TP 6: Effet Doppler - Correction

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1 TP 6: Effet Doppler - Corretion Objetifs : Mettre en œuvre une démarhe expérimentale pour mesurer une vitesse en utilisant l'effet Doppler Exploiter l'expression du déalage Doppler de la fréquene dans le as de faibles vitesses Utiliser des données spetrales et un logiiel pour illustrer l'effet Doppler en astrophysique I ) Mise en évidene de l'effet Doppler Il est ourant de onstater une variation du son lorsqu'une soure sonore se rapprohe ou s'éloigne d'un observateur Cette effet est appelé effet Doppler déourt par Christian Doppler en 184 Ce phénomène affete tous les phénomènes ondulatoires : ondes sonores, lumineuses, ondes à la surfae de l'eau 1 ) Regarder et éouter la vidéo diffusée Dérire préisément e que vous entendez Nous entendons que le son de la voiture est plus aigu quand elle se rapprohe alors que quand elle s'éloigne il est plus gra Voii le lien pour voir la vidéo La variation de fréquene due à l'effet Doppler est donnée par les relations i-dessous : fr fe + si la soure d'onde s'éloigne - si la soure d'onde se rapprohe 1± Remarque : est la élérité des ondes et la vitesse de l'émetteur fr est la fréquene reçue et fe la fréquene émise Ces formules ne sont valables que si le déplaement est dans la diretion du réepteur ) Cette formule vérifie-elle vos observations préédentes? 1er as: la soure se rapprohe Oui, en effet dans les onditions de l'expériene < (la voiture ne dépasse la vitesse du son) dans e as nous avons soit enore v < 1 et don aussi 1 e < 1 e qui permet d'érire 1 1 >1 fe > f e et don f r > f e Le son perçu est plus aigu 1 ième as: la soure s'éloigne Inrsement en utilisant l'autre relation nous trouvons que f r < f e et don le son perçu est plus gra 3 ) Que se passe-t-il si? Comment s'appelle e phénomène? Et bien dans e as nous avons v f 1 et don 1 e 1 et don f ra e, 'est le phénomène 1 du mur du son (Bang supersonique) Voii quelques liens où l'on peut voir e phénomène spetaulaire a quelques avions

2 II ) Mesure direte de la vitesse d'une voiture - Obserr la vidéo : Voiture Doppler On souhaite déterminer la vitesse de e véhiule pour savoir s'il est en exès de vitesse On ne onnaît pas la fréquene d émission fe de son klaxon (fréquene au repos) - Pour répondre aux questions suivantes, vous az à votre disposition le logiiel Winosillo qui peut faire une analyse spetrale du son émis par le klaxon (Voir mode d'emploi) 1 ) Proposer un protoole pour déterminer la vitesse de e véhiule Le mettre en œuvre après vérifiation par le professeur Donnée : 340 ms-1 (élérité du son) On doit utiliser les relations Doppler mais le problème 'est que l'on ne onnaît pas la fréquene d'émission fe du klaxon Pour éviter e problème nous allons mesurer la fréquene du klaxon de la voiture quand elle s'approhe et quand elle s'éloigne, ainsi nous pourrons supprimer fe des relations : Notons fra la fréquene à l'approhe et fré la fréquene à l'éloignement Nous avons f ra ( ) fe v soit enore f e f ra 1 e v 1 e pour l'approhe ( ) ( ) ( ) De même f e f ré 1+ Don nous avons f ra 1 pour l'éloignement v f ré 1+ e Ce qui donne après avoir regroupé la vitesse et après quelques petits aluls v e f ra f ré Δf Ce qui s'érit enore v e f ra + f ré f ra + f ré ) Le onduteur ommet-il un exès de vitesse sur ette route qui est limité à 50 mph? Donnée : 1 mph 1 mile per hour ; 1 mile 1609 m Voii une apture d'éran lorsque la voiture arri, on mesure la fréquene d'un des harmoniques, on trou fra 1661 Hz

3 Pour l'éloignement, nous avons fré 1450 Hz (Il faut garder le même harmonique) Il suffit d'appliquer la formule v e f ra f ré ,1 ms f ra + f ré Pour savoir si le onduteur à fait un exès de vitesse, il faut faire la onrsion en mph v e3,1 ms 1 3, ,7 mph Le onduteur est légèrement au dessus de la vitesse autorisée 1609 La vidéo sur Youtube indique que la vitesse du véhiule était approximatiment de mph 3 ) Quelle approximation avons nous faite pour l utilisation de la formule? La plus grosse inertitude vient dans le pointé de l'harmonique dans le logiiel Mais aussi des onditions d'appliation des formules Doppler En effet le spetateur de la sène ne se trou pas dans l'axe de la voiture Or pour pouvoir appliquer les relations, il faut être dans la même diretion que l'émetteur Si e n'est pas le as les formules deviennent légèrement différentes On souhaite vérifier la valeur de ette vitesse part un autre moyen Pour ela on utilise la distane entre les poteaux életriques Voii un doument en anglais donnant quelques informations dessus Utility Pole, Desription The standard utility pole in the United States is about 40 ft (1 m) long and is buried about 6 ft ( m) in the ground[3] Hower, poles an reah heights of 10 ft (37 m) or more to satisfy learane requirements They are typially spaed about 15 ft (38 m) apart in urban areas, or about 300 ft (91 m) in rural areas, but distanes vary widely based on terrain Joint use poles are usually owned by one utility, whih leases spae on it for other ables In the United States, the National Eletrial Code, published by the Institute of Eletrial and Eletronis Engineers (IEEE), sets the standards for onstrution and maintenane of utility poles and their equipment Standards for wood preservati materials and wood preservation proesses, along with test riteria, are in ANSI, ASTM, and AWPA speifiations, and in GR-60, Generi Requirements for Wooden Utility Poles Artile internet 4 ) Grâe au doument préèdent, et en utilisant le logiiel VirtualDub (pour lire le temps éoulé), aluler la vitesse de la voiture (apparemment elle sort d''une zone urbaine) Cette valeur est-elle onordante a elle réalisée a l'effet Doppler? On voit que la voiture dépasse le premier poteau au alentours de t1 4,933 s et le deuxième poteau à t 6,467 s Don la durée de parourt de ette distane est Δt 6,467 4,933 1,534 s La distane entre les poteaux d'après le doument vaut d 38 m (onsidéré omme en sortie de zone urbaine)

4 Et don sa vitesse si elle est onstante vaut v e d 38 5 ms 1, e qui est prohe de la valeur Δ t 1,534 trouvée préédemment III ) Mesure a des ultrasons Dans ette partie vous allez mesurer la vitesse d'un réepteur ultrasonore que vous bougerez à la main La vitesse mise en jeu est alors faible (quelques dizaines de ms-1), la différene de fréquene engendrée par l'effet Doppler est don elle aussi faible, e qui n'est pas faile à mesurer diretement Pour palier e problème on ombine [on additionne (vitesse faible) ou on multiplie (vitesse élevée) les signaux entre eux (prinipe du Radar)] - Réaliser le montage suivant : +15V Nous allons additionner les signaux de la voie 1 et de l'osillosope Pourquoi faire ela? Voii un doument traitant de la somme de signaux sinusoïdaux de fréquenes voisines Sommation de sinusoïdes de même amplitude et de fréquene voisines Soit un signal omposé de la somme de deux sinusoïdes S1 et S de fréquene respeti : f1 et f S (t) S 1 (t)+s (t) Aos ( π f 1 t)+ Aos ( π f t) On sait (voir Trigonométrie) que os (a )+os (b) os ( a+b ) os( a b ) et don si on applique ette relation à notre somme initiale, nous avons S (t) A os [ π ( f 1 f ) t ] os [ π ( f 1+ f ) t ] Si les fréquenes f1 et f ne sont pas trop différentes alors on voit apparaître graphiquement un phénomène de battements : S1(t) S(t) S1(t) + S(t) S(t) Somme Phénomène de battements Clairement on voit apparaître périodes sur e graphique : T Batt 1 1 Δf f 1 f

5 1 ) Expliquez grâe à e que vous nez de lire omment vous pouz aéder à la vitesse de votre réepteur ultrasonore a le matériel présent sur la paillasse La vitesse de votre main est plutôt faible quelques m par seonde Nous allons additionner grâe à l'osillosope les signaux reçus par les émetteurs ultrasonores Le réepteur qui reste fixe reçoit le signal de l'émetteur à la même fréquene 40,0 khz Par ontre l'émetteur qui bouge voit une fréquene différente à ause de l'effet Doppler Ainsi l'addition de es signaux permettra de voir le phénomène de battement puisque leurs fréquenes est différentes Il nous suffira ensuite de mesurer ette période et d'en déduire la fréquene reçue par le mobile Ensuite on pourra utiliser le formule Doppler pour en déduire la vitesse du mobile Dans notre as pour le battement, f1 et la fréquene du mobile qui se rapprohe de l'émetteur et f est la fréquene de l'émetteur (elle reçu par le mobile qui ne bouge pas (lol)) ) Réaliser votre expériene et en déduire la vitesse de déplaement de votre réepteur (à la main) Conseil : utiliser une base de temps d'environ 10 ms/div Le montage est lassique : Réepteur immobile Perçoit le fréquene f C'est don la fréquene reçue fr Réepteur mobile Reçoit le fréquene f1 C'est don la fréquene émise fe Voii e que l'on obtient sur l'éran de l'osillosope : TBatt On lit sur l'osillosope que la période des battements vaut TBatt 16,80 ms (On peut aussi utiliser la base de temps ) On applique alors la formule donnée par l'énoné : T Batt 1 f 1 f Ce qui s'érit aussi f 1 f 1 T Batt 59,5 Hz On voit que le mobile perçoit une différene de fréquene par rapport à l'émetteur de seulement 59,5 Hz e qui n'est pas faile de mesurer

6 Ii dans notre as, le mobile se rapprohait de l'émetteur et don nous avons : f f r f e+ Δ f Ensuite en utilisant la formule Doppler f r fe f e + Δ f nous avons alors après aluls : 1 v e Δf f e +Δ f Appliation numérique : Δf 59, ,505 ms 1 3 f e +Δ f 40, ,5 Don notre main parourt 50,5 m en 1 seonde 3 ) Vérifier ette valeur par une autre manière Vous az à votre disposition un hronomètre et un mètre ruban Comme pour la voiture dans la vidéo préédente, on peut réaliser une mesure direte, on hronomètre le temps que met la main à parourir une ertaine distane d On trou quelle parourt la distane d 0,50 m en une durée Δt 1,1 s e qui lui onfère une vitesse d 0,50 v e 0,45 ms 1 Ce qui en bon aord a la mesure préédente Δ t 1,1 4 ) Pourquoi sur l'osillosope la somme des signaux ne ressemble pas tout à fait elui du doument? En effet il y a une légère différene entre les signaux i-dessous : La différene vient du fait que le signal fait 40 khz, autrement dit il se répète énormément en 1 seonde e qui onfère l'aspet noir dans les battements Il y a le fait aussi que l'on peut voir ei On voit que les battement sont toujours présents mais qu'ils sont moins marqués Cei est due simplement à l'effet d'éloignement du mobile par rapport à l'autre réepteur L'amplitude du son diminue a la distane et don l'osillosope additionne des signaux dont les fréquenes est légèrement différentes mais dont les amplitudes le son également d où l'aspet différent IV ) L'effet Doppler en astronomie a ) Théorie 1 ) Quelle relation lie la fréquene f, la élérité de l'onde et sa longueur d'onde λ? Nous avons vu que λ T f, e qui peut aussi s'érire f λ

7 ) Réérire alors la relation du début a les longueurs d'onde λr et λe Annoter alors l'image i-dessous que l'on renontre sount dans les expliations sur l'effet Doppler λr Star in moment λr L'effet Doppler est utilisé en astrophysique pour déterminer la vitesse éloignement des galaxies (expansion de l'unirs), la vitesse de rotation des astres ou enore la détetion d'exoplanètes Pour ela il suffit de repérer les raies d'absorption ou d'émission sur le spetre de l'objet lumineux que l'on étudie et de les omparer aux spetres de référene que nous onnaissons sur Terre 3 ) Si l'objet s'éloigne, les raies d'absorption se déalent rs quelle ouleur? Justifier Même question si l'objet se rapprohe Justifier fe λe Nous avons f r et don En simplifiant par et en faisant passer tout au λr 1± 1± ( ) numérateur, nous obtenons : λ r λe 1± Dans le as de l'approhe nous avons Pour l'éloignement λ r < λ e, les raies sont don déalées rs le bleu (Blushift) λ r > λ e, les raies sont don déalées rs le rouge (Redshift) Ainsi nous pouvons aussi bien travailler a les fréquenes (effet Doppler sonore) qu'a les longueurs d'onde 4 ) De la formule préédente, en déduire une relation permettant de mesurer la vitesse de l'émetteur en fontion du déalage spetral Δλ λr λe et de la fréquene λe

8 ( ) Nous avons λ r λe 1± don on a λ ra λ e ± λ e ±v e e qui s'érit après réarrangements λe λ ra Δ λ λe λe Don le déalage dans les raies d'absorption ou d'émission permet de remonter à la vitesse de l'objet b ) Redshift et distane du quasar 3C73 Un quasar (quasi stellar objet), est une galaxie très lumineuse a sûrement un trou noir plaé en son entre qui dévore des étoiles qui passe dans son environnement En 1963, des astronomes ont publié un artile dans la revue Nature expliquant que 3C 73 était un objet extrêmement lointain, a un déalage rs le rouge le plaçant à plusieurs milliards d'années-lumière Dans la suite vous allez, déterminer la vitesse de réession de e quasar et en déduire sa distane grâe à la loi de Hubble On donne i-dessous, le spetre de et objet ainsi que elui du spetre de l'atome d'hydrogène obtenu sur Terre Certaine raies d'émission de l'atome d'hydrogène possèdent des noms partiulier : Hα, Hβ Éhelle : 5,3 m 170, nm Δλ 1 ) Quel est l'utilité du spetre de l'atome d'hydrogène? Déalage spetral Hα C'est le spetre de référene de l élément onerné mais au repos ) Les anglais appellent le déalage de raies pour e quasar redshift, expliquer pourquoi? La soure lumineuse se rapprohe-t-elle ou s'éloigne-t-elle? On voit que les raies d'émission de l'hydrogène sont déalées rs les grandes longueurs d'ondes autrement dit elles sont déalées rs le rouge, 'est don un Redshift Il s'agit don d'un éloignement 3 ) Mesurer la longueur d'onde λr de la raie déalée de Hα et en déduire le déalage spetral Δλ λr λe Voir l'image préédente Il faut onnaître l'éhelle du doument Il y a 5,3 m qui représente 170, nm et on mesure une longueur de 8,4 m par rapport à la raie à 486,1 nm 8,4 170, 755,8 nm et don le déalage spetral vaut Don la raie Hα observée vaut λ r 486,1+ 5,3 Δλ λr λe 755,8 656,3 99,5 nm

9 3 ) En déduire alors la valeur d'éloignement de e quasar Donnée : élérité de la lumière 3, kms 1 On applique la formule trouvée préédemment : v e λe λ ra λe 99,5 Δ λ 3, , kms 1 λe 656,3 z Δλλ Caluler le redshift pour e quasar e 4 ) Le redshift noté z est défini par 99,5 0,151 Nous avons alors z Δ λ λ e 656,3 L'astronome amériain Edwin Powell Hubble, a montré en 199 que la vitesse d'éloignement des galaxies est proportionnelle à leur distane d D où la relation élèbre : H d a H onstante de Hubble 5 ) Évaluer la distane du quasar préédent en Mp (Méga parses) puis en année lumière (voir remarques) Donnée : H 70 kms-1mp-1 Nous avons don d v e 4, ,4 10 Mp soit enore une distane : H 70 d 6,4 10 3,6 106,1 109 al Ce quasar est plus de milliards d'année lumière! Ce qui en fait un objet très lointain Remarque 1: 1 p 1 parse parallaxe 1 '' la distane à laquelle on obserrait le rayon Terre Soleil sous un angle de 1'' d'ar (1 seonde d'ar) Après alul trigonométrique simple on trou que ette distane vaut 3,6 al (année lumière) '' Remarque : la onstante de Hubble évalue l'expansion de l'unirs, 'est à dire le grossissement de l'espae H 70 kms-1mp-1 signifie qu'un ube de 1 Mp de oté grandie de 70 km par seonde (ou enore qu'un ube de 1 km de oté grandit de 7 nm par an) 7 ) Évaluer l'inertitude sur la longueur d'onde reçue U(λr) 1 graduation Données: U simple leture et U double leture U doubleleture 1 Ii il faut onnaître que vaut la graduation Cela a été mesuré a la règle préise au mm Don la graduation vaut 1 mm mais il faut onnaître sont équivalent a l'éhelle du doument On avait une éhelle de 5,3m 170, nm don 1 mm 0,1 m est équivalent à Don 1 graduiation3 nm et don U ( λ r ) 8 ) En déduire l'inertitude sur la vitesse U() sahant que (L'inertitude sur λe est négligeable) 0,1 170, 3 nm 5,3 1 graduation ± 3 nm (arrondi au supérieur) 1 U v e U r r e

10 Nous avons U (v e ) v e U (λ r ) 3 4,5 104 ± 103 kms 1 (Arrondi au supérieur) λr λ e 99,5 9 ) En déduire l'inertitude sur la distane U(d) sahant que U v e U d U H d H Donnée : U H ± 3 kms 1 Mp 1 Nous avons don U (d ) d ( ) ( ) U (v e ) U (H ) + H 9,1 10 ( , ) ( ) ± 10 al 10 ) La plus grosse impréision dans le alul de la distane provient de quel paramètre? La préision sur la distane vaut forement très préis Les impréisions viennent de U (d ) d ( 103 4,5 104 ΔH 3 4% H 70 et de ) ( ) ± 10 6 % e qui n'est pas Δv e 103 4% 4,5 104 L'inertitude sur la vitesse et sur la onstante de Hubble interviennent dans les mêmes proportions dans l'inertitude sur la distane Pour améliorer e résultat il faudra onnaître la onstante de Hubble plus préisément par exemple

11 Matériel néessaire -Vidéo voiture Doppler - eneintes (pour faire éouter le phénomène de battements) - PC équipé des logiiels Winosillo + VirtualDub - émetteur et réepteurs ultrasonore - Osillosope - Des fils de onnexions