 Systèmes d'équations non linéaires On considère un intervalle I R (borné ou non)

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Examen du cours de Mesures de risque en finance

Examen du cours de Mesures de risque en finance Examen du cours de Mesures de risque en finance Mercredi 15 Décembre 21 (9h-11h) Seul document autorisé: une feuille A4 manuscrite recto-verso. Important : rédiger sur une même copie les exercices 1 et

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail