Chapitre 2: Résolution d équations linéaires

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1 Chapitre 2: Résolution d équations linéaires MTH1007 Polytechnique Montréal 9 janvier 2018 MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

2 2.1 Vecteurs et équations linéaires Définition Une équation linéaire est de la forme a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Un système d équations linéaires (SEL) est un ensemble d équations linéaires. Une solution à un SEL est un n-tuplet de valeurs (x 1, x 2,..., x n ) qui vérifient simultanément toutes les équations du SEL. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

3 2.1 Vecteurs et équations linéaires (2) Exemple Soit le SEL Deux points de vue : { x y = 1 2x + y = 5. b = (1, 5) x y = 1 5 2u u = (1, 2) 01 (2, 1) v = ( 1, 1) 1 2x + y = 5 MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

4 2.2 Le concept d élimination Exemple (suite) Soit le SEL Élimination : { x y = 1 2x + y = 5. x y = 1 x y = (2, 1) (2, 1) 3y = 3 1 2x + y = 5 1 MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

5 2.2 Le concept d élimination (2) Définition Dans la procédure d élimination, le pivot est le premier coefficient non nul de la ligne utilisée pour l élimination. le multiplicateur est égal à : (coefficient à éliminer) pivot. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

6 2.2 Le concept d élimination (2) Échec de l élimination 1 Échec de type 1 : Après l élimination, le système triangulaire obtenu possède une équation de la forme 0y = b où b 0. Dans ce cas, le SEL ne possède pas de solution. 2 Échec de type 2 : Après l élimination, le système triangulaire obtenu possède une équation de la forme 0y = 0. Dans ce cas, le SEL possède un infinité de solutions. 3 Échec de type 3 : Le SEL a un premier candidat pour un pivot qui est nul. Dans ce cas, la solution est de permuter les lignes. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

7 2.2 Le concept d élimination (3) Procédure générale d élimination Pour résoudre un SEL : 1 Utiliser la première équation pour générer par élimination des 0 sous le premier pivot. 2 Utiliser la nouvelle deuxième équation pour générer par élimination des 0 sous le deuxième pivot. 3 Continuer ainsi jusquà l obtention d un système triangulaire. 4 Résoudre par remontée triangulaire le système obtenu à l étape (3). MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

8 2.2 Le concept d élimination (4) Remarques : Pour un SEL à n équations et n inconnues : 1 Cette procédure fonctionne si le système triangulaire possède un ensemble de n pivots (néecessairement non nuls), qui sont situés sur la diagonale. 2 Si le système triangulaire possède n pivots (nécessairement non nuls) alors on dit que le SEL est non singulier. Sinon, il est singulier. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

9 2.3 Lélimination à l aide de matrices Multiplication de matrices Il y a deux points de vue : 1 Point de vue des lignes : l élément (i, j) du produit AB est le produit scalaire (i-ième ligne de A) (j-ième colonne de B). 2 Point de vue des colonnes : la j-ième colonne de AB est égale à Au j, où u j est la j-ième colonne de B. Si B = [ u 1 u 2 u n ] alors AB = [ Au 1 Au 2 Au n ]. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

10 2.3 Lélimination à l aide de matrices (2) Remarque Pour que le produit AB soit défini, il faut que # colonnes de A = # lignes de B. Propriétés du produit matriciel 1 (AB)C = A(BC) (associativité). 2 En général, AB BA (pas commutatif). MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

11 2.3 Lélimination à l aide de matrices (3) Rappel Un SEL à m équations et n inconnues s écrit Ax = b, c est-à-dire a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 ou encore. =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn x 1 x 2. x n = b 1 b 2. b m MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

12 2.3 Lélimination à l aide de matrices (4) La matrice d élimination E ij qui soustrait de la i-ième ligne un multiple k (le multiplicateur) de la j-ième ligne est obtenue en remplaçant par k le 0 en position (i, j) dans la matrice identité I. La matrice de permutation qui interchange les lignes i et j est obtenue en interchangeant les lignes i et j dans la matrice identité I. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

13 2.3 Lélimination à l aide de matrices (5) La multiplication des deux membres du SEL Ax = b par E ij ou P ij n affecte pas le vecteur des variables x. C est pourquoi il n est pas nécessaire d inclure ce vecteur dans les calculs. On travaille plutôt avec la matrice augmentée du système : a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 [A b] = a m1 a m2 a mn b m MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

14 2.4 Les règles des opérations matricielles Définition Une matrice de taille m n est un tableau de nombres arrangés en m lignes et n colonnes : A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn Le nombre a ij est le coefficient (ou élément) de A situé sur la i-ième ligne et la j-ième colonne. Il est aussi noté A(i, j). MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

15 2.4 Les règles des opérations matricielles (2) Définition des opérations matricielles Addition. Si A et B sont des matrices de même taille alors leur somme est la matrice C = A + B obtenue en additionnant les éléments correspondants de A et B : c ij = a ij + b ij. Multiplication par un scalaire. Si k R et A est une matrice alors C = ka est la matrice obtenue en multipliant chaque élément de A par k : c ij = ka ij. Multiplication. Si A est une matrice de taille m n et B une matrice de taille n p alors leur produit est la matrice C = AB dont l élément c ij est égal à : (i-ième ligne de A) (j-ième colonne de B). MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

16 2.4 Les règles des opérations matricielles (3) Propriétés des opérations matricielles Lorsque que les opérations sont possibles, on a 1 A + B = B + A (commutativité) 2 k(a + B) = ka + kb (distributivité) 3 A + (B + C) = (A + B) + C (associativité) 4 A(B + C) = AB + AC (distributivité à gauche) 5 (B + C)A = BA + CA (distributivité à droite) 6 A(BC) = (AB)C (associativité) 7 IA = AI = A (élément neutre) Remarque : en général AB BA, même lorsque les deux produits sont définis. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

17 2.4 Les règles des opérations matricielles (4) Multiplication par blocs Il est parfois utile d effectuer la multiplication de matrices par blocs, comme dans l exemple suivant : AB = = [ A11 A 12 ] [ B11 B 12 B 13 ] A 21 A 22 B 21 B 22 B 23 [ A11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 11 B 13 + A 12 B 23 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 A 21 B 13 + A 22 B 23 ] MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

18 2.5 Matrices inverses Définition Une matrice carrée A est inversible s il existe une matrice A 1 telle que AA 1 = A 1 A = I, où I est la matrice identité. Théorème Si A et B sont des matrices inversibles de même taille alors AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

19 2.5 Matrices inverses (2) Procédure de Gauss-Jordan pour calculer l inverse d une matrice Pour trouver l inverse de A : 1 On forme la matrice augmentée [A I ]. 2 On applique la procédure d élimination de Gauss pour obtenir des 0 en dessous des pivots. 3 On applique ensuite la procédure d élimination de Gauss pour obtenir des 0 au-dessus des pivots. 4 On divise chaque ligne de la matrice résultante par la valeur du pivot. 5 On obtient ainsi la matrice augmentée [I A 1 ]. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

20 2.6 Factorisation LU Donné un SEL Ax = b, l élimination (sans permutations) permet d écrire où A = LU L = (E n E n 1 E 1 ) 1 = E1 1 E 1 des matrices d élimination. n 1 E n 1 Cette matrice est triangulaire inférieure. est le produit des inverses U est la matrice triangulaire supérieure obtenue par élimination. Ceci est la factorisation (ou décomposition) LU de la matrice A. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

21 2.6 Factorisation LU (2) On remarque que : L est triangulaire inférieure. L possède des 1 sur sa diagonale. Chaque multiplicateur l ij est à sa position (i, j) dans L. U est triangulaire supérieure. Les n pivots sont sur la diagonale de U. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

22 2.6 Factorisation LU (3) Pour une matrice de taille 3 3, si d 1, d 2, d 3 sont les pivots sur la diagonale de U dans la factorisation LU et d D = 0 d d 3 alors en divisant les lignes de U par les pivots on obtient u 11 u 12 u 13 0 u 21 u u 33 = d d d 3 1 u 12 /d 1 u 13 /d u 23 /d U = D U Ainsi, A = LU = LDU. Ceci est la factorisation LDU de A. Cette décomposition est encore valide pour une matrice de taille n n. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

23 2.6 Factorisation LU (4) Un système carré = deux systèmes triangulaires Pour résoudre un SEL carré Ax = b : 1 Factoriser A = LU par élimination. 2 Résoudre LUx = b en le décomposant en deux systèmes triangulaires : 2.1 Résoudre Lc = b par descente triangulaire. 2.2 Résoudre Ux = c par remontée triangulaire. La solution au SEL est x trouvé à l étape 2.2. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

24 2.7 Transposées et permutations Définition Si A est une matrice de taille m n alors sa transposée est la matrice A T de taille n m obtenue en interchangeant les lignes et les colonnes de A : A T (i, j) = A(j, i). Théorème : propriétés des transposées 1 (A + B) T = A T + B T. 2 (AB) T = B T A T. 3 Si A est inversible alors A T l est aussi et ( A T ) 1 ( = A 1 ) T. 4 ( A T ) T = A. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

25 2.7 Transposées et permutations (2) Définition Si x = (x 1, x 2,..., x n ) et y = (y 1, y 2,..., y n ) sont des vecteurs colonnes alors x T y est le produit scalaire de x et y (c est un nombre). yx T est le produit extérieur de x et y (c est une matrice de taille n n). MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

26 2.7 Transposées et permutations (3) Définition Une matrice carrée A est symétrique si A T = A. Ceci signifie que a ij = a ji. Théorème : propriétés des matrices symétriques 1 Si A est symétrique et inversible alors A 1 est aussi symétrique. 2 Si R est une matrice de taille quelconque alors RR T et R T R sont des matrices carrées symétriques. 3 Toute matrice diagonale est symétrique. Si A est symétrique et se factorise A = LDU alors A = A T = (LDU) T = U T DL T = LDL T. Ceci est la factorisation LDL T de A. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

27 2.7 Transposées et permutations (4) Définition Une matrice de permutation est une matrice P obtenue en interchangeant des lignes et des colonnes de la matrice identité I. Il y a n! matrices de permutation de taille n n. Le produit PA a pour effet de permuter les lignes de A. Toute matrice de permutation est le produit de matrices de permutation simples P ij qui chacune interchange les lignes i et j. Si P est une matrice de permutation alors P 1 existe et est aussi une matrice de permutation. De plus, P 1 = P T. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

28 2.7 Transposées et permutations (5) Factorisation PA = LU La factorisation A = LU est possible seulement si à aucune étape de l élimination un 0 n apparaît à la place d un pivot. Dans le cas où A est inversible, si un 0 apparaît à la place d un pivot alors on peut obtenir un pivot en interchangeant deux lignes à l aide d une matrice de permutation. L ensemble des permutations nécessaires à l élimination peut être rassemblé en une matrice de permutation P, produit des matrices simples employées. Il existe donc une matrice de permutation P telle que la procédure d élimination fonctionne pour la matrice PA. On obtient la factorisation suivante de A : PA = LU. MTH1007 (Polytechnique Montréal) Chapitre 2: Résolution d équations linéaires 9 janvier / 28

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