DENSITE, POPULATION CUMULEE ET TEMPS D ACCES

Transcription

1 DENSITE, POPULATION CUMULEE ET TEMPS D ACCES ANALYSE DES RELATIONS ENTRE MORPHOLOGIE URBAINE ET TEMPS D ACCES DANS L AIRE URBAINE DIJONNAISE Cyril Enault Boulvard Gabril 1 DIJON cyril.nault@u-bourgogn.fr RESUME. Envisagé dès 1951, l modèl d Clark st aujourd hui un référnc n économi urbain pour la modélisation ds dnsités. Pourtant, n 197, Rné Bussièr, mt au point un nouvau modèl d dnsité bin miux ajusté aux donnés d population t plus à mêm d décrir l étalmnt urbain. Rprnant c modèl, Eric Tabourin t Alain Bonnafous, n 1994, propos un nouvll formalisation adapté aussi bin à la vill qu à l spac périurbain. Ctt communication s propos d tstr cs modèls standards d l économi urbain n commnçant par vérifir la validité ds hypothèss monocntriqus d Alonso sur Dijon. Il st ainsi montré qu l on n put appliqur ls logiqus d Clark ou Bussièr uniformémnt sur l spac t qu il convint d détrminr ds scturs où ls modèls sront nvisagabls. Il st nsuit considéré qu l tmps d accès st un bin millur dscriptur qu la distanc au cntr. Un méthod d calcul ds vitsss st mis au point pour détrminr ls tmps d accès au cntr. En partant d cs résultats, un modèl a pour objt d montrr la non-linéarité du tmps par rapport à la distanc, c qui contribu, dans l évntualité d un substitution d la distanc par l tmps à un rformulation ds modèls d Clark t d Bussièr. On st alors n msur d spatialisr l modèl d Bussièr n fonction ds tmps d accès n mttant ainsi n avant un nouvll ruptur d natur tmporll trouvant son origin chz Zahavi t sa famus constanc ds budgts tmps. ABSTRACT. Undr considration sinc 1951, th Clark's modl is today a rfrnc in urban conomy for th modling of th dnsitis. Howvr, in 197, Rn Bussièr, dvlops a nw modl of dnsity wll bttr adjustd to th data of population and mor abl to dscrib th gographic urban disprsion. Taking again this modl, Eric Tabourin and Alain Bonnafous, in 1994, propos a nw formalization adaptd as wll to th city and also to th priurban ara. This communication proposs to tst ths standard modls of urban conomy whil starting by chcking th validity of th Alonso's monocntric assumptions on Dijon.. It is thus shown that w cannot apply logics of Clark or Bussièr uniformly on th spac and that it is appropriat to dtrmin sctors whr th modls will b possibl. It is thn considrd that th acss tim is a much bttr dscriptor than th distanc to th cntr. A mthod of calculation spds is dvlopd to dtrmin acss tims to th cntr. On th basis of ths rsults, a modl has th aim of showing th non-linarity of tim compard to th distanc, which contributs, in th vntuality of a substitution of th distanc by tim with a rformulation of th modls of Clark and Bussièr. On is abl thn to spatializ th modl of Bussièr according to accss tims by putting thus ahad a nw ruptur of tmporal natur finding its origin at Zahavi and his famous constancy of th budgts tim. MOTS-CLES : Bussièr, Clark, Tmps d accès, dnsité, vitss, Dijon KEY WORDS : Bussièr, Clark, Accs-Tim, dnsity, spd, Dijon

2 1 Structur d l agglomération dijonnais t modélisation d Bussièr Tout application du modèl d Bussièr sur un vill rquirt qu ctt drnièr répond aux xigncs d Alonso, c qui doit s traduir par quatr conditions : - la concntration ds mplois dans l cntr d la vill dans l CBD - l homogénéité spatial : l spac st considéré comm uniform - un autr hypothès st la continuité spatial qu c soit au nivau du rlif, ds infrastructurs routièrs ou ds institutions. Autrmnt dit, la localisation résidntill st possibl n tous points t il n xist aucun liu qui n soit inaccssibl. - Enfin, la drnièr hypothès st l isotropi spatial qui suppos «un coût d transport indépndant d la dirction mprunté» (Pguy ), c qui s traduit par ds tmps d accès idntiqus qull qu soit la dirction, d où l imag d la vill circulair. Pour tstr un crtain nombr d cs élémnts, nous proposons dans un prmir tmps d ffctur un rchrch du cntr, c qui nous prmttra d procédr à un prmièr application ds modèls d dnsité t d Bussièr. Nous tstrons nsuit la validité d l hypothès monocntriqu sur l agglomération. On montrra alors qu l on doit considérr non plus l modèl d Bussièr l plus classiqu mais un d ss forms scondairs : l modèl sctorisé. 1.1 La rchrch du cntr La COMADI (communauté d agglomération dijonnais) 1 présnt un structur dont on put affirmr au prmir abord qu ll st radio-concntriqu. L cntr d ctt agglomération doit par conséqunt, suivant ctt logiqu s placr au cœur du dispositif historiqu, c st-à-dir à l mplacmnt du cntr d gravité du cœur historiqu (périmètr à l intériur ds boulvards du XIX ièm siècl). Il s positionn dans la vill d Dijon, approximativmnt dvant la mairi, plac d la Libération. On put légitimmnt s posr la qustion d la validité d ctt localisation. Pour l vérifir, nous mploirons la méthod ds barycntrs ds populations pour évntullmnt évalur la distanc séparant l cntr d gravité du cœur historiqu d c point. On utilis ls formuls suivants pour détrminr ls coordonnés du barycntr : x y G G α1x1 + α x α1 + α α1y1 + α y α + α α nx α n α n y α où x G t y G sont ls coordonnés lambrt II carto du barycntr, α 1, α, α 3,, α n, ls valurs ds populations d chaqu commun, x 1, x,, x n ls coordonnés n longitud ds cntroids ds communs t y 1, y,, y n, ls coordonnés n latitud ds cntroids ds communs. Dans un prmir tmps, nous procédons au calcul ds barycntrs d un périmètr bin plus larg qu la simpl agglomération, puisqu il s agit d l air urbain (168 communs comprnant l pôl urbain dijonnais ainsi qu l périurbain). n n n 1 Comprnant 16 communs : Daix, Talant, Marsannay, Plombièr-ls-Dijon, Prrigny-ls-Dijon, Longvic, Ougs, Nuilly-ls-Dijon, Snncy-ls-Dijon, Chvigny-Saint-Sauvur, Qutigny, Saint-Appolinair, Fontainls-Dijon, Ahuy t Dijon

3 Figur 1 Déplacmnt du barycntr d l air urbain dijonnais ntr 1954 t 1999 C.Enault laboratoir THEMA Dijon MAPINFO L barycntr st calculé pour chaqu rcnsmnt ntr 1954 t Il apparaît qu c drnir st situé, pour l air urbain, à un distanc rlativmnt éloigné d notr cntr d gravité du cntr historiqu d la commun d Dijon. Ell st d 899 m n 1954, 971 n 1975, 141 n 198, 1175 n 199 t nfin d 168 n Cla nous montr qu ls populations au nivau d l air urbain n sont pas aussi concntrés qu l on aurait pu l imaginr. Par aillurs, on constat un tndanc à l accroissmnt d ctt distanc, un déplacmnt du barycntr ds populations vrs l sud st, rapid ntr 1954 t 199, c qui traduit un tndanc à la périurbanisation dans ctt dirction durant ctt périod t plus lnt ntr 199 t 1999 traduisant un crtain ssoufflmnt d c mouvmnt. Contrairmnt à l air urbain, au nivau d l agglomération, on prçoit un plus grand proximité ntr l cntr d gravité t l barycntr ds populations (figur ).

4 Figur Barycntr au nivau ds IRIS t ds îlots Limits îlots 99 C.ENAULT Laboratoir THEMA Dijon MAPINFO Si on rprnd l calcul ffctué pour ls communs avc ls IRIS (îlots rgroupés pour l information statistiqu) d l air urbain, d l agglomération t ls îlots, on n trouv absolumnt pas ls mêms résultats. Si au nivau d l air urbain, l barycntr st toujours aussi éloigné, c n st pas l cas ds IRIS d l agglomération ou ds îlots pour lsquls on obtint un point très proch d notr cntr d gravité (.371 t.387 km). On put donc n conclur qu l cntr d gravité du cntr historiqu d Dijon smbl êtr un bon choix pour l point cntral d l agglomération mais néanmoins moins intérssant pour l air urbain. Pour la suit d notr étud, nous consrvrons donc ct mplacmnt pour l nsmbl ds calculs. 1. Un prmièr application ds modèls d dnsité t d populations cumulés Notr prmir objctif st donc rmpli, à savoir l choix d notr cntr d agglomération, dans lqul nous supposrons, pour l instant, qu l nsmbl ds mplois sont rgroupés. On put ainsi procédr à l application ds modèls d dnsité La logiqu d Clark pour l air urbain L xamn ds dnsités d population n fonction d la distanc au cntr mt n évidnc un logiqu qui n st crtainmnt pas d natur linéair mais plus vraismblablmnt xponntill. Ayant appliqué un modèl sur un échantillon très varié t important dans l mond ntir, C.Clark (1951) avait pu montrr qu ls vills répondaint pu ou prou à un «loi» assz général liant la distanc au cntr avc la dnsité. Ctt drnièr a dpuis été largmnt éprouvé aux USA (Mills 1969), au Canada (Edmonston, Goldbrg, Mrcr 1984), n Europ (Mills 198), n Amériqu latin (Ingram, Caroll 1976) ou plus récmmnt n Franc sur un échantillon d 13 airs urbains françaiss (Pguy ). γ u ( ) D D u

5 D(u) st la dnsité à un distanc u du cntr, γ l gradint d dnsité, u la distanc radial au cntr d l agglomération t D la dnsité au cntr d la vill (la nomnclatur utilisé st cll d Mills). Pour nvisagr c modèl, on linéaris la fonction précédnt donnant la formul : ( ) γ u Ln D Ln D u + On put naturllmnt tstr l xprssion suivant sur l air urbain dijonnais. Ls résultats obtnus par P.Y.Pguy () donnnt ls valurs suivants pour l rcnsmnt d 9:.731 pour D,.8 pour γ avc un R² d sulmnt.7 (A notr qu ls unités n sont pas précisés). Au nivau d l agglomération dijonnais, on rpèr finalmnt l xistnc d un doubl régrssion xponntill marquant un ruptur vrs 7, 8 km, distanc à laqull on pass d l urbain au rural (figur 3). LN (dnsité) 1 Figur 3 - Corrélation ntr dnsité t distanc au cntr (Cal cul d la régrssion xponntill) ln (D(x)) -,3954x + 9,751 R²,71 ln(d(x)) -,476x + 4,63 R², Espac urbain : vérification du modèl d CLARK Couronns périurbains: ruptur du modèl t décroissanc moins rapid Distanc radial n km A un nivau plus fin, nous pouvons toutfois définir un nouvll fonction d dnsité pour l agglomération. 1.. Qull logiqu pour l agglomération? Au nivau d l agglomération, ls msurs d dnsité mttnt n évidnc un nouvll logiqu qulqu pu différnt d cll proposé pour l air urbain. On put alors distingur un phénomèn d platau vrs l cntr vill. Pour modélisr c fait, on n put rtnir la fonction traditionnll d Clark, qui n distingu qu un uniqu xponntill négativ du cntr vrs la périphéri. Il st ainsi nécssair d utilisr un nouvll fonction d dnsité rposant sur dux gradints d dnsité : la fonction d Nwling (1969). C modèl st un pu l pndant d la fonction d Clark puisqu il propos trois forms au liu d un : - un form d typ xponntill négativ - un form à cratèr d dnsité ou ncor sous la form «trou d bign» (Tllir ) - un form intrmédiair avc platau d dnsité d typ tangnt. Qull form adopt notr vill? L ajustmnt nous apport ls prmirs élémnts d répons. L agglomération dijonnais smbl répondr plutôt à un profil d typ Tannr-Shrrat, c st-à-dir un vill possédant un fort dnsité cntral décroissant assz lntmnt (slon un profil rlativmnt tangnt vrs l cntr), allant vrs un dnsité périphériqu faibl. La formalisation proposé pour l analys ds trois profils st la suivant : D ( x) D bx cx

6 où x st la distanc au cntr, D(x) la dnsité n x, c st la msur du taux d changmnt du logarithm d la dnsité n fonction d la distanc au carré, b l gradint d dnsité t D la dnsité au cntr. On put alors procédr à un comparaison ntr l modèl d Clark t clui d Nwling (figur 4). 16 Dnsité (n hab./km²) figur 4 - Comparaison ntr ls fonctions d Clark t d Nwling D(x) Dxp(ax) résultat d la régrssion logarithmiqu D 14173,8 a -,3564 R²,751 Modèl d CLARK D(x) Dxp(ax+bx²) résultat d l'ajustmnt QUASI- NEWTON D a -.83 b -,631 R²,83755 Modèl d NEWLING Distanc au cntr (x) n km Suivant un ajustmnt non-linéair, on montr qu l modèl d Nwling offr un millur cofficint d détrmination d l ordr d.837 contr.75 pour l modèl d Clark. En somm, l agglomération dijonnais répond plutôt à un profil médian ntr la vill à cratèr t l modèl purmnt xponntil négatif L modèl d Bussièr Si on considèr qu la logiqu d Clark st pu ou prou rspcté (.751, c qui rprésnt tout d mêm un bon cofficint d détrmination), il st possibl d utilisr un autr modèl pour évalur ls populations cumulés. On mploi alors la fonction d Bussièr. L idé st d partir d la logiqu d Clark. La population pour un distanc x du cntr st toujours égal au produit d la dnsité par la surfac. Or, pour un crtain distanc, on put stimr qu la surfac st infinimnt ptit assimilabl au périmètr soit πx. La population à un distanc x du cntr st donc l produit d la dnsité par l périmètr. La population compris ntr l cntr O t la distanc x st alors la somm du produit d la dnsité par l périmètr, c qui s intrprèt comm l intégral d à x soit :

7 P ( x ) x D ( x ) S ( x ) P x) Dπ 1 γ ( ² x D γ x π x π D γx ( 1 ( + γx) ) où x st la distanc radial au cntr, P(x) st la population cumulé ntr l cntr O t la distanc x, D la dnsité n t γ l gradint d dnsité. C modèl prmt ainsi d calculr la population ntr un cntr O t un distanc x, soit la population cumulé. Il fonctionn pour ls agglomérations. Au nivau d l air urbain, il st toutfois assz pu adapté n raison d la ruptur du modèl d Clark ntr l urbain t l périurbain. Pour ctt raison, on a mis n plac un nouvau modèl plus fficint à la fois pour ls dux typs d spac : l modèl amndé (Tabourin, Bonnafous 1994) n ajoutant à la formalisation précédnt un factur Kx slon la formul : π D P ( x ) ² γ γx ( 1 ( 1 + γx ) ) + Kx L ajustmnt au nivau d l air urbain dijonnais, slon ds modalités non-linéairs (ajustmnt d typ Quasi- Nwton), fournit d très bons cofficints d détrmination proch d 1% (.99518), c qui va dans l sns d un très bonn application (figur 5). x γ x x Population cumulé Figur 5 - Populations cumulés modèl d Bussièr amndé Valurs D Gamma,64869 K Distanc radial n km Est-c pour cla qu l on doit affirmr qu la logiqu d Clark t d Bussièr st rpcté sur l nsmbl d l air urbain? Nous proposons dans l paragraph suivant d montrr l contrair. 1.3 La logiqu cntr périphéri st- ll plinmnt adapté à l agglomération dijonnais? Ds analyss radials par grands dirctions prmttnt d montrr qu ls dnsités d population n s organisnt pas d façon aussi simplists comm aurait pu l laissr prévoir l modèl cntr périphéri. Un analys mêm très rapid d la cart ds dnsités prmt égalmnt d conclur plutôt à un répartition d typ polynucléair (figur 6).

8 On obsrv alors un répartition ds dnsités slon crts un gradint cntr-périphéri mais très fortmnt prturbé par ds pôls ou ds pics d dnsité dans ls périphéris (figur 6) comm dans la parti sud (Chnôv) ou st (Grésills) ou ncor l oust (Fontain d Ouch ou Talant). On put bin évidmmnt n déduir qu il srait abusif d réduir notr agglomération, n c qui concrn ls dnsités, à un simpl logiqu cntr périphéri. Nous proposons donc d montrr qu il st possibl d définir un angl pour lqul l modèl d dnsité cntr périphéri st applicabl. Figur L agglomération dijonnais répond ll à un logiqu sctorill? C.Enault Laboratoir THEMA Dijon MAPINFO Détrminr si la vill suit un logiqu sctorill rvint à nvisagr, pour un distanc donné du cntr, la répartition ds dnsités n fonction d l angl par rapport au nord géographiqu. Pour c fair, aidons nous rapidmnt d la géométri plan (figur 7).

9 Figur 7 - Détrmination d l angl au nord géographiqu r A H O M x Si l on considèr qu la vill st d cntr O t d rayon x t qu l cntroid ds îlots st l point M, la droit (OA), passant par l cntr t s dirigant vrs l nord form un angl AO ˆ M avc la droit (Ox). On put l détrminr à partir ds dux formuls suivants : - à droit d (OA), AOM ˆ π Arccos( AM ) x - à gauch d (OA), AOM ˆ π ( π Arccos( AM ) π Arccos( AM ) + x x Pour un angl donné (variant d à 36 ou d à π), on dispos d la dnsité, c qui prmt d réalisr ls graphiqus suivants pour ds distancs ntr 1.5 t.5 km du cntr t d.5 à 3.5 km (rspctivmnt figur 8 t 9) Figur 8 - Dnsité d population t angl au nord géographiqu ntr 1.5 t.5 km du cntr Dnsité d population n hab./km² A ngl au nord géographiqu (n dgré)

10 Figur 9 - Dnsité d population t angl au nord géographiqu ntr.5 t 3.5 km du cntr 16. Dnsité d population n hab.km² A ngl au nord géographi (n dgré) Cs dux graphiqus appllnt à dux conclusions radicalmnt différnts pour l cntr t la périphéri d l agglomération dijonnais (ntr.5 t 3.5 km du cntr). On n déduit, qu au cntr, la différnc ntr ls dirctions n st pas fondamntal puisqu ls dnsités tournnt autour d 65 alors qu pour la périphéri, on obsrv d forts disparités fonctions d l angl au nord. Ainsi, ntr t, ls dnsités sont très faibls, soit un total d 6 ou 5π/36. Pour ct angl, l modèl monocntriqu st applicabl alors qu pour l complémntair (11π/36), il n l st pas. Nous pouvons résumr cs informations par la cart suivant (figur 1) : Figur 1 L modèl dijonnais C.Enault laboratoir THEMA Dijon MAPINFO

11 On put ainsi détrminr sans aucun difficulté ls paramètrs du modèl monocntriqu dans la parti st alors qu la parti oust smbl plus prturbé par ls pics d dnsité. En conséqunc, si on désir appliqur l modèl d Bussièr, on doit tnir compt d ct angl t n rtnir qu la parti sctorisé st slon la formul : P( x) 5 π D 36γ 1 ² γ ( 1 ( + γx) ) x + Kx 3 Population cumulé Figur 11 - Modèl d BUSSIERE amndé Sctorisé 5 15 D Gamma K R² Distanc au cntr (n km) Il nous a été possibl d montrr qu l agglomération dijonnais disposait d un cntr qu il était possibl d idntifir près d la plac d la Libération dvant la mairi, qu l on pouvait égalmnt à partir d c drnir appliqur différnts modèls d dnsité t d population cumulé mêm si un analys plus n profondur prmttait d montrr qu l modèl monocntriqu n était qu partillmnt valid. Dijon t son agglomération répondnt ainsi plus vraismblablmnt à un modèl sctoril qu l on put utilisr pour l modèl d Bussièr. Jusqu à présnt, nous n avons utilisé qu la distanc au cntr comm dscriptur d la dnsité, pourquoi n pas s orintr vrs d autrs variabls comm ls tmps d accès?. Evaluation ds tmps d accès Pour détrminr ls tmps d accès nous avons à notr disposition plusiurs possibilités t principalmnt dux typs d systèm : l rastr t l vctur. L mod rastr a pu êtr nvisagé par Passgué (1997) mais pour ds échlls spatials moynns, notr champ d étud st assz ptit, c st pour ctt raison qu nous nous ngagons plutôt vrs l systèm vctur. L princip st rlativmnt simpl puisqu nous partons d un vctorisation, puis nous calculons ls vitsss pour nfin détrminr ls plus courts chmins par ds algorithms d chminmnts minimaux. Ls carts d tmps d accès rposnt sur un bas d donnés contnant chaqu plus court chmin du cntr vrs la totalité ds communs (soit un total d 168 chminmnts minimaux). D l nsmbl d cs opérations, la plus complx st sans dout l calcul ds vitsss qui rquirt un crtain réflxion. Nous avons mis n plac un modèl dans lqul la vitss moynn st calculé par l intrmédiair d un algorithm linéair rposant sur un suit d instructions conditionnlls. L programm fonctionn à partir d trois moduls introduisant progrssivmnt ls différnts paramètrs

12 .1 L prmir modul C drnir st conditionné par trois étaps succssivs. Un prmièr mt n rlation la vitss n fonction d la courbur ds routs. On a pu montrr, par ds rlvés sur l trrain qu la vitss suivait un «loi» logistiqu décroissant d la distanc au cntr fonction du typ d voi (étroit, moynn, larg ou très larg). On put définir d un façon général la rlation suivant pour touts ls routs : βc+ α Vmax + Vmin V1 βc+ α 1 + où c st la courbur, V 1 st la vitss fonction d la courbur d l infrastructur, V max la vitss maximal lorsqu la courbur st proch d, V min la vitss lorsqu la courbur st proch d 18 t α t β ds paramètrs à évalur. Un prmièr étap détrmin d qull voi il s agit t fix ls paramètrs V min, V max, α t β adaptés, un scond fait intrvnir l typ d véhicul (poids lourd ou véhicul légr). Il calcul la valur d vitss pour ls dux typs d véhiculs t réalis nsuit la moynn ntr ls dux n fonction du pourcntag d chacun ds dux. Enfin un troisièm étap introduit la limitation d vitss à 5 n agglomération. Touts vitsss supériurs à 5 n vill st réduit automatiqumnt à 5.. L scond modul Ctt parti du modèl détrmin un nouvll valur d vitss n fonction du chiffr obtnu dans l étap précédnt. On introduit l trafic par l intrmédiair ds modèls macroscopiqus d prmir ordr (Brthir 1998, Lbacqu 1999, Lclrcq 1999). Dans cs drnirs, on postul qu il xist trois rlations fondamntals liant l trafic, la vitss t la concntration n véhiculs. K Q + t x Q KV Q Q ( K K ) ² + Q K Q st l débit, K la concntration, Q l débit maximum t K la concntration critiqu. Graphiqumnt, on put rprésntr la drnièr rlation d la façon suivant : Figur 1 - La rlation tchnologiqu ds infrastructurs dans ls modèls macroscopiqus d prmir ordr Débit (Q) Q(débit maximum) K (concntration critiqu) Concntration (K)

13 D l nsmbl ds paramètrs énoncés, sul la concntration critiqu st inconnu (K ). Ctt drnièr s calcul à partir d la concntration maximal N max. Nous proposons d l nvisagr à partir du nombr maximum d véhiculs. Pour c fair, on considèr qu c chiffr st attint lorsqu l nsmbl d la chaussé st occupé par ls véhiculs, c qui corrspond au graphiqu suivant : Figur 13 - Décomposition d un tronçon saturé D AB A Poids lourds Voitur Voitur Voitur Poids lourds B L PL L VL L VL L VL L PL La distanc D AB put êtr nsuit décomposé n trois partis : - un longuur égal à la somm total formé par ls poids lourds (ΣL PL ) - un longuur égal à la somm total formé par ls véhiculs légrs (ΣL VL ) - un longuur formé par la somm d l écart ntr ls véhiculs (ΣE IV ) La distanc DAB put alors êtr réécrit n fonction ds cs trois élémnts : D AB LVL + LPL + EIV En faisant intrvnir l pourcntag d chaqu typ d véhicul (% VL t % PL. Notons qu nous avons négligr ls transports n commun pour l calcul du pourcntag d poids lourds) t n notant l nombr d véhiculs présnts sur l tronçon N max, il dvint possibl d xprimr ls différnts somms. Nous notrons, n outr, qu il st nécssair d considérr à chaqu xtrémité du tronçon un dmi-intrdistanc, c qui nous conduit à un somm ds écarts d N max E IV. E IV D AB N ( 1 % ) VL LVL + Nmax PLLPL + NmaxEIV max % En calculant à présnt N max n fonction ds autrs paramètrs, on montr alors qu : N max D ( 1 % ) L + % L + E VL VL PL PL IV N max st ainsi l nombr maximal d véhicul qu l tronçon st n msur d accuillir. Pour évalur la concntration maximal (K max ), c st à dir l nombr maximum d véhiculs par kilomètr, il suffit d divisr N max par D AB. D après la rlation tchnologiqu liant la concntration au débit, on n déduit qu : K K amx K AB N D max AB N D 1 max max En chrchant, à présnt à calculr K n fonction ds autrs paramètrs, on obtint ls dux racins suivants : K ( Q Q) AB K + Q K

14 K ( Q Q) K + Q Nous n consrvrons qu la portion décroissant qui n rflèt qu la parti non congstionné ds tronçons. En obsrvant qu Q KV, on put aisémnt xprimr la vitss n fonction d la concntration critiqu K t du débit slon l modèl suivant : Q Q V K K ( Q Q) + K Q La vitss ainsi calculé st l résultat du scond modul, bas pour l troisièm modul portant sur ls fux.3 Troisièm modul C drnir prnd n compt ls fux d circulation. Il postul qu l tmps passé pour travrsr un tronçon st décomposé n dux partis : un prmièr où l on circul à la vitss du scond modul t un duxièm où l automobilist st arrêté au fux. L tmps total st d c fait la somm ntr un tmps d circulation (t circulation D AB / V 4 ) t un tmps passé à attndr l fu vrt (t fux nombr d fux (n f ) * tmps d attnt à un fu (t f ))) soit la formul suivant : DAB DAB DAB VFinal T D AB Tcirculation + T fux AB + n f t f V4 Il aurait pu êtr possibl d considérr qu un parti ds fux ou la totalité était vrt, c qui aurait donné un tmps d fux fix. Or, nous savons très bin qu l fait d tombr sur un fu roug ou vrt st assz hasardux. Nous avons fait l choix d un calcul du nombr d fux rougs ou vrts basé sur un modèl probabilist très simpl. On considèr qu l on a n moynn un chanc sur dux d obtnir un fu vrt (probabilité d ½) t qu ctt drnièr s rproduit à chaqu fu. En somm ls chancs d s rtrouvr avc un nombr d fux moyn sont plus importants qu ls chancs d avoir un nombr d fux faibl ou fort. On put alors, pour un tronçon, considérr l total d fux rougs comm un variabl aléatoir. L nombr d cas possibls (ou cardinal) st d n. On put, à partir d cinq fux, réalisr 5 3 combinaisons : VVVVV, RVVVV, VRVVV, VVRVV, On définit alors un loi probabilist d la variabl aléatoir d l événmnt X n (l nombr d fux roug st n) n réalisant l quotint du nombr d cas favorabls sur l cardinal. Par xmpl toujours pour cinq fux, il xist cinq possibilités pour qu X 1 : RVVVV, VRVVV, VVRVV, VVVRV t VVVVR. D la mêm manièr, il st possibl d calculr la probabilité d l nsmbl ds valurs priss par X. Ainsi, n comptant ls cas, on put constatr qu P (X ) 1/3 P (X 1) 5/3 P (X ) 1/3 P (X 3) 1/3 P (X 4) 5/3 P (X 5) 1/3 La somm total ds probabilités st bin égal à 1. Au dlà d ctt xmpl, il st tout à fait possibl d calculr ls probabilités pour un nombr n d fux non détrminé. L nombr d cas favorabls s définit comm un combinaison d p élémnts (nombr d fux rougs) parmi n (nombr d fux). D fait, on a : n! p Cn ( ) ( n p)! p! n! P X n n n cardn ( n p)! p! Vérifions à présnt notr formul sur l cas précédnt. C5 1 1 P ( X ) 5 card5 3 K

15 P ( X 1) 5! 1 C5 ( 5 1) 1!! 5 5 card5 3 5! C5 ( ) ( 5 )!! 1 P X 5 card5 3 5! 3 C5 ( ) ( 5 3 )!3! 1 P X 3 5 card5 3 5! P ( X 4) 4 C5 ( 5 4 )!4! 5 5 card5 3 P ( X 5) 5 C card5 3 On put assz facilmnt traduir sous Excl c modèl n introduisant ls partis ntièrs t ls arrondis : n f Ent( Aléa() + Nbfux Nbfux.5) Arrondi + ( () +.5) Ent Aléa Arrondi 1 Nbfux + Nbfux ( ) Nbfux Ent Aléa() +.5 Arrondi Nbfux + n f 1 où Ent() st la parti ntièr d la parnthès, Arrondi(), l arrondi d la parnthès, Nbfux l nombr d fux, n f l nombr d fux rougs t nfin Aléa() un nombr aléatoir ntr t 1 A l issu ds trois moduls, on obtint un cart ds vitsss qu l on put cartographir par un analys thématiqu. Nous obsrvrons qu l introduction d un aléa dans l modèl tnd à produir ds carts d vitsss qui n sont jamais idntiqus. En réalisant un séri d 5 ssais d vitss t n calculant la moynn, on obtint un imag plus just du fonctionnmnt d l air urbain. Pour évalur ls tmps d accès au cntr, il convint d intégrr cs vitsss dans un graph. L modul d accssibilité du logicil prmt ainsi à partir d un point uniqu (plac d la libération à Dijon), l calcul d l nsmbl ds plus courts chmins vrs la totalité ds communs (chaqu commun st réduit à un sul point : l cntr du villag), c qui rprésnt pour Dijon près d 168 plus courts chmins. En mployant ctt méthod, on présuppos qu la population d chaqu commun s concntr au cntr du villag. Un analys thématiqu par coloration continu prmt nsuit d rprésntr assz corrctmnt un cart par isochron du tmps d accès au cntr.

16 Figur 14 - Figur 15 -

17 Ctt parti nous a ainsi prmis d mttr n plac un méthod d calcul ds vitsss t c dans l but d d évalur ls tmps d accès dans un graph, il nous a n outr été possibl d crér un cart ds tmps d accès au cntr d Dijon. Nous proposons dans la parti suivant d utilisr cs calculs pour ls mttr n rlation avc ls modèls d dnsité t d population cumulé. 3 Rlations ntr la vitss, l accssibilité t l étalmnt urbain Dans un prmir tmps, montrons qu la distanc t ls tmps d accès sont liés dans un rlation non-linéair. 3.1 D la distanc aux tmps d accès Pour commncr rprnons la cart ds vitsss moynns qu nous avons établi dans l paragraph précédnt. En calculant un moynn ds vitsss par couronns, il s dégag un rlation liant la distanc au cntr à la vitss. Ctt drnièr put êtr synthétisé sous la form d un fonction logistiqu croissant. V max ( x) λx p V où x st la distanc au cntr, V max st la vitss maximal n miliu périurbain, λ l cofficint d congstion t p l paramètr définissant la vitss au cntr. 8 Vitss moynn (n km/h) Figur 16 - Rlation ntr vitss moynn t distanc au cntr Vitsss ds vois rapids Vitsss ds vois classiqus 1 Distanc au cntr (n km) Pour détrminr ls tmps d accès, partons d la rlation fondamntal définissant la vitss V( x) x t où V(x) st la vitss à un distanc x du cntr, x la variation d distanc au cntr t t la variation d tmps d accès au cntr. On tir d ctt xprssion l tmps : t x V( x) Ctt nouvll rlation put êtr transformé n intégral : x x T( x) 1 x T ( ) ( x) 1 ( V x V 1 max + λx+ p ) x C qui put êtr simplifié n : T p + λv λx () x ( 1 ) max Ls tmps d accès sont donc fonctions d la distanc au cntr t dépndnt égalmnt d divrs paramètrs : - λ rprésntant l factur d congstion V x max

18 - V max la vitss maximal n miliu périurbain - p l factur caractérisant la vitss au cntr. Dans l hypothès où on n prnd plus la distanc au cntr comm dscriptur mais ls tmps d accès, on s doit d transformr la natur mêm d la rlation liant ls dnsités au tmps ou ls populations cumulés au tmps. 3. Analys ds rlations ntr l accssibilité t ls modèls d dnsité résidntill Nous avons montré qu l on obsrvait un crtain déformation ds tmps au voisinag du cntr (la courb s incurv), on trouv alors un fonction adoptant un profil non-linéair déformant qulqu pu l profil d la rlation dnsité/tmps ou population cumulé/tmps vrs l cntr. On n déduit qu l on put mttr n plac ds fonctions qui n adoptnt pour ls tmps d accès plus nécssairmnt xactmnt l mêm typ d formalisation. Ainsi, pour ls dnsités, par xmpl, on obsrv un nuag d points qui s étir toujours slon un xponntill mais nttmnt plus douc, s éloignant bin plus du cntr d l agglomération. Il xist aussi un ruptur ntr un logiqu plus pntu ntr l cntr t un crtain distanc caractérisant n qulqu sort ls partis ls plus prochs d l spac périurbain t un marg périurbain plus lointain. «Ctt fractur»s situ approximativmnt à, 5 minuts. Ctt limit tmporll à partir d laqull on va passr d un spac périurbain ncor fortmnt dns à ds trritoirs plus rculés corrspond n réalité pu ou prou à la frontièr défini par Zahavi (soit un allr rtour vrs l cntr vill). C drnir définit un suil (n moynn ntr 5 minuts t 1h) au dlà duqul ls résidnts n sont plus n msur d s installr compt tnu d lur mploi du tmps journalir. Notr graphiqu d la dnsité n fonction ds tmps d accès n st l xprssion. Figur 17 Dnsité t tmps d accès 9 Ln(Dnsité) minuts 8 ESPACE POLARISE DE L'AIRE URBAINE ESPACE NON POLARISE y -.194x R.4575 y -.41x R.716 Tmps d'accès (n minuts) Comm pour ls dnsités, xaminons la rlation ntr ls tmps d accès t ls populations cumulés n fonction ds tmps d accès. On rmarqu qu à l évidnc, si la natur d la rlation n a pas fondamntalmnt changé, ll n doit n tous ls cas plus êtr nvisagé sous la form d un fonction d typ Bussièr amndé. On obsrv alors qu ctt drnièr st smbl-t-il plus proch d la form simpl du modèl soit l profil l plus classiqu.

19 Ls populations cumulés progrssnt assz fortmnt ntr t 5 minuts puis l augmntation s fait plus douc jusqu à tndr vrs au alntours d 3 minuts. Ctt limit corrspond à nouvau à la barrièr tmporll d Zahavi. Nous obsrvrons qu l modèl d Bussièr rpos sur ls dnsités t qu, par conséqunt, étant donné l ajustmnt rlativmnt satisfaisant du modèl xponntil négatif, ls donnés n pouvaint qu bin fonctionnr avc ls tmps. D mêm qu nous avions notr un ruptur dans ls dnsités audlà d minuts, il n st d mêm pour ls populations cumulés. L constat d adéquation avc l hypothès d Zahavi n st par un confirmation d la conjctur (1h maximum d déplacmnt quotidin) mais plutôt un hasard. En fft, n xaminant ds agglomérations ou ds airs urbains plus importants qu clls d Dijon, on obsrvrait un accroissmnt d ctt barrièr tmporll. Autrmnt dit, la limit d minuts ou d 5 minuts st avant tout propr à Dijon. Sur Lyon, ctt duré pourra êtr d 3 minuts à 45 minuts t sur Paris, d plus d dux hurs. Commnt l justifir? Nous évoqurons l idé qu ctt limits corrspond n réalité à un suil psychologiqu propr à chaqu agglomération. Nous émttons l idé qu c drnir st n rapport avc coût du foncir autour d l agglomération. Plus il sra important, plus ls individus accptrons d s éloignr du cntr Population cumulé Figur 18 Population cumulé t tmps d accès Tmps d'accès au cntr (n minuts) Spatialisation du modèl d Bussièr Comm nous disposons d la cart ds distancs-tmps, il nous st possibl d rprésntr n dux dimnsions l modèl d BUSSIERE (Chapuis, Enault, Mannon, Maigrot t Rnaud ). Nous dvons égalmnt prndr n compt l fait qu c drnir n s appliqu qu pour un sctur détrminé d l air urbain. La logiqu st cll ds tmps d accès, à savoir un organisation n llips qui oppos assz nttmnt l oust à l st. - Dans la parti oust, l angl d non application, ls isochrons sont déformés t l ax d l A 38 s individualis très nttmnt. Au rgard ds populations réllmnt présnts, nous n prcvons pas un si grand xtnsion d la courb ds populations cumulés vrs l oust. L platau, quant à lui, smbl comprimr ls populations dans un périmètr rlativmnt réduit. Mêm si l on put ffctivmnt assistr à un mouvmnt d rassmblmnt vrs l cntr t d mis à l écart ds partis du platau, nous n dvons pas considérr ls donnés du modèl spatialisé comm conform à la réalité (n référnc aux élémnts d la prmièr parti). - C st finalmnt la parti st qui «rntr l plus dans l moul» avc ds isochrons globalmnt concntriqus t donc un organisation ds populations cumulés assz proch d la coup n dux dimnsions. On put bin évidmmnt prcvoir ds variations d accssibilité plus locals qui vont naturllmnt influr sur la répartition ds populations. On obsrvra ainsi ds étirmnts n dirction d l A 39 t d la D 996. Un troisièm dirction apparaît égalmnt cll d la N 74. Ls radials ls plus importants smblnt d fait contribur à un étalmnt urbain.

20 Ls communs à l écart (plus d minuts du cntr d Dijon) s limitnt à l xtrêm sud n dirction d la Saôn t à l xtrêm st. Figur 19 - Spatialisation du modèl d BUSSIERE n fonction ds tmps d accès CONCLUSION C.Enault Laboratoir THEMA Dijon MAPINFO Ctt étud a prmis, dans un prmir tmps, d décrir la morphologi urbain dijonnais par l biais ds modèls d dnsité résidntill. Il s dégag un logiqu concntriqu prturbé par un opposition st-oust. On n déduit qu l étalmnt urbain apparaît plus snsibl à l st d l agglomération. La scond parti d c travail a été la mis au point d un méthod d calcul ds vitsss automobils. L analys radial ds résultats prmt d constatr l aspct concntriqu ds vitsss. On montr, par un intégration, qu ls tmps sont un fonction non-linéair d la distanc au cntr. En conséqunc, si l on substitu l tmps par la distanc dans ls modèls d dnsité résidntill, on doit aussi modifir lur formalisation. On a égalmnt pu vérifir l adéquation ds modèls d Clark t d Bussièr avc la conjctur d Zahavi.

21 BIBLIOGRAPHIE BERTHIER J.P (1998)., Congstion urbain : un modèl d trafic d point à courb débit-vitss t dmand élastiqu, Ls cahirs scintifiqus du transport, n 34, p. 3-9 BUSSIERE R. (1975), Intractions urbains. L modèl du CRU. Annals 1975, Cntr d rchrch d urbanism CLARK C. (1951), Urban Population Dnsitis, Journal of th Royal Statistical Socity (sri A), n 114, p EDMONSTON B., GOLDBERG M.A., MERCER J. (1984), Urban form in th Canada and th Unitd Stats : an xamination of urban dnsity gradints, Urban Studis, n, p INGRAM G.K., CARROLL A. (1981), Symposium of urbanization and dvlopmnt. Th spatial structur of latin Amrican citis, Journal of urban conomics, n 9, p LEBACQUE J.P. (1999), Commnt simulr l caractèr fini d l accélération ds véhiculs dans l cadr ds modèls macroscopiqus du prmir ordr, Modélisation du trafic sous la dirction d J.P.LEBACQUE, Act n 64, INRETS, p LECLERCQ L. (), Modélisation du trafic t stimation ds nuisancs sonors, modélisation du trafic, acts du group d travail 1999 MILLS E. (197), Urban dnsity function, Urban Studis, n 7, p. 5- MILLS E. (198), A comparison of urban population dnsity Function in dvlopd and dvloping countris, Urban Studis, n 17, p NEWLING B.E. (1969), Th spatial variation of population dnsitis, Gographical Rviw, n 59, p.4-5 PASSEGUE S. (1997), Rugosité routièr t msur ds tmps d accès n miliu rural : un modélisation par corroyag, Espac Géographiqu, n 4, p PEGUY P.Y. (), Analys économiqu ds configurations urbains t d lur étalmnt, thès d doctorat n scincs économiqus, Univrsité d Lyon II Lumièr TABOURIN E., BONNAFOUS A. (1998), Modélisation d l évolution ds dnsités urbains, Donnés urbains tom sous la dirction d D.PUMAIN t M.F.MATTEI, d. Economica Anthropos, coll. Vills, p TELLIER L.N. (), L coupl mobilité-immobilité au cœur d l étalmnt urbain : l cas montréalais, Ls cahirs scintifiqus du transport, n 37, p