Programme de colle Semaine 12. Plan

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1 Programme de colle Semaine 12 Chapitre 9 : Ensemble des nombres réels Rappels Propriété de la borne supérieure Conséquences Chapitre 10 : Suites numériques Généralités sur les suites réelles Limite d une suite réelle Opérations sur les limites Théorème d existence d une limite Suites extraites Plan Comment étudier la convergence d une suite ( )? Chapitre 9 : Nombres réels Rappels Ensembles de nombres usuels N, Z, D, Q. Rappels Plan détaillé Majorant, minorant d une partie non vide de R. Plus petit élément, plus grand élément d une partie non vide de R. Unicité du plus grand élément s il existe. Unicité du plus petit élément s il existe. Propriété de la borne supérieure Borne supérieure, borne inférieure Définition : la borne supérieure d une partie A non vide de R est le plus petit de ses majorants, s il existe. Notation : sup(a). Définition : la borne inférieure d une partie A non vide de R est le plus grand de ses minorants, s il existe. Notation : inf(a). Théorème : Propriété de la borne supérieure. Toute partie non vide et majorée de R possède une borne supérieure. Toute partie non vide et minorée de R possède une borne inférieure. Caractérisation de le borne supérieure Soit A une partie { non vide et majorée de R et S R. Alors, a A, a S S = sup(a) ε > 0, x A, S ε < x. Page 1/5

2 Soit A une partie{ non vide et minorée de R et I R. Alors, a A, I a I = inf(a) ε > 0, x A, x < I + ε. Conséquences Intervalles Soit I une partie de R. I est un intervalle si, et seulement si, (x, y) I 2, [x, y] I. Conséquence : si I et J sont deux intervalles de R alors I J est un intervalle de R. Partie entière Théorème : R est archimédien. Théorème : pour tout x R, il existe un unique entier relatif p tel que p x < p + 1. Définition : partie entière. Notation : x. Définition : partie entière par excès. Notation : x. Approximation décimale Soient x R et n N. Le nombre décimal 10n x vérifie : 10n x x < 10n x n 10 n 10 n 10. n Il est appelé l approximation décimale par défaut de x à la précision 10 n. Le nombre décimal 10n x + 1 est appelé l approximation décimale par excès de x à la 10 n 10n précision 10 n. Chapitre 10 : Suites numériques Généralités sur les suites réelles Vocabulaire Définition : une suite réelle est une application de N dans R. Notation : ( ) n N ou ( ). Suite de terme général. Définition : est le n-ième terme de la suite ou terme de rang n ou terme d indice n. L ensemble des suites réelles est notée R N. Définition : suite constante, suite stationnaire. Suites définies à partir d un certain rang. Propriété vérifiée par une suite à partir d un certain rang. Relations d ordre Définition : suite (strictement) croissante, (strictement) décroissante, (strictement) monotone. Si ( f ( : )) R + R est une fonction croissante alors la suite (f(n)) est croissante et la suite 1 f est décroissante. n Méthode pour montrer qu une suite est croissante : montrer que, pour tout n N, +1 0 ou (si la suite est à termes strictement positifs) Méthode pour montrer qu une suite est décroissante : montrer que, pour tout n N, +1 0 ou (si la suite est à termes strictement positifs) Définition : suite majorée, minorée, bornée. La suite ( ) est bornée si, et seulement si, ( ) est majorée. Page 2/5

3 La somme de suites bornées est bornée. Le produit de suites bornées est borné. Le produit par un scalaire d une suite bornée est borné. Limite d une suite réelle Suites convergentes Définition : ( ) converge/tend vers un réel l et on note l lorsque : ε > 0, N N, n N, [ n N l ε ]. Définition : suite divergente. Visualisation de la convergence vers l R : pour tout réel strictement positif ε, à partir d un certain rang, tous les termes de la suite sont à une distance de l inférieure à ε. ( ) 1 Exemple : les suites et (q n ), avec q ] 1, 1[ convergent vers 0. n Théorème : unicité de la limite si elle existe. Conséquence : si une suite ( ) converge vers un réel l, ce réel est appelé la limite de ( ) et on note lim = l. Si ( ) tend vers l R, alors ( ) tend vers l. Si v n 0 et, à partir d un certain rang, l v n, alors l. Propriétés des suites convergentes Toute suite réelle convergente est bornée. Si ( ) tend vers l alors, pour tout m < l, la suite est minorée à partir d un certain rang par m. Si ( ) tend vers l alors, pour tout M > l, la suite est majorée à partir d un certain rang par M. Si ( ) converge vers une limite non nulle alors, à partir d un certain rang, tous les termes de la suite sont non nuls. Limites infinies Définition : ( ) diverge/tend vers + et on note A R, N N, n N, [ n N A ]. Définition : ( ) diverge/tend vers et on note A R, N N, n N, [ n N A ]. + ou lim = + lorsque : ou lim = lorsque : Si ( ) tend vers +, alors ( ) n est pas majorée et ( ) est minorée par un réel strictement positif à partir d un certain rang. Si ( ) tend vers, alors ( ) n est pas minorée et ( ) est majorée par un réel strictement négatif à partir d un certain rang. Opérations sur les limites Opérations sur les suites convergentes Le produit d une suite bornée par une suite qui tend vers 0 tend vers 0. Si ( ) tend vers l 1 et (v n ) tend vers l 2 alors, pour tout (λ, µ) R 2, (λ. + µ.v n ) tend vers λ l 1 + µ l 2 et ( v n ) tend vers l 1 l 2. Limites infinies Soit ( ) une suite qui tend vers +. Si (v n ) est une suite minorée alors, ( + v n ) tend vers +. Si (v n ) est une suite minorée par un réel strictement positif à partir d un certain rang alors, ( v n ) tend vers +. Page 3/5

4 Si ( ) tend vers + et (v n ) converge ou tend vers +, alors ( + v n ) tend vers +. Si ( ) tend vers et (v n ) converge ou tend vers, alors ( + v n ) tend vers. Si ( ) tend vers + et (v n ) converge vers une limite strictement positive ou tend vers +, alors ( v n ) tend vers +. Si ( ) tend vers + et (v n ) converge vers une limite strictement négative ou tend vers, alors ( v n ) tend vers. Inverse et quotient ( Si (u) n ) tend vers un limite l non nulle, alors à partir d un certain rang n 0, 0 et la suite 1 tend vers 1 n n 0 l. ( ) 1 Si ( ) tend vers +, alors à partir d un certain rang n 0, > 0 et la suite tend vers 0. ( ) 1 Si ( ) tend vers 0 et à partir d un certain rang n 0, > 0, alors Passage à la limite dans une inégalité Soit ( ) une suite positive à partir d un certain rang. Si ( ) converge, alors Soient ( ) et (v n ) deux suites convergentes. Si, à partir d un certain rang lim lim v n. n n 0 n n 0 tend vers +. lim 0. v n, alors Quand on passe à la limite dans des inégalités, les inégalités strictes (> ou <) deviennent des inégalités larges ( ou ). Théorèmes d existence d une limite Théorème d encadrement Théorème d encadrement : Soient ( ), (v n ) et (w n ) trois suites. Si ( ) et (w n ) tendent vers une limite réelle l et si, à partir d un certain rang, v n w n, alors (v n ) tend vers l. Soient ( ) et (v n ) deux suites. Si tend vers + et si, à partir d un certain rang v n, alors (v n ) tend vers +. Soient ( ) et (v n ) deux suites. Si v n tend vers et si, à partir d un certain rang v n, alors ( ) tend vers. Limites de suites monotones Théorème de la limite monotone : Toute suite ( ) croissante et majorée converge et a pour limite : sup ( { n N} ). Toute suite ( ) croissante et non majorée diverge vers +. Toute suite ( ) décroissante et minorée converge et a pour limite : inf ( { n N} ). Toute suite ( ) décroissante et non minorée diverge vers. Ce théorème assure l existence de la limite d une suite mais n en donne pas sa valeur. Suites adjacentes Définition : on dit que deux suites ( ) et (v n ) sont adjacentes si : ( ) est croissante. (v n ) est décroissante. (v n ) tend vers 0. Page 4/5

5 Théorème des suites adjacentes : soient ( ) et (v n ) deux suites adjacentes avec ( ) croissante et (v n ) décroissante. Alors, ( ) et (v n ) convergent vers la même limite l et, pour tout n N, u 0 l v n v 0. Application : théorème des segments emboîtés. Suites extraites Définition : une suite extraite ou sous-suite de ( ) n N est une suite (v n ) n N définie par : n N, v n = u ϕ(n), où ϕ : N N est une application strictement croissante. Lemme : Si ϕ : N N est une fonction croissante, alors, pour tout n N, ϕ(n) n. Si ( ) converge, alors toute suite extraite de ( ) converge vers la même limite. Si ( ) tend vers + (resp. ), alors toute suite extraite de ( ) tend vers + (resp. ). Méthode : Pour montrer qu une suite ne converge pas, on peut chercher une suite extraite de cette suite qui ne converge pas. Pour montrer qu une suite ne converge pas, on peut chercher deux suites extraites de cette suite qui ne convergent pas vers la même limite. Exercice : soit ( ) une suite réelle. Si les deux suites extraites (u 2 n ) et (u 2 n+1 ) convergent vers la même limite, alors la suite ( ) converge vers cette limite commune. Exercice : si les deux suites extraites (u 2 n ) et (u 2 n+1 ) tendent vers + (resp. ), alors la suite ( ) tend vers + (resp. ). Comment étudier la convergence d une suite ( )? Méthode 1 : utiliser les théorèmes concernant les opérations sur les limites (somme, produit, quotient). Méthode 2 : si la limite l est connue (par exemple, donnée dans l énoncé), on peut majorer l : en utilisant le théorème de majoration ou d encadrement. en dernier recours, en revenant à la définition : "Soit ε > 0,..." Méthode 3 : si on veut uniquement démontrer que la limite existe sans calculer sa valeur, on peut utiliser les théorèmes d existence de limite : théorème de la limite monotone ou théorème des suites adjacentes. Questions de cours Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. Montrer que sup ( A B ) = max ( sup(a), sup(b) ). Soit A un sous-ensemble non vide et majoré de R. On note M un majorant de A. On a l équivalence : M = sup(a) si, et seulement si, il existe une suite à valeurs dans A qui converge vers M. Théorème des segments emboîtés. Soit ([a n, b n ]) n N une famille de segments non vides telle que, pour tout n N, [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] et b n a n 0, alors [a n, b n ] est un singleton. n N Soit ( ) une suite réelle. Si les deux suites extraites (u 2 n ) et (u 2 n+1 ) convergent vers la même limite, alors la suite ( ) converge vers cette limite commune. Toutes les définitions peuvent faire l objet d une question de cours. Page 5/5

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